1.3.1节《三角函数的应用（1）——测高》讲义 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

本讲义聚焦三角函数在测高中的应用，系统梳理仰角、俯角、方位角的识别与规范标注，通过课前复习特殊角三角函数值及直角三角形边角关系搭建基础，结合测塔高、航海触礁、楼梯改造等实例，讲解构造直角三角形、列方程等解题方法，形成完整学习支架。 资料特色在于题型分类清晰且注重一题多解，如测塔高通过外角性质简算与方程通用法培养推理能力，以航海、楼梯改造等现实情境引导学生用数学眼光抽象模型，规范步骤强化数学语言表达。课中助力教师系统教学，课后练习与变式题帮助学生巩固提升，弥补知识盲点。

第一章 直角三角形的边角关系 《1.3.1三角函数的应用——测高》讲义 【学习目标】 1.知识与技能目标 （1） 准确区分仰角、俯角：低处望高处为仰角，高处望低处为俯角，能在几何图中规范标 （2） 掌握方位角（南偏西、北偏东、东北方向等）的读图方法，能根据文字描述在坐标系中标出对应方位角度。 2.题型解题能力目标 （1）仰俯角测高类 ①掌握测塔、楼房、树木高度题型，能通过作水平线构造直角三角形，结合矩形处理测倾器高度； ②掌握两种解题方法：利用三角形外角等角等边快速简算、设未知数结合两次直角三角形列方程通用解法，能对比两种方法优劣； ③会处理一题变式，灵活替换仰角度数求解高度。 （2）方位角航海类 ①过观测点作垂线构造双直角三角形模型； ②设公共垂线段为未知数，利用两段水平距离之差列方程求解； ③能通过计算最短距离判断船只是否存在触礁风险。 （3）楼梯改造类 ①抓住改造前后垂直高度不变的核心条件； ②分别计算改造前后楼梯长度、地面占用长度，求出加长量与地面多占距离。 3.建模与计算能力目标 （1）能把测高、航海、楼梯改造等现实生活场景，抽象转化为直角三角形几何图形； （2）综合运用三角函数、勾股定理、矩形性质联合解题； （3）熟练根式化简、小数近似取值，按题目要求精确到指定数位； （4）规范几何应用题书写步骤，清晰标注辅助线、等量关系。 4.数学思维目标 （1）一题多解，学会根据题干条件选择简便解题思路； （2）建立数形结合思维，依靠图形梳理角度、边长等量关系； （3）提升文字题干转几何条件的读图、识图能力。 一、课前复习 1. 特殊角三角函数值正向计算 ； ；；； 2.在Rt△ABC中，∠C=90°， ①若已知c，∠A，则a=_______，b=_______； ②若已知b，∠A，则a=_______，c=_______； ③若已知a，∠A，则b=_______，c=_______； 二、新知学习 1. 俯角仰角 如图 ，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为_______(angle ofelevation)。 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为_______(angle ofdepression). 在图中标出俯角和仰角。 2. 例题学习1（仰角俯角类） 例题1：如图，小明想测量塔AB的高度。他在C处用高为1m的测倾器CE测得塔顶A的仰角为30°，再朝塔的方向前进50m至D处，测得塔顶A的仰角为60°。请你帮他计算一下这座塔的高度(结果精确到 0.1 m)。 思考：题干中的30°和60°分别是图中哪两个角？请在图中做出标记。 【方法1：计算简单】 解：由题意知∠AEF=30° ，∠AFG=60° ∵∠AFG为△AEF外角 ∴∠EAF=60°－30°=30°=∠AEF …………………………………………① ∴EF=AF=50 在Rt△AGF中，∠AGF=90°，∠AFG=60°, ∴AG=AF·sin60°=50× = 25m ………………………………………② ∵∠CEF=∠ECF=∠CBG ∴矩形CEGB成立 ∴BG=CE=1m ………………………………………………………③ ∴AB=BG+AG= 25+1≈25×1.73+1=44.25m≈44.3m 答：这座塔高度约为44.3m …………………………………………④ 【方法2：方法通用】 解：设FG=BD=xm， Rt△AFG中，∠AGF=90°，∠AFG=60° ∴AG=FG·tan60°=m ………………………………………………① Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠AEG=30° ∴EG=AG·tan60°=·=3x …………………………………………② ∵∠CEF=∠ECF=∠CBG ∴矩形CEGB成立 ∴BC=EG=（x+50）m，EC=BG=1m…………………………………③ ∴3x=x+50，x=25………………………………………………………④ ∴AG=25≈25×1.73=43.25m…………………………………………⑤ ∴AB=AG+BG=43.25+1=44.25m≈44.3m 答：这座塔高度约为44.3m……………………………………………⑥ 回顾思考：刚才问题解决哪个方法更好一些？为什么？ 教学注意：（1）提醒学生过程书写的规范；（2）注意方法选择的简便性和通用性。 练习1：（例题变式） 将例题1中的条件“朝塔的方向前进50m至D处，测得塔顶A的仰角为60°”更改为：“朝塔的方向前进50m至D处，测得塔顶A的仰角为45°”.如何求塔高？ 解：设FG=BD=xm， Rt△AFG中，∠AGF=90°，∠AFG=45° ∴AG=FG·tan45°= m ………………………………………………① Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠AEG=30° ∴EG=AG÷tan30°= m …………………………………………② ∵∠CEF=∠ECF=∠CBG ∴矩形CEGB成立 ∴BC=EG=（x+50）m，EC=BG=1m………………………………③ ∴=x+50， x=25（+1） x≈25×2.73 x≈68.25…………………………………………………………④ ∴AG=x≈68.25m……………………………………………………⑤ （注意中间过程结果精确到最终结果要求的下一位） ∴AB=AG+BG=68.25+1=69.25m≈69.3m 答：这座塔高度约为≈69.3m…………………………………………⑥ 3. 例题学习2（方位角类） 例题2：如图，海中有一个小岛A，该岛四周10 n mile内有暗礁。一艘货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，向东行驶20 n mile后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货轮继续向东航行。 （参考数据：tan55°≈1.43，tan25°≈0.47） 思考：你能在图中标记出题干中的55°和25°两个角吗？ 解析：过点A作AD⊥BC延长线于点D 由题意知：∠BAD=55°，∠CAD=25°，BC=20n mile ……………………① 设AD=x m， Rt△ADC中，∠ADC=90°， ∴CD=AD·tan25°=0.47x m ……………② Rt△ADB中，∠ADB=90°， ∴BD=AD·tan55°=1.43x m……………③ ∵BD-CD=BC ∴1.43x－0.47x=20 解得：x= ≈20.8…………………④ ∴AD≈20.8n mile＞10n mile…………………⑤ ∴无触礁危险…………………………………⑥ 练习2： 求图中避雷针CD长度（结果精确到0.01m） （参考数据：tan50°≈1.192，tan56°≈1.483） 答案：5.82m 4. 问题解决（课本改编） 如图1-29，某博物馆准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由45°减至30°，已知原有楼梯的长度为4m，调整后的楼梯应加长多少?楼梯多占多长一段地面(结果精确到0.01m)?与同伴交流你的思考过程。 （参考数据：） 思考：（1）你能根据题意在一个图中画出更改前后的楼梯吗？ （2） 更改前后的楼梯什么发生了变化，什么不变？ （3） 画出正确的图形后，“调整后的楼梯应加长量”和“楼梯多占地面长度”分别是图中的哪一条线段？ 方法1图 方法2图 【方法1】 解：由题意知：∠BAC=45°,∠BDC=30°，AB=4m Rt△ACB中，∠ACB=90°, ∴AC=AB·cos45°=4× =2m，BC=AB·sin45°=4× =2m Rt△BCD中，∠BCD=90°,∠BDC=30° ∴BD=2BC=4m CD= m， 调整后的楼梯应加长BD－AB 4－4≈4×1.414－4=1.656≈1.66 m 楼梯多占地面长度为：AD=CD－AC=－2≈2×2.449－2×1.414=2.07m 【方法2】解析略。 三、巩固练习 1. 如图,已知A处位于B处的右上方,若从B处观察A处的仰角为40°，则从A处观察B处的俯角为（ ） A. 40° B.50° C.130° D.140° 1题图 2题图 2. 如图,在综合与实践活动中,小明在学校门口的点C处测得树的顶端A的仰角为55°,同时测得 BC=10 m,则树的高AB(单位:m)为（ ） A. 10tan55° B. B. D.10sin 55° 3. 如图，在宿舍楼的C，D两点处观测与地面垂直的建筑物AB，从点D观测点A的俯角是27°，从点C观测点B的仰角是50°，已知宿舍楼CD的高度是20m。建筑物AB的高度为_____________。(结果精确到1m)。（参考数据：tan27°≈0.51，tan 50°≈1.19） 4. 如图，物华大厦离小伟家60m，小伟从自家的窗中眺望大厦，观测大厦顶部时，测得仰角是45°，观测大厦底部时，测得俯角是37°，求该大厦的高度(结果精确到0.1m)。 （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） 5. 如图，一艘货轮以 36 n mile/h的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B。货轮继续向北航行40min后到达C处，发现灯塔B在它北偏东 75°方向。根据这一情境你能提出怎样的问题?选择一个问题加以解答。 巩固练习答案： 1.A； 2.A; 3. 47m； 4.105m 5.答案不唯一 学科网（北京）股份有限公司 $