第3讲 二次函数定义及性质 优等生讲义(知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年鲁教版(五四制)九年级数学上册

第3讲 二次函数定义及性质 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年鲁教版(五四制)九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解二次函数的概念，会识别二次函数并求待定系数 · 掌握y=ax2的图像与性质，理解a对开口方向和大小的影响 · 掌握y=a(x+m)2+h的顶点式，会求顶点坐标和对称轴 · 掌握y=ax2+bx+c的一般式，会用配方法化为顶点式 · 能根据图像判断a、b、c符号及比较函数值大小 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的定义 形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数 a≠0是必要条件，b、c可为0 ax2为二次项，a为二次项系数；bx为一次项；c为常数项 判断时需先化简整理为一般形式 概念辨析例题：已知y=(n+2)xn^{2}-2是关于x的二次函数，求n 解析：需满足n2-2=2且n+2≠0，解得n=±2且n≠-2，故n=2 ☆ 2.y=ax^{2}的图像与性质 图像是一条抛物线，关于y轴对称，顶点在原点 a>0时开口向上，顶点是最低点；a<0时开口向下，顶点是最高点 |a|越大开口越小，|a|越小开口越大 a>0时x>0递增、x<0递减；a<0时相反 概念辨析例题：抛物线y=2x2与y=-2x2共有的性质是？ 解析：两者|a|相同故开口大小相同，都关于y轴对称，顶点都是(0,0) ☆ 3.y=a(x+m)^{2}+h的顶点式 顶点坐标为(-m，h)，对称轴为直线x=-m a>0开口向上有最小值h；a<0开口向下有最大值h 顶点式由y=ax2平移得到：左加右减、上加下减 抛物线上两点纵坐标相等时，两点关于对称轴对称 概念辨析例题：将y=x2-4x+7化为顶点式 解析：y=x2-4x+4+3=(x-2)2+3，顶点(2,3)，对称轴x=2 ☆ 4.y=ax^{2}+bx+c的一般式 对称轴为直线x=-，顶点坐标(-，) a的符号决定开口方向，c决定与y轴交点(0,c) 对称轴位置由a、b共同决定：左同右异 判断a、b、c符号：开口看a，y轴交点看c，对称轴看b 概念辨析例题：二次函数y=ax2+bx+c对称轴为x=1，判断2a+b的符号 解析：对称轴x=-=1，故-b=2a，即2a+b=0 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数定义 y=ax2+bx+c(a≠0) a≠0是必要条件 开口方向 a>0向上，a<0向下 |a|越大开口越小 对称轴 x=- 顶点式x=-m 顶点坐标 (-，) 配方可得 y轴交点 (0,c) c是常数项 增减性 对称轴左侧减、右侧增(a>0) a<0时相反 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的定义（第1-4题） · 先化简整理为一般形式 · 二次项系数a≠0 · 最高次数为2 · 注意x2系数不能为0 1．（2025秋•龙凤区期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝x2 C．y＝3（x﹣1）2 D．y＝（x+2）2﹣x2 2．（2024秋•南京期末）下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝x2﹣1 C． D．y＝x3+x2﹣1 3．（2023秋•沙坪坝区校级同步）已知y＝（n+2）xn2﹣2是关于x的二次函数，则n＝_____ ． 4．（2025秋•榆阳区期末）若函数是关于x的二次函数，则m的值为_________ ． 【考点2】y=ax²的图像与性质（第5-8题） · 开口方向由a的符号决定 · |a|决定开口大小 · 关于y轴对称 · 顶点在原点 5．（2026•汕尾一模）写出一条抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，共有的性质：____________________ ． 6．（2025秋•绛县期末）一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．（2025秋•沧州月考）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（　　） A．y＝1﹣x2 B．y＝x﹣1 C．y＝x2﹣3 D．y＝8x 8．（2025秋•吴兴区期末）已知抛物线y＝x2﹣4x+7． （1）将y＝x2﹣4x+7化成y＝a（x﹣b）2+k的形式； （2）若不同两点A（m，4），B（n，4）均在抛物线上，求m+n的值． 【考点3】y=a(x+m)²+h的图像与性质（第9-18题） · 顶点(-m，h)，对称轴x=-m · 比较函数值先找对称轴再比距离 · 两点纵坐标相等则关于对称轴对称 · 平移规律：左加右减、上加下减 9．（2025秋•无棣县期中）把二次函数y＝（x﹣1）2﹣3（x﹣2）化为一般形式，一次项系数为（　　） A．﹣2 B．3 C．﹣5 D．﹣7 10．（2026•靖江市校级模拟）已知点A（﹣5，y1）、B（﹣2，y2）和C（1，y3）都在二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1 11．（2025秋•新华区校级期末）在平面直角坐标系中，M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣6a2x（a＞0）上的两点，若对于4≤x1≤2a+3，x2＝5a，都有y1＜y2，则符合条件的整数a共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2025秋•泸州期末）已知点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数．y＝x2+3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2 13．（2025秋•江津区期末）已知点（﹣2，y1），（4，y2），（1，y3）都在函数y＝x2+3x+5的图象上，请将y1，y2，y3按从大到小的顺序排列 _____________ ． 14．（2025秋•金湾区期末）若二次函数y＝﹣（x﹣3）2+2的图象过A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是 _____________ .（用“＜”连接）． 15．（2026春•海淀区校级期末）点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣4x+2的图象上，若1＜x1＜2，3＜x2＜4，则y1与y2的大小关系是y1_____ y2．（填“＞”、“＜”或“＝”） 16．（2023秋•明光市期中）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，0）和（5，8）． （1）求该抛物线的表达式及顶点坐标； （2）若点P（﹣2，a）和点Q（n，d）是该抛物线上两个不同的点，已知a+d＝30，求n的值． 17．把二次函数y＝2x2﹣（x+1）2化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项． 18．（2026•漳州模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+4的图象过点A（2，t），B（3，t）． （1）求a与b之间关系； （2）已知二次函数的y＝ax2+bx+4最小值为． ①求该二次函数的表达式； ②若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：． 【考点4】y=ax²+bx+c的图像与性质（第19-31题） · 由开口方向定a的符号 · 由与y轴交点定c的符号 · 由对称轴位置定b的符号 · 特殊点代入判断结论 19．（2025秋•沛县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②a+c＜b；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤am2+bm＞a+b，（m≠1的实数）其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 20．（2026•海州区二模）已知二次函数y＝ax2+（a2﹣4a）x+a﹣5（a为常数且a≠0）的图象经过（﹣m，n）和（m，n）两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（　　） A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（0，﹣5） D．（0，4） 21．（2026•黄冈模拟）已知抛物线y＝（x﹣1）2+2上有三点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y2＞y1＞y3 22．（2026•崂山区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列结论中：①；②5a+c＞0；③若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；④点（1，2）在抛物线上时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+2x2＝﹣1．其中正确的结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 23．（2026•西安校级一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 24．（2026春•渝中区校级期末）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣5的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是_____________ ． 25．（2025•徐汇区二模）若抛物线y＝mx2﹣4mx+1在直线x＝2右侧部分是下降的，则m的取值范围是________ ． 26．（2024秋•津南区校级期末）将二次函数y＝x2﹣4x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为 _______________ ． 27．（2025秋•松滋市月考）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣4x+6上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为_____ ． 28．（2026•城厢区校级模拟）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣3）图象过点（4，m），（p，n）． （1）若m＝1，求a的值． （2）求证：am+an＞0． 29．已知二次函数，解答下列问题： （1）根据已知的图象部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）； （2）判断点（﹣2，﹣4）是否在这个函数图象上，说明理由； （3）观察图象，直接写出当y＝8时对应的函数图象上的点的坐标． 30．（2026•成武县三模）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m是常数，且m≠0）的图象经过点A（2m+1，y1）和点B（m﹣1，y2）． （1）若存在实数k，且1＜k＜2，使得y2﹣1＝k（y1﹣1），求m的取值范围； （2）当m﹣1≤x≤2m+1时，x的值增大，y的值先减小再增大，且y的最大值与y的最小值的差等于3，求m的值． 31．（2026•衢州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象经过点（2，1）． （1）求该图象的对称轴． （2）若该函数的最大值为﹣a2+2a+5，求该函数的表达式． （3）已知M（x1，m），N（x2，m）为该函数图象上两点，满足m≤3，x2＞x1，且1≤x2﹣x1≤4，求a的取值范围． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•双柏县期中）若是关于x的二次函数，则m的值为_____ ． 【练习 2】（2026•沈河区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2a2x+1（a＞0）上有两点M（m1，n1）和N（m2，n2），当m1＝6a，1≤m2≤2时，都有n1＞n2成立，则a的取值范围是____________________ ． 【练习 3】（2024秋•东城区校级期末）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象经过点（3，1），（1，1）和（2，5）．则这个二次函数的解析式为 ____________________ ． 【练习 4】（2026•苏州校级模拟）已知关于x的二次函数y＝2（x﹣1）2+3，当﹣1＜x＜2时，函数y的取值范围为___________ ． 【练习 5】（2025秋•舟山期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y＜3时，则x的取值范围是 _____________ ． 💯 课后巩固 【作业 1】（2026•花山区校级三模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，则（　　） A．abc＞0 B．9a+3b+c＞0 C．2a+b＝0 D．3a+c＞0 【作业 2】（2026•柳州模拟）关于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标是（1，3） D．x＞1时，y随x增大而增大 【作业 3】（2026•思明区校级二模）在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0），则下列结论中正确的是（　　） A．当x1＜0且y1•y2＜0时，则0＜x2＜2 B．当x1＜x2＜1时，则y1＜y2 C．当x1＜0且y1•y2＞0时，则0＜x2＜2 D．当x1＞x2＞1时，则y1＜y2 【作业 4】（2026春•渝中区校级期末）在同一坐标系内，二次函数y＝ax2+5x+b的图象与一次函数y＝ax+b可能是（　　） A． B． C． D． 【作业 5】（2026•鸠江区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y＝ax+c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【作业 6】（2025秋•武都区期末）若抛物线y＝（x﹣2）2+（1﹣m）的顶点在第一象限，则m的取值范围为 ________ ． 【作业 7】（2025秋•花都区期末）某二次函数的图象如图所示，已知图象过点（0，0）和点（2，0），则该二次函数的对称轴为直线x＝_____ ． 【作业 8】（2024秋•秦淮区期末）如图，点A，B和点C，D分别在和的图象上．若点A，C的横坐标均为﹣2，点B，D的横坐标均为4，则线段AC，BD与两条抛物线围成的阴影部分的面积是_______ ． 【作业 9】（2025秋•奉化区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当0＜x＜3时，y的取值范围是___________ ． 【作业 10】（2024秋•浦东新区期末）二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣1的图象上有两个点（2，y1）、（3，y2），那么y1_____ y2（填“＞”“＝”或“＜”）． 【作业 11】（2026•阳谷县校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x﹣5，点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）都在该函数的图象上，且x1+x2＝2． （1）求函数图象的顶点； （2）若点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）与直线x＝m的距离恒相等，求m的值； （3）若y1≥y2，求y1的最小值． 【作业 12】（2025秋•浦东新区期中）用配方法将二次函数y＝2x2﹣4x+1化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【作业 13】（2025秋•龙湾区期中）已知关于x的二次函数y＝﹣x2+2bx+c（b，c为常数）， （1）若函数图象对称轴为直线x＝2，求b的值． （2）若该函数解析式可以写成y＝﹣（x﹣h）2+1，求证：c+b2＝1． （3）设m＞0，n＞0，在（2）的条件下，当h﹣n≤x≤h+m时，函数的最大值与最小值差为10，求m+n的最大值． 【作业 14】（2025春•广饶县校级月考）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）动点M在第四象限内的抛物线上，求四边形ACMB面积最大时点M的坐标． 复习建议 · 二次函数三条件：整式、一个未知数、最高次2且a≠0 · 顶点式y=a(x-m)2+h顶点(m,h)，对称轴x=m · 一般式配方：y=a(x+)2+ · 比较函数值：先找对称轴，再比各点到对称轴的距离 · 判断abc符号：开口看a，y轴交点看c，对称轴左同右异看b 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 二次函数定义及性质 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年鲁教版(五四制)九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解二次函数的概念，会识别二次函数并求待定系数 · 掌握y=ax2的图像与性质，理解a对开口方向和大小的影响 · 掌握y=a(x+m)2+h的顶点式，会求顶点坐标和对称轴 · 掌握y=ax2+bx+c的一般式，会用配方法化为顶点式 · 能根据图像判断a、b、c符号及比较函数值大小 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的定义 形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数 a≠0是必要条件，b、c可为0 ax2为二次项，a为二次项系数；bx为一次项；c为常数项 判断时需先化简整理为一般形式 概念辨析例题：已知y=(n+2)xn^{2}-2是关于x的二次函数，求n 解析：需满足n2-2=2且n+2≠0，解得n=±2且n≠-2，故n=2 ☆ 2.y=ax^{2}的图像与性质 图像是一条抛物线，关于y轴对称，顶点在原点 a>0时开口向上，顶点是最低点；a<0时开口向下，顶点是最高点 |a|越大开口越小，|a|越小开口越大 a>0时x>0递增、x<0递减；a<0时相反 概念辨析例题：抛物线y=2x2与y=-2x2共有的性质是？ 解析：两者|a|相同故开口大小相同，都关于y轴对称，顶点都是(0,0) ☆ 3.y=a(x+m)^{2}+h的顶点式 顶点坐标为(-m，h)，对称轴为直线x=-m a>0开口向上有最小值h；a<0开口向下有最大值h 顶点式由y=ax2平移得到：左加右减、上加下减 抛物线上两点纵坐标相等时，两点关于对称轴对称 概念辨析例题：将y=x2-4x+7化为顶点式 解析：y=x2-4x+4+3=(x-2)2+3，顶点(2,3)，对称轴x=2 ☆ 4.y=ax^{2}+bx+c的一般式 对称轴为直线x=-，顶点坐标(-，) a的符号决定开口方向，c决定与y轴交点(0,c) 对称轴位置由a、b共同决定：左同右异 判断a、b、c符号：开口看a，y轴交点看c，对称轴看b 概念辨析例题：二次函数y=ax2+bx+c对称轴为x=1，判断2a+b的符号 解析：对称轴x=-=1，故-b=2a，即2a+b=0 📋 知识总结表 【考点1】二次函数的定义（第1-4题） · 先化简整理为一般形式 · 二次项系数a≠0 · 最高次数为2 · 注意x2系数不能为0 1．（2025秋•龙凤区期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝x2 C．y＝3（x﹣1）2 D．y＝（x+2）2﹣x2 【分析】根据二次函数的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、当a≠0时，y＝ax2+bx+c是二次函数，故A不符合题意； B、y＝x2，不是二次函数，故B不符合题意； C、y＝3（x﹣1）2，是二次函数，故C符合题意； D、y＝（x+2）2﹣x2＝4x+4，是一次函数，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟知形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数是解题的关键． 2．（2024秋•南京期末）下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝x2﹣1 C． D．y＝x3+x2﹣1 【分析】一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，据此进行判断即可． 【解答】解：y＝2x+1，y，y＝x3+x2﹣1不符合二次函数的定义，它们不是二次函数； y＝x2﹣1符合二次函数的定义，它是二次函数； 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 3．（2023秋•沙坪坝区校级同步）已知y＝（n+2）xn2﹣2是关于x的二次函数，则n＝　2　 ． 【分析】根据二次函数的定义可得n2﹣2＝2且n+2≠0，求解即可． 【解答】解：∵y＝（n+2）xn2﹣2是关于自变量x的二次函数， ∴n2﹣2＝2且n+2≠0， 解得n＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的解析式是解题的关键． 4．（2025秋•榆阳区期末）若函数是关于x的二次函数，则m的值为　﹣3或2　 ． 【分析】一般地，形如y＝ax2+bx+c（其中a、b、c都是常数，且a≠0）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案． 【解答】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得m＝﹣3或m＝2， 故答案为：﹣3或2． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【考点2】y=ax²的图像与性质（第5-8题） · 开口方向由a的符号决定 · |a|决定开口大小 · 关于y轴对称 · 顶点在原点 5．（2026•汕尾一模）写出一条抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，共有的性质：　顶点坐标为（0，0）（答案不唯一）　 ． 【分析】三条抛物线的解析式均为y＝ax2的形式，因此它们都具有相同的对称轴和顶点，即可作答． 【解答】解：∵三条抛物线的解析式均为y＝ax2的形式， ∴二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）， 故答案为：顶点坐标为（0，0）（答案不唯一）． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 6．（2025秋•绛县期末）一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx的图象相比是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，a＜0，，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查抛物线和直线的性质，熟练掌握一次函数与二次函数性质是关键． 7．（2025秋•沧州月考）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（　　） A．y＝1﹣x2 B．y＝x﹣1 C．y＝x2﹣3 D．y＝8x 【分析】根据二次函数的性质和一次函数的性质即可求解． 【解答】解：A．y＝1﹣x2，a＝﹣1＜0，对称轴为y轴，开口向下，当x＞0时，y随x的增大而减小，正确，符合题意； B．y＝x﹣1，k＝1＞0，y随x的增大而增大，不正确，不符合题意； C．y＝x2﹣3，a＝1＞0，对称轴为y轴，开口向上，当x＞0时，y随x的增大而增大，不正确，不符合题意； D．y＝8x，k＝8＞0，y随x的增大而增大，不正确，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数与一次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 8．（2025秋•吴兴区期末）已知抛物线y＝x2﹣4x+7． （1）将y＝x2﹣4x+7化成y＝a（x﹣b）2+k的形式； （2）若不同两点A（m，4），B（n，4）均在抛物线上，求m+n的值． 【分析】（1）利用配方法将抛物线的解析式化成顶点式即可； （2）令y＝4得到关于x的方程，然后根据根与系数的关系求解即可． 【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2﹣4+7＝（x﹣2）2+3，即y＝（x﹣2）2+3， 即将y＝x2﹣4x+7化成y＝a（x﹣b）2+k的形式为y＝（x﹣2）2+3； （2）令y＝4，则4＝x2﹣4x+7， ∵不同两点A（m，4），B（n，4）均在抛物线上， ∴m、n是方程4＝x2﹣4x+7的根，即m、n是方程x2﹣4x+3＝0的根， ∴m+n＝4， 即m+n的值为4． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数的三种形式，灵活运用相关知识是解题的关键． 【考点3】y=a(x+m)²+h的图像与性质（第9-18题） · 顶点(-m，h)，对称轴x=-m · 比较函数值先找对称轴再比距离 · 两点纵坐标相等则关于对称轴对称 · 平移规律：左加右减、上加下减 9．（2025秋•无棣县期中）把二次函数y＝（x﹣1）2﹣3（x﹣2）化为一般形式，一次项系数为（　　） A．﹣2 B．3 C．﹣5 D．﹣7 【分析】将二次函数化为一般形式，需展开并合并同类项，即可得到一次项系数． 【解答】解：∵y＝（x﹣1）2﹣3（x﹣2）＝x2﹣2x+1﹣3x+6＝x2﹣5x+7， ∴y＝x2﹣5x+7， ∴一次项系数为﹣5． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的解析式，完全平方公式，解题的关键是掌握二次函数的一般形式． 10．（2026•靖江市校级模拟）已知点A（﹣5，y1）、B（﹣2，y2）和C（1，y3）都在二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1 【分析】利用二次函数的增减性比较大小即可． 【解答】解：由题知：抛物线的对称轴为直线， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∴离对称轴越远则函数值越小， 题中三个点离直线x＝﹣1距离由远及近为A、C、B， ∴y1＜y3＜y2， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解在二次函数中比较函数值大小的方法并灵活运用是解决问题的关键． 11．（2025秋•新华区校级期末）在平面直角坐标系中，M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣6a2x（a＞0）上的两点，若对于4≤x1≤2a+3，x2＝5a，都有y1＜y2，则符合条件的整数a共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先确定对称轴，对于4≤x1≤2a+3，x2＝5a，都有y1＜y2，即抛物线在4≤x1≤2a+3上的函数值均小于，通过分析抛物线性质，从而解得a的范围，再求整数解即可． 【解答】解：在平面直角坐标系中，M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣6a2x（a＞0）上的两点， ∵y＝ax2﹣6a2x＝a（x﹣3a）2﹣9a3，开口向上， 对称轴为直线x3a， ∵x2＝5a， ∴， 根据对称性判断当x＝a时，y＝﹣5a3， ∴对于4≤x1≤2a+3，， 即， 解得1＜a＜4， ∵a为整数且a＞0， ∴a＝3或2， ∴若对于4≤x1≤2a+3，x2＝5a，都有y1＜y2，则符合条件的整数a共有2个． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 12．（2025秋•泸州期末）已知点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数．y＝x2+3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，再通过计算各点的函数值来比较大小． 【解答】解：当x＝﹣1时，， 当x＝2时，， 当x＝3时，， ∴y1＜y2＜y3， 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的函数值计算方法是解题的关键． 13．（2025秋•江津区期末）已知点（﹣2，y1），（4，y2），（1，y3）都在函数y＝x2+3x+5的图象上，请将y1，y2，y3按从大到小的顺序排列 y2＞y3＞y1 ． 【分析】根据函数的解析式求出函数图象的对称轴，根据函数的性质得出图象的开口向上，当x时，y随x的增大而增大，根据二次函数的对称性和增减性即可得到． 【解答】解：∵y＝x2+3x+5， ∴函数图象的对称轴是直线x，图象的开口向上， ∴当x时，y随x的增大而增大， ∵点（﹣2，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（﹣1，y1），且﹣1＜1＜4， ∴y2＞y3＞y1， 故答案为：y2＞y3＞y1． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键． 14．（2025秋•金湾区期末）若二次函数y＝﹣（x﹣3）2+2的图象过A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是 y1＜y2＜y3 .（用“＜”连接）． 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝3，根据x＜3时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【解答】解：∵y＝﹣（x﹣3）2+2， ∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝3， A（4，y3）关于直线x＝3的对称点是（2，y3）， ∵﹣1＜1＜2＜3， 在对称轴的左侧y随x的增大而增大， ∴y1＜y2＜y3， 故答案为：y1＜y2＜y3，． 【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 15．（2026春•海淀区校级期末）点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣4x+2的图象上，若1＜x1＜2，3＜x2＜4，则y1与y2的大小关系是y1　＜　 y2．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【分析】先求出抛物线对称轴x＝2，开口向上，离对称轴越远函数值越大，分别判断x1、x2到对称轴的距离长短，对比y1，y2大小， 【解答】解：y＝x2﹣4x+2，对称轴x2， ∵a＝1＞0， ∴二次函数图象开口向上， 1＜x1＜2，x1到对称轴距离：0＜|x1﹣2|＜1， 3＜x2＜4，x2到对称轴距离：1＜|x2﹣2|＜2， x2离对称轴更远，函数值更大，故y1＜y2． 故答案为：＜． 【点评】本题考查二次函数对称轴、开口方向与函数值大小比较，熟练掌握抛物线上点到对称轴距离和函数值的变化规律是解题的关键． 16．（2023秋•明光市期中）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，0）和（5，8）． （1）求该抛物线的表达式及顶点坐标； （2）若点P（﹣2，a）和点Q（n，d）是该抛物线上两个不同的点，已知a+d＝30，求n的值． 【分析】（1）根据抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，0）和（5，8），可以求得b，c的值，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的顶点坐标； （2）根据（1）中的抛物线解析式，求出a，再求出d即可求出n． 【解答】解：（1）y＝x2+bx+c经过点（1，0）和（5，8）， ∴， 解得， ∴y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴该抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）， 即抛物线的函数表达式是y＝x2﹣4x+3，顶点坐标为（2，﹣1）； （2）由（1）知：y＝（x﹣2）2﹣1， 把P（﹣2，a）代入得：a＝（﹣2﹣2）2﹣1＝15， ∵a+d＝30， ∴d＝15， 把Q（n，15）代入得：15＝（n﹣2）2﹣1， 解得：n＝6或n＝﹣2， 当n＝﹣2时P，Q重合， 故n＝6． 【点评】本题考查待定系数法、顶点坐标以及二次函数的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 17．把二次函数y＝2x2﹣（x+1）2化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项． 【分析】利用完全平方公式、合并同类项把二次函数化为一般形式，再根据二次项系数、一次项系数、常数项的概念解答． 【解答】解：y＝2x2﹣（x+1）2 ＝2x2﹣x2﹣2x﹣1 ＝x2﹣2x﹣1， 二次项系数为1，一次项系数为﹣2，常数项为﹣1． 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确理解二次函数的一般式化是解题的关键 18．（2026•漳州模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+4的图象过点A（2，t），B（3，t）． （1）求a与b之间关系； （2）已知二次函数的y＝ax2+bx+4最小值为． ①求该二次函数的表达式； ②若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：． 【分析】（1）由点A（2，t），B（3，t）在该函数的图象上，所以，得到，即可解答； （2）①根据函数图象有最小值为，得到，由此求出a的值，得到函数解析式；②由对称性得到x1+x2＝5，代入等式左边和右边即可判断． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象的对称轴为， ， ， ∴； （2）①由（1）可得b＝﹣5a， ∴， 则函数图象的顶点坐标为． ∴a＞0，且， 解得a＝1，或a＝﹣26（舍去）． ∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣5x+4． ②证明：∵点M（x1，m）在函数y＝x2﹣5x+4的图象上， ∴． 由①知，点M（x1，m），N（x2，m）关于直线对称， 不妨设x1＜x2，则， ∴x1+x2＝5，即x1＝5﹣x2， ∴， ∴． 【点评】此题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【考点4】y=ax²+bx+c的图像与性质（第19-31题） · 由开口方向定a的符号 · 由与y轴交点定c的符号 · 由对称轴位置定b的符号 · 特殊点代入判断结论 19．（2025秋•沛县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②a+c＜b；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤am2+bm＞a+b，（m≠1的实数）其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0， ∵0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故此选项错误； ②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故a+c＜b，正确； ③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故此选项正确； ④由对称轴为直线x＝1， 1， ∴2a+b＝0，故此选项正确； ⑤∵x＝1时，y的值最大． 当m≠1的实数时a+b+c＞am2+bm+c， ∴a+b＞am2+bm，故此选项错误． 故②③④正确． 故选：B． 【点评】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定． 20．（2026•海州区二模）已知二次函数y＝ax2+（a2﹣4a）x+a﹣5（a为常数且a≠0）的图象经过（﹣m，n）和（m，n）两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（　　） A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（0，﹣5） D．（0，4） 【分析】由抛物线的对称性求得对称轴为直线x＝0，即可得到0，即a2﹣4a＝0，求得a＝4，即可求得a﹣5＝﹣1，从而求得二次函数与y轴的交点坐标为（0，﹣1）， 【解答】解：∵（﹣m，n）和（m，n）两点关于抛物线对称轴对称， ∴抛物线对称轴为直线x0， ∴0，即a2﹣4a＝0， 解得a＝4或a＝0（舍去）， ∴a﹣5＝﹣1， ∴二次函数与y轴的交点坐标为（0，﹣1）， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，利用对称轴公式求得a的值是解题的关键． 21．（2026•黄冈模拟）已知抛物线y＝（x﹣1）2+2上有三点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y2＞y1＞y3 【分析】先确定抛物线的对称轴，再计算各点到对称轴的距离，根据距离大小判断纵坐标的大小关系． 【解答】解：抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1． 点（﹣2，y1）到对称轴的距离为|﹣2﹣1|＝3； 点（﹣1，y2）到对称轴的距离为|﹣1﹣1|＝2； 点（2，y3）到对称轴的距离为|2﹣1|＝1； ∵抛物线开口向上，点到对称轴的距离越远，纵坐标越大，且3＞2＞1， ∴y1＞y2＞y3； 故选：A． 【点评】本题考查二次函数y＝a（x﹣h）2+k的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22．（2026•崂山区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列结论中：①；②5a+c＞0；③若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；④点（1，2）在抛物线上时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+2x2＝﹣1．其中正确的结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用抛物线开口向上得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到，即可判断①；由x＝1时，y＞0得a+b+c＞0，再结合b＝2a得3a+c＞0，由于a＞0，所以5a+c＞0，即可判断②；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c取得最小值，所以a﹣b+c≤at2+bt+c，化简后即可判断③；根据对称性得二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的一个交点为（﹣3，2），所以x1＝﹣3，x2＝1，代入x1+2x2中即可判断④． 【解答】解：①∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，即， ∴，故①正确； ②∵x＝1时，y＝a+b+c＞0， ∴a+b+c＞0， 而b＝2a， ∴3a+c＞0， ∵a＞0， ∴5a+c＞0，故②正确； ③∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c取得最小值， ∴a﹣b+c≤at2+bt+c（t为任意实数）， 即a﹣bt≤at2+b，故③正确； ④∵点（1，2）在抛物线上时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2）， ∴抛物线与直线y＝2的一个交点为（1，2）， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线与直线y＝2的一个交点为（﹣3，2）， 即x1＝1，x2＝﹣3， ∴x1+2x2＝﹣3+2×1＝﹣1，故④正确； 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 23．（2026•西安校级一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的解析式求得顶点坐标和对称轴，结合抛物线开口向上，二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，得出，从而得出答案． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3＝（x﹣m）2+2m+3， ∴图象开口向上，顶点为（m，2m+3），对称轴为直线x＝m， ∵二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴m． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，掌握抛二次函数的性质是解题的关键． 24．（2026春•渝中区校级期末）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣5的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是y1＜y2＜y3 ． 【分析】根据二次函数的性质进行判断即可． 【解答】解：由题知， 因为二次函数解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣5， 所以抛物线的对称轴为直线x＝1且开口向下， 则抛物线上的点，离对称轴越远，其纵坐标约小． 因为点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣5的图象上， 则1﹣（﹣2）＝3，1﹣（﹣1）＝2，2﹣1＝1且3＞2＞1， 所以y1＜y2＜y3． 故答案为：y1＜y2＜y3． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 25．（2025•徐汇区二模）若抛物线y＝mx2﹣4mx+1在直线x＝2右侧部分是下降的，则m的取值范围是m＜0　 ． 【分析】求得抛物线的对称轴为直线x＝2，然后根据二次函数的性质即可判断m＜0． 【解答】解：抛物线y＝mx2﹣4mx+1的对称轴为直线x2， ∵抛物线y＝mx2﹣4mx+1在直线x＝2右侧部分是下降的， ∴抛物线开口向下， ∴m＜0， 故答案为：m＜0． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 26．（2024秋•津南区校级期末）将二次函数y＝x2﹣4x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为 y＝（x﹣2）2﹣2　 ． 【分析】直接利用配方法确定答案即可． 【解答】解：y＝x2﹣4x+2＝x2﹣4x+4﹣4+2＝（x﹣2）2﹣2， 故答案为：y＝（x﹣2）2﹣2． 【点评】本题考查了二次函数的解析式之一般式化为顶点式，利用配方法整理求解即可．解题的关键在于利用配方法先提出二次项的系数，凑成完全平方式． 27．（2025秋•松滋市月考）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣4x+6上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为　2　 ． 【分析】先依据配方法确定出函数的最小值，依据矩形的对角线相等可得到BD＝AC，然后确定出AC的最小值即可． 【解答】解：∵y＝x2﹣2x+6＝（x﹣2）2+2， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为（2，2）， ∴当x＝2时，y有最小值2， ∴AC的最小值为2． ∵AC，BD是矩形ABCD的对角线， ∴BD＝AC， ∴BD的最小值为2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查的是矩形的性质，配方法求二次函数的最值，求得AC的最小值是解题的关键． 28．（2026•城厢区校级模拟）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣3）图象过点（4，m），（p，n）． （1）若m＝1，求a的值． （2）求证：am+an＞0． 【分析】（1）根据题意当m＝1时，将点（4，1）代入y＝a（x﹣1）（x﹣3）即可得出a的值； （2）首先，把点（4，m），（p，n）分别代入函数y＝a（x﹣1）（x﹣3），得m＝3a，n＝a（p﹣1）（p﹣3），然后，再将m，n代入am+an，得am+an＝a2[（p﹣2）2+2]，最后，由a2＞0，（p﹣2）2+2＞0可证得结论． 【解答】（1）解：当m＝1，点坐标（4，m）即为（4，1）， ∵二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣3）的图象过点（4，1）， ∴1＝a（4﹣1）（4﹣3）， 解得； （2）证明：根据题意，m＝a（4﹣1）（4﹣3）＝3a，n＝a（p﹣1）（p﹣3）， 则am+an＝3a2+a2（p﹣1）（p﹣3）＝a2（p2﹣4p+6）＝a2[（p﹣2）2+2]， ∵a≠0， ∴a2＞0， 又∵（p﹣2）2≥0， ∴（p﹣2）2+2＞0， ∴a2[（p﹣2）2+2]＞0， ∴am+an＞0． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 29．已知二次函数，解答下列问题： （1）根据已知的图象部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）； （2）判断点（﹣2，﹣4）是否在这个函数图象上，说明理由； （3）观察图象，直接写出当y＝8时对应的函数图象上的点的坐标． 【分析】（1）根据对称性可直接画出图象； （2）代入横坐标或纵坐标都可判断； （3）代入y＝8即可求出坐标． 【解答】解：（1）这个函数图象的另一部分如图所示； （2）点（﹣2，﹣4）不在这个函数图象上；理由如下： 当x＝﹣2时，y2， ∴点（﹣2，﹣4）不在这个函数图象上； （3）当y＝8时，8， ∴x＝±4 ∴y＝8时，对应的函数图象上的点的坐标为：（4，8）和（﹣4，8） 【点评】本题考查了二次函数的图象，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． 30．（2026•成武县三模）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m是常数，且m≠0）的图象经过点A（2m+1，y1）和点B（m﹣1，y2）． （1）若存在实数k，且1＜k＜2，使得y2﹣1＝k（y1﹣1），求m的取值范围； （2）当m﹣1≤x≤2m+1时，x的值增大，y的值先减小再增大，且y的最大值与y的最小值的差等于3，求m的值． 【分析】（1）先计算y1，y2，用m表示，进而可得，分别代入得出关于m的不等式组，解不等式即可； （2）根据当m﹣1≤x≤2m+1时，x的值增大，y的值先减小再增大，可得点B（m﹣1，y2）在抛物线对称轴x＝m的左侧，点A（2m+1，y1）在抛物线对称轴x＝m的右侧．当x＝m时，y的最小值是﹣m2．然后分两种情况讨论y的最大值，由该二次函数的最大值与最小值的差为3，列出方程求解． 【解答】解：（1）把x＝2 m+1代入得：y1＝2m+1；把x＝m﹣1代入得：， ∵y2﹣1＝k（y1﹣1）， ∴， ∵1＜k＜2， ∴， ∴若存在实数k，且1＜k＜2，使得y2﹣1＝k（y1﹣1），则﹣4＜m＜﹣2； （2）∵二次函数y＝x2﹣2mx的对称轴为， 当m﹣1≤x≤2m+1时，x的值增大，y的值先减小再增大， ∴点B（m﹣1，y2）在抛物线对称轴x＝m的左侧，点A（2m+1，y1）在抛物线对称轴x＝m的右侧， ∴当x＝m时，y的最小值是﹣m2， 若2m+1﹣m＞m﹣（m﹣1），即m＞0， 当x＝2 m+1时，y的最大值是（2m+1）2﹣2m（2m+1）＝2m+1， ∴2m+1﹣（﹣m2）＝3． 解得：，（舍去）， 若2m+1﹣m＜m﹣（m﹣1），即m＜0， 当x＝m﹣1时，y的最大值是（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）＝1﹣m2， ∴1﹣m2﹣（﹣m2）＝1≠3． 综上，当m﹣1≤x≤2m+1时，则m的值是． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 31．（2026•衢州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象经过点（2，1）． （1）求该图象的对称轴． （2）若该函数的最大值为﹣a2+2a+5，求该函数的表达式． （3）已知M（x1，m），N（x2，m）为该函数图象上两点，满足m≤3，x2＞x1，且1≤x2﹣x1≤4，求a的取值范围． 【分析】（1）代入点（2，1）到y＝ax2+bx+1（a≠0）整理得到b＝﹣2a，再根据二次函数的对称轴公式即可求解； （2）由（1）得y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，结合函数有最大值可知a＜0，且当x＝1时，二次函数取得最大值1﹣a，结合题意列出关于a的方程，求出a的值即可解答； （3）根据二次函数的对称性可得，则x1＝2﹣x2结合1≤x2﹣x1≤4求得则有当时，m≤3恒成立，再分a＞0和a＜0两种情况讨论，求出y在3范围内的最大值，进而列出关于a的不等式，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象经过点（2，1）， ∴1＝4a+2b+1， ∴b＝﹣2a， ∴1， ∴该图象的对称轴为直线x＝1； （2）由（1）可知二次函数y＝ax2﹣2ax+1， ∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a， ∴该函数的最值为1﹣a， ∵该函数的最大值为﹣a2+2a+5， ∴a＜0，1﹣a＝﹣a2+2a+5， 整理得a2﹣3a﹣4＝0， （a﹣4）（a+1）＝0， 解得a＝﹣1或a＝4（舍去）， ∴二次函数y＝﹣x2+2x+1； （3）由题意，∵M（x1，m），N（x2，m）为该函数图象上两点，且点M和点N纵坐标相同， ∴点M和点N关于对称轴x＝1对称， ∴，即x1+x2＝2， ∴x1＝2﹣x2， 若1≤x2﹣x1≤4， ∴1≤x2﹣（2﹣x2）≤4，解得， ∴当时，满足m≤3， ①若a＞0，则y＝ax2﹣2ax+1， 在范围内y随x的增大而增大， ∴当x＝3时，y有最大值9a﹣6a+1＝3a+1， ∴3a+1≤3，解得， ∴； ②若a＜0，则y＝ax2﹣2ax+1， 在范围内y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值， ∴，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为或． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•双柏县期中）若是关于x的二次函数，则m的值为　2　 ． 【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【解答】解：若是关于x的二次函数， 则m2﹣2＝2，且m+2≠0， 解得：m＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键． 【练习 2】（2026•沈河区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2a2x+1（a＞0）上有两点M（m1，n1）和N（m2，n2），当m1＝6a，1≤m2≤2时，都有n1＞n2成立，则a的取值范围是a　 ． 【分析】根据两点到对称轴的距离，结合1≤m2≤2，都有n1＞n2成立，列不等式进行解答即可． 【解答】解：∵抛物线表达式为：y＝ax2﹣2a2x+1（a＞0）， ∴对称轴为直线：x＝a， ∴点M到对称轴的距离为|6a﹣a|＝5a， ∵a＞0，要使n1＞n2恒成立， ∴点M到对称轴的距离要大于点N到对称轴的距离， ∴5a＞|m2﹣a|， 解不等式得：﹣4a＜m2＜6a， ∵1≤m2≤2， ∴， ∴， ∴a． 故答案为：a． 【点评】本题考查二次函数根的分布，根据两根到对称轴距离列不等式，解题关键是要根据题意列出不等式． 【练习 3】（2024秋•东城区校级期末）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象经过点（3，1），（1，1）和（2，5）．则这个二次函数的解析式为 f（x）＝﹣4x2+16x﹣11　 ． 【分析】把三个已知点的坐标分别代入f（x）＝ax2+bx+c得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可． 【解答】解：∵二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象经过点（3，1），（1，1）和（2，5）． ∴， 解得， ∴这个二次函数的解析式为y＝﹣4x2+16x﹣11． 故答案为：f（x）＝﹣4x2+16x﹣11． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． 【练习 4】（2026•苏州校级模拟）已知关于x的二次函数y＝2（x﹣1）2+3，当﹣1＜x＜2时，函数y的取值范围为　3≤y＜11　 ． 【分析】直接利用二次函数的性质结合二次函数图象上点的坐标特点，得出y的取值范围． 【解答】解：∵关于x的二次函数y＝2（x﹣1）2+3，图象开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x＝1时，函数有最小值3， 当x＝﹣1时，y＝11， ∴当﹣1＜x＜2时，函数y的取值范围为3≤y＜11． 故答案为：3≤y＜11． 【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特点，正确得出二次函数最小值是解题关键． 【练习 5】（2025秋•舟山期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y＜3时，则x的取值范围是 x＜﹣2或x＞0　 ． 【分析】先根据对称轴求出当y＝3时x的值，再求出y＜3时，x的取值即可． 【解答】解：∵对称轴为x＝﹣1， ∴当y＝3时，x＝0或﹣2，如图， ∴当y＜3时，x＜﹣2或x＞0． 故答案为：x＜﹣2或x＞0． 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，根据对称轴求出x的值是解题关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 二次函数三条件：整式、一个未知数、最高次2且a≠0 · 顶点式y=a(x-m)2+h顶点(m,h)，对称轴x=m · 一般式配方：y=a(x+)2+ · 比较函数值：先找对称轴，再比各点到对称轴的距离 · 判断abc符号：开口看a，y轴交点看c，对称轴左同右异看b 【作业 1】（2026•花山区校级三模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，则（　　） A．abc＞0 B．9a+3b+c＞0 C．2a+b＝0 D．3a+c＞0 【分析】根据二次函数图像的性质，由开口方向确定 a 的符号，由对称轴确定 a 与 b 的关系，由与 y 轴交点确定 c 的符号，结合特殊点的函数值进行判断． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0． ∵对称轴是直线 x＝1， ∴，即 b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故C正确，符合题意． ∵a＜0， ∴b＝﹣2a＞0． ∵抛物线与 y 轴交点在x轴上方， ∴c＞0． ∴abc＜0，故A错误，不符合题意． 由图可知，当 x＝﹣1 时，y＜0，即 a﹣b+c＜0． 将 b＝﹣2a 代入得 a﹣（﹣2a）+c＜0，即 3a+c＜0，故D错误，不符合题意． 根据抛物线的对称性，当 x＝﹣1 时，y＜0，则当x＝3时，y＜0，即9a+3b+c＜0，故B错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 2】（2026•柳州模拟）关于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标是（1，3） D．x＞1时，y随x增大而增大 【分析】由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标，进一步可得出其增减性，即可得出答案． 【解答】解：抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3中，根据解析式逐项分析判断如下； A．因为﹣2＜0，所以抛物线开口向下，不符合题意； B．由题意知：抛物线的对称轴为直线x＝1，不符合题意； C．由题意知：抛物线的顶点坐标是（1，3），符合题意； D．x＞1时，y随x增大而减小，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【作业 3】（2026•思明区校级二模）在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0），则下列结论中正确的是（　　） A．当x1＜0且y1•y2＜0时，则0＜x2＜2 B．当x1＜x2＜1时，则y1＜y2 C．当x1＜0且y1•y2＞0时，则0＜x2＜2 D．当x1＞x2＞1时，则y1＜y2 【分析】抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）开口向上，顶点为（1，﹣a），与x轴交于（0，0）和（2，0），分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可． 【解答】解：由条件可知抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把x＝1代入y＝ax2﹣2ax，得y＝a﹣2a＝﹣a， ∴顶点为（1，﹣a）， ∵两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）， ∴当x1＜0且y1•y2＜0时，y1＞0（因x＜0时抛物线在x轴上方）， 故y2＜0， 此时0＜x2＜2 故A选项的结论正确，符合题意； 当x1＜x2＜1时，抛物线在x＜1时递减， 故x2越大，y2越小， 即y1＞y2， 故B选项的结论错误，不符合题意； 当x1＜0且y1•y2＞0时，y2＞0， 此时x2应满足x2＜0或x2＞2， 故C选项的结论错误，不符合题意； 当x1＞x2＞1时，抛物线在x＞1时递增， 故x1越大，y1越大， 即y1＞y2， 故D选项的结论错误，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 4】（2026春•渝中区校级期末）在同一坐标系内，二次函数y＝ax2+5x+b的图象与一次函数y＝ax+b可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，令x＝0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解． 【解答】解：x＝0时，两个函数的函数值y＝b， ∴两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误； 由A、C选项可知，抛物线开口方向向上， ∴a＞0， ∴一次函数y＝ax+b经过第一三象限， ∴A选项错误，C选项正确． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 【作业 5】（2026•鸠江区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y＝ax+c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据抛物线的开口方向和与y轴的交点可得a＜0，c＞0，可知一次函数y＝ax+c的图象经过一、二、四象限，再根据对称轴可得二次函数y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2ax+c，然后结合图象可得y＝a+2a+c＝3a+c＜0，最后根据一次函数y＝ax+c，当x＝3时，y＝3a+c＜0判断即可． 【解答】解：由条件可知a＜0．c＞0， ∴一次函数y＝ax+c的图象经过一、二、四象限． ∵抛物线的对称轴是， ∴b＝﹣2a，即二次函数y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2ax+c． 当x＝﹣1时，y＝a+2a+c＝3a+c＜0． 对于一次函数y＝ax+c，当x＝3时，y＝3a+c＜0， 所以图象D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数与一次函数的图象，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 6】（2025秋•武都区期末）若抛物线y＝（x﹣2）2+（1﹣m）的顶点在第一象限，则m的取值范围为 m＜1　 ． 【分析】直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列出不等式解答即可． 【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2+（1﹣m）， ∴顶点坐标为（2，1﹣m）， ∵顶点在第一象限， ∴1﹣m＞0， ∴m的取值范围为m＜1． 故答案为：m＜1． 【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【作业 7】（2025秋•花都区期末）某二次函数的图象如图所示，已知图象过点（0，0）和点（2，0），则该二次函数的对称轴为直线x＝　1　 ． 【分析】二次函数的图象与 x轴的两个交点的横坐标为0和2，根据二次函数对称轴公式计算即可． 【解答】解：已知图象过点（0，0）和点（2，0）， ∴二次函数的对称轴为直线x1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是运用以上知识点． 【作业 8】（2024秋•秦淮区期末）如图，点A，B和点C，D分别在和的图象上．若点A，C的横坐标均为﹣2，点B，D的横坐标均为4，则线段AC，BD与两条抛物线围成的阴影部分的面积是　24　 ． 【分析】依据题意，分别连接AB、CD，从而若点A，C的横坐标均为﹣2，点B，D的横坐标均为4，进而可得AC∥y轴∥BD，又上面的抛物线为yx2向下平移可得4个单位可得下面的抛物线yx2﹣4，从而AC＝BD＝4，可得四边形ACDB为平行四边形，结合平移的性质，从而阴影部分的面积为平行四边形ACDB的面积＝AC•|xB﹣xA|＝4×（4+2）＝24，进而得解． 【解答】解：如图，分别连接AB、CD． ∵若点A，C的横坐标均为﹣2，点B，D的横坐标均为4， ∴AC∥y轴∥BD． 又∵上面的抛物线为yx2向下平移可得4个单位可得下面的抛物线yx2﹣4， ∴AC＝BD＝4． ∴四边形ACDB为平行四边形． 又由平移可得， ∴阴影部分的面积为平行四边形ACDB的面积＝AC•|xB﹣xA|＝4×（4+2）＝24． 故答案为：24． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用平移的思想解题是关键． 【作业 9】（2025秋•奉化区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当0＜x＜3时，y的取值范围是　﹣4≤y＜0　 ． 【分析】求得顶点坐标以及x＝3时的函数值，然后利用二次函数的性质即可求得． 【解答】解：∵二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴对称轴为直线x＝1，顶点为（﹣1，﹣4）， 令x＝3，则y＝x2﹣2x﹣3＝0， ∵抛物线开口向上， ∴当0＜x＜3时，y的取值范围为﹣4≤y＜0， 故答案为：﹣4≤y＜0． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题关键． 【作业 10】（2024秋•浦东新区期末）二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣1的图象上有两个点（2，y1）、（3，y2），那么y1　＞　 y2（填“＞”“＝”或“＜”）． 【分析】求得二次函数的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的性质判断即可． 【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣1的开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小， ∵二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣1的图象上有两个点（2，y1）、（3，y2），且1＜2＜3， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 【点评】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【作业 11】（2026•阳谷县校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x﹣5，点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）都在该函数的图象上，且x1+x2＝2． （1）求函数图象的顶点； （2）若点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）与直线x＝m的距离恒相等，求m的值； （3）若y1≥y2，求y1的最小值． 【分析】（1）把解析式化成顶点式即可求解； （2）根据题意，列出方程，化简后将x1+x2＝2代入即可求解； （3）根据题意，由（1）（2）可得，P1在直线x＝1的左侧，P2在直线x＝1的右侧或重合在直线x＝1上，根据二次函数的增减性即可求解． 【解答】解（1）∵二次函数y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9， ∴函数图象的顶点为（2，﹣9）． （2）∵点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）与直线x＝m的距离恒相等， ∴|x1﹣m|＝|x2﹣m|， ∴（x1﹣m）2＝（x2﹣m）2， 化简得（x1﹣x2）[（x1+x2）﹣2m]＝0， 又∵x1+x2＝2，x1≠x2， ∴m＝1． 故m的值为1． （3）∵y1≥y2， 由（1）（2）可得，P1在直线x＝1的左侧，P2在直线x＝1的右侧或重合在直线x＝1上， ∴x1≤1， ∵y1随x1的增大而减小， ∴当x1＝1时，y1的最小值为﹣8． 故y1≥y2时，y1的最小值为﹣8． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数上点的坐标特征，解题的关键掌握二次函数的性质及二次函数上点的坐标特征． 【作业 12】（2025秋•浦东新区期中）用配方法将二次函数y＝2x2﹣4x+1化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方，凑成完全平方式，即可得二次函数的顶点式，从而可得顶点坐标和对称轴． 【解答】解：y＝2x2﹣4x+1 ＝2（x2﹣2x+1）﹣2+1 ＝2（x﹣1）2﹣1， ∴y＝2（x﹣1）2﹣1， ∴二次函数y＝2x2﹣4x+1的顶点坐标为（1，﹣1），对称轴为直线x＝1，化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝2（x﹣1）2﹣1． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的三种形式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 13】（2025秋•龙湾区期中）已知关于x的二次函数y＝﹣x2+2bx+c（b，c为常数）， （1）若函数图象对称轴为直线x＝2，求b的值． （2）若该函数解析式可以写成y＝﹣（x﹣h）2+1，求证：c+b2＝1． （3）设m＞0，n＞0，在（2）的条件下，当h﹣n≤x≤h+m时，函数的最大值与最小值差为10，求m+n的最大值． 【分析】（1）根据二次函数的对称轴为求出结果即可； （2）先将函数解析式展开，得到﹣x2+2hx﹣h2+1＝﹣x2+2bx+c，从而得到b＝h，c＝﹣h2+1，即可得出结论； （3）利用二次函数的性质得到函数最大值为1，再结合题意得到函数最小值为﹣9，解出，，得到，，从而得出结果． 【解答】（1）解：∵关于x的二次函数y＝﹣x2+2bx+c（b，c为常数）， ∴对称轴为直线xb， ∵函数图象对称轴为直线x＝2， ∴b＝2； （2）证明：∵y＝﹣（x﹣h）2+1＝﹣x2+2hx﹣h2+1＝﹣x2+2bx+c， ∴b＝h，c＝﹣h2+1， ∴b2＝h2， ∴c＝﹣b2+1， ∴c+b2＝1； （3）解：∵y＝﹣（x﹣h）2+1，m＞0，n＞0，h﹣n≤x≤h+m， ∴当x＝h时，函数最大值为1， ∵函数的最大值与最小值差为10， ∴函数最小值为﹣9， ∴﹣9＝﹣（x﹣h）2+1， ∴（x﹣h）2＝10， ∴，， ∵h﹣n≤x≤h+m， ∴，，且两个等号至少有一个可取， ∴，， ∴m+n的最大值为． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识为解题关键． 【作业 14】（2025春•广饶县校级月考）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）动点M在第四象限内的抛物线上，求四边形ACMB面积最大时点M的坐标． 【分析】（1）先设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，即可求a、b、c，进而可得函数解析式． （2）连接BC，交对称轴于P，P即为使PA+PC的值最小，设直线BC的解析式，把B、C的坐标代入即可求得系数，进而求得解析式，令x＝2时，即可求得P的坐标． （3）先分析出四边形ACMB面积＝S△ABC+S△MBC，结合S△ABC是一个定值，故要使四边形ACMB面积最大，则S△MBC的面积最大，再整理得，结合二次函数的图象性质，得开口向下，当时，S△MBC有最大值，然后求出点M的纵坐标，即可作答． 【解答】解：（1）设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），由条件可得： ， 解得， ∴． （2）将二次函数解析式配方可得：， ∴抛物线的对称轴为x＝2， 连接CB，如图所示： 设直线BC的解析式为y＝kx+m（k≠0）， ∴， 解得， ∴直线BC的解析式为， 当x＝2时，， ∴P点的坐标为； （3）过点M作MH∥y轴，分别与x轴和BC交于点T，W，连接CM，BM，CB，如图所示： 则四边形ACMB面积＝S△ABC+S△MBC， ∵S△ABC是一个定值， ∴要使四边形ACMB面积最大，则S△MBC的面积最大， 设，则， ∴． 则S△MBC＝S△MWC+S△MWB ， ∵， ∴开口向下，当时，S△MBC有最大值， ∴即时，四边形ACMB面积最大， 此时把代入， 得， ∴． 【点评】本题考查了一次函数的解析式，二次函数的面积和线段综合，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $