第5讲 二次函数综合及应用 优等生讲义(知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年鲁教版(五四制)九年级数学上册

第5讲 二次函数综合及应用 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年鲁教版(五四制)九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 会根据实际问题中的等量关系列出二次函数关系式 · 掌握利润最值问题的建模方法：利润=(售价-进价)×销量 · 会用抛物线模型解决拱桥、喷泉、投篮等实际问题 · 能根据实际意义确定自变量取值范围并求最值 · 掌握二次函数综合题中动点、存在性问题的处理思路 📚 知识梳理 ☆ 1.实际问题列二次函数关系式 利润问题：利润=每件利润×销售量，降价则销量增加 增长率问题：连续增长两次为a(1+x)2 面积问题：用一边表示另一边，面积=长×宽 先找等量关系，再化为一般式y=ax2+bx+c 概念辨析例题：某商品进价2元，售价13元时日销50件，每降价1元多售10件，设降价后售价x元，求日利润y 解析：每件利润(x-2)元，销量[50+10(13-x)]件，y=(x-2)[50+10(13-x)]展开即得 ☆ 2.抛物线形实际问题 拱桥、喷泉、投篮等轨迹可建坐标系用抛物线描述 通常以顶点或端点为原点建立坐标系简化计算 已知顶点用顶点式y=a(x-h)2+k 求高度、宽度、时间等需把已知点代入解析式 概念辨析例题：喷水池水柱在距中心1m处最高3m，落地处离中心3m，求水管高度 解析：设y=a(x-1)2+3，代入(3,0)得a=﹣，x=0时y= ☆ 3.二次函数最值问题 顶点横坐标x=﹣处取最大（小）值 实际问题要考虑自变量取值范围是否包含顶点 顶点在范围内则最值在顶点取，不在则在端点取 利润最大、面积最大、材料最省均为最值模型 概念辨析例题：宾馆50个房间，定价180元住满，每涨10元空1间，每间每天支出20元，求最大利润房价 解析：设涨10x元，利润w=(180+10x-20)(50-x)，配方得x=17时最大，房价350元 ☆ 4.二次函数综合题 动点问题用时间t表示动点坐标，再列函数 存在性问题：假设存在→列方程→检验是否符合范围 面积最值用割补法或铅垂高表示面积 特殊图形（等腰、直角、平行四边形）按边分类讨论 概念辨析例题：抛物线过A(﹣1,0)、B(3,0)，与y轴交于C，求△ABC面积 解析：AB=4，C为抛物线与y轴交点(0,c)，S=×4×|c|=2|c| 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 利润公式 利润=(售价-进价)×销量 降价多销要算对销量 增长率 a(1+x)2 连续增长两次 顶点式 y=a(x-h)2+k 顶点(h,k) 对称轴 x=﹣ 最值位置 自变量范围 实际意义限制x范围 顶点不一定在范围内 面积最值 割补法/铅垂高 动点用t表示 ⚠️ 核心考点 【考点1】根据实际问题列二次函数关系式（第1-9题） · 先读题找等量关系，确定自变量和因变量 · 利润=(售价-进价)×销量，注意降价与销量关系 · 增长率连续两次写成a(1+x)2 · 最后化成一般式并注明自变量取值范围 1．（2025秋•金湾区期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率x，请问9月份的销售量y关于每月增加的百分率x的函数解析式是（　　） A．y＝1500（1+x）2 B．y＝1500+（1﹣x）2 C．y＝（1+x）2+1500 D．y＝x2+1500 2．（2025秋•城关区期末）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利10元，每天可售出50斤．经市场调查发现，若每斤降价1元，每天可多售出10斤．设每斤降价x元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（10+x）（50﹣10x） B．y＝（10﹣x）（50+10x） C．y＝（10﹣x）（50﹣10x） D．y＝（10+x）（50+10x） 3．（2026•鹿邑县模拟）如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点O（0，0）处起飞，飞行路线为y＝a（x﹣40）2+k，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为20米，则该抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D．y＝﹣（x﹣40）2+20 4．（2025秋•平顺县期末）2025年全国大学生航模总决赛于10月举行，多支大学生代表队参加．投掷比赛时，某代表队的飞机模型在距离地面a米处投掷沙包，掷出的沙包距离地面的高度y（单位：米）与下落时间x（单位：秒）之间满足y＝﹣5x2+a．当下落时间x＝2时，y＝25，则当沙包落地时，下落时间x的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2023秋•南康区期末）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个结论中：①当x＞0时，y＞0；②若a＝﹣1，则b＝3；③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m＝2时，△MCE周长的最小值为；④图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2，其中正确的是（　　） A．①②③④ B．②④ C．③④ D．②③④ 6．（2024秋•思明区校级期中）水平地面上一个小球被推开后向前滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图所示（图为抛物线的一部分，其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　） A．小球滑行6秒停止 B．小球滑行12秒停止 C．小球向前滑行的速度不变 D．小球向前滑行的速度越来越大 7．（2025•西宁三模）如图，在平面直角坐标系中，点A和点C分别在x轴和y轴的正半轴上，OA＝6cm，OC＝4cm，以OA，OC为邻边作矩形OABC．点M从点A出发，以1cm/s的速度沿AO向点O运动，同时点N从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向点B运动．过点N作NP⊥BC交OB于点P，连接MP．设运动时间为t秒，记△OMP的面积为S，求S与t的函数解析式____________________ ． 8．（2025•重庆模拟）某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为x（x＞0），则该工厂3月份的产值y关于x的函数解析式为________________ ． 9．（2025秋•城中区校级月考）西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为____________________ （化为一般式）． 【考点2】二次函数的应用（第10-26题） · 建立合适坐标系，优先用顶点式 · 把实际点坐标代入解析式求未知系数 · 求最值时检查顶点是否在自变量范围内 · 拱桥宽度、水流高度等用对应x值求y 10．（2025秋•礼县期末）如图，某拱桥的形状可看作是抛物线的一部分，其函数表达式为．当水面到桥顶的距离OH为4m时，水面的宽度AB为（　　） A．4m B．8m C．10m D．12m 11．（2026•碑林区校级三模）某景点的“喷水巨龙”喷嘴C处的水流呈抛物线状流出，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB于点A，若OC＝OB＝3m，OA＝1m，则AD的长为（　　） A．4m B．4.3m C．4.5m D．5m 12．（2025秋•庄浪县期中）如图1，某蔬菜大棚的一边靠墙，其截面图可看作抛物线的一部分（如图2），大棚跨径OA＝12m，顶端C到墙体BO的距离为4m，顶端C到OA的距离为6m，则大棚与墙的交点B到原点O的距离OB为（　　） A．3m B． C．4m D． 13．（2026•南京模拟）某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h（单位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是 _____ s． 14．（2024秋•东城区校级期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球的运动时间t（秒）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），运动2秒时，小球的高度是_______ 米． 15．（2025秋•栖霞市期末）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管高度应为__________________ m． 16．（2023秋•江都区月考）图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m．以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，若点P的坐标为（3，2）．因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为 _________________ ．（结果保留根号） 17．（2025秋•浑南区期末）一身高1.8m的篮球运动员在距篮板4m处跳起投篮，球在运动员头顶上方0.25m处出手．按如图所示的直角坐标系，球在空中运行的路线可以用y＝﹣0.2x2+3.5来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为________ m． 18．（2023秋•如皋市期末）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需为有游客居住的房间每天支出20元费用，若想要获得最大利润，则房价应定为每个房间每天 ________ 元． 19．（2026•垦利区二模）“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰．新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价_____ 元，才能使每日利润最大． 20．（2026•河南模拟）如图为生活中常见的多功能锅，锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，若某食堂有一口锅，其锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2． （1）写出C1和C2的解析式：____________________ ； （2）如果烹饪时锅内的水位高度是0.48dm，则此时水面的直径为________ dm； （3）如果将一个底面直径为3.6dm，高度为2.8dm的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请通过计算说明理由． 21．（2026•英山县校级自主招生）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖，火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 22．（2026•碑林区校级四模）如图所示，取某一位置的水平线为x轴，建立了平面坐标系后，小山坡AB可以近似看成抛物线l1：y．小明在离A点2m的楼顶C抛出一球，其运动轨迹为抛物线，落在山坡的点D处，测得点D离y轴的距离为8m． （1）求点D的坐标； （2）求小球飞行过程中，离山坡的最大高度． 23．（2026•周至县一模）某游乐园要建造一个直径为26m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心5m处达到最高，高度为8m． （1）以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在y轴右侧抛物线的函数表达式； （2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 24．（2024•福田区校级一模）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 如图1是某足球场的一部分，球门宽DE＝CF＝7m，高CD＝EF＝2.5m．小梅站在A处向门柱CD一侧发球，点A正对门柱CD（即AC⊥CF），AC＝24m，球射向球门的路线呈抛物线，且一直在AC正上方． 此次射门的侧面示意图如图2所示，当足球飞行的水平距离AB＝15m时，球达到最高点Q，此时球离地面4.5m．以点A为原点，直线BA为x轴，建立平面直角坐标系． 素材2 如图3，距离球门正前方6m处放置一块矩形拦网HGMN，拦网面垂直于地面，且GH∥CF（GH足够长），拦网高HN＝4m． 