2.5.2 二次函数的应用（2） 利润问题 讲义 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数的利润最值应用核心知识点，系统梳理单价、销量、利润间的等量关系，通过设增加量、设增加单位数、设最终单价三种设元方法搭建学习支架，衔接配方法、公式法求最值及结合函数图像分析取值范围的技能。 该资料以问题链驱动教学，通过例题多解法对比培养学生抽象能力与推理意识，结合成本、销量限制等实际条件渗透模型观念。课中助力教师分层授课，课后基础与提升练习帮助学生巩固建模方法，有效查漏补缺。

《2.5.2二次函数的应用——利润最值问题》讲义 【学习目标】 1.掌握单价、销量、利润间的等量关系，会根据题意列出利润相关二次函数； 2. 学会多种设元方法，能用配方法、公式法求二次函数的最大利润 / 最大产量； 3. 会结合函数图象，求解产量、利润满足指定数值时自变量的取值范围； 4. 建立二次函数建模思想，能结合实际限制条件判断最值，规范书写应用题步骤 一、基础方法与作答规范 1. 例题：某旅馆有客房120间，当每间客房的日租金为160元时，每天都客满。 经市场调查发现,每间客房的日租金每增加10元,每天客房出租数会减少6间。 如果不考虑其他因素，那么该旅馆将每间客房的日租金增加到多少元时，客房日租金的总收人最高?最高总收入是多少? 思考：（1）题干中的定量有哪些？变量有哪些？哪个量的变化会影响其他量？ （2） 所以该设什么未知数，就方便表示其他的变量了？ （3） 你有几种方法？与同伴交流你的想法，并动笔尝试列出变量之间的等量关系。 基准等量关系 每间日租 × 金出租数 = 总收入 涨价前 160 120 160×120 涨价后（用未知数表示） 【做法1】 解:设每间客房的日租金增加了x元，客房日租金的总收入为y元. 则每间日租金为（160+x）元，客房出租数为间。分析： 等量关系 每间日租金×客房出租数=总收入 涨价前 160 120 160×120 涨价x元 (160+x) 120－6× y 则 ， ， ， 计算方法1：若表达式保留到一般式（适用于解答过程书写） y ∵＜0，开口向下，对称轴x=， ∴当x=20时，ymax==19440………代入到交点式计算更快 答：当日租金增加到160+20=180元时，总收入最高，为19440元。……易错点 计算方法2：若表达式配方到顶点式（适用于解答过程书写） y ， ， ， ∵＜0，开口向下，对称轴x， ∴当x=20时，ymax=19440 答：当日租金增加到160+20=180元时，总收入最高，为19440元。 计算方法3：若表达式配方到交点式（适用于口算验证） ， ， ∵＜0，开口向下，对称轴x=， ∴当x=20时，ymax==19440 答：当日租金增加到160+20=180元时，总收入最高，为19440元。 注意：不建议将表达式保留到交点式计算的方法使用在过程书写中，可能会丢失列出关系式的采分点，但是该方法可以快速计算出对称轴，方便口算验证结果正确性，也适用与不需要步骤分的小题计算。 【做法2】 解:设每间客房的日租金增加了x个10元，客房日租金的总收入为y元，则每 天客房出租数会减少6x间。 ∴ ， ， ∵＜0，开口向下，对称轴x= ， ∴当x=20时，ymax==19440 答：当日租金增加到160+10×2=180元时，总收入最高，为19440元。 【做法3】 如果设每间日租金提高到x元，总收入为y元。 思考：再表示出哪些量，就可以列出y关于x的关系式了？ 则（1）现在每日出租的客房有______________________间； （2）y关于x的关系式为_____________________________； （3）按照该方法解决问题。 答案：（1） （2） （3） ， ∵＜0，开口向下，对称轴x=， ∴当x=180时，ymax==19440 答：当日租金增加到180元时，总收入最高，为19440元。 2. 练习（方法自选）：服装厂生产某品牌的短袖上衣，成本是每件20元。 根据市场调查，以26元的单价批发给经销商，经销商愿意购进5000件， 并且表示批发单价每降0.5元，愿意多购进500件。 为了获得最大利润,该服装厂应将批发单价定为多少? 注意：有成本时，单个利润=售价－成本 答案：批发单价为25.5元时，利润最大，为30250元。 3. （由课本改编）实际问题中利用二次函数图象求x取值范围 本章前研究过的“种多少橙子树？”问题： 某果园有100棵橙子树，每棵树产量600个橙子。 每多种一棵树，每棵树会少产5个橙子。 当种多少棵树时，产量能够达到最大？ （1）解析：设增重x棵树，总产量为y个。 则共有__________棵树，每棵树产量为__________________个； ∴y=_______________________________； （2） 完成后面的解答过程； （3） 在坐标系中，画出该函数图象的草图； （4） 结合图象回答，增重多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60420个以上。 答案：（1）（100+x）,（600－5x）， y=（600－5x）（100+x） （2） （3）当y=60420时， ， x1=6，x2=14 由图象知，当y＞60420时，6＜x＜14 答：当增重棵树x满足6＜x＜14时，总产量在60420以上。 二、巩固练习 【基础类】 知识点1 区分对称轴是否符合范围要求 1. (江苏宿迁洄阳模拟)某商场降价销售一批名牌衬衫，已知获利(元)与降价金额x(元)之间满足函数关系式y=－2x2+60x+800，则获利最多为（ ） A.15元 B.400元 C.800元 D.1250元 2. 便民商店经营一种商品，在销售过程中发现，一周利润y(元)与每件销售价(元)之间的关系满足y=－2x2+80x+758，由于某种原因，价格需满足 15<x<19,那么一周可获得的最大利润是（ ） A.1554元 B.1556元 C.1558元 D.1560元 3. 某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部相出。若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出。如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少旦租金高，那么每张床位每天最合适的收费是( ) A.140元 B.150元 C.160元 D.180元 知识点2 “每……每……”型问题 4. 某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件，市场调查反映:如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，则每星期售出商品的利润y(单位:元)与每件涨价x(单位:元)之间的函数关系式是( ) A. y=200-10x B.y=(200-10x)(80-60-x) C.y=(200+10x)(80-60-x) D.y=(200-10x)(80-60+x) 5. 某商场要经营一种新上市的文具,进价为20元，试营销阶段发现:当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式； (2)求销售单价为多少元时,该文具每天的销售利润最大： (3)如果该文具的销售单价高于进价且不超过30元，请你计算最大利润。 【提升类】 6. 某厂商计划投资产销一种消毒液,设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表(产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销)： 每瓶售价/元 每瓶成本 每日其他费用/元 每日最大产量/瓶 30 18 1200+0.02x2 250 该消毒液每日产销利润最大是_____________。 7. “活力海洋之都，精彩宜人之水”，青岛获评2023年中国十大旅游目的地必去城市之一。为宣传青岛城市文化，某景区研发出一款文创纪念品，投入景区内进行销售。已知该文创纪念品每件的成本为20元,销售一段时间发现，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系如图所示，图象是直线的一部分。 (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若某天该景区这种文创纪念品的销售利润为6000元，则每件文创纪念品的定价为多少元? (3)若规定该文创纪念品的利润率不得高于60%，且不赔钱,当销售单价定为多少元时，每天的获利最大?最大利润是多少? 巩固练习答案： 1.D 2.B 3.C 4.D 5.（1）w=(x－20)（－10x+500）=－10x2+700x－10000； （2）w=－10x2+700x－10000=－10(x－35)2+2250 ∵－10＜0，开口向下，对称轴为x=35 ∴当x=35时，wmax=2250 答：当销售单价为35元时，利润最大。 （3）当20小于x≤30时，w随x的增大而增大； ∴当x=30时，wmax=－10(30－35)2+2250=2000 答：最大利润为2000元。 6. 550元 7. （1）y=－5x+500 （2）(x－20)(－5x+500)=6000 解得：x1=40，x2=80 ∵20≤x≤100 ∴每件文创品定价为40元或80元 （3）设每天销售利润为w元，则 ， ∵该文创纪念品的利润率不高于60% ∴，∴x≤32 综上，20≤x≤32 ∵－5＜0，开口向下，对称轴x=60 ∴当20≤x≤32时，w随x增大而增大 ∴当x=32时，wmax==4080 答：售价为32元时，利润最大，为4080元。 学科网（北京）股份有限公司 $