1.2 解直角三角形 同步练习 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，实现三角函数从定义到综合应用的递进，强化几何直观与运算能力，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一三角函数定义与计算|直接应用余弦、正切定义（如单选1），强化特殊角三角函数值（如单选2）| |中档|图形情境中的简单应用|网格问题构造直角三角形（如单选4），菱形中结合60°角计算（如单选8）| |提升|综合知识的复杂问题解决|角平分线与相似结合（填空15），非直角三角形作高转化（解答17），培养推理意识|

1.2解直角三角形同步练习2026-2027鲁教版（五四制)九年 级数学上册 未命名 一、单选题 1.如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是4，m）,且OP与x轴正半轴的 3 夹角a的余弦值是5，则an∠a的值是（） 4 A.5 B. D.3 2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，BC=3,则AB的长为() B B.3 D 2W5 A.1 C.2 3在R△1BC中，∠C=0r,若60sB 5,则tan4的值为（) 3 3 D. 4 A.5 B.4 C.4 4.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均为格点，则 sin/ABC的值为() r- 试卷第1页，共3页 5 2V5 5 A.3 B.5 C.5 D.2 1如图，在R△BC中，∠C=0·AB=100sA 5,则BC的长为() A.4 B.5 C.6 D.8 6如图，在△MBC中，∠A=30,4C=25,m8= 2,则AB的长为() B A.2+25 B.3+V5 C.4 D.5 7.如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B,C都在网格线上，AD⊥BC,垂足为 D,则tan∠BAD=() A.4 B.Z n 8.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠A=60°，E是AB的中点，连接CE,则CE的长 为() 试卷第2页，共3页 D B E A.3V5 B.3V万 C.9 D.6V2 9.如图，分别以A'B为圆心，以大于2AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M,N, 作直线MN,分别与AB,AP交于点D,E,再以点D为圆心，BD的长为半径画弧，与 AP交于点C,连接BC.若BC=6,AC=l0,则sin∠CBE是() A B D 8 A.7 8 B. C. 10如图.在a4Bc,B=4W5:∠C=60,若n8 4,则AC的长为() A.3 B.6 c.35 D.6V5 1.如图，在。C中，mB=号amC=1B=0,则AC的长为←) 试卷第3页，共3页 4.v5 B.3V2 C.4v2 D.6 二、填空题 12.在RtABC中，∠A=90,BC=6cosB= 3,则4B的长为_，AC的长为 13.在R△AC中，∠C=90,BC=10,4B=105,则∠A的度数为 14.已知：如图，在△MBC中，∠B=30°，∠C=450.4C=4 2,则1B的长为 15.如图，在R△ABC中，∠C=90,4D平分∠B1C,交BC于点D.m∠CD克，则 BC AC 三、解答题 16.在△ABC中，∠C=90° ()已知c=2W5 ∠A=30° 求∠B.ab ②已知a=56,4=45”,求∠B,6,c 17.如图，aMBC中，∠B4C=90°.AC=12.AB=45DA=6N2 试卷第4页，共3页 A B D (1)求∠B的度数： (2)求∠CAD的度数. 18如图，在a4BC中，4B=6:∠B为能角，AD⊥BC,垂足为D,若c0s8 2 tamC=3N5.求∠B的度数及BC的长. B D C 试卷第5页，共3页 1.2解直角三角形同步练习2026-2027鲁教版（五四制)九年级数学上册》参考答案 1.D 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，坐标与图形，解题的关键是正确添加垂线 构造直角三角形. 过点P作PA⊥x轴于点A,先由余弦定义求出OP,再由勾股定理求解PA,最后利用正切 的定义求解即可. 【详解】解：如图所示：过点P作PA⊥x轴于点A, (4,m) ,P是第一象限内的点，其坐标是 .A0=4 ”OP与x轴正半轴的夹角a的余弦值是5， 0P=0A-420 cosa 33 PA=VOP:-O=16 3 16 ∴tan∠a=PA-34 0443 故选：D. 2.B 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键.由题意得到 BC tan= AB, 据此即可求出答案 【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，BC=3, 答案第1页，共2页 B,即an60°=3 tan 4=BC B AB=3 故选：B 3.C 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，关键是熟练运用数形结合的数学方法.设 BC BC=3a,4B=5a,根据勾股定理求出AC=4a,再根据anA=C即可得出结果 【详解】解：如图所示，cosB=BC=3 AB 5 设BC=3a,AB=5a. B 则 4 AC=JAB2-BC2=(5a)-(3a)=4a .tan 4= BC 3a3 AC4a4· 故选：C 4.c 【分析】先利用△ABC的面积，求出BC边上的高线长，再求sin∠ABC的值 【详解】解：设BC边上的高线长为h, SA8C =2x7-1 32*2x4 1x3 2x1x7. 8cx+7不h, S△ABC= 所以2x7- h=2 解得： 答案第2页，共2页 in∠ABC= h √25 所以 ABV1P+32V105, 故选：C 【点睛】本题考查了用勾股定理解三角形，勾股定理与网格问题，求角的正弦值，解直角 三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解， 5.C 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，解直角三角形可得AC=8,再由勾股定理 计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键。 【详解】解：在RtA4BC中，ZC=90,8=0,cosA4 5 AC 4 ·AB5 ,AB=10 .AC=8, BC-VAB2-ACE=6 故选：C. 6.D 【分析】作QD18于D,根据<=30°，4C=25,算CD和4D,再根据 tanB=CD_3 BD2,算出BD,最后根据AB=AD+BD计算即可， 【详解】如下图，作CD⊥AB于D, B 0 在RtAC 中，∠A=30AC=25 答案第3页，共2页 .CD-AC 4D=CD=3 tan B=CD_3 在RtaBCD中， BD 2, 55 BD2, BD=2, .AB=AD+BD=3+2=5, 故选：D 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关 键. 7.B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解题关键是掌握上述知识 点并能运用求解， BD BE 先证明ABDACBE,再根据相似三角形的性质列出比例式ADEC, 根据正切的定义 式求解， 【详解】解：如图， E D :AD⊥BC,AB⊥BE, .∠ADB=∠BEC, 又∠ABD=∠EBC, .△ABDP△CBE, BD BE AD EC' ∴.tan∠BAD= BD BE 2 1 AD EC 4 2, 故选：B. 答案第4页，共2页 8.B 【分析】根据菱形的性质可得AB=6,∠ABC=120°，E是AB的中点，得到BE=3, 如图，过点C作CH⊥AB交AB的延长线于点H,求出∠CBH=60°，解直角三角形求出 BH=3 CH=3V3 ,进而求出EH=6,利用勾股定理即可求解。 【详解】解：四边形ABCD是菱形，∠A=60°， .AB=BC=6.AD//BC. .∠ABC=180°-∠A=120° E是AB的中点， .1 BE=2B=3, 如图，过点C作CH L AB交AB的延长线于点H, O E B ∴，∠CBH=180°-∠ABC=60°」 BH=BC-cos60°=6x3-3CH=BC-sin60°=6xJ5 1 =33 在Rt△CBH中， 2 ∴.EH=EB+BH=3+3=6, 在RtCEH中，CE=VEH+CH-V62+35=V36+27=V63=37 9.A 【分折】根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE,AD=BD,DE⊥AB,CD=BD1B, 根据等腰三角形的性质及三角形内角和得到∠4CB=90,根据勾股定理得到E-头 5 CE=16 5,根据三角函数的定义求解即可. 【详解】解：连接CD,由作图知，DE垂直平分AB,CD=BD, 答案第5页，共2页 B .AE=BE,AD=BD,DE⊥AB :D=D-46 ∴.∠DCB=∠DBC,∠A=∠ACD. .2(∠ACD+∠BCD)=180°， .∠ACB=90°， .'CE2+BC2=BE2, :10-AEy+62=AB BE=AE=34 , CE=AC-AE=16 , 16 :sin∠CBE=CE 5=8 ΓBE3417. 10.B 【分析】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键：过点A作AE⊥BC于 3 B,由i血B=4求得ME,再由正弦函数关系即可求得AC: 【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于E, 答案第6页，共2页 B E 则∠AEB=∠AEC=90°： 在R△AEB中，sinB=4E=3 AB 4, :4B=4B=x45=3w5 4 在Rt△AEC中， sinC=sin60°=4E=V5 AC 2, :4C=AE# 2 =6 11.c 【分析】本题考查了解直角三角形以及勾股定理的应用，过点A作AD⊥BC于点D,先根 据sinB求AD,再根据tanC求DC,在RIAADC中利用勾股定理即可. 【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D, B D 则∠ADB=∠ADC=90°， .'sin B=4D2 AB5,AB=10: .AD=4, :mc=2-1, DC .AC=AD=4, .AC=AD2+DC2=42 答案第7页，共2页 故选：C. 12.24V2 【详解】解：在RABC中，∠A=90,BC=6,cosB-} 3 :.CosB=AB=1 4B 1 BC=3,即6=3，解得AB=2: .AC=BC2-AB2=36-4=42 故答案为： 24v2 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的知识，正确的理解锐角三角函数是解题的关键. 13.45°/45度 【分析】本题考查解直角三角形，根据正弦的定义解答即可. BC 102 【详解】解：·sin4= AB10W22, ∠A=45°， 故答案为：45°. 14.8 【分析】过点A作AD⊥BC于点D,在Rt△ACD中利用三角函数求出AD,在RIAABD中 利用三角函数求出AB. 【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D, 在s4CD中，∠C=45,4C=42,smC= AC, :4D=4C-sm45=45x5=4 2 在Rt△ABD中，∠B=30, sin B=AD AB 答案第8页，共2页 AD 4 AB= =8 sin30°1 2 15.3 【分析】本题主要考查解直角三角形、相似三角形的判定及性质、一元二次方程等，过点 D作AB的垂线，交AB于点E,设CD=I,DB=x,可求得AC=2,CD=DE=1,结合 AC AB 2 V4+(1+x)2 DE=BD,可得 x 变形之后解方程，可求得DB的长度。 【详解】解：如图所示，过点D作AB的垂线，交AB于点E. 设CD=l,DB=x. :tan∠CAD=CD.1 AC 2, .AC=2 :AD平分∠BAC,∠C=∠DEA=90° .CD=DE=1. 在Rt△ABC中， AB=4C+BC=4+(1+x) .∠C=∠DEB,∠B=∠B, ∴.△BAC∽△BDE」 AC AB ·DE=BD,即 24+(1+x月 1 变形，得 答案第9页，共2页 3x2-2x-5=0 解方程，得 5 x=3,x2=-1: ..BC=8 3 BC 4 …AC3 16.()2B=60°.a=V3b=3 (2)∠B=45°，b=5V6c=10W5 【分析】(1)由三角形内角和定理可得<B=6,由直角三角形的性质可得Q=5 ,再由 正弦的定义计算即可得出结果： (②)由三角形内角和定理可得<B=45 b=5/6 由等腰三角形的性质可得 ,最后再由勾 股定理计算即可得出结果。 【详解】(1)解：~∠C=90°，∠A=30°， 11 六∠B=90°-∠A=60,a=20=2x25=5, sinB=b C b=c.sin B-2x3 (2)解：∠C=90°，∠A=45°， .∠B=90°-∠A=45°， .∠B=∠A, :b=a=5v6 答案第10页，共2页 c=a2+6=56+56=105 17.(1)∠B=60 (2)∠CAD=15° 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，熟练掌握三角函数的定义，特殊角的 三角函数值，是解题的关键 tanB=AC、I2 (1)根据三角函数定义求 B4W65 根据特殊角的三角函数值，求出结 果即可； (2)过点A作AE⊥BC于点E,根据三角函数求值 4E=4B-sin B-43xsin60=4x 2=6 2 6,得出os∠D1AE=1E6V2 AD6√22，从而求 出∠DAE=45°，即可得出答案. 【详解】(1)解：△MBC中，∠B1C=90°，AC=12.AB=43 :tanB=4C、12 5=V5 AB 43 .∠B=60°： (2)解：过点A作AE⊥BC于点E,如图所示： A B E D 则∠AEB=∠AED=90°， ∴.∠BAE=90°-∠B=30°， 4B=43 .AE=AB-simB=4W5×sim60°=4W5x5-6 AD=62, 答案第11页，共2页 :cs∠DAE=5怎6、V5 AD6√22， .∠DAE=45°， .∠CAD=90°-30°-45°=15° 18.∠B=60°，BC=4 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三 角函数的计算公式是解题的关键 根据函数值直接得到∠B的度数以及BD的长，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得AD的长， 再由 anC=3v ,可得到CD的长，即可求解。 1 【详解】解：~∠B为锐角，且cosB= 2,AD⊥BC, BD 1 AB2∠B=60 AB=6, .BD=3 在R1△ABD中，AD=VAB-BD2=V62-32=3V5 AD .tanC= =35 CD ..CD= AD 33 =1 353V5. BC=BD+CD=3+1=4. 答案第12页，共2页