任务1 求足球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式． 任务2 未放置拦网时，判断此次射门球能否进入球门．若能进入，计算出足球经过C点正上方时的高度；若不能进入，小梅不改变发球的方向，且射门路线的形状和最大高度保持不变，他应该带球向正后方至少移动多少米射门，才能让足球进入球门． 任务3 放置拦网后，小梅站在A处，射门路线的形状和最大高度保持不变，只改变发球方向，使射向球门的路线在AF正上方，判断足球能否越过拦网，在点E处进入球门． 注：上述任务中足球落在门柱边线视作足球进入球门． 25．（2026•龙湖区一模）中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团圆和完美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的2倍，用1600元购进蛋黄豆沙饼的数量比用700元购进普通豆沙月饼的数量多50个． （1）普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？ （2）若某商店把蛋黄豆沙月饼以6元销售时，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？ 26．（2024•唐山一模）为了给观光绿化带浇水，拟安装一排喷水口，如图2为喷水口喷水的横截面，该喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．可以把喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其中DE＝2m，EF＝0.5m．其下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，喷水口到绿化带的水平距离OD为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC； （2）通过计算求点B的坐标； （3）绿化带右侧（图中点E的右侧）1米外是人行道，要使喷出的水能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人，直接写出d的取值范围． 【考点3】二次函数综合题（第27-33题） · 动点坐标用时间t或参数表示 · 面积问题用铅垂高×水平宽÷2 · 存在性问题先假设再列方程检验 · 特殊图形按边或角分类讨论 27．（2026•平武县二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝﹣2，点F在对称轴上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点F，使得∠BFC为直角？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段BC绕着点F逆时针方向旋转90°后得到线段B1C1，当点B1与C1恰有一点落在抛物线上时，求点F的坐标． 28．（2026•花都区二模）在平面直角坐标系中，如果抛物线G与直线l相交于点M（x1，y1）和点N（x2，y2），那么我们把|x1﹣x2|叫做抛物线G在直线l上的“水平跨距”． （1）求抛物线y＝x2﹣1在直线y＝x﹣1上的“水平跨距”； （2）已知抛物线G：y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1，当m取不同值时，抛物线的顶点始终落在同一条直线l：y＝x+b上． ①请用含m的式子表达抛物线G的顶点坐标，并求直线l的解析式； ②试探究抛物线G：y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1在直线y＝x+b上的“水平跨距”是否会随m值的变化而变化，并说明理由． 29．（2026•南京模拟）已知抛物线y＝ax2﹣bx（a，b为常数，其中a≠0）． （1）求证：抛物线与x轴必有交点； （2）点A（x1，y1）在抛物线y＝ax2﹣bx上，点B（x2，y2）在抛物线y＝（a+1）x2﹣2x（a≠﹣1）上．当时，是一个与x1无关的定值． （i）求b的值； （ii）若点B是经由点A向右平移m个单位，向上平移n个单位得到，且满足，求n的最小值． 30．（2026•历下区一模）二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求二次函数的表达式和顶点D的坐标； （2）将二次函数y＝ax2+bx+4的图象沿直线AC平移得到一个新函数的图象M，顶点为G． ①如图1，连结AC，CG，AG，求△ACG的面积； ②如图2，设新函数的图象M与x轴交于点E和F，连结CE，CB，CF，若∠BCE＝∠BCF，求新函数的表达式． 31．（2026•南山区三模）【定义】 我们将二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c均不为0且a≠c）与二次函数y＝cx2+bx+a称之为“互反抛物线”．例如：二次函数y＝3x2+4x+5与二次函数y＝5x2+4x+3就是一组“互反抛物线”． （1）已知二次函数C1：y＝ax2+bx+2a﹣3，其“互反抛物线”记作C2．若C1与C2交于y轴上的交点M和N且MN＝2，求a的值； （2）在（1）的条件下，已知（1，0）是二次函数C1：y＝ax2+bx+2a﹣3上的一点，求C1、C2的函数图象与x轴的所有交点的距离的最大值． （3）已知二次函数C1：y＝x2+bx+c（其中，b、c均不为0且c≠1）的顶点为P，其“互反抛物线”的顶点为Q，C1和C2的函数图象交于点M（1，0），如图所示，当∠PMQ＝90°时，请直接写出c的值． 32．（2024秋•牡丹江期末）综合与探究 在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交点C． （1）求二次函数的解析式； （2）若P是直线AC上方抛物线上的一点，过点P作PF⊥x轴于点F，交AC于点D，当F是AO中点时，求的值； （3）点M在x轴上，在线段AC上是否存点N，使以O，M，N为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，直接写出满足条件的△OMN的个数并写出其中两个点N的坐标；若不存在，说明理由． 33．（2024秋•越秀区校级月考）已知抛物线G：y＝x2+2mx+m﹣1中． （1）若抛物线G经过点（0，0），求抛物线G的解析式和顶点坐标； （2）把抛物线G绕点（1，0）旋转180°得到抛物线H， ①若点A（n﹣2，p），B（2，q），C（n，p）都在抛物线H上且p＞q＞m﹣2，求n的取值范围； ②已知抛物线H恒过定点P，记抛物线H的顶点为点Q，当m的值变化时，点Q的运动轨迹为曲线W，直线l过点P且与曲线W有且只有一个公共点，求直线l的解析式． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•大连一模）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边15m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y＝3x上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为y＝ax2+bx，若要求喷出的抛物线水线不能到岸边，则a的取值范围为 ____________________ ． 【练习 2】（2026•苍溪县模拟）如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取A，B，C，D四点，且线段AB，CD都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为0.6m，AB＝2m，CD＝4m，则点B到CD的距离为________ m． 💯 课后巩固 【作业 1】（2025秋•长春校级期中）长春某商家中秋节期间代销月饼，每盒月饼的成本为50元，销售中发现每盒月饼售价99元时，日销售量为200盒，当每盒月饼每下降1元时，日销售量增加2盒．设每盒月饼售价为x元，商家每天的利润为w元，则w与x之间的函数关系式为（　　） A．w＝（99﹣x﹣50）（200+2x） B．w＝（x﹣50）（200+2x） C．w＝（99﹣x﹣50）[200+2（99﹣x）] D．w＝（x﹣50）[200+2（99﹣x）] 【作业 2】（2026春•锦江区校级月考）端午小长假成都某热门景点根据去年人流量预测今年入口处游客数量y（人）与开放时间x（min）近似满足二次函数关系y＝﹣0.2ax2+20ax（a＞0），下列说法正确的是（　　） A．景点开放后，入口处游客数量始终在增加 B．开放100min时，入口处游客数量达到峰值 C．开放40min和60min时，入口处游客数量一样多 D．该函数图象的对称轴是y轴 【作业 3】（2025春•绥化期末）某公司十月份的销售额为8万元，若该公司第四季度每个月的销售额的增长率均为x，十二月份的销售额为y万元，那么y与x的函数关系式为 ______________ ． 【作业 4】（2025•武都区校级模拟）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系为 ____________________ ． 【作业 5】（2025•商丘模拟）小亮类比实际生活中的现象，在电脑上设计了一个动画，这个动画是一个装有水的瓶子（如图1）倾斜，倒水．该水瓶是轴对称图形，两轮廓线AB、DC在同一条抛物线上，水瓶最上侧AD＝6cm，瓶底BC＝4cm，且AD∥BC，AD、BC相距12.5cm．以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． （1）求两轮廓线AB、DC所在抛物线的表达式； （2）如图（1），水瓶内水的高度为4.4cm，求水面宽EF的长； （3）将水倒出一部分后，倾斜水瓶，水面恰好经过点B，且与BC成45°角，如图（2）所示，求此时水面的宽度BG．（结果精确到1cm，参考数据：） 【作业 6】（2026•攀枝花模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【作业 7】（2026春•庐江县月考）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点F（x1，y1）、G（x2，y2）都在这个二次函数的图象上， ①若y1＝y2＝n，且﹣2≤x1﹣x2≤3，求n的取值范围； ②当x1＜x2时，若，求x1的值． 【作业 8】（2026•舒城县一模）已知直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点C．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A，C，与x轴的另一个交点为B． （1）求抛物线的表达式和点B的坐标； （2）点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，直线PB与y轴相交于点D，作PM⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x+3 于点N． （Ⅰ）求证：CD＝OM； （Ⅱ）若要使以C，D，N，P为顶点的四边形是平行四边形，求m的值． 【作业 9】（2026•铁岭县模拟）如图1，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l：y＝x﹣3经过B，C两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）已知P为线段BC上一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N． ①当PM的长度随t的增大而增大时，请直接写出t的取值范围； ②当时，求点P的横坐标； （3）如图2，将二次函数y＝x2+bx+c在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线l向上平移n个单位长度，得到直线l′，直接写出当直线l′与这个新图象分别有2个或3个公共点时，n的取值范围或n的值． 复习建议 · 实际问题先建坐标系、选解析式形式再代入 · 利润问题牢记利润=(单件利润)×销量 · 最值问题必须检查顶点是否在自变量范围内 · 抛物线形问题优先找顶点和已知点 · 综合题动点用参数表示坐标，分类要完整 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 二次函数综合及应用 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年鲁教版(五四制)九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 会根据实际问题中的等量关系列出二次函数关系式 · 掌握利润最值问题的建模方法：利润=(售价-进价)×销量 · 会用抛物线模型解决拱桥、喷泉、投篮等实际问题 · 能根据实际意义确定自变量取值范围并求最值 · 掌握二次函数综合题中动点、存在性问题的处理思路 📚 知识梳理 ☆ 1.实际问题列二次函数关系式 利润问题：利润=每件利润×销售量，降价则销量增加 增长率问题：连续增长两次为a(1+x)2 面积问题：用一边表示另一边，面积=长×宽 先找等量关系，再化为一般式y=ax2+bx+c 概念辨析例题：某商品进价2元，售价13元时日销50件，每降价1元多售10件，设降价后售价x元，求日利润y 解析：每件利润(x-2)元，销量[50+10(13-x)]件，y=(x-2)[50+10(13-x)]展开即得 ☆ 2.抛物线形实际问题 拱桥、喷泉、投篮等轨迹可建坐标系用抛物线描述 通常以顶点或端点为原点建立坐标系简化计算 已知顶点用顶点式y=a(x-h)2+k 求高度、宽度、时间等需把已知点代入解析式 概念辨析例题：喷水池水柱在距中心1m处最高3m，落地处离中心3m，求水管高度 解析：设y=a(x-1)2+3，代入(3,0)得a=﹣，x=0时y= ☆ 3.二次函数最值问题 顶点横坐标x=﹣处取最大（小）值 实际问题要考虑自变量取值范围是否包含顶点 顶点在范围内则最值在顶点取，不在则在端点取 利润最大、面积最大、材料最省均为最值模型 概念辨析例题：宾馆50个房间，定价180元住满，每涨10元空1间，每间每天支出20元，求最大利润房价 解析：设涨10x元，利润w=(180+10x-20)(50-x)，配方得x=17时最大，房价350元 ☆ 4.二次函数综合题 动点问题用时间t表示动点坐标，再列函数 存在性问题：假设存在→列方程→检验是否符合范围 面积最值用割补法或铅垂高表示面积 特殊图形（等腰、直角、平行四边形）按边分类讨论 概念辨析例题：抛物线过A(﹣1,0)、B(3,0)，与y轴交于C，求△ABC面积 解析：AB=4，C为抛物线与y轴交点(0,c)，S=×4×|c|=2|c| 📋 知识总结表 【考点1】根据实际问题列二次函数关系式（第1-9题） · 先读题找等量关系，确定自变量和因变量 · 利润=(售价-进价)×销量，注意降价与销量关系 · 增长率连续两次写成a(1+x)2 · 最后化成一般式并注明自变量取值范围 1．（2025秋•金湾区期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率x，请问9月份的销售量y关于每月增加的百分率x的函数解析式是（　　） A．y＝1500（1+x）2 B．y＝1500+（1﹣x）2 C．y＝（1+x）2+1500 D．y＝x2+1500 【分析】依据题意，由增长率为x，根据“7月份销售1500个，9月份销售y个”列得函数关系式即可求解． 【解答】解：由题意，∵增长率为x，根据“7月份销售1500个， ∴9月份销售y个”列得函数关系式为：y＝1500（1+x）2，故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 2．（2025秋•城关区期末）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利10元，每天可售出50斤．经市场调查发现，若每斤降价1元，每天可多售出10斤．设每斤降价x元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（10+x）（50﹣10x） B．y＝（10﹣x）（50+10x） C．y＝（10﹣x）（50﹣10x） D．y＝（10+x）（50+10x） 【分析】根据每斤盈利×销售量列出函数关系式即可． 【解答】解：根据题意得：y＝（10﹣x）（50+10x） 故选：B． 【点评】本题考查根据实际问题列出二次函数关系式，关键是找到的量关系． 3．（2026•鹿邑县模拟）如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点O（0，0）处起飞，飞行路线为y＝a（x﹣40）2+k，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为20米，则该抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D．y＝﹣（x﹣40）2+20 【分析】根据无人机在飞行过程中达到的最大高度为20米，得到k＝20，把O（0，0）代入解析式，确定a值即可． 【解答】解：根据无人机在飞行过程中达到的最大高度为20米可知k＝20， ∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣40）2+20， 由条件可得：a（0﹣40）2+20＝0， 解得， ∴抛物线的解析式为． 故选：C． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数的解析式，熟练掌握该知识点是关键． 4．（2025秋•平顺县期末）2025年全国大学生航模总决赛于10月举行，多支大学生代表队参加．投掷比赛时，某代表队的飞机模型在距离地面a米处投掷沙包，掷出的沙包距离地面的高度y（单位：米）与下落时间x（单位：秒）之间满足y＝﹣5x2+a．当下落时间x＝2时，y＝25，则当沙包落地时，下落时间x的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据给定条件代入 x＝2，y＝25求出 a的值，再令y＝0，解方程求出 x的值即可． 【解答】解：∵当x＝2时，y＝25， ∴25＝﹣5×22+a＝﹣20+a， ∴a＝25+20＝45， ∴y＝﹣5x2+45， 当沙包落地时y＝0， ∴0＝﹣5x2+45， ∴x＝3或x＝﹣3（舍去负值）， ∴则当沙包落地时，下落时间x的值为3． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 5．（2023秋•南康区期末）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个结论中：①当x＞0时，y＞0；②若a＝﹣1，则b＝3；③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m＝2时，△MCE周长的最小值为；④图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2，其中正确的是（　　） A．①②③④ B．②④ C．③④ D．②③④ 【分析】①错误．由图象可知当a＜x＜b时，y＞0； ②正确．当a＝﹣1时，b＝3； ③正确．△MCE的周长的最小值为22； ④正确．设x1关于对称轴的对称点x1′，由题意推出x1＜1＜x1′＜x2，因为函数图象在x＞1时，y随x增大而减小，所以y2＜y1； 【解答】解：①当a＜x＜b时，y＞0．故①错误． ②1， ∴当a＝﹣1时，b＝3，故②正确． ③当m＝2时，C（0，3），E（2，3）．E′与E关于x轴对称， ∴E′（2，﹣3）， ∴CE′＝2， ∴△MCE的周长的最小值为22，故③正确． ④设x1关于对称轴的对称点x1′， ∴x1′＝2﹣x1， ∵x1+x2＞2， ∴x2＞﹣x1+2， ∴x2＞x1′， ∵x1＜1＜x2， ∴x1＜1＜x1′＜x2， ∵函数图象在x＞1时，y随x增大而减小， ∴y2＜y1， ∴④正确． 故选：D． 【点评】本题考查二次函数综合题、最小值问题、增减性问题等知识，解题的关键是灵活掌握二次函数的有关性质，第四个结论的判断关键是利用对称点性质解决问题，所以中考压轴题． 6．（2024秋•思明区校级期中）水平地面上一个小球被推开后向前滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图所示（图为抛物线的一部分，其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　） A．小球滑行6秒停止 B．小球滑行12秒停止 C．小球向前滑行的速度不变 D．小球向前滑行的速度越来越大 【分析】根据函数图象结合s与t的关系得出答案． 【解答】解：由函数图象可知，当t＝6时，滑行的距离最大， ∴小球滑行6秒停止， 故A说法正确，B说法错误； 由函数图象可知，随着时间的推移，滑行的距离变化越来越平缓，即滑行的速度越来越小， 故C、D说法错误， 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，正确读懂函数图象是解题的关键． 7．（2025•西宁三模）如图，在平面直角坐标系中，点A和点C分别在x轴和y轴的正半轴上，OA＝6cm，OC＝4cm，以OA，OC为邻边作矩形OABC．点M从点A出发，以1cm/s的速度沿AO向点O运动，同时点N从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向点B运动．过点N作NP⊥BC交OB于点P，连接MP．设运动时间为t秒，记△OMP的面积为S，求S与t的函数解析式S（t﹣3）2+3（0＜t＜6）　 ． 【分析】依据题意，由四边形OABC是矩形得OA＝6，AB＝4，则点B的坐标为（6，4），求出直线OB的函数解析式为yx，然后利用面积公式即可求解． 【解答】解：由矩形性质可知OA＝6，AB＝4， ∴点B的坐标为（6，4）， 设直线OB的解析式为y＝kx， ∴4＝6k． ∴． ∴． 延长NP交x轴于点H， ∴点P的横坐标OH＝CN＝t，AM＝t， ∴OM＝6﹣t，点． ∴， ∴ ． 故答案为：S（t﹣3）2+3（0＜t＜6）． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 8．（2025•重庆模拟）某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为x（x＞0），则该工厂3月份的产值y关于x的函数解析式为y＝200（1+x）2 ． 【分析】根据：现有量＝原有量×（1+增长率）n，即可列出函数解析式． 【解答】解：现有量＝原有量×（1+增长率）n， 依题意得：y＝200（1+x）2． 故答案为：y＝200（1+x）2． 【点评】本题考查了二次函数的应用，可直接套公式：原有量×（1+增长率）n＝现有量，n表示增长的次数． 9．（2025秋•城中区校级月考）西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为y＝﹣5x2+270x+5600　 （化为一般式）． 【分析】根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式，再化为一般式即可． 【解答】解：由题意知y＝（120﹣50﹣x）（80+5x）， 整理得y＝﹣5x2+270x+5600． 故答案为：y＝﹣5x2+270x+5600． 【点评】本题考查根据题意列二次函数解析式，解题的关键是理解题意找到其中的相等关系． 【考点2】二次函数的应用（第10-26题） · 建立合适坐标系，优先用顶点式 · 把实际点坐标代入解析式求未知系数 · 求最值时检查顶点是否在自变量范围内 · 拱桥宽度、水流高度等用对应x值求y 10．（2025秋•礼县期末）如图，某拱桥的形状可看作是抛物线的一部分，其函数表达式为．当水面到桥顶的距离OH为4m时，水面的宽度AB为（　　） A．4m B．8m C．10m D．12m 【分析】根据题意，把y＝﹣4直接代入解析式即可解答． 【解答】解：根据题意B的纵坐标为﹣4， 把y＝﹣4代入yx2， ∴﹣4x2， ∴x＝±4， ∴A（﹣4，﹣4），B（4，﹣4）， ∴AB＝4﹣（﹣4）＝8m． 故选：B． 【点评】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键． 11．（2026•碑林区校级三模）某景点的“喷水巨龙”喷嘴C处的水流呈抛物线状流出，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB于点A，若OC＝OB＝3m，OA＝1m，则AD的长为（　　） A．4m B．4.3m C．4.5m D．5m 【分析】依据题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+k，将点B（3，0），C（0，3）代入求出a、k的值即可求解． 【解答】解：∵OC＝OB＝3m， ∴B（3，0），C（0，3）， ∵OA＝1m， ∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+k， 由题意可得： ∴ ∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4， ∴当x＝1时，y＝4，即AD＝4m， 故选：A． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 12．（2025秋•庄浪县期中）如图1，某蔬菜大棚的一边靠墙，其截面图可看作抛物线的一部分（如图2），大棚跨径OA＝12m，顶端C到墙体BO的距离为4m，顶端C到OA的距离为6m，则大棚与墙的交点B到原点O的距离OB为（　　） A．3m B． C．4m D． 【分析】依据题意，可得抛物线的顶点为（4，6），从而可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+6，结合A（12，0），可得抛物线的解析式，从而可以计算得解． 【解答】解：由题意，∵顶端C到墙体BO的距离为4m，顶端C到OA的距离为6m， ∴抛物线的顶点为（4，6）． ∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+6． 又∵大棚跨径OA＝12m， ∴A（12，0）． ∴0＝a（12﹣4）2+6． ∴a． ∴抛物线为y（x﹣4）2+6． ∴令x＝0，则y． ∴B（0，）． ∴大棚与墙的交点B到原点O的距离OB为m． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用顶点式是关键． 13．（2026•南京模拟）某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h（单位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是 　4　 s． 【分析】先确定抛物线的对称轴方程，再根据抛物线的对称性可得出结论． 【解答】解：对称轴方程为：， ∵抛物线与x轴的一个交点横坐标为0， ∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为2×2＝4， ∴足球从踢出到落地所需的时间是4s． 故答案为：4． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 14．（2024秋•东城区校级期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球的运动时间t（秒）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），运动2秒时，小球的高度是　40　 米． 【分析】将t＝2代入函数解析式中进行计算求解． 【解答】解：由题意可得：h＝30×2﹣5×22＝40（米）． 故答案为：40． 【点评】本题考查了二次函数求值，正确进行计算是解题关键． 15．（2025秋•栖霞市期末）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管高度应为　　 m． 【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令x＝0，求得y的值，即可得出答案． 【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k， 由题意可知抛物线的与x轴的一个交点为（3，0），顶点坐标为（1，3）， ∴0＝a（3﹣1）2+3， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当x＝0时，， ∴水柱落地处离池中心3m，水管的高度为， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 16．（2023秋•江都区月考）图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m．以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，若点P的坐标为（3，2）．因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为 　m ．（结果保留根号） 【分析】根据题意和图象，可以设二次函数的交点式，然后将点P（3，2）代入求出a的值，即可写出该抛物线的解析式；将y＝1代入函数解析式，求出相应的x的值，然后作差，即可得到因降暴雨水位上升1m，此时水面宽． 【解答】解：（1）设拱桥所在抛物线的函数表达式为y＝ax（x﹣4）， ∵点P（3，2）在该函数图象上， ∴2＝3a（3﹣4）， 解得a， ∴yx（x﹣4）x2x， 即拱桥所在抛物线的函数表达式是yx2x； （2）当y＝1时， 1x2x 解得x1，x2， ∵， ∴因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为m， 故答案为：m． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是利用交点式求函数的解析式． 17．（2025秋•浑南区期末）一身高1.8m的篮球运动员在距篮板4m处跳起投篮，球在运动员头顶上方0.25m处出手．按如图所示的直角坐标系，球在空中运行的路线可以用y＝﹣0.2x2+3.5来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为　0.2　 m． 【分析】根据二次函数性质，结合实际情况，先求出篮板距离y轴距离，再求出起跳位置距离y轴距离，进而得到答案． 【解答】解：根据题意可知， 当y＝3.05时，即3.05＝﹣0.2x2+3.5， 解得：x＝1.5m， ∴4﹣1.5＝2.5， 当x＝﹣2.5时，y＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25， ∴2.25﹣0.25﹣1.8＝0.2（m）； 故答案为：0.2． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18．（2023秋•如皋市期末）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需为有游客居住的房间每天支出20元费用，若想要获得最大利润，则房价应定为每个房间每天 　350　 元． 【分析】设空闲房间为x个，则定价增加了10x元，设宾馆的利润为y元，根据利润等于（定价﹣20）×有人居住的房间数，可得y关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【解答】解：设空闲房间为x个，则定价增加了10x元，设宾馆的利润为y元，由题意得： y＝（180+10x﹣20）（50﹣x） ＝﹣10x2+340x+8000 ＝﹣10（x﹣17）2+10890， ∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下， ∴当x＝17时，y有最大值， 此时房间定价为180+10×17＝350（元）． ∴若想要获得最大利润，房间定价为350元． 故答案为：350． 【点评】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 19．（2026•垦利区二模）“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰．新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价　8　 元，才能使每日利润最大． 【分析】设当涨价a元时，单日利润为W元，则W＝（a+24﹣20）（40﹣2a）＝﹣2（a﹣8）2+288，即可求解． 【解答】解：设当涨价a元时，单日利润为W元， 则W＝（a+24﹣20）（40﹣2a）＝﹣2（a﹣8）2+288， 因为﹣2＜0，抛物线开口向下， 所以当a＝8时，W最大＝288， 答：当每件纪念品应涨价8元，才能使每日利润最大． 故答案为：8． 【点评】本题考查的是二次函数的应用，熟知利润＝（售价﹣进价）×售出件数是解答此题的关键． 20．（2026•河南模拟）如图为生活中常见的多功能锅，锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，若某食堂有一口锅，其锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2． （1）写出C1和C2的解析式：C1：yx2﹣3，C2：yx2+1　 ； （2）如果烹饪时锅内的水位高度是0.48dm，则此时水面的直径为　2.4　 dm； （3）如果将一个底面直径为3.6dm，高度为2.8dm的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请通过计算说明理由． 【分析】（1）分别设出C1和C2的解析式，把图中所给的点代入即可求得相关的函数解析式； （2）易得y＝﹣2.52，代入C1的解析式，求得x的值，取较大的值减去较小的值即可求得水面的直径； （3）易得x＝1.8，代入（1）中得到的两个函数解析式，求得y的值，相减即可得到最大高度，与2.8比较即可判断锅盖能否正常盖上． 【解答】解：（1）设C1的解析式为y＝ax2+k， ∵经过点（3，0），（0，﹣3）， ∴， 解得：， ∴C1：yx2﹣3， 设C2的解析式为y＝mx2+n，∵经过点（3，0），（0，1），∴， 解得：， ∴C2：yx2+1， 故答案为：C1：yx2﹣3，C2：yx2+1； （2）∵水位高度是0.48dm， ∴y＝﹣3+0.48＝﹣2.52， ∴﹣2.52x2﹣3， 解得：x1＝1.2，x2＝﹣1.2， ∴水面的直径为：1.2﹣（﹣1.2）＝2.4（dm）， 故答案为：2.4； （3）锅盖不能正常盖上． 理由：∵直径为3.6dm， ∴半径为1.8dm， 当x＝1.8时，y1.82﹣3＝﹣1.92，y1.82+1＝0.64， 0.64﹣（﹣1.92）＝2.56＜2.8， ∴锅盖不能正常盖上． 【点评】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得相应的二次函数解析式是解决本题的关键．易错点是判断出相对应的自变量的值，函数值． 21．（2026•英山县校级自主招生）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖，火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 【分析】（1）①已知火箭第二级的引发点坐标，即可求解； ②算出最高点的纵坐标即可得出要求位置的点的纵坐标，解方程即可； （2）已知火箭第二级的引发点横坐标，代入抛物线和直线方程中即可得a、b的关系，再求出落地点的横坐标，利用关系式消元，即可得一元不等式． 【解答】解：（1）①由题意，将（9，3.6）代入抛物线y＝ax2+x得： 3.6＝92a+9， ∴a； 将（9，3.6）代入直线yx+b得：3.69+b， ∴b＝8.1； ②由题意可得：抛物线方程为和直线方程为， 又∵， ∴抛物线的最高点为， ∴方程的根为3， ∴方程.4的根为11.4， ∴这两个位置之间的距离为11.4﹣3＝8.4（km）． （2）由题意，当x＝9时，，即， ∴落地点的横坐标为 2b＝162a+27，则162a+27＞15的解为． ∵抛物线开口向下， ∴． 又∵9， ∴a． ∴当a时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 22．（2026•碑林区校级四模）如图所示，取某一位置的水平线为x轴，建立了平面坐标系后，小山坡AB可以近似看成抛物线l1：y．小明在离A点2m的楼顶C抛出一球，其运动轨迹为抛物线，落在山坡的点D处，测得点D离y轴的距离为8m． （1）求点D的坐标； （2）求小球飞行过程中，离山坡的最大高度． 【分析】（1）根据点D在抛物线上，把x＝8代入计算出点D的坐标； （2）根据题意求出点C的坐标，再根据点C（0，4）和点D（8，2）在抛物线l2上，利用待定系数法求出b，c的值，再根据二次函数的图象的性质求出小球飞行过程中，离山坡的最大高度． 【解答】解：（1）∵测得点D离y轴的距离为8m， ∴点D的横坐标为8， ∵点D在抛物线上， ∴当x＝8时，， ∴点D的坐标是（8，2）； （2）∵，当x＝0时，y＝2， ∴A（0，2）， ∴OA＝2， ∵AC＝2m， ∴OC＝4m， ∴C（0，4）， ∵点C（0，4）和点D（8，2）在抛物线上， ∴， ∴， ∴． ∴高出山坡的高度． ∴当x＝3时，小球飞行过程中，离山坡的最大高度为． 【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的应用是解题的关键． 23．（2026•周至县一模）某游乐园要建造一个直径为26m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心5m处达到最高，高度为8m． （1）以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在y轴右侧抛物线的函数表达式； （2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 【分析】（1）依据题意，由抛物线的顶点坐标为（5，8），则可设抛物线y＝a（x﹣5）2+8，又把（13，0）代入y＝a（x﹣5）2+8，求出a后即可判断得解； （2）依据题意，由（1）y（x﹣5）2+8，从而可令x＝0，则y（0﹣5）2+8，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线的顶点坐标为（5，8）， ∴可设抛物线y＝a（x﹣5）2+8． 又把（13，0）代入y＝a（x﹣5）2+8， ∴0＝a（13﹣5）2+8． ∴a． ∴在y轴右侧抛物线的函数表达式为：y（x﹣5）2+8． （2）由题意，由（1）y（x﹣5）2+8， ∴可令x＝0，则y（0﹣5）2+8（m）． 答：这个装饰物的设计高度为m． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 24．（2024•福田区校级一模）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 如图1是某足球场的一部分，球门宽DE＝CF＝7m，高CD＝EF＝2.5m．小梅站在A处向门柱CD一侧发球，点A正对门柱CD（即AC⊥CF），AC＝24m，球射向球门的路线呈抛物线，且一直在AC正上方． 此次射门的侧面示意图如图2所示，当足球飞行的水平距离AB＝15m时，球达到最高点Q，此时球离地面4.5m．以点A为原点，直线BA为x轴，建立平面直角坐标系． 素材2 如图3，距离球门正前方6m处放置一块矩形拦网HGMN，拦网面垂直于地面，且GH∥CF（GH足够长），拦网高HN＝4m． 任务1 求足球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式． 任务2 未放置拦网时，判断此次射门球能否进入球门．若能进入，计算出足球经过C点正上方时的高度；若不能进入，小梅不改变发球的方向，且射门路线的形状和最大高度保持不变，他应该带球向正后方至少移动多少米射门，才能让足球进入球门． 任务3 放置拦网后，小梅站在A处，射门路线的形状和最大高度保持不变，只改变发球方向，使射向球门的路线在AF正上方，判断足球能否越过拦网，在点E处进入球门． 注：上述任务中足球落在门柱边线视作足球进入球门． 【分析】任务1、易得抛物线的顶点坐标为（15，4.5），可设y＝a（x﹣15）2+4.5，把（0，0）代入可求得a的值，也就求出了抛物线的解析式； 任务2、求出当x＝24时，y的值，和球门的高度进行比较，若大于球门高度，则不能进入．设出平移后的抛物线解析式，把（24，2.5）代入即可求得平移的距离； 任务3、画出以∠ACF为直角的直角三角形ACF，拦网在点Q处．分别求得改变路线后，拦网所在位置距离点A的距离及点F距离点A的位置，分别代入任务1得到的函数解析式，看y的值是否大于拦网高度可判断是否过网，是否大于球门高度看是否入网． 【解答】解：任务1、设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣15）2+4.5． ∵经过点（0，0）， ∴225a+4.5＝0． 解得：a＝﹣0.02． ∴足球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为：y＝﹣0.02（x﹣15）2+4.5； 任务2、当x＝24时，y＝﹣0.02×81+4.5＝﹣1.62+4.5＝2.88． ∵2.88＞2.5． ∴足球不能入网． ∵小梅不改变发球的方向，且射门路线的形状和最大高度保持不变，设向后移动了m米． ∴y＝﹣0.02（x﹣15+m）2+4.5 ∵需要经过点（24，2.5） ∴2.5＝﹣0.02（9+m）2+4.5． 解得：m＝﹣19（舍去）或m＝1． ∴他应该带球向正后方至少移动1米射门，才能让足球进入球门； 任务3、如图，由题意得：QC＝6m，CF＝7m，AC＝24m，PQ⊥AC，FC⊥AC． ∴AF＝25（m），PQ∥FC． ∴△APQ∽△AFC． ∴． ∴． 解得：AP＝18.75． 当x＝18.75时，y＝﹣0.02（18.75﹣15）2+4.5＝﹣0.02×3.752+4.5＝﹣0.02×14.0625+4.5＝4.21875＞4． ∴能通过拦网． 当x＝25时，y＝﹣0.02（25﹣15）2+4.5＝﹣2+4.5＝2.5． ∵EF＝2.5m， ∴能在E处入网． 【点评】本题综合考查了二次函数的应用．用到的知识点为：抛物线中有顶点坐标，二次函数的解析式通常用顶点式表示．难点是灵活应用二次函数解析式解答改变发球方向后的是否通过拦网及是否入网情况． 25．（2026•龙湖区一模）中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团圆和完美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的2倍，用1600元购进蛋黄豆沙饼的数量比用700元购进普通豆沙月饼的数量多50个． （1）普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？ （2）若某商店把蛋黄豆沙月饼以6元销售时，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）设普通豆沙饼的单价是x元，则蛋黄豆沙饼的单价是2x元，根据“用1600元购进蛋黄豆沙饼的数量比用700元购进普通豆沙月饼的数量多50个”，求解即可； （2）根据利润＝1个蛋黄豆沙月饼所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答． 【解答】解：（1）设普通豆沙饼的单价是x元，则蛋黄豆沙饼的单价是2x元，根据题意，得 50， 解得x＝2， 经检验，x＝2是所列方程的根，且符合题意， ∴2x＝2×2＝4， 答：普通豆沙饼的单价是2元，蛋黄豆沙饼的单价是4元； （2）设售价定为t元，利润为y元，根据题意得， y＝（t﹣4）[200]＝﹣20（t﹣10）2+720， ∵﹣20＜0， ∴当t＝10时，y的最大值是720， 答：当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是720元． 【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用和分式方程的应用，解题的关键：（1）准确找出等量关系；（2）利用了利润＝1个蛋黄豆沙月饼所获得的利润×销售量列式． 26．（2024•唐山一模）为了给观光绿化带浇水，拟安装一排喷水口，如图2为喷水口喷水的横截面，该喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．可以把喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其中DE＝2m，EF＝0.5m．其下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，喷水口到绿化带的水平距离OD为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC； （2）通过计算求点B的坐标； （3）绿化带右侧（图中点E的右侧）1米外是人行道，要使喷出的水能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人，直接写出d的取值范围． 【分析】（1）易得上边缘的抛物线顶点A的坐标为（2，2），用顶点式设出抛物线解析式，把点H的坐标代入可得二次项系数的值，即可求得上边缘的抛物线的解析式，取y＝0，求得相对应的x的正值，求得点C的坐标即可求得OC的长度； （2）求得点H在上边缘的抛物线上的对称点，即可判断出下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移几个单位长度得到的，就能求得下边缘的抛物线解析式，取y＝0，求得相对应的x的正值，即可求得点B的坐标； （3）要使喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线恰好经过点F；不会淋湿行人，那么上边缘抛物线恰好经过人行道的左边缘，求出相关的d的值，即可求得d的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得：抛物线的顶点A的坐标为（2，2）． ∴设上边缘的抛物线解析式为：y＝a（x﹣2）2+2． ∵经过点H（0，1.5）， ∴4a+2＝1.5． 解得：a． ∴上边缘的抛物线解析式为：y（x﹣2）2+2． 当y＝0时，0（x﹣2）2+2． （x﹣2）2＝16． 解得：x1＝6，x2＝﹣2． ∵点C在x轴正半轴， ∴C（6，0）． ∴喷出水的最大射程OC长6 m； （2）∵点H（0，1.5）在上边缘抛物线抛物线的对称点的坐标为（4，1.5）． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位长度得到． ∴下边缘的抛物线解析式为：y（x﹣2+4）2+2（x+2）2+2． 当y＝0时，0（x+2）2+2． 解得：x1＝﹣6，x2＝2． ∵点B在x轴的正半轴， ∴点B的坐标为（2，0）； （3）由题意得：点F的纵坐标为0.5． 若上边缘抛物线恰好经过点F，则0.5（x﹣2）2+2． （x﹣2）2＝12． 解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2． ∵点F在第一象限， ∴x＝2+2． ∴点E的坐标为（2+2，0）． ∴OE＝（2+2）m． ∵DE＝2m， ∴OD＝2 m． 若上边缘的抛物线恰好经过人行道的左边缘．则：0（d+2+1﹣2）2+2． （d+1）2＝16． 解得：d1＝3，d2＝﹣5． ∵距离d为正数， ∴d＝3． ∴d的取值范围为：3≤d≤2． 【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：二次函数左右平移，只改变自变量的值，左加右减．第三问理解“喷出的水能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人”与二次函数的关系是解决本题的难点． 【考点3】二次函数综合题（第27-33题） · 动点坐标用时间t或参数表示 · 面积问题用铅垂高×水平宽÷2 · 存在性问题先假设再列方程检验 · 特殊图形按边或角分类讨论 27．（2026•平武县二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝﹣2，点F在对称轴上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点F，使得∠BFC为直角？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段BC绕着点F逆时针方向旋转90°后得到线段B1C1，当点B1与C1恰有一点落在抛物线上时，求点F的坐标． 【分析】（1）由题意得出A（﹣6，0），C（0，6）．结合轴对称的性质得出B（2，0），再利用待定系数法求解即可； （2）由勾股定理得出．设BC中点为D，则D（1，3），连接DF．设点F（﹣2，t），则．当DF＝DC＝BD时，点B，C，F三点在以D为圆心，BC为直径的圆上，由圆周角定理得出此时∠BFC为直角，由直角三角形的性质得出，即，解方程即可得解； （3）设点F（﹣2，t）．则点B逆时针方向旋转90°后的坐标为B1（t﹣2，t+4），点C逆时针方向旋转90°后的坐标为C1（t﹣8，t+2），再分两种情况：当B1（t﹣2，t+4）在抛物线上时，当C1（t﹣8，t+2）在抛物线上时，分别求解即可． 【解答】解：（1）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝﹣2， ∴A（﹣6，0），C（0，6），B（2，0）． 设抛物线解析式为y＝ax2+bx+6（a≠0），将A，B点的坐标代入得： 题意得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）存在一点F，使得∠BFC为直角；理由如下： ∵B（2，0），C（0，6）， ∴． 设BC中点为D，则D（1，3），连接DF．如图1， 设点F（﹣2，t），则． 当DF＝DC＝BD时，点B，C，F三点在以D为圆心，BC为直径的圆上， 此时，∠BFC为直角，，则， ∴t2﹣6t+18＝10， 化简得t2﹣6t+8＝0， 解得t1＝2，t2＝4． ∴F的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，4）时，∠BFC为直角． （3）设点F（﹣2，t）． 则点B逆时针方向旋转90°后的坐标为B1（t﹣2，t+4），点C逆时针方向旋转90°后的坐标为C1（t﹣8，t+2）， 当B1（t﹣2，t+4）在抛物线上时，， 化简得t2+2t﹣8＝0， 解得t1＝2，t2＝﹣4． ∴t1＝2时，F（﹣2，2），t2＝﹣4时，F（﹣2，﹣4）． 经检验，此时点C1不在抛物线上． 当C1（t﹣8，t+2）在抛物线上时，， 化简得t2﹣10t+24＝0， 解得t1＝4，t2＝6． ∴当t1＝4时，F（﹣2，4），当t2＝6时，F（﹣2，6）． 经检验，此时点B1不在抛物线上． 综上，满足题意的点F的坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣4），（﹣2，4），（﹣2，6）． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形—旋转变换、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 28．（2026•花都区二模）在平面直角坐标系中，如果抛物线G与直线l相交于点M（x1，y1）和点N（x2，y2），那么我们把|x1﹣x2|叫做抛物线G在直线l上的“水平跨距”． （1）求抛物线y＝x2﹣1在直线y＝x﹣1上的“水平跨距”； （2）已知抛物线G：y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1，当m取不同值时，抛物线的顶点始终落在同一条直线l：y＝x+b上． ①请用含m的式子表达抛物线G的顶点坐标，并求直线l的解析式； ②试探究抛物线G：y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1在直线y＝x+b上的“水平跨距”是否会随m值的变化而变化，并说明理由． 【分析】（1）联立解析式求出x1＝1，x2＝0，即可得解； （2）①易得顶点坐标为（m，m﹣1），代入解析式得b值，即可得解； ②联立解析式，解一元二次方程可求x1、x2，或者利用根与系数的关系求解也可． 【解答】解：（1）由， 得x2﹣1＝x﹣1，即x2﹣x＝0， 解得x1＝1，x2＝0， ∴|x1﹣x2|＝1， ∴抛物线y＝x2﹣1在直线y＝x﹣1上的“水平跨距”为1； （2）①∵y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1＝（x﹣m）2+m﹣1， ∴抛物线G的顶点坐标为（m，m﹣1）， 把抛物线G的顶点坐标（m，m﹣1）代入y＝x+b上， 得m﹣1＝m+b， ∴b＝﹣1， ∴直线的解析式y＝x﹣1； ②不变，理由如下： 法1：由， 得x﹣1＝x2﹣2mx+m2+m﹣1， 即：x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0， 解得x1＝m，x2＝m+1， ∴|x2﹣x1|＝1， ∴抛物线G：y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1在直线y＝x+b上的“水平跨距”为1，不会随m值的变化而变化． 法2，由， 得x﹣1＝x2﹣2mx+m2+m﹣1， 即：x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0， ∴x1+x2＝2m+1，， ∴， ∴|x2﹣x1|＝1， ∴抛物线G：y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1在直线y＝x+b上的“水平跨距”为1，不会随m值的变化而变化． 【点评】本题主要以二次函数为背景考查了新定义题型，数掌握相关知识是解题的关键． 29．（2026•南京模拟）已知抛物线y＝ax2﹣bx（a，b为常数，其中a≠0）． （1）求证：抛物线与x轴必有交点； （2）点A（x1，y1）在抛物线y＝ax2﹣bx上，点B（x2，y2）在抛物线y＝（a+1）x2﹣2x（a≠﹣1）上．当时，是一个与x1无关的定值． （i）求b的值； （ii）若点B是经由点A向右平移m个单位，向上平移n个单位得到，且满足，求n的最小值． 【分析】（1）根据二次函数的性质，得出y＝ax2﹣bx，得Δ＝（﹣b）2﹣4a×0＝b2≥0，即可作答； （2）（i）理解题意，先得出y1，y2，又因为，整理得（a+1）x2﹣2＝ax1﹣b，故x2，又因为是一个与x1无关的定值，得出，即可作答； （ii）因为点B（x2，y2）是由点A（x1，y1）向右平移m个单位，向上平移n个单位得到，得x2＝x1+m，y2＝y1+n，又因为，得x2＝﹣x1，点A（x1，y1）在抛物线y＝ax2﹣bx上，点B（x2，y2）在抛物线y＝（a+1）x2﹣2x上．得出y2，整理得，结合二次函数的性质，进行分析，即可作答． 【解答】（1）证明：∵y＝ax2﹣bx（a，b为常数，其中a≠0）， 当y＝0时，得：ax2﹣bx＝0， ∵Δ＝（﹣b）2﹣4a×0＝b2≥0， ∴ax2﹣bx＝0必有解， ∴抛物线与x轴必有交点； （2）解：（i）∵点A（x1，y1）在抛物线y＝ax2﹣bx上，将点A的坐标代入得： ∴y1； 点B（x2，y2）在抛物线y＝（a+1）x2﹣2x上，将点B的坐标代入得： ∴y2， ∵， ∴， ∴， 则x2x1[（a+1）x2﹣2]＝x2x1（ax1﹣b）， ∴x1x2[（a+1）x2﹣2]＝x1x2（ax1﹣b）， ∵， ∴x1≠0，x2≠0，（当x1＝0，x2＝0，无意义）， ∵x1x2[（a+1）x2﹣2]＝x1x2（ax1﹣b）， ∴（a+1）x2﹣2＝ax1﹣b， ∴， ∴， ∵是一个与x1无关的定值． ∴， ∴﹣b+2＝0， ∴b＝2； （ii）∵点B（x2，y2）是经由点A（x1，y1）向右平移m个单位，向上平移n个单位得到， ∴x2＝x1+m，y2＝y1+n， ∵， ∴， ∴x2＝﹣x1， ∵点A（x1，y1）在抛物线y＝ax2﹣bx上，点B（x2，y2）在抛物线y＝（a+1）x2﹣2x上． ∴， ∵x2＝﹣x1， ∴y2， ∵y2＝y1+n， ∴， ∴， ∵b＝2， ∴， ∵1＞0， ∴的开口方向向上，在x1＝﹣2时，函数的最小值为n＝﹣4． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，点的平移，二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 30．（2026•历下区一模）二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求二次函数的表达式和顶点D的坐标； （2）将二次函数y＝ax2+bx+4的图象沿直线AC平移得到一个新函数的图象M，顶点为G． ①如图1，连结AC，CG，AG，求△ACG的面积； ②如图2，设新函数的图象M与x轴交于点E和F，连结CE，CB，CF，若∠BCE＝∠BCF，求新函数的表达式． 【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可； （2）①连接DG，AD，CD，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，利用平行线之间的距离相等的性质，同底等高的三角形的面积相等的性质得到△ACG的面积等于△ACD的面积，利用勾股定理求得AC；过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H，利用矩形的判定与性质，勾股定理求得CD，设DE＝m，CE＝n，由勾股定理求得DE，再利用实际行动面积公式解答即可得出结论； ②连接DG，过点G作GM⊥AF于点M，过点D作N⊥GM于点N，设DN＝c，则GN＝2c，利用平移的性质，相似三角形的判定与性质得到点G（1+c，2c），利用二次函数的图象与性质得到新函数的图象的解析式为y2c，则点E，F的横坐标为方程（c+1）xc+4＝0的两根，利用一元二次方程的根与系数的关系定理得到efc2﹣2c﹣8，则OE•OF＝c2﹣2c﹣8，再利用相似三角形的判定与性质求得c值，则结论可求． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过A（﹣2，0），B（4，0）两点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为yx+4． ∵yx+4， ∴顶点D的坐标为（1，）； （2）①连接DG，AD，CD，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，如图， ∵将二次函数y＝ax2+bx+4的图象沿直线AC平移得到一个新函数的图象M，顶点为G， ∴DG∥AC， ∴△ACG与△ACD同底等高， ∴△ACG的面积等于△ACD的面积． 令x＝0，则y＝4， ∴C（0，4）， ∴OC＝4， ∵A（﹣2，0）， ∴OA＝2， ∴AC2， 过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H， 则四边形OCHF为矩形， ∴CH＝OF，FH＝OC＝4， ∵D的坐标为（1，）， ∴DF，OF＝1， ∴CH＝1，DH＝DF﹣HF， ∴CD， 设DE＝m，CE＝n，由勾股定理可得：DE2+CE2＝CD2，AE2+DE2＝AD2＝AF2+DF2， ∴， ∴， ∴DE， ∴△ACG的面积． ∴△ACG的面积为． ②∵将二次函数y＝ax2+bx+4的图象沿直线AC平移得到一个新函数的图象M，顶点为G， ∴DG∥AC， 连接DG，过点G作GM⊥AF于点M，过点D作N⊥GM于点N，如图， 则△AOC∽△DNG， ∴， ∴， 设DN＝c，则GN＝2c， ∵D的坐标为（1，）， ∴G（1+c，2c）， ∴新函数的图象的解析式为y2c， ∴y（x+1）xc+4， 令y＝0，则（x+1）xc+4＝0， ∴点E，F的横坐标为方程（c+1）xc+4＝0的两根， 设E（e，0），F（f，0）， ∴OE＝e，OF＝f， ∵efc2﹣2c﹣8， ∴OE•OF＝c2﹣2c﹣8， ∵B（4，0）， ∴OB＝4， ∵OC＝4， ∴OB＝OC， ∴△OBC为等腰直角三角形， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∵∠OCE+∠BCE＝∠OCB，∠OBC＝∠BCF+∠F，∠BCE＝∠BCF， ∴∠OCE＝∠F， ∵∠COE＝∠FOC＝90°， ∴△OCE∽△OFC， ∴， ∴OC2＝OE•OF， ∴16＝c2﹣2c﹣8， ∴c＝6或﹣4（不合题意，舍去）， ∴DN＝6，GN＝12， ∴G（7，）， ∴新函数的表达式为y， 即y7x﹣8． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数的图象与性质，平移的性质，三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 31．（2026•南山区三模）【定义】 我们将二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c均不为0且a≠c）与二次函数y＝cx2+bx+a称之为“互反抛物线”．例如：二次函数y＝3x2+4x+5与二次函数y＝5x2+4x+3就是一组“互反抛物线”． （1）已知二次函数C1：y＝ax2+bx+2a﹣3，其“互反抛物线”记作C2．若C1与C2交于y轴上的交点M和N且MN＝2，求a的值； （2）在（1）的条件下，已知（1，0）是二次函数C1：y＝ax2+bx+2a﹣3上的一点，求C1、C2的函数图象与x轴的所有交点的距离的最大值． （3）已知二次函数C1：y＝x2+bx+c（其中，b、c均不为0且c≠1）的顶点为P，其“互反抛物线”的顶点为Q，C1和C2的函数图象交于点M（1，0），如图所示，当∠PMQ＝90°时，请直接写出c的值． 【分析】（1）分别求出M、N点坐标，即可求求解； （2）根据题意可知a＝5，分别求出函数与x轴的交点横坐标，再求解即可； （3）分别求出P（，），Q（，），过Q点作QG⊥x轴交于G点，过P点作PH⊥x轴交于H点，可证明△GMQ∽△HPM， 再由，求出满足题意的c＝3． 【解答】解：（1）“互反抛物线”C2为y＝（2a﹣3）x2+bx+a， ∴M（0，2a﹣3），N（0，a）， ∴MN＝|a﹣3|＝2， 解得a＝5或a＝1； （2）当x＝1时，a+b+2a﹣3＝0， ∴b＝3﹣3a， 当a＝1时，b＝0，不符合题意，舍去； 当a＝5时，y＝5x2﹣12x+7，y＝7x2﹣12x+5， 当5x2﹣12x+7＝0时，解得x＝1或x； 当7x2﹣12x+5＝0时，解得x＝1或x； ∴交点的最大距离为； （3）∵点M是两个函数的交点， ∴c+b+1＝0， ∴b＝﹣c﹣1， ∴C1：y＝x2+（﹣c﹣1）x+c，C2：y＝cx2+（﹣c﹣1）x+1， ∴P（，），Q（，）， 过Q点作QG⊥x轴交于G点，过P点作PH⊥x轴交于H点， ∵∠PMQ＝90°， ∴∠GMQ+∠HMP＝90°， ∵∠GMQ+∠GQM＝90°， ∴∠HMP＝∠GQM， ∴△GMQ∽△HPM， ∴，即， ∵c≠1， ∴c＝3或c＝﹣1； 当c＝﹣1时，b＝0，舍去； ∴c＝3． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄懂定义，三角形相似的判定及性质是解题的关键． 32．（2024秋•牡丹江期末）综合与探究 在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交点C． （1）求二次函数的解析式； （2）若P是直线AC上方抛物线上的一点，过点P作PF⊥x轴于点F，交AC于点D，当F是AO中点时，求的值； （3）点M在x轴上，在线段AC上是否存点N，使以O，M，N为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，直接写出满足条件的△OMN的个数并写出其中两个点N的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+2计算即可； （2）先求出直线AC的解析式为，再求出，，，即可得到的值； （3）由B（1，0），C（0，2），得到OB＝1，OC＝2，∠BOC＝90°，再设M（m，0），，﹣3≤n≤0，根据以O，M，N为顶点的三角形与△OBC相似，分六种情况讨论，利用与OB＝1，OC＝2，∠BOC＝90°对应边和角的关系求解即可． 【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+2得， ， 解得， ∴二次函数的解析式解析式为； （2）由， 得C（0，2）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣3，0）、C（0，2）代入得， ， 解得， ∴直线AC的解析式为， ∵F是AO中点， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴DF＝1， 把代入， 得， ∴， ∴， ∴； （3）∵B（1，0），C（0，2）， ∴OB＝1，OC＝2，， ∵点M在x轴上，在线段AC上是否存点N， ∴设M（m，0），，﹣3≤n≤0， ∵以O，M，N为顶点的三角形与△OBC相似， ∴当△OBC∽△OMN时，∠BOC＝∠MON＝90°，， 此时N与C（0，2）重合，， 此时M（﹣1，0），M（1，0）与B（1，0）重合，排除； 当△OBC∽△ONM时，，∠BOC＝∠MON＝90°， 此时N与C（0，2）重合，OM＝2ON＝4，M（4，0）或（﹣4，0）； 当△OBC∽△MON时，，∠BOC＝∠OMN＝90°， 此时OM＝﹣n，，M（n，0），， 则， 解得， 此时； 当△OBC∽△MNO时，，∠BOC＝∠OMN＝90°， 此时OM＝﹣n，，M（n，0），， 则， 解得， 此时； 当△OBC∽△NMO时，，∠BOC＝∠MNO＝90°， 过N作NP⊥x轴于P， 则PM＝n﹣m，OP＝﹣n，P（n，0），， ∴∠NOP＝∠MNP＝90°﹣∠NMO， ∴△NMO∽△PMN∽△PNO， ∴， ∴， 解得，； 此时； 同理，当△OBC∽△NOM时，，，∠BOC＝∠MNO＝90°， ∴， 解得，； 此时； 综上所述，存在以O，M，N为顶点的三角形与△OBC相似，满足条件的△OMN的个数有7个，点N（0，2）或或． 【点评】本题考查二次函数的综合，涉及相似三角形的判定与性质，求二次函数解析式，线段值等知识点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 33．（2024秋•越秀区校级月考）已知抛物线G：y＝x2+2mx+m﹣1中． （1）若抛物线G经过点（0，0），求抛物线G的解析式和顶点坐标； （2）把抛物线G绕点（1，0）旋转180°得到抛物线H， ①若点A（n﹣2，p），B（2，q），C（n，p）都在抛物线H上且p＞q＞m﹣2，求n的取值范围； ②已知抛物线H恒过定点P，记抛物线H的顶点为点Q，当m的值变化时，点Q的运动轨迹为曲线W，直线l过点P且与曲线W有且只有一个公共点，求直线l的解析式． 【分析】（1）由抛物线G经过点（0，0），可得m﹣1＝0，可求m＝1，则y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，进而可得抛物线的解析式和顶点坐标； （2）①根据旋转的性质求出抛物线H解析式和对称轴，根据二次函数的性质即可解答； ②根据题意知抛物线B恒过定点，抛物线H的顶点为点Q（m+2，m2﹣m+1），表示出s，得到点Q的运动轨迹为曲线W为二次函数，且顶点坐标为，即可解答． 【解答】解：（1）∵抛物线G经过点（0，0）， ∴m﹣1＝0， 解得m＝1， ∴y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x，顶点坐标为（﹣1，﹣1）； （2）①∵抛物线G绕点（1，0）旋转180°得到抛物线H， ∴抛物线H上的坐标设为（x，y），则抛物线G上的坐标为（2﹣x，﹣y）， ∴﹣y＝（2﹣x）2+2m（2﹣x）+m﹣1， 整理得y＝﹣x2+2（m+2）x﹣5m﹣3， ∴抛物线H解析式为y＝﹣x2+2（m+2）x﹣5m﹣3， ∴对称轴为直线， ∵a＝﹣1＜0， ∴图象开口向下，图象上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵点A（n﹣2，p），B（2，q），C（n，p）都在抛物线H上， ∴对称轴为直线， ∴m+2＝n﹣1， 即m＝n﹣3， 由题意知，q＝﹣22+2（m+2）×2﹣5m﹣3＝﹣m+1＝﹣n+4， ∵p＞q＞m﹣2＝n﹣5， ∴|n﹣（n﹣1）|＜|2﹣（n﹣1）|，﹣n+4＞n﹣5， 解得n＞4或n＜2，， ∴n的取值范围为n＜2； ②∵y＝﹣x2+4x+m（2x﹣5）﹣3， 当时，， ∴抛物线B恒过定点， 当x＝m+2时，y＝m2﹣m+1， ∴抛物线H的顶点为点Q（m+2，m2﹣m+1）， 令m+2＝t，m2﹣m+1＝s， 则m＝t﹣2，Q（t，s）， ∴m2﹣m+1＝（m+2）2﹣5m﹣3， ∴， ∴点Q的运动轨迹为曲线W为二次函数，且顶点坐标为， ∵直线l过点，且与曲线W有且只有一个公共点， ∴直线l的解析式为或． 【点评】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查二次函数的图象与性质，旋转的性质，二次函数解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质，旋转的性质，二次函数解析式是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•大连一模）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边15m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y＝3x上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为y＝ax2+bx，若要求喷出的抛物线水线不能到岸边，则a的取值范围为 a　 ． 【分析】依据题意，抛物线的顶点在直线y＝3x上可得b的值，根据喷出的抛物线水线不能到岸边，而出水口离岸边15m可知其对称轴，可得a的范围． 【解答】解：由题意，∵y＝ax2+bx的顶点为（，），抛物线的顶点在直线y＝3x上， ∴3． ∴b＝6． ∵喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边15m， ∴，即：． ∴a． 故答案为：a． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，根据题目给出的信息列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件． 【练习 2】（2026•苍溪县模拟）如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取A，B，C，D四点，且线段AB，CD都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为0.6m，AB＝2m，CD＝4m，则点B到CD的距离为　1.8　 m． 【分析】建立平面直角坐标系，求出解析式，然后代入D的横坐标即可． 【解答】解：如图建立坐标系： ∵AB＝2m，CD＝4m，抛物线最高点P到AB的距离为0.6m， ∴B（1，0），P（0，0.6）， 设y＝ax2+0.6，将B（1，0）代入得0＝a+0.6， 解得a＝﹣0.6，即y＝﹣0.6x2+0.6， 当时，y＝﹣0.6×22+0.6＝﹣1.8， 即点B到CD的距离为1.8m， 故答案为：1.8． 【点评】本题考查了二次函数的实际问题，建立恰当坐标系得出抛物线解析式是解决问题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 实际问题先建坐标系、选解析式形式再代入 · 利润问题牢记利润=(单件利润)×销量 · 最值问题必须检查顶点是否在自变量范围内 · 抛物线形问题优先找顶点和已知点 · 综合题动点用参数表示坐标，分类要完整 【作业 1】（2025秋•长春校级期中）长春某商家中秋节期间代销月饼，每盒月饼的成本为50元，销售中发现每盒月饼售价99元时，日销售量为200盒，当每盒月饼每下降1元时，日销售量增加2盒．设每盒月饼售价为x元，商家每天的利润为w元，则w与x之间的函数关系式为（　　） A．w＝（99﹣x﹣50）（200+2x） B．w＝（x﹣50）（200+2x） C．w＝（99﹣x﹣50）[200+2（99﹣x）] D．w＝（x﹣50）[200+2（99﹣x）] 【分析】每盒利润为售价减成本，即（x﹣50）元；销售量随售价下降而增加，基于基准售价99元时200盒，每降1元增2盒，故售价x元时销售量为200+2（99﹣x）盒． 【解答】解：∵每盒利润：（x﹣50）元， 售价下降：（99﹣x）元， 销售量增加：2（99﹣x）盒， ∴销售量：200+2（99﹣x）盒， ∴每盒月饼售价为x元，商家每天的利润为w元，w与x之间的函数为w＝（x﹣50）[200+2（99﹣x）]． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的应用，理解利润由每盒利润与销售量乘积决定是解答本题的关键． 【作业 2】（2026春•锦江区校级月考）端午小长假成都某热门景点根据去年人流量预测今年入口处游客数量y（人）与开放时间x（min）近似满足二次函数关系y＝﹣0.2ax2+20ax（a＞0），下列说法正确的是（　　） A．景点开放后，入口处游客数量始终在增加 B．开放100min时，入口处游客数量达到峰值 C．开放40min和60min时，入口处游客数量一样多 D．该函数图象的对称轴是y轴 【分析】依据题意得，y＝﹣0.2ax2+20ax＝﹣0.2a（x2﹣100x+2500﹣2500）＝﹣0.2a（x﹣50）2+500a，从而可以结合二次函数的性质逐项判断得解． 【解答】解：由题意得，y＝﹣0.2ax2+20ax＝﹣0.2a（x2﹣100x+2500﹣2500）＝﹣0.2a（x﹣50）2+500a． A、∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝50， ∴x＜50时y递增，x＞50时y递减，并非始终增加，故A错误； B、由抛物线开口向下，最大值在对称轴直线x＝50处，不是100min，故B错误； C、由题意，开放40min和60min时， ∵40和60关于对称轴直线x＝50对称， ∴50﹣40＝10，60﹣50＝10， ∴抛物线上的对称点函数值相等，两处游客数量相同，故C正确； D、∵对称轴是直线x＝50， ∴不是y轴 （x＝0），故D错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【作业 3】（2025春•绥化期末）某公司十月份的销售额为8万元，若该公司第四季度每个月的销售额的增长率均为x，十二月份的销售额为y万元，那么y与x的函数关系式为 y＝8（1+x）2 ． 【分析】可设十一、十二月份平均每月销售额增长的百分率是x．由题意得十一月份的销售额是8（1+x），在此基础上连续增长，十二月份营业额为y元，依此即可求解． 【解答】解：依题意得y＝8（1+x）2； 故答案为：y＝8（1+x）2． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式的知识，解题的关键是了解增长率问题的求法，难度不大． 【作业 4】（2025•武都区校级模拟）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系为 y＝﹣10x2+200x﹣360　 ． 【分析】根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×（50+10×降价）”列出函数关系式即可． 【解答】解：根据题意得：y＝（x﹣2）[50+10（13﹣x）] 整理得：y＝﹣10x2+200x﹣360． 故答案为：y＝﹣10x2+200x﹣360． 【点评】此题考查了从实际问题中抽象出二次函数关系式，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键． 【作业 5】（2025•商丘模拟）小亮类比实际生活中的现象，在电脑上设计了一个动画，这个动画是一个装有水的瓶子（如图1）倾斜，倒水．该水瓶是轴对称图形，两轮廓线AB、DC在同一条抛物线上，水瓶最上侧AD＝6cm，瓶底BC＝4cm，且AD∥BC，AD、BC相距12.5cm．以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． （1）求两轮廓线AB、DC所在抛物线的表达式； （2）如图（1），水瓶内水的高度为4.4cm，求水面宽EF的长； （3）将水倒出一部分后，倾斜水瓶，水面恰好经过点B，且与BC成45°角，如图（2）所示，求此时水面的宽度BG．（结果精确到1cm，参考数据：） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）令y＝4.4，得2.5x2﹣10＝4.4，解出x，求得点E，F的横坐标，即可得解； （3）利用待定系数法求出直线BG的表达式，令x+2＝2.5x2﹣10，求出点G的坐标，过点G作GH⊥x轴于点H，则GH＝4.4cm，再根据求解即可． 【解答】解：（1）故设抛物线的表达式为y＝ax2+b， ∴D（3，12.5），C（2，0）， 分别代入y＝ax2+b，得， 解得， 故y＝2.5x2﹣10； （2）令y＝4.4，得2.5x2﹣10＝4.4， ∴x1＝2.4，x2＝﹣2.4， ∴点E，F的横坐标分别为﹣2.4，2.4， ∴EF＝4.8cm； （3）∵∠GBC＝45°， ∴可设直线BG的表达式为y＝x+h， 将B（﹣2，0）代入，得0＝﹣2+h， 解得：h＝2， ∴y＝x+2， 令x+2＝2.5x2﹣10， 解得：x1＝﹣2，x2＝2.4， ∴xG＝2.4， ∴yG＝4.4， 过点G作GH⊥x轴于点H，则GH＝4.4cm， ∴， 故此时水面的宽度BG约为6cm． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，求一次函数与二次函数的交点，由函数值求自变量的值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【作业 6】（2026•攀枝花模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据题意求得的PE最大值，再根据平行线性质和锐角三角函数得到，，进而可求解； （3）根据平移性质和菱形的性质分AP、AN、AM分别为对角线三种情况求解即可． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．代入得： 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E， 令， 解得x1＝﹣1，x2＝4， ∴B（4，0），则OB＝4， 当x＝0时，y＝2，∴C（0，2），则OC＝2； 设直线BC的表达式为y＝kx+t， 则， 解得， ∴直线BC的表达式为， 设，则， ∴， ∵，0＜x＜4， ∴当x＝2时，PE最大，最大值为2，此时点P坐标为（2，3）； ∵PE∥y轴，PD⊥BC， ∴∠PED＝∠OCB，， ∵，， ∴，， ∵△PDE周长为PE+PD+DE， ∴△PDE周长的最大值为，点P坐标为（2，3）； （3）在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，符合条件的N点坐标为或或；理由如下： ∵，， ∴根据平移性质，该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，相当于向右2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后的抛物线的对称轴为， 设，N（p，s），AP2＝（﹣1﹣2）2+（0﹣3）2＝18， 当AP为对角线时，则AM＝AN， ∴， 解得， ∴点N坐标为； 当AM或AN为对角线时，AP＝AN或AP＝AM， 则或， 解得（不合题意的值已舍去）， ∴点N坐标为或， 综上，满足题意的N点坐标为或或． 【点评】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、菱形的性质、解直角三角形等知识，解答本题的关键是注意分类讨论和数形结合思想的运用． 【作业 7】（2026春•庐江县月考）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点F（x1，y1）、G（x2，y2）都在这个二次函数的图象上， ①若y1＝y2＝n，且﹣2≤x1﹣x2≤3，求n的取值范围； ②当x1＜x2时，若，求x1的值． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）①利用配方法和二次函数的性质得到该抛物线的对称轴为直线x＝1，函数有最小值为﹣4，1，利用已知条件求得0≤x1，再利用二次函数的性质解答即可得出结论； ②当x1＜x2时，过点F作x轴的平行线FM，交y轴于点N，过点G作GH⊥FM于点H，利用二次函数的性质得到F（x1，2x1﹣3）、G（x2，2x2﹣3），则FH＝x2﹣x1，GH＝y1﹣y2＝（2x1﹣3）﹣（2x2﹣3）2（x1﹣x2），利用等腰直角三角形的判定与性质得到关于x1的方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）①∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，函数有最小值为﹣4， ∵点F（x1，y1）、G（x2，y2）都在这个二次函数的图象上，y1＝y2＝n， ∴1， ∴x1+x2＝2， ∴x2＝2﹣x1， ∵﹣2≤x1﹣x2≤3， ∴﹣2≤x1﹣（2﹣x1）≤3， ∴0≤x1， 当x时，y， ∴n的取值范围为﹣4≤n． ②当x1＜x2时，过点F作x轴的平行线FM，交y轴于点N，过点G作GH⊥FM于点H，如图， ∵点F（x1，y1）、G（x2，y2）都在这个二次函数的图象上， ∴F（x1，2x1﹣3）、G（x2，2x2﹣3）， 则FH＝x2﹣x1，GH＝y1﹣y2＝（2x1﹣3）﹣（2x2﹣3）2（x1﹣x2）， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴OC＝3， ∵B（3，0）， ∴OB＝3， ∴OB＝OC， ∴△OBC为等腰直角三角形， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∵FG⊥BC， ∴∠HFG＝∠HGF＝45°， ∴△HFG为等腰直角三角形， ∴FH＝GHFG4， ∴4＝x2﹣x1，2（x1﹣x2）＝4， ∴x2＝4+x1， ∵2（x1﹣x2）＝（x1+x2）（x1﹣x2）﹣2（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）， ∴（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＝4， ∴﹣4（x1+4+x1﹣2）＝4， ∴x1． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，等腰直角三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 【作业 8】（2026•舒城县一模）已知直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点C．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A，C，与x轴的另一个交点为B． （1）求抛物线的表达式和点B的坐标； （2）点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，直线PB与y轴相交于点D，作PM⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x+3 于点N． （Ⅰ）求证：CD＝OM； （Ⅱ）若要使以C，D，N，P为顶点的四边形是平行四边形，求m的值． 【分析】（1）先求出点A，C的坐标，再利用待定系数法可得抛物线的解析式；再求出y＝0时，二次函数的自变量的值即可得点B的坐标； （2）（Ⅰ）先求出OM的长，再求出直线PB的解析式，则可得点D的坐标，然后求出CD的长即可； （Ⅱ）先求出PN的长，再求出PN∥CD，则只需PN＝CD，建立方程，解方程即可． 【解答】（1）解：直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点C， 当y＝0时，得：﹣x+3＝0， 解得：x＝3； 当x＝0时，得：y＝3， ∴A（3，0），C（0，3）， 抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A，C，与x轴的另一个交点为B．将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3， 当y＝0时，得：﹣x2+2x+3＝0， 解得：x＝3或x＝﹣1， ∴B（﹣1，0）； （2）（Ⅰ）证明：由题意，画出图形如下： ∵P（m，n）（m＞0），PM⊥x轴于点M， ∴OM＝m， 将点P（m，n）（m＞0）代入y＝﹣x2+2x+3得：n＝﹣m2+2m+3， ∴P（m，﹣m2+2m+3）， 设直线PB的解析式为y＝k0x+b0（k0≠0）， 将点P（m，﹣m2+2m+3），B（﹣1，0）代入得： ， 解得：， ∴直线PB的解析式为y＝（3﹣m）x+3﹣m， 将x＝0代入y＝（3﹣m）x+3﹣m得：y＝3﹣m， ∴D（0，3﹣m）， ∵C（0，3）， ∴CD＝3﹣（3﹣m）＝m， ∴CD＝OM； （Ⅱ）解：将x＝m代入y＝﹣x+3得：y＝3﹣m， ∴N（m，3﹣m）， ∵P（m，﹣m2+2m+3）， ∴PN＝|﹣m2+2m+3﹣（3﹣m）|＝|m2﹣3m|， ∵PN⊥x轴，CD⊥x轴， ∴PN∥CD， ∴要使以C，D，N，P为顶点的四边形是平行四边形，则只需PN＝CD，即|m2﹣3m|＝m， 解得m＝4或m＝0（不符合题意，舍去）或m＝2， 综上，m的值为2或4． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，掌握用待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象与性质是解题的关键． 【作业 9】（2026•铁岭县模拟）如图1，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l：y＝x﹣3经过B，C两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）已知P为线段BC上一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N． ①当PM的长度随t的增大而增大时，请直接写出t的取值范围； ②当时，求点P的横坐标； （3）如图2，将二次函数y＝x2+bx+c在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线l向上平移n个单位长度，得到直线l′，直接写出当直线l′与这个新图象分别有2个或3个公共点时，n的取值范围或n的值． 【分析】（1）由直线与坐标轴交点得到求出B（3，0），C（0，﹣3），再用待定系数法可得二次函数的解析式； （2）①根据题意得到P（t，t﹣3），M（t，t2﹣2t﹣3），根据两点之间距离公式得到PM＝|t（t﹣3）|，由0≤t≤3分类讨论去绝对值，将PM化为二次函数，由二次函数图象与性质求解即可得到答案； ②由①知，PM＝|t（t﹣3）|，再求出MN＝|2（t﹣1）|＝|2t﹣2|，由列绝对值方程求解，即可得到答案； （3）根据题意，得到翻折变换后的函数表达式，根据题意，作出图象，得到当直线l'经过点A或与y＝﹣x2+2x+3相切时，直线l′与新图象恰好有三个不同的交点；当直线l'经过点B时，直线l'与新图象恰好有一个交点，分类讨论求解即可得到答案． 【解答】解：（1）在y＝x﹣3中， 令x＝0得y＝﹣3； 令y＝0得x＝3； ∴B（3，0），C（0，﹣3）， 将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）①如图， ∵点P为线段BC上一点， 设其横坐标为t，则0≤t≤3， ∴P（t，t﹣3），M（t，t2﹣2t﹣3）， ∴PM＝|t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3）|＝|t2﹣3t|＝|t（t﹣3）|， 当t＝0时，t﹣3＝﹣3，则PM＝0； 当0＜t＜3时，t﹣3＜0，则， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，PM的长度随着t的增大而增大，则此情况， 当t＝3时，t﹣3＝0，则PM＝0； 综上所述，当PM的长度随t的增大而增大时，t的取值范围是； ②由①知PM＝|t2﹣3t|， ∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线， ∴MN＝|2（t﹣1）|＝|2t﹣2|，， ∴或， 则t2﹣4t+1＝0或t2﹣2t﹣1＝0， 解得或或或， ∵0≤t≤3， ∴点P的横坐标为或； （3）在y＝x2﹣2x﹣3中， 令y＝0得0＝x2﹣2x﹣3， 解得x＝﹣1或x＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为（1，﹣4）， ∴将抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方， 则翻折上来的部分抛物线顶点为（1，4）， ∴翻折上来的部分抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3（﹣1≤x≤3）， 直线l向上平移n个单位长度得到直线l′：y＝x﹣3+n，如图， ∴当直线l′经过点A或与y＝﹣x2+2x+3相切时，直线l′与新图象恰好有三个不同的交点； 当直线l′经过点B时，直线l′与新图象恰好有一个交点， ①当直线l′经过点A（﹣1，0）时，把A（﹣1，0）代入l′：y＝x﹣3+n， 得0＝﹣1﹣3+n， 解得n＝4， 即当n＝4时，直线l′与这个新图象有3个公共点； ②当l′：y＝x﹣3+n与y＝﹣x2+2x+3相切时， 联立，只有一组公共解， 即方程x2﹣x+n﹣6＝0的判别式为0， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4（n﹣6）＝0， 解得， 即当时，直线l′与这个新图象有3个公共点； ③当直线l′经过点B（3，0）时，把B（3，0）代入l′：y＝x﹣3+n， 得0＝3﹣3+n， 解得n＝0， 即当n＝0时，直线l′与这个新图象有1个公共点； ④如图，当时，直线l′与这个新图象有4个公共点； ⑤如图，当时，直线l′与这个新图象有2个公共点； ⑥如图，当0＜n＜4时，直线l′与这个新图象有2个公共点； ⑦如图，当n＜0时，直线l′与这个新图象没有公共点； 综上所述，当直线l′与这个新图象有2个公共点时：；有3个公共点时：或n＝4． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数图象与性质、两点之间距离公式、解绝对值方程、翻折变换、一元二次方程与二次函数的关系等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $