第2讲 解直角三角形及应用 优等生讲义(知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年鲁教版(五四制)九年级数学上册

第2讲 解直角三角形及应用 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年鲁教版(五四制)九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解解直角三角形的含义，会根据已知元素求未知元素 · 掌握直角三角形中边与角的关系，能灵活选用三角函数 · 能将实际问题抽象为直角三角形模型，解决测量问题 · 掌握坡度坡角、仰角俯角、方向角等常见应用题型 · 能通过作辅助线构造直角三角形解决综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.解直角三角形的依据 在Rt△ABC中，∠C=90°，三边关系：a2+b2=c2（勾股定理） 两锐角关系：∠A+∠B=90° 边角关系：sinA=，cosA=，tanA= 已知两个元素（至少一个边）可求其余三个元素 概念辨析例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，sinB=，求AC的长 解析：sinB=，即=，故AC=2 ☆ 2.坡度坡角问题 坡角：坡面与水平面的夹角，记作α 坡度（坡比）：坡面的垂直高度h与水平宽度l的比，记作i=tanα= 坡度越大，坡角越大，坡面越陡 常通过作铅垂线构造直角三角形求解 概念辨析例题：河坝迎水坡AB的坡度为1:，求坡角∠BAC 解析：i=tanα==，故α=30° ☆ 3.仰角俯角问题 仰角：视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角 俯角：视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角 同一铅垂面内两点的仰角/俯角互相关联 常通过作水平线构造双直角三角形列方程 概念辨析例题：在C处测得A点俯角45°，B点俯角30°，C距湖面120m，求AB距离 解析：俯角45°对应水平距离120m，俯角30°对应水平距离120，AB=120 ☆ 4.方向角问题 方向角：以正南或正北方向为基准，描述目标方向的角 如北偏东30°即从正北向东偏转30° 方向角问题常通过正北/正南方向线作平行线 结合三角形内角和与外角性质求角度 概念辨析例题：C在A北偏东30°，在B北偏西45°，AC=40km，B在A正东，求AB 解析：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中AD=20，CD=20；在Rt△BCD中BD=CD=20，故AB=AD+BD=20 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 三边关系 a2+b2=c2 勾股定理 锐角关系 ∠A+∠B=90° 两锐角互余 正弦 sinA=对边/斜边 sinA随A增大而增大 坡度 i=tanα= 坡度是比值不是角度 仰角俯角 视线与水平线夹角 仰上俯下 方向角 北偏东/南偏西 以南北为基准 ⚠️ 核心考点 【考点1】解直角三角形（第1-11题） · 先画图标出已知边和角 · 选合适的三角函数列式 · 勾股定理求第三边 · 注意SSA不能唯一确定三角形 1．（2026春•青浦区期末）给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（　　） A．AB＝4cm，∠A＝60°，∠B＝30° B．AB＝4cm，BC＝3cm，∠A＝30° C．AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝30° D．AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝6cm 2．（2025秋•二七区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，，那么边AC的长是（　　） A． B．1 C．2 D． 3．（2026•江阳区校级模拟）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（　　） A． B． C．2 D． 4．（2025秋•高邮市期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，若正方体的展开图恰好放置在△ABC内，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 5．（2026春•扶绥县校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，已知∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，则BD的长可表示为（　　） A．a（cosα﹣cosβ） B． C． D．a•cosα﹣a2•sinαtanβ 6．（2026•雷州市一模）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则tan∠AOC的值为 _______________ ． 7．（2026•常州校级模拟）如图，在边长为1的正方形网格图中，点A、B、C都在格点上，则sin∠BAC的值为____________________ ． 8．（2026•盐亭县一模）如图，已知在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝AD，点E、F分别在线段CD、AD上．如果AE⊥BF，，那么cot∠ABD＝ ____________________ ． 9．（2025秋•雁塔区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，以AD为直径作⊙O，交BD的延长线于点E，连接CE，若CE切⊙O于点E． （1）求证：CE＝BC； （2）若CD＝8，，求⊙O半径的长． 10．（2026•禅城区一模）某品牌共享单车停放在水平地面的实物图如图1，其简易图如图2，其中AB，CD都与地平线l平行，点M、C、D在同一直线上．已知MC＝AC，CE平分∠ACD． （1）求证：AM∥CB． （2）现测得AB＝AC＝BC＝40cm，坐垫点E在中管CB的延长线上且高度可调节，后车轮圆心点D到地面的距离为26cm，当BE＝20cm时，求车座点E到地面的距离（结果保留根号）． 11．（2025•闵行区二模）如图，在△ABC中，BE为中线，AD平分∠BAC，且AD⊥BE，分别交BE、BC于点H、D，EF⊥BE，交BC于点F，AB＝5，tan∠ABE． （1）求BE的长； （2）求tan∠EBC的值． 【考点2】解直角三角形的应用（第12-20题） · 将实际问题抽象为直角三角形 · 作辅助线构造直角三角形 · 利用公共边或中间量列方程 · 结果按要求取近似值 12．（2026•深圳三模）人体工学椅提出正确的座垫高度须将座垫高度调整到人的双脚能平放于地面，且大腿之弯曲角度呈现90°．如图是一男士座椅情况和示意图，若AD＝40cm，∠C＝50°，该椅子座垫高度还要升高多少cm，才符合体工学椅的要求（　　） A．40sin50°﹣40 B．40cos50°﹣40 C． D． 13．（2024秋•颍上县校级期末）如图，AC是电线杆AB的一根拉线，AC＝6米，∠ACB＝52°，则AB的长为（　　） A．6cos52°米 B．6sin52°米 C．米 D．米 14．（2025•同安区校级模拟）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内，AB＝1，AD＝4，∠BCO＝α，则点A到OC的距离为（　　） A．tanα+4sinα B．tanα+4cosα C．sinα+4cosα D．cosα+4sinα 15．（2025秋•平潭县期中）如图1是平潭动车站入口的双闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝50cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是_______ cm． 16．（2026•包头一模）如图，是三角形玻璃ABC损坏后剩余的部分，依据图中数据，则AC的长为____________________ ． 17．油纸伞在我国已有一千多年的历史，是中国古代劳动人民智慧的结晶．图1是一把油纸伞展开后的剖面图，E，F分别为伞骨AB，AC的中点，伞圈D为伞柄AP上可移动的点，四边形AEDF为菱形．当油纸伞打开到图1的程度时，∠BAC＝120°；当油纸伞收拢到图2的程度时，∠BAC＝60°．如果AE＝20cm，那么伞圈D下滑的距离为____________________ cm．（结果保留根号） 18．（2026•兴隆台区一模）如图1是一种路灯的实物图，由灯杆AB和灯管支架BC两部分构成，图2是它的示意图，灯杆AB与地面垂直，灯管支架BC与灯杆AB的夹角∠ABC＝127°，在路灯正前方的点D处测得∠ADB＝37°，∠ADC＝45°，AD＝400cm．（结果精确到1cm．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） （1）求灯杆AB的长度． （2）求灯管支架BC的长度． 19．（2026春•新城区期末）内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路AB由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上A、B两点距离分别为120m、160m，公路总长AB＝200m，工程车周边120米范围为噪声影响区域． （1）求∠ACB的度数； （2）学校C会受噪声影响吗？为什么？ （3）若压路工程车行驶速度为每分钟60m，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ 20．（2024秋•海淀区校级期中）我校实践小组为了测量某大树的高度AB，如图：在地面上D处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，树的顶点A正好在同一直线上，测得∠CED＝45°，将标杆CD沿BD方向平移10米到点H处（DH＝10m）．这时地面上的点F，标杆的顶端点C，树顶A正好又在同一直线上，测得tan∠GFH，点F，H，E，D与塔底处的点B在同一直线上，已知AB⊥BF，CD⊥BF，GH⊥BF．请你根据以上数据，计算此大树的高度有多少米？ 【考点3】坡度坡角问题（第21-25题） · 坡度i=tanα= · 作铅垂线构造直角三角形 · 注意坡度比是h:l不是角度 · 斜坡长度用勾股定理或sin求 21．（2025秋•郓城县期末）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡度为1：，则坡角∠BAC的度数为 ________ ． 22．（2026•武汉模拟）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°．现有一个长6m的梯子，则使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是________ m（结果精确到0.1，参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26）． 23．（2025秋•徐汇区期末）如图，顾客站在某商场内的自动扶梯上从一楼移动15.6米到二楼，已知商场第一层楼的高度大约为6米，那么此自动扶梯斜坡的坡比是__________ ． 24．（2026•灌南县模拟）国庆节假期张亮和爸爸去垂钓园钓鱼，已知如图2，斜坡AB的坡度为1：2，AB长为5米，钓竿AC与水平线的夹角是50°，其长为6米，若钓竿AC与钓角线CD的夹角是65°． （1）求点A到水平面BD的距离； （2）求浮漂D与斜坡下端B之间的距离．（结果精确到0.01，参考数据：2.236，sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145） 25．（2025秋•德城区期末）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，△ABC，△FED分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线PB，PE与地面BE的夹角分别为∠PBE＝43°，∠PEB＝20°，点A，F分别为PB，PE与车窗底部的交点，AF∥BE，AC，FD与地面BE垂直，A点到B点的距离AB＝1.6m． （参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4） （1）车窗底部到地面的高度AC的长为_________ m； （2）求盲区中DE的长度． 【考点4】仰角俯角问题（第26-30题） · 仰角向上、俯角向下 · 过观测点作水平线 · 双直角三角形列方程 · 注意测角仪高度要加回 26．（2026•南山区校级模拟）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面120m的点C处．从C点测得A点的俯角为45°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为____________________ m（结果保留根号）． 27．（2025秋•鱼台县月考）济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”．某校数学社团的同学对超然楼的高度AB进行了测量，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得超然楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得超然楼的高度是_______ m．（参考数据：tan63°≈2） 28．（2025秋•吴中区校级期末）某飞机在离地面垂直距离1500米的上空A处，测得地面控制点B的俯角为60°，那么飞机与该地面控制点之间的距离AB等于___________________ 米．（结果保留根号） 29．（2026•雁塔区校级模拟）某数学实践活动小组测量某电视塔的高度DE，如图，BC是长为15m的斜坡，坡度为3：4，坡底C到塔底D的距离为38m．AB是垂直地面的测角仪，从点A测得塔顶E的仰角为42.7°，已知测角仪AB的高为1.5m，试求电视塔DE的高度．（已知图上所有的点都在同一平面，参考数据：sin42.7°≈0.68，cos42.7°≈0.73，tan42.7°≈0.92） 30．（2026•响水县模拟）长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型（如图1）．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动．已知三片风叶OA、OB、OC两两所成的角为120°，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶OC与塔干OD叠合时（即O、C、D在一直线上），在与塔底D水平距离为200米的E处，测得塔干顶部O的仰角为37°，风叶OA的端点A的仰角为59°，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内． （参考数据sin37°≈0.6，tan37°≈0.75，tan59°≈1.7，1.7） （1）求塔干OD的长度； （2）求风叶OA的长度．（精确到1米） 【考点5】方向角问题（第31-36题） · 方向角以南北方向为基准 · 作南北方向平行线 · 利用内错角求三角形内角 · 解三角形求边长 31．（2026•丛台区校级模拟）如图，嘉淇参加了某旅行社活动，从集结地A处出发，景点B在A的正东方向，景点C在集结地A的北偏东30°方向，在景点B的北偏西45°方向，集结地A与景点C之间的距离为40千米，则集结地A与景点B之间的距离为（　　） A．千米 B．（20+20）千米 C．30千米 D．（20+20）千米 32．（2026•株洲校级自主招生）现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．8千米 33．（2025春•牡丹江期中）在海面上，有一艘渔船遇险，在它的南偏东50°方向上有一艘救生船，二者的距离是75nmile，如果救生船相对于渔船的位置用（南偏东50°，75nmile）表示，那么遇险的渔船相对于这艘救生船的位置是____________________ ． 34．（2025•巴林左旗模拟）如图是某活动小组在测量湖中古亭与岸边古塔之间的距离时绘制的，在古塔A处测得古亭B位于北偏东60°，他们向南走100m到达D点，测得古亭B位于北偏东45°，则古亭与古塔之间的距离AB的长约为 ________ m．（结果精确到1m．参考数据： 35．（2025秋•重庆校级期中）如图，A、B、C、D、E分别是某城市的五个著名景点，D在A的南偏西30°方向，E在D的南偏东75°方向，D在C的南偏西60°方向，B在C和E的正北方向，且在A的正东方向，米，AC＝2BC．（参考数据：，，） （1）求DC的长度；（结果保留根号） （2）小聪和小明两人从景点C骑自行车出发去景点D，小聪选择的路线为C→A→D，且速度为90米/分钟，小明选择的路线为C→E→D，且速度为120米/分钟，两人同时同地出发，请计算说明谁先到达景点D．（结果精确到0.1） 36．（2026•包河区校级模拟）某环保监测员上午9：00从湿地监测站A出发，沿北偏西30°方向骑行6km到达鸟类观测点B，观测50分钟后从B处沿正南方向骑行一段距离，到达位于湿地监测站A南偏西53°方向的水文监测点C处，此时为上午10：30，如图所示． （1）求该环保监测员从鸟类观测点B骑行到水文监测点C的途中，他与湿地监测站A之间的最短距离； （2）上午11：00，监测员完成工作后，若以20km/h的平均速度从水文监测点C骑行回湿地监测站A，他能否在上午11：20前到达？（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°） 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•拱墅区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，．CD平分∠ACB，E为DC延长线上一点，且∠EAC＝∠BEC，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【练习 2】（2026•龙华区校级三模）如图．点A是地平面上的一点，淇淇在点A的正上方放飞无人机，他将无人机升高至50m（AC＝50m），此时测得点B的俯角为α，点A，B，C在同一平面内，则点A，B间的距离为（　　） A．50tanαm B． C．50sinαm D． 【练习 3】（2024秋•江阴市校级期中）小明沿斜坡AB上行40m，其上升的垂直高度CB为20米，则斜坡AB的坡度（　　） A．30° B．1：2 C． D． 【练习 4】（2026•罗湖区校级三模）一束光从空气中以不同的角度射入水中，会发生反射和折射现象，如图1是光束在空水中的径迹，如图2，现将一束光以一定的入射角射入水面GK，此时反射光线与折射光线夹角恰为90°，直线l为法线，A、O、D三点共线，若水深OE为3m，则线段CD的长为（　　） A．2m B．4m C． D． 【练习 5】（2025•衢州三模）如图，一座水库大坝的横断面为梯形ABCD，斜坡m，现将坡度为的斜坡AB改为坡度为1：2的斜坡AP．则新坡面AP＝________________ m．（结果保留根号） 【练习 6】（2026•德阳一模）如图，在港口P的南偏东60°方向有一座小岛Q，一艘船从港口P出发沿正东方向行驶24海里后到达A处，在A处测得小岛Q恰在其西南方向，那么小岛Q与港口P相距____________________ 海里．（结果保留根号） 【练习 7】（2026春•琼中县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝2，BD＝1，DC＝4． （1）求AB、AC； （2）求∠BAC的度数． 【练习 8】（1）已知等腰三角形一条腰上的高与腰之比为1：，求这个等腰三角形的顶角． （2）已知在△ABC中，AD是BC边上的高，AD＝2，AC＝2，AB＝4，求∠BAC的度数． 【练习 9】（2026•上海）如图，小明正在确认大楼是否安全，规定即为安全． （1）当d＝100米时，h至少小于多少米？ （2）若测AB长为a，BC长为b，仰角为θ，求（用含有a、b、θ的代数式表示）． 💯 课后巩固 【作业 1】（2025秋•乐陵市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【作业 2】（2024秋•岳阳期末）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（8，12），则tanα的值是（　　） A． B． C． D． 【作业 3】（2024秋•蓬莱区期中）如果在高为2米，坡度为1：2的楼梯上铺地毯，那么地毯长度至少需要（　　） A．2米 B．6米 C．米 D．米 【作业 4】（2026•龙华区三模）在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段AB和CD相交于点O，则tan∠AOC的值为_____ ． 【作业 5】（2026•江夏区校级模拟）如图所示，小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°，则信号发射塔PQ的高度约为_________ 米．（结果精确到0.1米，） 【作业 6】（2025秋•浔阳区校级月考）如图1所示的正方体家用医药箱，其侧面是如图2所示的正方形ABCD，在打开医药箱的过程中，矩形AEFD（箱盖）可以绕点E逆时针旋转，落在A′EF′D′的位置，且AD＝40cm，CF＝30cm． （1）如图2，当旋转角为60°时，求点D与点D′之间的距离．（结果保留根号即可） （2）若矩形AEFD在旋转过程中，可旋转的最大角度是70°，求点F′到BC的最大距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，结果精确到0.1cm） 【作业 7】（2026•高唐县二模）如图1所示，机器人舞蹈演员在舞台上展示高难度中国舞造型，图2是其瞬间的几何示意图，演员的一腿AB直立于地面MN，小腿部分是CD，上身AP，即AB⊥MN于点B，CE是演员小腿CD上踢后与大腿AC在同一平面的瞬间（这里的小腿CD，CE都包括脚面部分，上身AP包括头部部分）．已知演员身高160cm，腿AB＝90cm． （1）若∠CAB＝140°，∠DCE＝50°．求证：CD∥MN； （2）若演员上身AP垂直于大腿AC，大腿AC的长为50cm，求点P，C间的距离（保留根号）； （3）当演员头部P距离地面的高度是125cm时，求上身AP倾斜的角度∠QAP． 【作业 8】（2026•邯郸校级二模）在水平地面上有一个坐式拉力器（图1），其抽象出如图2，点B是旋转的支点，点D是把手点，∠B＝45°，∠A＝30°，AD＝2m，点C是AD的中点．锻炼时，人坐上椅座，伸手握住把手，适度向后拉，再缓慢回落． （1）求AB的长； （2）如图3，当向后将BC拉到与水平地面垂直的BC′位置时，求点D′距离水平地面的高度（结果保留根号）． 【作业 9】（2026•平桥区二模）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为BC，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°． （1）求点A到墙面BC的距离； （2）当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，量得影长CD为1.8米，求遮阳篷靠墙端离地高BC的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29） 【作业 10】（2025秋•萧县期末）如图1，滕王阁，江南三大名楼之一，位于江西省南昌市，始建于唐朝永徽四年，因初唐诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．数学实践小组要测量滕王阁的高度，如图2，小组成员甲在点A处测得滕王阁最高点C的仰角∠CAE＝45°，再沿正对滕王阁方向前进至B处测得最高点C的仰角∠CBE＝58°，AB＝21.6m，小组成员乙在点G处竖立标杆FG，点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，FG＝1.6m，GD＝2m． （1）求滕王阁的高度CE；（结果精确到1m，参考数据：sin58°≈0.855，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60） （2）求乙同学与滕王阁之间的距离EG． 【作业 11】（2026•宿迁二模）某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，设计如下： 项目主题 桥梁模型的承重试验 活动目标 经历项目化学习的过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为数学问题 驱动问题 当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度 方案设计 工具 桥梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、绳子、挂钩等 示意图 状态一（空水桶） 状态二（水桶内加一定量的水） 说明：C为AB的中点，CD⊥AB 请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题： （1）该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构，这样设计依据的数学原理是_____ ； A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 （2）在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图②所示的形变．若其他因素忽略不计，测得CD＝32cm，∠CAC′＝12°，∠CAD＝45°，请计算此时水桶下降的高度CC′（参考数据：sin12°≈0.2，cos12°≈1.0，tan12°≈0.2）． 【作业 12】（2026•德州一模）如图1，张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头．洗手盆及水龙头示意图如图2，开启前把手AM与水平线平行，完全开启后，把手AM与水平线的夹角为47°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，且所成的直线与洗手盆底EH的夹角（∠ACE）为60°，AM＝10cm，ME＝28cm． （1）水龙头从闭合到完全开启，求A点上升的高度； （2）求EC的长． （结果精确到0.1cm．参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07， 复习建议 · 熟记直角三角形三边、两锐角、边角三组关系 · 解直角三角形选对三角函数：已知对边斜边用sin · 坡度=tanα=铅垂高/水平宽，不是角度 · 仰角俯角问题过观测点作水平线构造双直角三角形 · 方向角问题以南北方向为基准作平行线找角度 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 解直角三角形及应用 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年鲁教版(五四制)九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解解直角三角形的含义，会根据已知元素求未知元素 · 掌握直角三角形中边与角的关系，能灵活选用三角函数 · 能将实际问题抽象为直角三角形模型，解决测量问题 · 掌握坡度坡角、仰角俯角、方向角等常见应用题型 · 能通过作辅助线构造直角三角形解决综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.解直角三角形的依据 在Rt△ABC中，∠C=90°，三边关系：a2+b2=c2（勾股定理） 两锐角关系：∠A+∠B=90° 边角关系：sinA=，cosA=，tanA= 已知两个元素（至少一个边）可求其余三个元素 概念辨析例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，sinB=，求AC的长 解析：sinB=，即=，故AC=2 ☆ 2.坡度坡角问题 坡角：坡面与水平面的夹角，记作α 坡度（坡比）：坡面的垂直高度h与水平宽度l的比，记作i=tanα= 坡度越大，坡角越大，坡面越陡 常通过作铅垂线构造直角三角形求解 概念辨析例题：河坝迎水坡AB的坡度为1:，求坡角∠BAC 解析：i=tanα==，故α=30° ☆ 3.仰角俯角问题 仰角：视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角 俯角：视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角 同一铅垂面内两点的仰角/俯角互相关联 常通过作水平线构造双直角三角形列方程 概念辨析例题：在C处测得A点俯角45°，B点俯角30°，C距湖面120m，求AB距离 解析：俯角45°对应水平距离120m，俯角30°对应水平距离120，AB=120 ☆ 4.方向角问题 方向角：以正南或正北方向为基准，描述目标方向的角 如北偏东30°即从正北向东偏转30° 方向角问题常通过正北/正南方向线作平行线 结合三角形内角和与外角性质求角度 概念辨析例题：C在A北偏东30°，在B北偏西45°，AC=40km，B在A正东，求AB 解析：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中AD=20，CD=20；在Rt△BCD中BD=CD=20，故AB=AD+BD=20 📋 知识总结表 【考点1】解直角三角形（第1-11题） · 先画图标出已知边和角 · 选合适的三角函数列式 · 勾股定理求第三边 · 注意SSA不能唯一确定三角形 1．（2026春•青浦区期末）给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（　　） A．AB＝4cm，∠A＝60°，∠B＝30° B．AB＝4cm，BC＝3cm，∠A＝30° C．AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝30° D．AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝6cm 【分析】根据全等三角形的判定定理，若给出条件符合全等三角形判定，则三角形形状大小可完全确定，反之无法确定，其中SSA（两边及其中一边的对角）无法确定唯一三角形． 【解答】解：A、选项给出AB＝4cm，∠A＝60°，∠B＝30°，符合ASA判定，可确定唯一三角形，不符合题意； B、选项给出AB＝4cm，BC＝3cm，∠A＝30°，属于SSA，可画出两个形状不同的三角形，不能完全确定三角形的形状和大小，符合题意； C、选项给出AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝30°，符合SAS判定，可确定唯一三角形，不符合题意； D、选项给出AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝6cm，符合SSS判定，可确定唯一三角形，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握该知识点是关键． 2．（2025秋•二七区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，，那么边AC的长是（　　） A． B．1 C．2 D． 【分析】根据正弦定义求解即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝3，sinB， ∴， ∵AB＝3， ∴AC＝2， 故选：C． 【点评】此题考查了解直角三角形，熟记正弦的定义是解题的关键． 3．（2026•江阳区校级模拟）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（　　） A． B． C．2 D． 【分析】首先连接格点BE，根据△ACP∽△BDP得到，即可在Rt△BFP中求得即为∠APD的正切值． 【解答】解：如图，连接格点BE， 由条件可知BE⊥CD，BF＝CF， ∵AC∥BD， ∴△ACP∽△BDP， ∴， ∴， 在Rt△BFP中，， ∵∠APD＝∠BPF， ∴tan∠APD＝tan∠BPF＝2， 故选：C． 【点评】本题主要考查相似三角形、网格中的三角函数，准确作出辅助线是解题的关键． 4．（2025秋•高邮市期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，若正方体的展开图恰好放置在△ABC内，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】依题意得EF∥BC，∠DFE＝90°，进而得∠A＝∠EDF，△DEF是直角三角形，设EF＝a，则DF＝2a，由勾股定理得DE，再根据正弦函数的定义得sin∠EDF，据此可得sinA的值． 【解答】解：如图所示： 依题意得：EF∥BC，∠DFE＝90°， ∴∠A＝∠EDF，△DEF是直角三角形， 设EF＝a，则DF＝2a， 在Rt△DEF中，由勾股定理得：DE， ∴sin∠EDF， ∴sinA＝sin∠EDF． 故选：C． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，正弦函数的定义是解决问题的关键． 5．（2026春•扶绥县校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，已知∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，则BD的长可表示为（　　） A．a（cosα﹣cosβ） B． C． D．a•cosα﹣a2•sinαtanβ 【分析】因为∠ACB＝90°，∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，求出BC、AC、CD，则． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a， ∴，BC＝AB•cosB＝a•cosα，AC＝AB•sinB＝a•sinα， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．（2026•雷州市一模）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则tan∠AOC的值为 　　 ． 【分析】连接BC，根据作图可知：OB＝OC＝BC，进而得△OBC为等边三角形，则∠AOC＝60°，据此可得出答案． 【解答】解：连接BC，如图所示： 根据作图可知：OB＝OC＝BC， ∴△OBC为等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∴tan∠AOC＝tan60°． 【点评】此题主要考查了尺规作图，特殊角的三角函数值，理解尺规作图，作线段等于已知线段，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 7．（2026•常州校级模拟）如图，在边长为1的正方形网格图中，点A、B、C都在格点上，则sin∠BAC的值为　　 ． 【分析】过点B作BD⊥AC于点D，利用勾股定理求出AC，AB，利用三角形面积公式求出BD，根据正弦的定义即可求解． 【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形，正确进行计算是解题关键． 8．（2026•盐亭县一模）如图，已知在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝AD，点E、F分别在线段CD、AD上．如果AE⊥BF，，那么cot∠ABD＝ 　　 ． 【分析】过B作BG⊥AD于G，交AE于点H，证明△BGF∽△ADE，即可得，设BG＝2t，则AB＝AD＝3t，由勾股定理可得，最后求出cot∠ABD的值即可． 【解答】解：如图，过B作BG⊥AD于G，交AE于点H， ∵BG⊥AD，AE⊥BF， ∴∠BOA＝∠BGA＝90°， ∵∠BHO＝∠AHG， ∴∠GBF＝∠DAE， 又∵∠BGF＝∠ADE． ∴△BGF∽△ADE． ∴， 设BG＝2t，则AB＝AD＝3t， ∴， ∴， ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题． 9．（2025秋•雁塔区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，以AD为直径作⊙O，交BD的延长线于点E，连接CE，若CE切⊙O于点E． （1）求证：CE＝BC； （2）若CD＝8，，求⊙O半径的长． 【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥EC，得到∠OED+∠BEC＝90°，根据OE＝OD，得到∠OED＝∠ODE，证明∠BEC＝∠CBE，根据等腰三角形的判定定理证明结论； （2）根据正切的定义求出BC，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：（1）∵CE切⊙O于点E， ∴OE⊥CE，∠OEC＝90°，即∠OED+∠CED＝90°， ∵OE＝OD， ∴∠OED＝∠ODE， ∵∠ACB＝90°，即∠BDC+∠DBC＝90°， 又∵∠BDC＝∠ODE， ∴∠BDC＝∠OED， ∴∠DBC＝∠DEC， ∴CE＝BC； （2）∵Rt△BCD中，，CD＝8， ∴，则， 设OD＝OE＝r， 在Rt△OCE中，OE2+CE2＝OC2，即， ∴若CD＝8，，求⊙O半径的． 【点评】本题考查了已知正切求边长，等腰三角形的性质与判定，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是解题的关键． 10．（2026•禅城区一模）某品牌共享单车停放在水平地面的实物图如图1，其简易图如图2，其中AB，CD都与地平线l平行，点M、C、D在同一直线上．已知MC＝AC，CE平分∠ACD． （1）求证：AM∥CB． （2）现测得AB＝AC＝BC＝40cm，坐垫点E在中管CB的延长线上且高度可调节，后车轮圆心点D到地面的距离为26cm，当BE＝20cm时，求车座点E到地面的距离（结果保留根号）． 【分析】（1）根据已知条件利用平行线的性质得出∠ABC＝∠BCD，再由角平分线定理推出∠ABC＝∠ACB，从而得出AC＝AB，进而证明四边形ABCM是平行四边形，即可得出结论； （2）过点E作EF⊥CD交CD于点F，先根据已知条件证明△ABC是等边三角形，再由等边三角形的性质和角平分线定理得出∠ACE＝∠DCE＝60°，结合已知条件求出CE的长，再通过解30度直角三角形和勾股定理求出EF的长，从而得出结果． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD，点M、C、D在同一直线上， ∴∠ABC＝∠BCD， 又∵CE平分∠ACD， ∴∠ACB＝∠DCB， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AC＝AB， ∵MC＝AC， ∴AB＝MC， ∴四边形ABCM是平行四边形， ∴AM∥CB． （2）解：AB＝AC＝BC＝40cm，坐垫点E在中管CB的延长线上且高度可调节，后车轮圆心点D到地面的距离为26cm， 如图，过点E作EF⊥CD交CD于点F， ∵AB＝AC＝BC＝40cm， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE＝60°， ∵BE＝20cm， ∴CE＝BC+BE＝40+20＝60（cm）， 在Rt△ECF中，， ∴， ∵后车轮圆心点D到地面的距离为26cm， ∴车座点E到地面的距离为． 【点评】本题考查解直角三角形，正确进行计算是解题关键． 11．（2025•闵行区二模）如图，在△ABC中，BE为中线，AD平分∠BAC，且AD⊥BE，分别交BE、BC于点H、D，EF⊥BE，交BC于点F，AB＝5，tan∠ABE． （1）求BE的长； （2）求tan∠EBC的值． 【分析】（1）先根据∠ABE的正切及AB的长求出BH的长，再结合AD⊥BE及AD平分∠ABC即可解决问题． （2）根据题意，分别得出DH和EF为△BEF和△CAD的中位线，据此求出DH的长，最后在Rt△DHB中根据正切的定义即可解决问题． 【解答】解：（1）∵AD⊥BE， ∴在Rt△ABH中， tan∠ABE． 又∵AB＝5，∠ABE， ∴AH＝3，BH＝4． 又∵AD平分∠BAC， ∴BE＝2BH＝8． （2）∵EF⊥BE，AD⊥BE， ∴AD∥EF． 又∵BH＝EH， ∴DH是△BEF的中位线， ∴EF＝2DH． 同理可得，AD＝2EF， ∴AD＝4DH， 即3+DH＝4DH， ∴DH＝1． 在Rt△BDH中， tan∠EBC． 【点评】本题主要考查了解直角三角形及等腰三角形的判定与性质，熟知正切的定义及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【考点2】解直角三角形的应用（第12-20题） · 将实际问题抽象为直角三角形 · 作辅助线构造直角三角形 · 利用公共边或中间量列方程 · 结果按要求取近似值 12．（2026•深圳三模）人体工学椅提出正确的座垫高度须将座垫高度调整到人的双脚能平放于地面，且大腿之弯曲角度呈现90°．如图是一男士座椅情况和示意图，若AD＝40cm，∠C＝50°，该椅子座垫高度还要升高多少cm，才符合体工学椅的要求（　　） A．40sin50°﹣40 B．40cos50°﹣40 C． D． 【分析】过点B作BE⊥CD，垂足为E，根据题意可得：AD＝BE＝40cm，然后在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：过点B作BE⊥CD，垂足为E， 由题意得：AD＝BE＝40cm， 在Rt△BCE中，∠C＝50°， ∴BC（cm）， ∴该椅子座垫高度还要升高的高度＝BC﹣BE＝（40）cm， 故选：C． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 13．（2024秋•颍上县校级期末）如图，AC是电线杆AB的一根拉线，AC＝6米，∠ACB＝52°，则AB的长为（　　） A．6cos52°米 B．6sin52°米 C．米 D．米 【分析】根据正弦函数的定义得sin∠ACB，由此可得出答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝6米，∠ACB＝52°， ∵sin∠ACB， ∴AB＝AC•sin∠ACB＝6sin52°（米）． 故选：B． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 14．（2025•同安区校级模拟）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内，AB＝1，AD＝4，∠BCO＝α，则点A到OC的距离为（　　） A．tanα+4sinα B．tanα+4cosα C．sinα+4cosα D．cosα+4sinα 【分析】作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，可得四边形AEOF是矩形，得到AE＝FO，又由四边形ABCD是矩形，可得∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，进而可得∠ABF＝180°﹣∠ABC﹣∠CBO＝α，再分别解Rt△ABF和Rt△BOC求出FB和BO，进而即可求解．． 【解答】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F， ∵OC⊥OB，∴∠AFB＝∠AEO＝∠BOC＝90°， ∴四边形AEOF是矩形， ∴AE＝FO， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝1，AD＝4， ∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4， ∵∠BCO＝α， ∴∠CBO＝90°﹣α， ∴∠ABF＝180°﹣∠ABC﹣∠CBO＝180°﹣90°﹣（90°﹣α）＝α， 在Rt△ABF中，FB＝AB•cos∠ABF＝cosα， 在Rt△BOC中，BO＝BC•sin∠BCO＝4sinα， ∴AE＝FO＝FB+BO＝cosα+4sinα， ∴点A到OC的距离等于cosα+4sinα， 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 15．（2025秋•平潭县期中）如图1是平潭动车站入口的双闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝50cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是　60　 cm． 【分析】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出BF与AE的长度，即可得出答案． 【解答】解：如图，过点B作BF⊥QD于点F，过点A作AE⊥PC于点E， 在Rt△AEC和Rt△BFD中， ∵∠PCA＝∠BDQ＝30°，AC＝BD＝50cm， ∴，， ∴可以通过闸机的物体的最大宽度是25+10+25＝60cm． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，含30度角的直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度角的直角三角形的性质，本题属于基础题型． 16．（2026•包头一模）如图，是三角形玻璃ABC损坏后剩余的部分，依据图中数据，则AC的长为　　 ． 【分析】延长三角形玻璃破损的两条边，交于点C，过点A作AD⊥BC于点D，先在直角△ADB中，求出AD的长度，再在直角△ADC中，求出AC的长度即可． 【解答】解：如图，延长三角形玻璃破损的两条边，交于点C，过点A作AD⊥BC于点D， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， 在直角△ADB中， ∵，∠ADB＝90°，∠B＝45°， ∴， ∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∵∠BAC＝110°， ∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝110°﹣45°＝65°， ∴∠ADC＝90°， 在直角△ADC中， ∵AD＝2，∠ADC＝90°，∠DAC＝65°， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 17．油纸伞在我国已有一千多年的历史，是中国古代劳动人民智慧的结晶．图1是一把油纸伞展开后的剖面图，E，F分别为伞骨AB，AC的中点，伞圈D为伞柄AP上可移动的点，四边形AEDF为菱形．当油纸伞打开到图1的程度时，∠BAC＝120°；当油纸伞收拢到图2的程度时，∠BAC＝60°．如果AE＝20cm，那么伞圈D下滑的距离为　（2020）　 cm．（结果保留根号） 【分析】在图①中，由菱形的性质得AE＝DE，DE∥AF，因为∠BAC＝120°，所以∠AED＝180°﹣∠BAC＝60°，则△AED是等边三角形，所以AD＝AE＝20cm，在图②中，设AD1、DF交于点H，则∠AHE＝90°，由AE＝AF，∠BAC＝60°，证明△AEF是等边三角形，则EF＝AE＝20cm，所以EH＝FHEF＝10cm，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：如图①，∵四边形AEDF是菱形，∠BAC＝120°， ∴AE＝DE，DE∥AF， ∴∠AED＝180°﹣∠BAC＝60°， ∴△AED是等边三角形， ∴AD＝AE＝20cm， 如图②，设菱形AED1F的对角线AD1、DF交于点H，则EH＝FH，AH＝D1H， ∵AD1⊥EF， ∴∠AHE＝90°， ∵AE＝AF，∠BAC＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴EF＝AE＝20cm， ∴EH＝FHEF＝10cm， ∴AH10（cm）， ∴AD1＝2AH＝20cm， ∴DD1＝AD1﹣AD＝（2020）cm， 故答案为：（2020）． 【点评】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地求出线段AD的长度及线段AD1的长度是解题的关键． 18．（2026•兴隆台区一模）如图1是一种路灯的实物图，由灯杆AB和灯管支架BC两部分构成，图2是它的示意图，灯杆AB与地面垂直，灯管支架BC与灯杆AB的夹角∠ABC＝127°，在路灯正前方的点D处测得∠ADB＝37°，∠ADC＝45°，AD＝400cm．（结果精确到1cm．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） （1）求灯杆AB的长度． （2）求灯管支架BC的长度． 【分析】（1）在Rt△ABD中，利用直角三角形的边角间关系得结论； （2）过点C作CE⊥AD，过点B作BF⊥CE，构造矩形AEFB和直角三角形CED、CBF．设BF的长为x，用含x的代数式表示CF，先利用直角三角形的边角间关系求出x，再利用直角三角形的边角间关系求出BC． 【解答】解：（1）∵灯杆AB与地面垂直， ∴∠A＝90°． 在Rt△ABD中， ∵tan∠ADB， ∴AB＝AD•tan∠ADB ≈400×0.75 ＝300（cm） 答：灯杆AB的长度为300cm． （2）过点C作CE⊥AD，垂足为E，过点B作BF⊥CE，垂足为F． ∵AB⊥AD，CE⊥AD，BF⊥CE，∴四边形AEFB是矩形． ∴BF＝AE，AB＝EF，∠ABF＝90°． ∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝37°． 在Rt△CED中， ∵∠ADC＝45°， ∴∠DCE＝45°． ∴CE＝DE． 设BF＝AE＝xcm，则DE＝CE＝（400﹣x）cm， ∴CF＝CE﹣EF＝（100﹣x）cm． 在Rt△CBF中， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 答：灯管支架BC的长度约为71cm． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系及矩形的性质是解决本题的关键． 19．（2026春•新城区期末）内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路AB由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上A、B两点距离分别为120m、160m，公路总长AB＝200m，工程车周边120米范围为噪声影响区域． （1）求∠ACB的度数； （2）学校C会受噪声影响吗？为什么？ （3）若压路工程车行驶速度为每分钟60m，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ 【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可解答； （2）根据三角形面积公式求得CD的值，即可解答； （3）在AB上取一点E，使CE＝120m，连接CE，求得AE的长即可解答． 【解答】解：（1）∵点C与直线AB上两点A，B的距离分别为120m和160m，AB＝200m， ∴AC2+BC2＝AB2，． ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°； （2）学校C会受噪声影响， 理由如下：过点C作CD⊥AB于点D， 根据三角形面积公式可得， ∴； 点C与公路上A、B两点距离分别为120m、160m，公路总长AB＝200m，工程车周边120米范围为噪声影响区域 ∵压路工程车周围120m以内为受噪声影响区域，且96＜120， ∴学校C会受噪声影响； （3）在AB上取一点E，使CE＝120m，连接CE， ∴CE＝AC＝120m， ∴当压路工程车在线段AE上时产生的噪声会影响学校． ∵CD⊥AB， ∴ED＝AD， 在Rt△CDA中，，． ∴AE＝2AD＝144m，144÷60＝2.4（分钟）， 答：压路工程车产生的噪声影响该学校持续的时间为2.4分钟． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，正确进行计算是解题关键． 20．（2024秋•海淀区校级期中）我校实践小组为了测量某大树的高度AB，如图：在地面上D处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，树的顶点A正好在同一直线上，测得∠CED＝45°，将标杆CD沿BD方向平移10米到点H处（DH＝10m）．这时地面上的点F，标杆的顶端点C，树顶A正好又在同一直线上，测得tan∠GFH，点F，H，E，D与塔底处的点B在同一直线上，已知AB⊥BF，CD⊥BF，GH⊥BF．请你根据以上数据，计算此大树的高度有多少米？ 【分析】设AB＝x，则BD＝x﹣2，根据GH＝2，，可得FH＝3，进而可知BF＝x﹣2+10+3＝x+11，在Rt△ABF中，根据，可得x，即大树的高度． 【解答】解：设AB＝x， ∵AB⊥BF，∠CED＝45°， ∴BE＝AB＝x， ∵CD＝2，CD⊥BF，∠CED＝45°， ∴ED＝CD＝2， ∴BD＝x﹣2， ∵， ∴FH＝3， ∴BF＝BD+DH+FH＝x+11， ∴Rt△ABF中，， 得x＝22， 经检验，x＝22是分式方程的解， ∴此大树的高度是22米． 【点评】本题考查了三角函数的应用，掌握基本概念是解题的关键． 【考点3】坡度坡角问题（第21-25题） · 坡度i=tanα= · 作铅垂线构造直角三角形 · 注意坡度比是h:l不是角度 · 斜坡长度用勾股定理或sin求 21．（2025秋•郓城县期末）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡度为1：，则坡角∠BAC的度数为 　30°　 ． 【分析】根据坡度与坡角的关系、特殊角的三角函数值解答即可． 【解答】解：∵坡AB的坡度为1：， ∴tan∠BAC， ∴∠BAC＝30°， 故答案为：30°． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝tanα． 22．（2026•武汉模拟）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°．现有一个长6m的梯子，则使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是　5.8　 m（结果精确到0.1，参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26）． 【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：如图： 在Rt△ABC中，AC＝6m，∠CAB＝75°， ∴BC＝AC•sin75°≈6×0.97≈5.8（m）， ∴使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度约为5.8m， 故答案为：5.8． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 23．（2025秋•徐汇区期末）如图，顾客站在某商场内的自动扶梯上从一楼移动15.6米到二楼，已知商场第一层楼的高度大约为6米，那么此自动扶梯斜坡的坡比是　1：2.4　 ． 【分析】根据勾股定理求出AC，再根据坡度的概念计算即可． 【解答】解：由题意可知：在Rt△ABC中，AB＝15.6米，BC＝6米， 由勾股定理得：AC14.4（米）， 则此自动扶梯斜坡的坡比为：6：14.4＝1：2.4， 故答案为：1：2.4． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 24．（2026•灌南县模拟）国庆节假期张亮和爸爸去垂钓园钓鱼，已知如图2，斜坡AB的坡度为1：2，AB长为5米，钓竿AC与水平线的夹角是50°，其长为6米，若钓竿AC与钓角线CD的夹角是65°． （1）求点A到水平面BD的距离； （2）求浮漂D与斜坡下端B之间的距离．（结果精确到0.01，参考数据：2.236，sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145） 【分析】（1）过点A作AE⊥DB，交DB的延长线于E，设AE＝x米，根据坡度的概念用x表示出BE，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案； （2）过点A作AF∥BD，交CD于F，过点F作FH⊥BD于H，根据三角形内角和定理求出∠AFC，再根据正切的定义求出DH，计算即可． 【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥DB，交DB的延长线于E， 设AE＝x米， ∵斜坡AB的坡度为1：2， ∴BE＝2x米， 在Rt△AEB中，AE2+BE2＝AB2，即x2+（2x）2＝52， 解得：x2.24（负值舍去）， 答：点A到水平面BD的距离约为2.24米； （2）如图，过点A作AF∥BD，交CD于F，过点F作FH⊥BD于H， 则四边形AEHF为矩形， ∴FH＝AE米，EH＝AF， 在△ACF中，∠C＝65°，∠CAF＝50°， 则∠AFC＝180°﹣65°﹣50°＝65°， ∴∠AFC＝∠C， ∴AF＝AC＝6米， ∴EH＝6米， ∵AF∥BD， ∴∠FDH＝∠AFC＝65°， ∴DH1.044（米）， ∴BD＝EH+DH﹣EB＝6+1.044﹣2×2.236≈2.57（米）， 答：浮漂D与斜坡下端B之间的距离约为2.57米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、熟记坡度的概念是解题的关键 25．（2025秋•德城区期末）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，△ABC，△FED分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线PB，PE与地面BE的夹角分别为∠PBE＝43°，∠PEB＝20°，点A，F分别为PB，PE与车窗底部的交点，AF∥BE，AC，FD与地面BE垂直，A点到B点的距离AB＝1.6m． （参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4） （1）车窗底部到地面的高度AC的长为　1.12　 m； （2）求盲区中DE的长度． 【分析】（1）由题意可知△ABC为直角三角形，由，可得AC＝AB•sinB，即可求解； （2）由题意可知四边形AFDC是矩形，则DF＝AC＝1.12m，在Rt△DEF中，由可得，即可求解． 【解答】解：（1）∵AC⊥BE， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，， ∵∠B＝43°，AB＝1.6m， ∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12m， ∴车窗底部到地面的高度AC的长为1.12m， 故答案为：1.12； （2）由题意可知四边形AFDC是矩形， ∴DF＝AC＝1.12m， 在Rt△DEF中，， ∵∠E＝20°，DF＝1.12m， ∴． 答：盲区中DE的长度为2.8m． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，视点、视角和盲区，掌握相关知识点是解题的关键． 【考点4】仰角俯角问题（第26-30题） · 仰角向上、俯角向下 · 过观测点作水平线 · 双直角三角形列方程 · 注意测角仪高度要加回 26．（2026•南山区校级模拟）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面120m的点C处．从C点测得A点的俯角为45°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为　　 m（结果保留根号）． 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝120m，求出∠CAD＝∠MCA＝45°，∠CBD＝∠NCB＝30°，利用CD⊥AB，得出，，相加即可求解． 【解答】解：如图，∠MCA＝45°，∠NCB＝30°，MN∥AB，过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝120m， ∴∠CBD＝∠NCB＝30°，∠CAD＝∠MCA＝45°， ∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝∠CDB＝90°， ∴，， ∴． 故答案为：（120+120）． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度角问题，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 27．（2025秋•鱼台县月考）济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”．某校数学社团的同学对超然楼的高度AB进行了测量，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得超然楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得超然楼的高度是　51　 m．（参考数据：tan63°≈2） 【分析】延长BA交距水平地面102m的水平线于点D，根据tan63°≈2，求出DC＝AD≈51m，即可求解． 【解答】解：延长BA交距水平地面102m的水平线于点D， 如图， 依题意，有三个角都是直角的四边形是矩形， 设AD＝xm， ∵∠DCA＝45°， ∴DC＝AD＝x， ， ∴DC＝AD≈51m， ∴AB＝BD﹣AD＝102﹣51＝51（m）． 故答案为：51． 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键． 28．（2025秋•吴中区校级期末）某飞机在离地面垂直距离1500米的上空A处，测得地面控制点B的俯角为60°，那么飞机与该地面控制点之间的距离AB等于　1000　 米．（结果保留根号） 【分析】根据题意可得：AC⊥BC，∠DAB＝60°，DA∥BC，从而可得∠ABC＝∠DAB＝60°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得：AC⊥BC，∠DAB＝60°，DA∥BC， ∴∠ABC＝∠DAB＝60°， 在Rt△ABC中，AC＝1500米， ∴AB（米）， ∴飞机与该地面控制点之间的距离AB等于1000米， 故答案为：1000． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 29．（2026•雁塔区校级模拟）某数学实践活动小组测量某电视塔的高度DE，如图，BC是长为15m的斜坡，坡度为3：4，坡底C到塔底D的距离为38m．AB是垂直地面的测角仪，从点A测得塔顶E的仰角为42.7°，已知测角仪AB的高为1.5m，试求电视塔DE的高度．（已知图上所有的点都在同一平面，参考数据：sin42.7°≈0.68，cos42.7°≈0.73，tan42.7°≈0.92） 【分析】解Rt△BCF求出BF、CF，进而可求AH、DG，再解Rt△AEH，进而求出EH，根据DE＝DG+GH+EH即可求解． 【解答】解：如图，过点A和点B分别作AH⊥DE于点H，BG⊥DE于点G，延长AB交DC的延长线于点F，则BF⊥CD， ∵四边形ABGH和四边形BFDG是矩形， ∴AH＝BG＝DF，AB＝GH＝1.5m，BF＝DG， 在Rt△BCF中，，， BC＝15m， ∴BF＝BC•sin∠BCF＝15×sin36.5°≈15×0.59＝8.85（m）， CF＝BC•cos∠BCF＝15×cos36.5°＝15×0.80＝12（m）， 又CD＝37m， ∴AH＝DF＝CD+CF＝37+12＝49（m）， DG＝BF＝8.85m， 在Rt△AEH中，， AH＝49m， ∵EH＝AH•tan∠EAH＝49×tan42.7＝49×0.92＝45.08（m）， ∴DE＝DG+GH+EH＝8.85+1.5+45.08＝55.43． 答：电视塔DE的高度约为55.43m． 【点评】题目考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 30．（2026•响水县模拟）长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型（如图1）．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动．已知三片风叶OA、OB、OC两两所成的角为120°，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶OC与塔干OD叠合时（即O、C、D在一直线上），在与塔底D水平距离为200米的E处，测得塔干顶部O的仰角为37°，风叶OA的端点A的仰角为59°，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内． （参考数据sin37°≈0.6，tan37°≈0.75，tan59°≈1.7，1.7） （1）求塔干OD的长度； （2）求风叶OA的长度．（精确到1米） 【分析】（1）根据题意可得：OD⊥DE，然后在Rt△ODE中，利用锐角三角函数的定义求出OD的长，即可解答； （2）过点A作AF⊥DE，垂足为F，过点O作OG⊥AF，垂足为G，根据题意可得：FG＝OD＝150米，OG＝DF，∠DOG＝90°，从而可得∠AOG＝30°，然后设DF＝OG＝x米，则EF＝（200﹣x）米，分别在Rt△AOG和Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AG和AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：OD⊥DE， 在Rt△ODE中，∠OED＝37°，DE＝200米， ∴OD＝DE•tan37°≈0.75×200＝150（米）， ∴塔干OD的长度约为150米； （2）过点A作AF⊥DE，垂足为F，过点O作OG⊥AF，垂足为G， 由题意得：FG＝OD＝150米，OG＝DF，∠DOG＝90°， ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOG＝∠AOD﹣∠DOG＝30°， 设DF＝OG＝x米，则EF＝DE﹣DF＝（200﹣x）米， 在Rt△AOG中，AG＝OG•tan30°x（米）， 在Rt△AEF中，∠AEF＝59°， ∴AF＝EF•tan59°≈1.7（200﹣x）米， ∵AF﹣AG＝FG， ∴1.7（200﹣x）x＝150， 解得：x≈82.6， ∴OG≈82.6米， 在Rt△AOG中，AO97（米）， ∴风叶OA的长度约为97米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【考点5】方向角问题（第31-36题） · 方向角以南北方向为基准 · 作南北方向平行线 · 利用内错角求三角形内角 · 解三角形求边长 31．（2026•丛台区校级模拟）如图，嘉淇参加了某旅行社活动，从集结地A处出发，景点B在A的正东方向，景点C在集结地A的北偏东30°方向，在景点B的北偏西45°方向，集结地A与景点C之间的距离为40千米，则集结地A与景点B之间的距离为（　　） A．千米 B．（20+20）千米 C．30千米 D．（20+20）千米 【分析】过点C作CH⊥AB于点H，先解Rt△AHC求出AH，CH，再解Rt△BHC即可． 【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，则∠AHC＝∠BHC＝90°． 在Rt△AHC中，AC＝40千米，∠CAH＝90°﹣30°＝60°， ∴千米．AH＝AC•cos60°＝20千米， 在Rt△BHC中，∠HBC＝45°， ∴千米， ∴千米． 故选：D． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 32．（2026•株洲校级自主招生）现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．8千米 【分析】过点B作BD⊥AC于点D，根据∠BAD＝60°，∠ABC＝75°，利用三角形内角和定理求出∠C，在得出AD长度，CD＝BD，利用勾股定理求出，即再次利用勾股定理求出BC的长． 【解答】如图所示：过点B作BD⊥AC于点D， 由题意得：∠ABC＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∠BAD＝45°+15°＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝45°， ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝∠BDA＝90°， ∴∠ABD＝30°，∠DBC＝45°＝∠C， ∴CD＝BD，（千米）， ∴（千米）， ∴（千米）， 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形性质和计算，方位角的表示，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 33．（2025春•牡丹江期中）在海面上，有一艘渔船遇险，在它的南偏东50°方向上有一艘救生船，二者的距离是75nmile，如果救生船相对于渔船的位置用（南偏东50°，75nmile）表示，那么遇险的渔船相对于这艘救生船的位置是　（北偏西50°，75nmile）　 ． 【分析】依据题意，画出示意图，根据坐标确定地理位置，从而可以得解． 【解答】解：由题意，画出示意图如下： A为救生船，B为渔船， ∴∠ABC＝50°，AB＝75nmile， ∵BC∥DA， ∴∠DAB＝∠ABC＝50°． ∴遇险船相对于救生船的位置是：（北偏西50°，75nmile）， 故答案为：（北偏西50°，75nmile）． 【点评】本题考查了坐标确定地理位置，正确理解方向角的定义是解题关键． 34．（2025•巴林左旗模拟）如图是某活动小组在测量湖中古亭与岸边古塔之间的距离时绘制的，在古塔A处测得古亭B位于北偏东60°，他们向南走100m到达D点，测得古亭B位于北偏东45°，则古亭与古塔之间的距离AB的长约为 　273　 m．（结果精确到1m．参考数据： 【分析】过点B作BC⊥AD，交DA的延长线于点C，设AC＝xm，则CD＝（x+100）m，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，再证明BC＝DC，列出关于x的方程，求出AC的长，然后在Rt△ABC中，由含30°角的直角三角形的性质求出AB的长即可． 【解答】解：如图，过点B作BC⊥AD，交DA的延长线于点C， 设AC＝xm，则CD＝AC+AD＝（x+100）m， 在Rt△ABC中，∠CAB＝60°， ∴BC＝AC•tan60°x（m）， 在Rt△BCD中，∠BDC＝45°， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴BC＝CD， ∴x＝x+100， 解得：x＝5050， ∴AC＝（5050）m， ∵∠ABC＝90°﹣∠BAC＝30°， ∴AB＝2AC＝100100≈273（m）， ∴古亭与古塔之间的距离AB的长约为273m． 故答案为：273． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用—方向角问题，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 35．（2025秋•重庆校级期中）如图，A、B、C、D、E分别是某城市的五个著名景点，D在A的南偏西30°方向，E在D的南偏东75°方向，D在C的南偏西60°方向，B在C和E的正北方向，且在A的正东方向，米，AC＝2BC．（参考数据：，，） （1）求DC的长度；（结果保留根号） （2）小聪和小明两人从景点C骑自行车出发去景点D，小聪选择的路线为C→A→D，且速度为90米/分钟，小明选择的路线为C→E→D，且速度为120米/分钟，两人同时同地出发，请计算说明谁先到达景点D．（结果精确到0.1） 【分析】（1）过点E作EF⊥CD于点F，分别利用锐角三角函数比求出DF，CF的长即可； （2）利用锐角三角函数求出各路线的长度，然后求出时间进行比较即可． 【解答】解：（1）如图，D在C的南偏西60°方向，米，过点E作EF⊥CD于点F， ∴∠ECD＝60°，∠CFE＝90°， ∴∠CEF＝30°， ∴∠DEF＝∠DEC﹣∠CEF＝75°﹣30°＝45°， ∴（米）， ∴（米），（米）， ∴（米）； （2）∵AC＝2BC，∠B＝90°， ∴， ∴∠BAC＝30°， ∴∠ACB＝60°，∠DAC＝90°， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACB﹣∠ECD＝60°，则∠ADC＝30°， ∴（米），（米）， ∵小聪选择的路线为C→A→D，且速度为90米/分钟，小明选择的路线为C→E→D，且速度为120米/分钟， ∴小聪所用时间为：（分钟）， 小明所用的时间为：（分钟）， ∵10.5＜11.7， ∴小明先到达景点D． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 36．（2026•包河区校级模拟）某环保监测员上午9：00从湿地监测站A出发，沿北偏西30°方向骑行6km到达鸟类观测点B，观测50分钟后从B处沿正南方向骑行一段距离，到达位于湿地监测站A南偏西53°方向的水文监测点C处，此时为上午10：30，如图所示． （1）求该环保监测员从鸟类观测点B骑行到水文监测点C的途中，他与湿地监测站A之间的最短距离； （2）上午11：00，监测员完成工作后，若以20km/h的平均速度从水文监测点C骑行回湿地监测站A，他能否在上午11：20前到达？（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°） 【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，利用AB＝6及方向角求出AD的长，即为最短距离． （2）在Rt△ADC中，利用∠ACD＝53°和AD＝3求出AC的长，再计算骑行所需时间与20分钟比较即可． 【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D， ∵监测员从B处沿正南方向骑行到C处， ∴BC为正南方向，AD为东西方向， ∵AB＝6km，从A到B沿北偏西30°方向， ∴∠ABD＝30°， 在Rt△ABD中，AD＝AB•sin30°， ∴（km）， ∴他与湿地监测站A之间的最短距离为3km． （2）在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，， ∵点C位于A的南偏西53°方向， ∴∠ACD＝53°， ∴， ∵骑行速度为20km/h， ∴所需时间． ∵0.1875h＝0.1875×60＝11.25分钟， ∴从C骑行回A需要11.25分钟， ∵11：00出发，经过11.25分钟后为11：11：15， ∴能在上午11：20前到达． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•拱墅区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，．CD平分∠ACB，E为DC延长线上一点，且∠EAC＝∠BEC，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点D作DF⊥AC于点F，在Rt△ABC中，根据tan∠CAB，设BC＝a，则AC＝3a，证明△ACE和△ECB相似得CE，证明△CFD是等腰直角三角形DECF＝DF，由勾股定理得DCCF，在Rt△ADF中，根据tan∠CAB得CF，进而得DCCF，据此可得的值． 【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，如图所示： 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠CAB， ∴tan∠CAB， 设BC＝a，则AC＝3a，其中a＞0， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°， 点E为DC延长线上的一点， ∴∠ACE＝180°﹣∠ACD＝135°，∠ECB＝180°﹣∠BCD＝135°， ∴∠ACE＝∠ECB＝135°， 在△ACE和△ECB中， ∠EAC＝∠BEC，∠ACE＝∠ECB＝135°， ∴△ACE∽△ECB， ∴， ∴， ∴CE， 在△CFD中，∠CFD＝90°，∠FCD＝∠ACD＝45°， ∴△CFD是等腰直角三角形， ∴CF＝DF， 由勾股定理得：DCCF， 在△ADF中，∠AFD＝90°，AF＝AD﹣CF＝3a﹣CF， ∴tan∠CAB， ∴CF， ∴DCCF， ∴． 故选：D． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活利用锐角三角函数的定义及勾股定理进行进行计算是解决问题的关键． 【练习 2】（2026•龙华区校级三模）如图．点A是地平面上的一点，淇淇在点A的正上方放飞无人机，他将无人机升高至50m（AC＝50m），此时测得点B的俯角为α，点A，B，C在同一平面内，则点A，B间的距离为（　　） A．50tanαm B． C．50sinαm D． 【分析】在Rt△ABC中，根据正切的定义求解即可． 【解答】解：∵∠ABC＝α，AC＝50m， 由三角函数可得：． 故选：B． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，关键是根据正切的定义求解． 【练习 3】（2024秋•江阴市校级期中）小明沿斜坡AB上行40m，其上升的垂直高度CB为20米，则斜坡AB的坡度（　　） A．30° B．1：2 C． D． 【分析】先由勾股定理得出，再由坡度的定义即可得出答案． 【解答】解：由题意得：AB＝40m，CB＝20m，BC⊥AC， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ∴斜坡AB的坡度， 故选：C． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，熟练掌握坡度的定义是解此题的关键． 【练习 4】（2026•罗湖区校级三模）一束光从空气中以不同的角度射入水中，会发生反射和折射现象，如图1是光束在空水中的径迹，如图2，现将一束光以一定的入射角射入水面GK，此时反射光线与折射光线夹角恰为90°，直线l为法线，A、O、D三点共线，若水深OE为3m，则线段CD的长为（　　） A．2m B．4m C． D． 【分析】根据题意可得：∠α＝∠FOB，∠OEC＝90°，从而可得∠EOC+∠ECO＝90°，再利用平角定义可得∠FOB+∠EOC＝90°，从而可得∠FOB＝∠ECO，进而可得∠α＝∠ECO，再利用对顶角相等可得∠EOD＝∠α，从而可得，然后分别在Rt△ECO和Rt△EOD中，利用锐角三角函数的定义求出EC和ED的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得：∠α＝∠FOB，∠OEC＝90°， ∴∠EOC+∠ECO＝90°， ∵∠BOC＝90°， ∴∠FOB+∠EOC＝180°﹣∠BOC＝90°， ∴∠FOB＝∠ECO， ∴∠α＝∠ECO， ∵∠EOD＝∠α， ∴， 在直角三角形ECO中，OE＝3m， ∴， 在直角三角形EOD中，， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． 【练习 5】（2025•衢州三模）如图，一座水库大坝的横断面为梯形ABCD，斜坡m，现将坡度为的斜坡AB改为坡度为1：2的斜坡AP．则新坡面AP＝　8　 m．（结果保留根号） 【分析】根据AB的坡度为1：，AB＝8，可得AE的长，再根据AB改为坡度为1：2可以求出PE的长，根据勾股定理即可求出新坡面AP． 【解答】解：∵AB的坡度为1：，AB＝8， 设AE＝a，则BEa， ∴ABa＝8，故a＝8， 在Rt△APE中，坡度为1：2， ∴PE＝2a，故APa＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点． 【练习 6】（2026•德阳一模）如图，在港口P的南偏东60°方向有一座小岛Q，一艘船从港口P出发沿正东方向行驶24海里后到达A处，在A处测得小岛Q恰在其西南方向，那么小岛Q与港口P相距　（2424）　 海里．（结果保留根号） 【分析】过Q作QD⊥AP于点D，则∠QDP＝∠QDA＝90°，由题意可知，∠BPA＝60°，∠PAQ＝45°，AP＝24海里，再推出∠QPD＝30°，△ADQ是等腰直角三角形，得PQ＝2DQ，DQ＝DA，设DQ＝DA＝x海里，则PQ＝2x海里，进而由锐角三角函数定义求出PDDQx海里，然后由PD+DA＝AP列出方程，解方程即可解决问题． 【解答】解：如图，过Q作QD⊥AP于点D， 则∠QDP＝∠QDA＝90°， 由题意可知，∠BPA＝60°，∠PAQ＝45°，AP＝24海里， ∴∠QPD＝90°﹣60°＝30°，△ADQ是等腰直角三角形， ∴PQ＝2DQ，DQ＝DA， 设DQ＝DA＝x海里，则PQ＝2x海里， ∵tan∠QPDtan30°， ∴PDDQx（海里）， ∵PD+DA＝AP， ∴x+x＝24， 解得：x＝1212， ∴2x＝2424， 即小岛Q与港口P相距（2424）海里， 故答案为：（2424）． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【练习 7】（2026春•琼中县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝2，BD＝1，DC＝4． （1）求AB、AC； （2）求∠BAC的度数． 【分析】（1）由AD⊥BC，则∠ADB＝∠ADC＝90°，然后通过勾股定理即可求解； （2）由（1）得，，，由勾股定理逆定理得AB2+AC2＝BC2，从而求出∠BAC度数． 【解答】解：（1）由条件可知∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴，； （2）由（1）得，，， ∴，， ∵BC＝BD+CD＝5， ∴BC2＝52＝25， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴∠BAC＝90°． 【点评】本题考查了勾股定理及逆定理，掌握勾股定理及逆定理的应用是解题的关键． 【练习 8】（1）已知等腰三角形一条腰上的高与腰之比为1：，求这个等腰三角形的顶角． （2）已知在△ABC中，AD是BC边上的高，AD＝2，AC＝2，AB＝4，求∠BAC的度数． 【分析】（1）由于没有明确高的位置是在三角形的内部还是外部，所以要根据等腰三角形的性质分两种情况讨论； （2）分两种情形：①当高AD在△ABC内部时，②当高AD在△ACB′外部时，分别求出∠BAD，∠CAD即可解决问题． 【解答】解：（1）由题意知，分两种情况： ①当腰上的高在三角形内部时，如图，AB＝AC，CD⊥AB， 在直角三角形ADC中， sin∠CAD1：， ∴顶角∠CAD＝45°； ②当腰上的高在三角形外部部时，如图，AB＝AC，CD⊥AB， 在直角三角形ADC中， sin∠CAD1：， ∴∠CAD＝45°， ∴顶角∠CAB＝180°﹣∠CAD＝180°﹣45°＝135°； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为45°或135°； （2）如图，①当高AD在△ABC内部时， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵AD＝2，AC，AB＝4， ∴cos∠BAD，cos∠CAD， ∴∠BAD＝60°，∠CAD＝45°， ∴∠BAC＝60°+45°＝105°， ②当高AD在△ACB′外部时，∠CAB′＝60°﹣45°＝15°， 综上所述，∠ABC的度数为15°或105°． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 【练习 9】（2026•上海）如图，小明正在确认大楼是否安全，规定即为安全． （1）当d＝100米时，h至少小于多少米？ （2）若测AB长为a，BC长为b，仰角为θ，求（用含有a、b、θ的代数式表示）． 【分析】（1）根据题意可得：，然后进行计算即可解答； （2）根据题意可得：DE＝AB＝a，然后在Rt△CBD中，利用锐角三角函数的定义求出CD和BD的长，从而求出CE的长，最后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：， ∵d＝100米， ∴， 解得：h＜12.5， ∴h至少小于12.5米； （2）如图： 由题意得：DE＝AB＝a， 在Rt△CBD中，∠CBD＝θ，BC＝b， ∴CD＝BC•sinθ＝bsinθ，BD＝BC•cosθ＝bcosθ， ∴h＝CD+DE＝bsinθ+a， ∴． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记直角三角形三边、两锐角、边角三组关系 · 解直角三角形选对三角函数：已知对边斜边用sin · 坡度=tanα=铅垂高/水平宽，不是角度 · 仰角俯角问题过观测点作水平线构造双直角三角形 · 方向角问题以南北方向为基准作平行线找角度 【作业 1】（2025秋•乐陵市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正切的定义，设AC＝12x，BC＝5x，勾股定理得到AB＝13x，再根据正弦的定义，进行求解即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴设AC＝12x，BC＝5x， ∴， ∴； 故选：B． 【点评】本题考查解直角三角形，正确进行计算是解题关键． 【作业 2】（2024秋•岳阳期末）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（8，12），则tanα的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】过点A作AB⊥x轴于B，根据点A的坐标求出OB、AB，再根据锐角的正切值等于对边比邻边解答． 【解答】解：如图，过点A作AB⊥x轴于B， ∵点A的坐标是（8，12）， ∴OB＝8，AB＝12， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，关键是坐标与图形性质的熟练掌握． 【作业 3】（2024秋•蓬莱区期中）如果在高为2米，坡度为1：2的楼梯上铺地毯，那么地毯长度至少需要（　　） A．2米 B．6米 C．米 D．米 【分析】根据题意画出对应的几何图，注意地毯长度为AB+BC，而不是AC，即可求解． 【解答】解：如图所示： 由题意得：在Rt△ABC中，AB＝2m，AB：BC＝1：2， ∴BC＝2AB＝4m， ∴AB+BC＝6m， 故选：B． 【点评】本题考查了用平移的性质解决实际问题及坡比的应用，掌握坡度比是解题的关键． 【作业 4】（2026•龙华区三模）在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段AB和CD相交于点O，则tan∠AOC的值为　1　 ． 【分析】如图标记格点E，连接AD，BD，则，由此可得∠DAB＝∠CDE，所以∠DAB+∠ADC＝∠CDE+∠ADC，根据外角定理可得∠AOC＝∠ADE＝45°即可解答． 【解答】解： 方法一：如图标记格点E，连接AD，BD， 设小正方形的边长均为1， ∴，， ∵∠ADB＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴， ∵， ∴∠DAB＝∠CDE， ∴∠DAB+∠ADC＝∠CDE+∠ADC， ∵∠AOC＝∠DAB+∠ADC，∠ADE＝∠CDE+∠ADC＝45°， ∴∠AOC＝∠ADE＝45°， ∴tan∠AOC＝1． 方法二：如图可得，Rt△AHB为等腰三角形， ∴∠HAB＝45°， ∵AC∥HD，AC＝HD， ∴四边形ACDH是平行四边形， ∴AH∥DC， ∴tan∠AOC＝tan∠HAB＝tan45°＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了三角函数，明确“等角的三角函数值相等”是解题的关键． 【作业 5】（2026•江夏区校级模拟）如图所示，小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°，则信号发射塔PQ的高度约为　94.6　 米．（结果精确到0.1米，） 【分析】要计算信号发射塔PQ的高度，我们可以通过三角函数结合线段关系建立方程求解． 【解答】解：如图，延长PQ交直线AB于点C， 设PC＝xm． 在Rt△APC 中，∠A＝45°， 则AC＝PC＝xm． ∵∠PBC＝60°， ∴∠BPC＝30°， 在Rt△BPC中，BCxm， ∵AB＝AC﹣BC＝60m， 则， 解得， 则． 在Rt△BCQ中，． ∴． 即信号发射塔PQ的高度约是94.6m． 故答案为：94.6． 【点评】题目考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 【作业 6】（2025秋•浔阳区校级月考）如图1所示的正方体家用医药箱，其侧面是如图2所示的正方形ABCD，在打开医药箱的过程中，矩形AEFD（箱盖）可以绕点E逆时针旋转，落在A′EF′D′的位置，且AD＝40cm，CF＝30cm． （1）如图2，当旋转角为60°时，求点D与点D′之间的距离．（结果保留根号即可） （2）若矩形AEFD在旋转过程中，可旋转的最大角度是70°，求点F′到BC的最大距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，结果精确到0.1cm） 【分析】（1）根据矩形和正方形的性质可得：AD＝EF＝CD＝40cm，∠EFD＝90°，进而得到DF＝10cm，根据勾股定理求出DE，由旋转可得：ED＝ED′，∠DED′＝60°，可推出△DED′是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解； （2）过点F′作F′M⊥BC于点M，交EF于点N，推出四边形CFNM是矩形，得到MN＝CF＝30cm，F′M⊥EF，由题意可知，EF＝EF′＝40cm，∠FEF′＝70°，根据F′N＝sin∠FEE′•EF′求出F′N，最后根据F′到BC的最大距离为F′N+NM，即可求解． 【解答】解：（1）如图2，四边形ABCD是正方形，四边形AEFD是矩形，AD＝40cm，CF＝30cm．连接ED、ED′、DD′， ∴AD＝EF＝CD＝40cm，∠EFD＝90°， ∵CF＝30cm， ∴DF＝CD﹣CF＝40﹣30＝10（cm）， 在直角三角形DEF中，由勾股定理得：， 由旋转可得：ED＝ED′，∠DED′＝60°， ∴△DED′是等边三角形， ∴，即点D与点D′之间的距离为； （2）如图3，四边形ABCD是正方形，四边形AEFD是矩形，过点F′作F′M⊥BC于点M，交EF于点N， ∴AD＝EF＝CD＝40cm，∠C＝∠EFD＝90°， ∴四边形CFNM是矩形， ∴MN＝CF＝30cm，F′M⊥EF， 由旋转可得：EF＝EF′＝40cm，矩形AEFD在旋转过程中，可旋转的最大角度是70°， ∴∠FEF′＝70°， ∴F′N＝sin∠FEF′•EF′＝0.94×40＝37.6（cm）， ∴F′到BC的最大距离为F′N+NM＝37.6+30＝67.6（cm）． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，生活中的旋转现象，矩形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质． 【作业 7】（2026•高唐县二模）如图1所示，机器人舞蹈演员在舞台上展示高难度中国舞造型，图2是其瞬间的几何示意图，演员的一腿AB直立于地面MN，小腿部分是CD，上身AP，即AB⊥MN于点B，CE是演员小腿CD上踢后与大腿AC在同一平面的瞬间（这里的小腿CD，CE都包括脚面部分，上身AP包括头部部分）．已知演员身高160cm，腿AB＝90cm． （1）若∠CAB＝140°，∠DCE＝50°．求证：CD∥MN； （2）若演员上身AP垂直于大腿AC，大腿AC的长为50cm，求点P，C间的距离（保留根号）； （3）当演员头部P距离地面的高度是125cm时，求上身AP倾斜的角度∠QAP． 【分析】（1）过点A作AF∥CD，进而证明FA∥MN，即可判断CD∥MN； （2）易得AP的长度，进而根据勾股定理可得PC的长度； （3）作PG⊥BQ于点G，则GB为点P距离地面的高度，易得GA的长度，那么可得∠QAP的余弦值，即可求得∠QAP的度数． 【解答】解：（1）过点A作AF∥CD， ∴∠FAE＝∠DCE＝50°， ∵∠CAB＝140°， ∴∠FAB＝140°﹣50°＝90°， ∵AB⊥MN， ∴∠ABN＝90°， ∴∠FAB＝∠ABN， ∴FA∥MN， ∴CD∥MN； （2）连接PC，由题意得：AP＝160﹣90＝70cm， ∵AC⊥AP， ∴∠CAP＝90°， ∵AC＝50cm， ∴CP10cm； （3）作PG⊥BQ于点G，则∠AGP＝90°， 由题意得：GB＝125cm， ∴AG＝125﹣AB＝35cm， ∵AP＝70cm， ∴cos∠QAP， ∴∠QAP＝60°． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．构造合适的辅助线解决问题是解决本题的难点． 【作业 8】（2026•邯郸校级二模）在水平地面上有一个坐式拉力器（图1），其抽象出如图2，点B是旋转的支点，点D是把手点，∠B＝45°，∠A＝30°，AD＝2m，点C是AD的中点．锻炼时，人坐上椅座，伸手握住把手，适度向后拉，再缓慢回落． （1）求AB的长； （2）如图3，当向后将BC拉到与水平地面垂直的BC′位置时，求点D′距离水平地面的高度（结果保留根号）． 【分析】（1）如图，过C作CH⊥AB于H，再分别求解CH，BH，AH即可； （2）如图，过D′作D′M⊥AB于M，过A′作A′N⊥AB于N，过M作MR∥A′D′交A′N于R，交C′B于K，可得四边形D′MKC′，C′KRA′是平行四边形，△MBK∽△MNR，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）如图，过C作CH⊥AB于H， ∵AD＝2m，点C是AD的中点， ∴， ∵∠A＝30°， ∴，， ∵∠B＝45°， ∴， ∴． （2）如图，过A′作A′N⊥AB于N，过D′作D′M⊥AB于M，过M作MR∥A′D′交A′N于R，交C′B于K， ∴D′M∥C′B∥A′N， ∴四边形D′MKC′，C′KRA′是平行四边形，△MBK∽△MNR， ∴C′A′＝KR，，D′M＝C′K＝A′R，D′C′＝MK， ∵由旋转可得：，D′C′＝DC＝AC＝A′C′，BC＝B′C′， ∴，即RN＝2BK， ∴A′N﹣D′M＝RN＝2BK， 由（1）得：， ∴， 由旋转可得：∠C′BA′＝45°，则∠A′BN＝90°﹣45°＝45°， ∴， ∴，而D′M＝C′K＝A′R， 解得：． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 9】（2026•平桥区二模）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为BC，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°． （1）求点A到墙面BC的距离； （2）当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，量得影长CD为1.8米，求遮阳篷靠墙端离地高BC的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29） 【分析】（1）过点A作AF⊥BC，垂足为F，在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答； （2）过点A作AG⊥CE，垂足为G，根据题意可得：AG＝CF，AF＝CG＝4.8米，从而可得DG＝3米，然后在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而求出CF的长，再在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）过点A作AF⊥BC，垂足为F， 在Rt△ABF中，AB＝5米，∠BAF＝16°， ∴AF＝AB•cos16°≈5×0.96＝4.8（米）， ∴点A到墙面BC的距离约为4.8米； （2）过点A作AG⊥CE，垂足为G， 由题意得：AG＝CF，AF＝CG＝4.8米， ∵CD＝1.8米， ∴DG＝CG﹣CD＝4.8﹣1.8＝3（米）， 在Rt△ADG中，∠ADG＝45°， ∴AG＝DG•tan45°＝3（米）， ∴CF＝AG＝3米， 在Rt△ABF中，AB＝5米，∠BAF＝16°， ∴BF＝AB•sin16°≈5×0.28＝1.4（米）， ∴BC＝BF+CF＝1.4+3＝4.4（米）， ∴遮阳篷靠墙端离地高BC的长为4.4米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【作业 10】（2025秋•萧县期末）如图1，滕王阁，江南三大名楼之一，位于江西省南昌市，始建于唐朝永徽四年，因初唐诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．数学实践小组要测量滕王阁的高度，如图2，小组成员甲在点A处测得滕王阁最高点C的仰角∠CAE＝45°，再沿正对滕王阁方向前进至B处测得最高点C的仰角∠CBE＝58°，AB＝21.6m，小组成员乙在点G处竖立标杆FG，点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，FG＝1.6m，GD＝2m． （1）求滕王阁的高度CE；（结果精确到1m，参考数据：sin58°≈0.855，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60） （2）求乙同学与滕王阁之间的距离EG． 【分析】（1）在Rt△CAE中，因为∠CAE＝45°，根据等腰直角三角形的性质，可得CE＝AE．已知AB＝21.6m，所以BE＝AE﹣AB＝CE﹣21.6．在Rt△CBE中，利用正切函数，将BE＝CE﹣21.6代入，得到关于CE的方程，进而求解出CE的长度． （2）由题意可知∠CED＝90°＝∠FGD，且∠FDG＝∠CDE，所以可判定△FGD∽△CED．根据相似三角形的性质，对应边成比例，即，将已知的FG＝1.6m，GD＝2m，CE≈58m代入，求出ED的长度，最后用ED﹣GD即可得到EG的长度． 【解答】解：（1）∵在Rt△CAE中，∠CAE＝45°， ∴CE＝AE， ∵AB＝21.6m， ∴BE＝AE﹣AB＝CE﹣AB＝CE﹣21.6（m）． 在 Rt△CEB中，， ∴， 解得：CE＝57.6≈58m， 答：滕王阁的高度CE约为58m； （2）由题意知，∠FDG＝∠CDE，∠CED＝90°＝∠FGD， ∴△FGD∽△CED， ∴ 即， 解得 ED＝72.5m． ∴EG＝ED﹣GD＝72.5﹣2＝70.5（m）， 答：乙同学与滕王阁之间的距离EG约为m＝70.5m． 【点评】本题考查解直角三角形和相似三角形的应用，解题关键是利用仰角构造直角三角形，结合三角函数的定义以及相似三角形的判定与性质来建立等式求解． 【作业 11】（2026•宿迁二模）某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，设计如下： 项目主题 桥梁模型的承重试验 活动目标 经历项目化学习的过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为数学问题 驱动问题 当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度 方案设计 工具 桥梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、绳子、挂钩等 示意图 状态一（空水桶） 状态二（水桶内加一定量的水） 说明：C为AB的中点，CD⊥AB 请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题： （1）该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构，这样设计依据的数学原理是A ； A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 （2）在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图②所示的形变．若其他因素忽略不计，测得CD＝32cm，∠CAC′＝12°，∠CAD＝45°，请计算此时水桶下降的高度CC′（参考数据：sin12°≈0.2，cos12°≈1.0，tan12°≈0.2）． 【分析】（1）因为三角形具有稳定性，题中选用了三角形结构，所以这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性； （2）设CC′为xcm，易得AC′＝（32+x）cm，根据12°的正切值可得关于x的方程，求得x即为此时水桶下降的高度． 【解答】解：（1）因为三角形具有稳定性，题中选用了三角形结构，所以这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：A； （2）设CC′为xcm， ∵CD⊥AB， ∴∠AC′D＝90°， 在图2中，∠C′AD＝45°，CD＝32cm， ∴C′D＝（32+x）cm， ∴AC′＝C′D÷tan45°＝（32+x）cm， ∵∠CAC′＝12°， ∴CC′＝AC′×tan∠CAC′， 即：x＝（32+x）•tan12°， 解得：x＝8． ∴CC′＝8cm． 答：此时水桶下降的高度CC′为8cm． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．掌握锐角三角函数的相关知识是解决本题的关键． 【作业 12】（2026•德州一模）如图1，张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头．洗手盆及水龙头示意图如图2，开启前把手AM与水平线平行，完全开启后，把手AM与水平线的夹角为47°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，且所成的直线与洗手盆底EH的夹角（∠ACE）为60°，AM＝10cm，ME＝28cm． （1）水龙头从闭合到完全开启，求A点上升的高度； （2）求EC的长． （结果精确到0.1cm．参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07， 【分析】（1）过点A作AG⊥EH 于G，作MN⊥AG于N，解直角三角形求出AN即可； （2）解直角三角形求出EG，CG可得结论． 【解答】解：（1）过点A作AG⊥EH 于G，作MN⊥AG于N， 在Rt△AMN 中，∠ANM＝90°， ，由题意得∠AMN＝47°， AN＝AM•sin∠AMN＝10×sin47°＝10×0.73＝7.3（cm）， 答：A点上升的高度7.3cm； （2）∵AG⊥GC，MN⊥AG， ∴∠EGN＝∠MNG＝90°， ∵∠DEG＝90°， ∴∠EGN＝∠MNG＝∠DEG＝90°， ∴四边形EGNM为矩形， ∴EG＝MN，EM＝NG 在Rt△AMN 中，∠ANM＝90° ， ∴MN＝AM•cos∠AMN＝10•cos47°≈10×0.68＝6.8（cm）， ∴EG＝MN＝6.8（cm）， ∴AG＝AN+NG＝AN+ME＝7.3+28＝35.3（cm）， 在 Rt△AGC 中，∠AGC＝90°， ， ∴CG20.40（cm）， ∴EC＝EG+CG＝6.8+20.40＝27.20≈27.2（cm）， 答：EC的长为27.2cm． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $