第8讲 投影 优等生讲义(知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年鲁教版(五四制)九年级数学上册

第8讲 投影 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年鲁教版(五四制)九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 了解投影、投影线、投影面的概念，能区分中心投影与平行投影 · 理解中心投影的特点，会根据点光源画出物体的影子 · 理解平行投影特别是正投影的性质，会求物体在阳光下的影长 · 能利用相似三角形建立物高与影长的比例关系解决实际问题 · 会综合运用投影知识判断日影变化规律并解决测量问题 📚 知识梳理 ☆ 1.投影的基本概念 用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫投影；照射光线叫投影线，投影所在平面叫投影面 中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影，如手电筒、路灯、台灯 平行投影：由平行光线形成的投影，如太阳光；其中投影线垂直于投影面的叫正投影 中心投影的影子随物体离光源远近变化；平行投影下同一时刻物高与影长成正比 概念辨析例题：下列现象：①手影游戏；②太阳光下树的影子；③路灯下人的影子；④日晷计时，其中属于中心投影的是？ 解析：手影、路灯灯光都由点光源发出，属中心投影；太阳光、日晷利用平行光线，属平行投影 ☆ 2.中心投影 点光源下，物体离光源越近影子越短，离光源越远影子越长 连接点光源与物体顶端并延长，与投影面交点即影子顶端 等高物体在点光源下离光源越近影子越短，影子方向都指向远离光源一侧 中心投影形成的两个三角形相似，可列比例式求影长或物高 概念辨析例题：木棒AB高10cm，在点光源P下墙面上投影CD长40cm，P到AB距离为20cm，求P到墙面的距离 解析：由中心投影相似三角形：=，即=，解得x=80cm ☆ 3.平行投影与正投影 太阳光线可看作平行光线，形成平行投影 平行投影下，同一时刻不同物体的物高与影长之比相等 正投影：投影线垂直于投影面；线段平行投影面时投影长等于线段长 平面图形平行于投影面时，正投影与原图形全等 概念辨析例题：高9米的小树AB在太阳光下投影BE长6米，同一时刻高1.8米的标杆CD投影CF长多少？ 解析：平行投影下物高影长成正比=，即=，解得CF=1.2米 ☆ 4.投影的应用与日影变化 利用物高影长比例可测树高、楼高，是相似三角形的实际应用 北半球从早晨到傍晚，物体影子方向：西→西北→北→东北→东 一天中正午影子最短；一年中正午影子夏至最短、冬至最长 圭表、日晷都是利用平行投影（太阳光）测量的古代仪器 概念辨析例题：高20m的教学楼影子长15m，楼前10m处有高5m的旗杆，问同一时刻能否看到旗杆顶端影子？ 解析：由比例旗杆影长=5×=3.75m，旗杆距楼10m＞3.75m，影子落在楼前地面；教学楼影子末端距楼15m，旗杆影子末端距旗杆3.75m即距楼10-3.75=6.25m处，在楼影范围内被遮挡 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 中心投影 点光源发出光线形成 影子随距离变化 平行投影 平行光线形成 物高影长成正比 正投影 投影线垂直投影面 图形全等当平行 物高影长比例 =定值 同一时刻成立 影子方向 西→西北→北→东北→东 北半球规律 圭表日晷 利用太阳光测影 冬至影长夏至影短 ⚠️ 核心考点 【考点1】中心投影（第1-18题） · 判断点光源：手电筒、路灯、台灯、舞台灯光 · 过光源与物体顶端连线延长找影端 · 物体离光源越近影子越短 · 用相似三角形列比例求影长或物高 1．（2025秋•萨尔图区校级期中）如图，夜晚冬冬从A点走向B点，他的影子会（　　） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，再变短 D．先变短，再变长 2．（2025秋•深圳校级期中）下列投影现象属于中心投影的是（　　） A．陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在日光下的影子 B．苏轼“把酒问青天”时，酒杯在月光下的影子 C．王维“大漠孤烟直”时，归雁在落日下的影子 D．匡衡“凿壁偷光”时，书卷在灯光下的影子 3．（2025•福田区二模）如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板ABC形成影子△A1B1C1，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（　　） A．∠A1B1C1越来越大 B．影子不是直角三角形 C．影子越来越小 D．影子越来越大 4．（2026•南明区模拟）如图，用发光的手电筒垂直照射吊在空中静止的不透明小球，小球落在竖直墙面上影子的形状是（　　） A．圆 B．矩形 C．球 D．三角形 5．（2025秋•安国市期末）一块三角形板ABC，BC＝12cm，AC＝10cm，测得BC边的中心投影B1C1长为24cm，则AC边的中心投影A1C1的长为（　　） A．5cm B．15cm C．20cm D．25cm 6．（2025春•槐荫区期末）如图，晚上小亮在路灯下散步，小亮由A处走到B处的过程中，他在地上的影子变化为（　　） A．逐渐变长 B．逐渐变短 C．先变长后变短 D．先变短后变长 7．（2026•东河区二模）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P（2，2）处，木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的影长CD为（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 8．小明家的客厅有一张直径BC为1m，高0.75m的圆桌，在距地面2m的A处有一盏灯，圆桌的影子的直径为DE，依据题意建立平面直角坐标系，如图，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标是____________ ． 9．（2023秋•西安期末）欣欣拿着一个矩形纸板在路灯下玩耍，则该纸板在路灯下的投影可能是 _________________ ．（写出一种即可） 10．（2025秋•临渭区月考）身高相同的甲，乙两人分别和同一路灯的距离为2米，4米，当路灯亮时，甲站着的影子比乙站着的影子_____ ．（填“长”或“短”） 11．（2023秋•海州区校级期中）三角板在点光源O的照射下形成投影，三角板的顶点A与其投影的对应点B的位置如图，经测量OA：OB＝2：5，且三角板的面积为8cm2，则其投影的面积为 _______ cm2． 12．（2025秋•桓台县期末）如图是两根木杆在同一时刻的影子，则它们的影子是在 _______ （填“太阳”或“灯光”）光线下形成的． 13．（2025秋•漳州校级期末）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，在一次手影游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应减少___________________ 米． 14．（2025秋•新城区期末）在“霍童线狮”表演中，艺人操控“线狮”在舞台上呈现精彩姿态，舞台上方的灯光照射在“线狮”上，形成的影子属于_________ ．（填写“中心投影”或“平行投影”） 15．（2025秋•周村区期末）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P（5，5）处，木杆AB平行于x轴，木杆两端的坐标分别为A（0，2），B（6，2）． （1）画出木杆AB在x轴上的投影CD； （2）求出其投影CD的长． 16．（2025秋•西安校级期中）如图，是一位同学设计的利用小树来测量某路灯高度的示意图．小树AB在路灯O的照射下形成投影BC，这位同学测得树高AB＝4m，树影BC＝5m，树与路灯的水平距离BP＝6m．求路灯OP的高度． 17．（2025秋•贵阳校级月考）如图，广场上有一路灯，路灯下一墙墩AB的影子是BC，小明身高DE的影子是EF，在M处有一棵大树，它的影子是MN． （1）在图中确定路灯灯泡P的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在图中画出表示大树的线段MG（不写作法，保留作图痕迹）． 18．（2024秋•兰州期末）通常，路灯、台灯、手电筒…的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影． 画图操作：画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长． 【数学思考】 如图①，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为 _____ ； 【解决问题】 如图②，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG＝4m．已知小明的身高为1.6m，求灯杆AB的高度． 【考点2】平行投影（第19-33题） · 判断平行投影：太阳光、日光 · 同一时刻物高与影长成正比 · 正投影垂直投影面，平行时图形全等 · 结合圭表、日晷理解日影变化 19．一个正方形的正投影不可能是（　　） A．平行四边形 B．梯形 C．矩形 D．线段 20．（2024秋•金沙县期末）正方形纸板在太阳光下的投影不可能是（　　） A．平行四边形 B．一条线段 C．矩形 D．梯形 21．（2026•金凤区校级三模）下列判断正确的是（　　） A．两点之间垂线段最短 B．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．点P（﹣a2﹣1，|b2+1|）关于y轴的对称点在第一象限 D．同一时刻下，两个身高相同的人在阳光下的影长相等 22．（2026•白银模拟）如图1是发现于甘肃省敦煌藏经洞中的《全天星图》中的一部分，《全天星图》中的一种画法便是用直角坐标投影．某同学按全天星图的绘图方式将观察到的北斗七星画在如图2所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点坐标为（﹣4，2），表示“开阳”的点坐标为（0，3），则表示“天权”的点的坐标为（　　） A．（5，﹣1） B．（5，1） C．（﹣1，5） D．（1，5） 23．（2026•赤坎区校级模拟）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架AB垂直于地面BC，D在AB上，AD＝0.6m，D、E、F三点共线，DF＝3DE＝3AE．当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角正好为60°，则DF落在地面上的投影GH的长度为（　　） A． B． C． D． 24．（2026•市南区校级一模）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（　　） A．20° B．40° C．50° D．80° 25．（2026春•青羊区校级期中）如图，太阳光线AC与A'C'是平行的，同一时刻垂直于地面的两根木杆在太阳光照射下的影子一样长，那么这两根木杆高度相同，在探究过程中判断△ABC≌△A'B'C'的依据是________ ． 26．（2026•科尔沁区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点P（2，5）是一个光源，横杆MN两端的坐标分别为（﹣2，3），（3，3），则横杆MN在x轴上的投影长为___________________ ． 27．（2025秋•山丹县校级期末）陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在太阳光下的影子属于_______ 投影．（填“平行”或“中心”） 28．如图，木棒AB在投影面α上的正投影为A1B1，且AB＝20cm，∠BAA1＝150°，那么投影A1B1＝_______ cm． 29．（2024秋•莱阳市期末）如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为 _________ ． 30．（2026春•滕州市期末）“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”AB与“圭”BC垂直，冬至时节“表”AB的日影最长（BC的长），某一节气，光线AM平分∠BAC，D为AC上一点，连接MD，BD，MD⊥AC． （1）若“表”AB＝6，AC＝10，求CM的长； （2）若AM＝CM，判断△ABD的形状，并说明理由． 31．已知一纸板的形状为正方形ABCD，如图所示，其边长为10厘米，AD，BC与投影面β平行，AB，CD与投影面不平行，正方形ABCD在投影面β上的正投影为A1B1C1D1，如果∠ABB1＝30°，求投影面A1B1C1D1的面积． 32．（2026•沭阳县校级开学）小娟的身高是15分米，她的影长是24分米．如果同一时间、同一地点测得一棵树的影长是6米，这棵树有多高？（用方程解） 33．（2025•太原开学）列综合算式或方程，不解答． （1）同学们去参观科技馆，四年级去了320人，比六年级的2倍少15人．六年级去了多少人？ （2）爸爸获得一笔3000元的奖金给小亮存了教育储蓄，教育储蓄定期三年，年利率为2.75%，到期时能获得利息多少元？ （3）如图，同一时刻，直立在地上6米高的树的影子长是4.5米，附近一座大楼的影子长15米．这座大楼高多少米？ 【考点3】创新及压轴题（第34-37题） · 测量日影变化实践活动读图分析 · 综合多物体影子位置判断光源 · 利用相似比例列方程解决遮挡问题 · 结合方位与时间判断影子方向长短 34．（2025春•哈尔滨期末）北京某中学开展了测量日影变化规律的实践活动．请结合实践过程，读图完成下列各题． 实践活动材料：1米长的竹竿1根、量尺1个、绘图工具1套． 【物影日变化】 活动1：如图1是同学们记录的一天中9点、12点、15点竹竿影子的方向和长度． （1）正午12点，竹竿影子的朝向是 _______ （填“正北”或“正南”）． （2）一天中竹竿影子长度的变化规律是 ___________ （填“先变长再变短”或“先变短再变长”）；此现象与地球的 _______ 有关（填“自转”或“公转”）． 【物影年变化】 活动2：9月8日至9月20日，每隔6天测一次，竹竿影长测量时间为正午．如图是太阳直射点一年当中的回归运动． 日期 影长/厘米 朝向 白昼时长 9.8 73 朝北 12小时28分钟 9.14 77 朝北 12小时17分钟 9.20 81 朝北 12小时11分钟 （3）根据记录可知，9月8日至20日，竹竿影子长度变 _____ （填“长”或“短”），白昼时间变 _____ （填“长”或“短”），测量期间太阳直射点最接近图2中的 _____ （填序号），此过程太阳的直射点向 _____ 移动（填“北”或“南”）． （4）一年中，物体的影长会随着季节变化而变化，此现象与地球的 _______ 有关（填“自转”或“公转”）． 【物影与生活】 （5）图3中A、B两图分别为某同学所绘夏至日、冬至日正午竹竿影子的方向和长度．B图测绘的时间可能是 ________ 前后（填“夏至日”或“冬至日”），假如想在北京市买房，为了保证房屋采光，推荐看房的最佳季节是 _______ （填“春季”，“夏季”，“秋季”或“冬季”）． 35．（2024秋•九江期中）太阳能光伏发电因其清洁、安全、高效等特点，已成为世界各国重点发展的新能源产业．图①是太阳能电板，图②是其截面示意图，其中GF为太阳能电板，AE、CD均为钢架且垂直于地面DE，AB为水平钢架且垂直于CD，测得AG＝CF＝0.4m，BC＝0.6m，AC＝0.75m．若某一时刻的太阳光线垂直照射GF． （1）求钢架AE的长； （2）求太阳能电板GF的影子EH的长（结果保留小数点后两位）． 36．（2024•顺义区二模）“夏至”是二十四节气的第十个节气，《恪遵宪度》中解释道：“日北至，日长之至，日影短至，故曰夏至．至者，极也．”夏至入节的时间为每年公历的6月21日或6月22日． 某小组通过学习、查找文献，得到了夏至日正午（中午12时），在北半球不同纬度的地方，100cm高的物体的影长和纬度的相关数据．记纬度为x（单位：度），影长为y（单位：cm），x与y的部分数据如表： x 0 5 15 23.5 25 35 45 55 65 y 43.5 33.4 15.0 0 2.6 20.3 39.4 61.3 88.5 （1）通过分析如表数据，发现可以用函数刻画纬度x和影长y之间的关系．在平面直角坐标系xOy中，画出此函数的图象； （2）北京地区位于大约北纬40度，在夏至日正午，100cm高的物体的影长约为 _________ cm（精确到0.1）； （3）小红与小明是好朋友，他们生活在北半球不同纬度的地区，在夏至日正午，他们测量了100cm高的物体的影长均为40cm，那么他们生活的地区纬度差约是 _______ 度． 37．（2024•泰兴市开学）数学课上，老师组织同学们开展室外测量活动，下面是两个同学的对话． 小明：“校园这棵大树有多高呢？” 小亮：“我们可以通过测量同一时间、同一地点、不同物体的影长来计算” 小明：“我测得大树的影长是15m” 小亮：“我的身高和影长也测量出来了（如图）” 你能根据他们的对话，知道这棵大树有多高吗？ 📝 随堂检测 【练习 1】（2024秋•三水区月考）如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为 _____ ． 【练习 2】（2026•兴平市一模）如图，乐乐将高为1.8米的标杆CD竖立在地面上，某一时刻高为9米的小树AB在太阳光下的投影为BE，此时标杆CD在太阳光下的投影为CF，CF＝1.2米．已知AB⊥BF，CD⊥BF，点B、E、C、F在同一直线上，则投影BE的长为_____ 米． 【练习 3】（2026•米脂县校级开学）比赛当天下午，小颖先参加了校运动会女子100米短跑比赛，一段时间后又参加了女子400米接力比赛，如图是小刚在同一位置为小颖拍摄的两张比赛照片，则小颖参加400米接力赛的照片是_____ （填“甲”或“乙”，小颖处于北半球）． 💯 课后巩固 【作业 1】（2026•隆安县二模）如图，木棒AB竖直举起靠近墙面，打开手机手电筒P照射木棒AB（点P在AB的垂直平分线上且位于AB右侧），在墙面上形成投影CD，已知AB＝10cm，CD＝40cm，此时点P到AB的距离为20cm，若木棒AB不动，水平移动手机手电筒P使投影CD的长度缩短20cm，则点P相对于木棒AB的移动方式（　　） A．向左平移40cm B．向右平移40cm C．向左平移20cm D．向右平移20cm 【作业 2】（2026春•无锡期中）小张拿着一块矩形纸片在阳光下做投影实验，这块矩形纸片在地面上形成的投影不可能是（　　） A．矩形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形 【作业 3】（2025秋•龙华区期末）如图，数学实验小组在水平放置的木板中央竖直钉一枚钉子．从早晨到傍晚，钉子在阳光照射下，投在木板上的影子长度的变化情况是（　　） A．一直变短 B．短﹣长﹣短 C．一直变长 D．长﹣短﹣长 【作业 4】（2024秋•市南区期末）如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上，刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，；夏至日影最短，．若圭面上冬至线与夏至线之间的距离为4m，则表高为（　　） A．2.1m B．2.4m C．5.6m D．5.8m 【作业 5】（2026•上栗县模拟）如图，在直角坐标系中，点P（2，3）是一个点光源．木杆AB两端的坐标分别为（1，1），（4，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为__________________ ． 【作业 6】（2025秋•子洲县期末）榆林剪纸是陕西榆林珍贵的文化遗产，也是享誉中外的陕北剪纸的精华．榆林剪纸在手电筒下形成的影子属于_______ 投影．（填“中心”或“平行”） 【作业 7】（2025秋•金凤区校级期末）下列各种现象： ①孙敬“悬梁”在灯下读书的影子； ②朱买臣“负薪”在日光下读书的影子； ③车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子； ④匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子． 其中属于平行投影的是_____ （填序号）． 【作业 8】太阳光照射一扇矩形的窗户，投在平行于窗户的墙上的影子的形状是 _______ ． 【作业 9】（2026秋•同步）平地上立有三根等高的木杆，从上面看如图所示，图中画出了其中一根木杆在路灯灯光下的影子．你能分别在图中画出另外两根木杆在同一路灯灯光下的影子吗？ 【作业 10】如图，高20m的教学楼（AC）某一时刻在地面上的影子（CB）长15m，在教学楼前10m处有一高为5m的旗杆（DF）．问：在同一时刻你能看到旗杆顶端的影子吗？通过计算说明． 【作业 11】（2025秋•抚州月考）学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿AB、CD、EF，垂足分别为B、D、F，两根竹竿之间的距离均为6米（BD＝DF＝6米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿AB、CD的影子分别为BG、DH，如图1和图2的示意图．请解决下列问题： （1）反映平行投影的情形图是_______ ，反映中心投影的情形图是_______ ；（填“图1”或“图2”） 【画图操作】 （2）结合图1中的影子BG、DH画出表示竹竿EF的影子FM及光源O；【数学思考】 （3）在（2）中，小明从点P向右沿地面走，经过光源O的正下方沿直线走到点M，小明的影长y随小明与点P之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为_____ ． A． B．．C． D． 【解决问题】 （4）在图2中，学习小组经测量：竹竿AB＝3.6米，竹竿CD＝2.25米，竹竿EF＝1.5米，竹竿AB、CD的影长BG＝DH＝4米，求竹竿EF的影长． 复习建议 · 中心投影看光源是否为同一点，平行投影看光线是否平行 · 中心投影连线找影端，影子随距离变化 · 平行投影同一时刻物高影长成正比，列比例式求解 · 北半球影子方向西→北→东，正午最短 · 测高测影本质是相似三角形比例应用 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 投影 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年鲁教版(五四制)九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 了解投影、投影线、投影面的概念，能区分中心投影与平行投影 · 理解中心投影的特点，会根据点光源画出物体的影子 · 理解平行投影特别是正投影的性质，会求物体在阳光下的影长 · 能利用相似三角形建立物高与影长的比例关系解决实际问题 · 会综合运用投影知识判断日影变化规律并解决测量问题 📚 知识梳理 ☆ 1.投影的基本概念 用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫投影；照射光线叫投影线，投影所在平面叫投影面 中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影，如手电筒、路灯、台灯 平行投影：由平行光线形成的投影，如太阳光；其中投影线垂直于投影面的叫正投影 中心投影的影子随物体离光源远近变化；平行投影下同一时刻物高与影长成正比 概念辨析例题：下列现象：①手影游戏；②太阳光下树的影子；③路灯下人的影子；④日晷计时，其中属于中心投影的是？ 解析：手影、路灯灯光都由点光源发出，属中心投影；太阳光、日晷利用平行光线，属平行投影 ☆ 2.中心投影 点光源下，物体离光源越近影子越短，离光源越远影子越长 连接点光源与物体顶端并延长，与投影面交点即影子顶端 等高物体在点光源下离光源越近影子越短，影子方向都指向远离光源一侧 中心投影形成的两个三角形相似，可列比例式求影长或物高 概念辨析例题：木棒AB高10cm，在点光源P下墙面上投影CD长40cm，P到AB距离为20cm，求P到墙面的距离 解析：由中心投影相似三角形：=，即=，解得x=80cm ☆ 3.平行投影与正投影 太阳光线可看作平行光线，形成平行投影 平行投影下，同一时刻不同物体的物高与影长之比相等 正投影：投影线垂直于投影面；线段平行投影面时投影长等于线段长 平面图形平行于投影面时，正投影与原图形全等 概念辨析例题：高9米的小树AB在太阳光下投影BE长6米，同一时刻高1.8米的标杆CD投影CF长多少？ 解析：平行投影下物高影长成正比=，即=，解得CF=1.2米 ☆ 4.投影的应用与日影变化 利用物高影长比例可测树高、楼高，是相似三角形的实际应用 北半球从早晨到傍晚，物体影子方向：西→西北→北→东北→东 一天中正午影子最短；一年中正午影子夏至最短、冬至最长 圭表、日晷都是利用平行投影（太阳光）测量的古代仪器 概念辨析例题：高20m的教学楼影子长15m，楼前10m处有高5m的旗杆，问同一时刻能否看到旗杆顶端影子？ 解析：由比例旗杆影长=5×=3.75m，旗杆距楼10m＞3.75m，影子落在楼前地面；教学楼影子末端距楼15m，旗杆影子末端距旗杆3.75m即距楼10-3.75=6.25m处，在楼影范围内被遮挡 📋 知识总结表 【考点1】中心投影（第1-18题） · 判断点光源：手电筒、路灯、台灯、舞台灯光 · 过光源与物体顶端连线延长找影端 · 物体离光源越近影子越短 · 用相似三角形列比例求影长或物高 1．（2025秋•萨尔图区校级期中）如图，夜晚冬冬从A点走向B点，他的影子会（　　） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，再变短 D．先变短，再变长 【分析】根据接近光源时，影子会变短，远离光源时，影子会变长解答即可． 【解答】解：如图，夜晚冬冬从A点走向B点，他的影子会先变短，再变长． 故选：D． 【点评】本题考查了中心投影，掌握中心投影的定义是解答本题的关键． 2．（2025秋•深圳校级期中）下列投影现象属于中心投影的是（　　） A．陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在日光下的影子 B．苏轼“把酒问青天”时，酒杯在月光下的影子 C．王维“大漠孤烟直”时，归雁在落日下的影子 D．匡衡“凿壁偷光”时，书卷在灯光下的影子 【分析】根据中心投影的性质，找到是灯光的光源即可． 【解答】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有D选项得到的投影为中心投影． 故选：D． 【点评】本题考查了中心投影与平行投影，解题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光． 3．（2025•福田区二模）如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板ABC形成影子△A1B1C1，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（　　） A．∠A1B1C1越来越大 B．影子不是直角三角形 C．影子越来越小 D．影子越来越大 【分析】根据中心投影的特点，灯光下影子与物体离灯源的距离有关，此距离越大，影子越小；此距离越小，影子越大． 【解答】解：由题意可知，∠A1B1C1不变，影子是直角三角形，影子越来越大． 故选：D． 【点评】本题考查了中心投影，熟练掌握中心投影的特点是解题的关键． 4．（2026•南明区模拟）如图，用发光的手电筒垂直照射吊在空中静止的不透明小球，小球落在竖直墙面上影子的形状是（　　） A．圆 B．矩形 C．球 D．三角形 【分析】根据中心投影的定义判断即可． 【解答】解：如图，用发光的手电筒垂直照射吊在空中静止的不透明小球，小球落在竖直墙面上影子是圆． 故选：A． 【点评】本题考查中心投影，解题的关键是理解中心投影的定义． 5．（2025秋•安国市期末）一块三角形板ABC，BC＝12cm，AC＝10cm，测得BC边的中心投影B1C1长为24cm，则AC边的中心投影A1C1的长为（　　） A．5cm B．15cm C．20cm D．25cm 【分析】由题意易得△ABC∽△A1B1C1，根据相似比求解即可． 【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，BC＝12cm，B1C1＝24cm， ∴A1C1：AC＝B1C1：BC＝2：1， ∵AC＝10cm， ∴A1C1＝20cm， 故选：C． 【点评】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用，解题的关键是利用中心投影的特点可知这两组三角形相似，利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段． 6．（2025春•槐荫区期末）如图，晚上小亮在路灯下散步，小亮由A处走到B处的过程中，他在地上的影子变化为（　　） A．逐渐变长 B．逐渐变短 C．先变长后变短 D．先变短后变长 【分析】根据中心投影的特点：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．据此进行判断即可． 【解答】解：因为由A到B，离灯光由远到近再到远，所以影子先变短后变长． 故选：D． 【点评】本题综合考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 7．（2026•东河区二模）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P（2，2）处，木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的影长CD为（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 【分析】利用中心投影，过点P作PE⊥CD于点E交AB于点M，证明△ABP～△CDP，然后利用相似比可求出CD的长． 【解答】解：如图，过点P作PE⊥CD于点E交AB于点M， 根据题意得：AB∥CD， ∴△ABP～△CDP， ∵点光源位于P（2，2）处，木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）， ∴PE＝2，AB＝3，ME＝1， ∴PM＝1， ∴，即， 解得：CD＝6． 故选：B． 【点评】本题考查的是中心投影，用坐标确定位置，熟知以上知识是解题的关键． 8．小明家的客厅有一张直径BC为1m，高0.75m的圆桌，在距地面2m的A处有一盏灯，圆桌的影子的直径为DE，依据题意建立平面直角坐标系，如图，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标是　（3.6，0）　 ． 【分析】根据相似三角形的相似比等于等于高的比，列方程求出DE，进而求出OE，确定点E的坐标． 【解答】解：过点B作BF⊥x轴，垂足为F，由题意得，BF＝0.75米，BC＝1米， ∵BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE， ∴， 即：， 解得：DE＝1.6（米）， ∴OE＝2+1.6＝3.6（米）， ∴E（3.6，0）， 故答案为：（3.6，0）． 【点评】本题考查中心投影的意义，将中心投影的问题转化为相似三角形的问题进行解答是常用的方法． 9．（2023秋•西安期末）欣欣拿着一个矩形纸板在路灯下玩耍，则该纸板在路灯下的投影可能是 　平行四边形（答案不唯一）　 ．（写出一种即可） 【分析】根据中心投影的性质得出该纸板在路灯下的投影的形状． 【解答】解：该纸板在路灯下的投影可能是平行四边形， 故答案为：平行四边形（答案不唯一）， 故答案为：平行四边形（答案不唯一）． 【点评】此题主要考查了中心投影，根据中心投影的性质得出是解题关键． 10．（2025秋•临渭区月考）身高相同的甲，乙两人分别和同一路灯的距离为2米，4米，当路灯亮时，甲站着的影子比乙站着的影子　短　 ．（填“长”或“短”） 【分析】根据中心投影特点即可求解． 【解答】解：根据中心投影的特点可得：身高相同的甲、乙站立时，离点光源（路灯）越近的人影子越短， ∵身高相同的甲，乙两人分别和同一路灯的距离为2米，4米， ∴甲离路灯更近， ∴甲的影子比乙的影子短． 故答案为：短． 【点评】本题考查的知识点是中心投影，熟知中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长，离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身短是解题的关键． 11．（2023秋•海州区校级期中）三角板在点光源O的照射下形成投影，三角板的顶点A与其投影的对应点B的位置如图，经测量OA：OB＝2：5，且三角板的面积为8cm2，则其投影的面积为 　50　 cm2． 【分析】易得三角板与它的投影成相似图形，再根据面积比等于相似比的平方，进行列式作答． 【解答】解：依题意，三角板与它的投影成相似图形， ∵OA：OB＝2：5，三角板的面积为8cm2， ∴三角板的面积：其投影的面积， 即其投影的面积为50cm2， 故答案为：50． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12．（2025秋•桓台县期末）如图是两根木杆在同一时刻的影子，则它们的影子是在 　灯光　 （填“太阳”或“灯光”）光线下形成的． 【分析】根据光线的平行和相交即可判断是平行投影和中心投影． 【解答】解：因为影子的顶点和木杆的顶点的连线不平行， 所以它们的光线应该是点光源．它们是灯光下的投影． 故答案为：灯光． 【点评】本题考查了中心投影和平行投影，熟知以上知识是解题的关键． 13．（2025秋•漳州校级期末）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，在一次手影游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应减少　　 米． 【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【解答】解：如图，点O为光源，AB表示小明的手，CD表示小狗手影，则AB∥CD，过点O作OE⊥AB，延长OE交CD于F，则OF⊥CD， ∵AB∥CD， ∴△AOB∽△COD，则， ∵EF＝1米，OE＝4米，则OF＝5米， ∴， 设AB＝4k，CD＝5k， ∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图， 即AB＝4k，C′D′＝10k，E′F′＝1米，△AO′B∽△C′O′D′， ∴， 则（米）， ∴米， ∴在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离变化为：（米）， 故答案为：． 【点评】此题考查了中心投影，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题． 14．（2025秋•新城区期末）在“霍童线狮”表演中，艺人操控“线狮”在舞台上呈现精彩姿态，舞台上方的灯光照射在“线狮”上，形成的影子属于　中心投影　 ．（填写“中心投影”或“平行投影”） 【分析】舞台灯光是从点光源发出的光线，因此形成的影子是中心投影． 【解答】解：艺人操控“线狮”在舞台上呈现精彩姿态，舞台上方的灯光照射在“线狮”上， 灯光从舞台上方的点光源发出，光线呈放射状照射到“线狮”上，形成的影子属于中心投影， 故答案为：中心投影． 【点评】本题考查了中心投影，解题关键是掌握中心投影并能熟练运用求解． 15．（2025秋•周村区期末）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P（5，5）处，木杆AB平行于x轴，木杆两端的坐标分别为A（0，2），B（6，2）． （1）画出木杆AB在x轴上的投影CD； （2）求出其投影CD的长． 【分析】（1）分别连接PA、PB并延长，交x轴于点C、D即可； （2）利用中心投影，作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图，证明△PAB∽△CPD，然后利用相似比可求出CD的长． 【解答】解：（1）如图所示： （2）过P作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图， ∵P（5，5），A（0，2），B（6，2）． ∴PM＝3，PE＝5，AB＝6， ∵AB∥CD， ∴， ∴， ∴CD＝10． 【点评】本题考查了中心投影及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 16．（2025秋•西安校级期中）如图，是一位同学设计的利用小树来测量某路灯高度的示意图．小树AB在路灯O的照射下形成投影BC，这位同学测得树高AB＝4m，树影BC＝5m，树与路灯的水平距离BP＝6m．求路灯OP的高度． 【分析】先证明AB∥OP可得△ABC∽△OPC，再利用相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：小树AB在路灯O的照射下形成投影BC，这位同学测得树高AB＝4m，树影BC＝5m， ∵OP⊥PC，AB⊥PC， ∴AB∥OP， ∴△ABC∽△OPC， ∴， ∵AB＝4m，BC＝5m，BP＝6m． ∴PC＝BP+BC＝11， ∴： ∴， ∴路灯的高度OP为． 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，正确进行计算是解题关键． 17．（2025秋•贵阳校级月考）如图，广场上有一路灯，路灯下一墙墩AB的影子是BC，小明身高DE的影子是EF，在M处有一棵大树，它的影子是MN． （1）在图中确定路灯灯泡P的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在图中画出表示大树的线段MG（不写作法，保留作图痕迹）． 【分析】（1）连接CA并延长与FD的延长线交于点P，点P即路灯的位置； （2）连接PN，作MG垂直于MN与PN交于点G，线段MG即为表示大树的线段． 【解答】解：（1）如图，连接CA并延长与FD的延长线交于点P，则点P即为所求， ； （2）如图，线段MG即为所求． 【点评】此题考查了中心投影，熟知由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影是解题的关键． 18．（2024秋•兰州期末）通常，路灯、台灯、手电筒…的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影． 画图操作：画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长． 【数学思考】 如图①，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为 D ； 【解决问题】 如图②，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG＝4m．已知小明的身高为1.6m，求灯杆AB的高度． 【分析】画图操作：根据中心投影，直接画图即可； 数学思考：由等高的物体垂直地面时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长即可得到答案； 解决问题：根据相似三角形的性质即可解答． 【解答】解：画图操作： 解：光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长如图所示： 数学思考： ∵等高的物体垂直地面时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长， ∴小明的影长从A到B的变化是先越来越短，再越来越长， 故选：D； 解决问题： 如图所示， ∵CD∥EF∥AB， ∴△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG， ∴，， ∵CD＝EF， ∴， ∵DF＝3m，FG＝4m，BF＝BD+DF＝（BD+3）m，BG＝BD+DF+GF＝BD+3+4＝（BD+7）m， ∴， 解得：BD＝9m， ∴BF＝9+3＝12m， ∴， ∴AB＝6.4m， ∴灯杆AB的高度为6.4m． 【点评】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【考点2】平行投影（第19-33题） · 判断平行投影：太阳光、日光 · 同一时刻物高与影长成正比 · 正投影垂直投影面，平行时图形全等 · 结合圭表、日晷理解日影变化 19．一个正方形的正投影不可能是（　　） A．平行四边形 B．梯形 C．矩形 D．线段 【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可得出答案． 【解答】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形． 故正方形纸板ABCD在投影面Q上的正投影不可能是梯形． 故选：B． 【点评】此题主要考查了平行投影的性质，利用太阳光线是平行的，那么对边平行的图形得到的投影依旧平行是解题关键． 20．（2024秋•金沙县期末）正方形纸板在太阳光下的投影不可能是（　　） A．平行四边形 B．一条线段 C．矩形 D．梯形 【分析】根据平行投影下平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可得到正确的选项． 【解答】解：正方形纸板在太阳光线的照射下，形成的影子可能是平行四边形、一条线段或矩形，不可能是梯形． 故选：D． 【点评】此题考查了平行投影，太阳光线是平行的，那么对边平行的图形得到的投影依旧平行． 21．（2026•金凤区校级三模）下列判断正确的是（　　） A．两点之间垂线段最短 B．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．点P（﹣a2﹣1，|b2+1|）关于y轴的对称点在第一象限 D．同一时刻下，两个身高相同的人在阳光下的影长相等 【分析】分别根据平行投影，线段的性质，垂线段最短，轴对称图形，关于x轴、y轴对称的点的坐标，中心对称图形的定义解答即可． 【解答】解：A、两点之间线段最短，点到直线的距离中才是垂线段最短，概念混淆，原说法错误，不符合题意； B、平行四边形只是中心对称图形，不是轴对称图形，原说法错误，不符合题意； C、∵a2≥0， ∴﹣a2﹣1＝﹣（a2+1）＜0， ∵b2≥0， ∴|b2+1|＝b2+1＞0， ∴点P在第二象限， ∴点P关于y轴的对称点横纵坐标都为正，故对称点在第一象限，正确，符合题意； D、只有同一时刻同一地点，身高相同且直立的人在阳光下的影长才相等，选项缺少前提条件，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是平行投影，线段的性质，垂线段最短，轴对称图形，关于x轴、y轴对称的点的坐标，中心对称图形，熟知以上知识是解题的关键． 22．（2026•白银模拟）如图1是发现于甘肃省敦煌藏经洞中的《全天星图》中的一部分，《全天星图》中的一种画法便是用直角坐标投影．某同学按全天星图的绘图方式将观察到的北斗七星画在如图2所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点坐标为（﹣4，2），表示“开阳”的点坐标为（0，3），则表示“天权”的点的坐标为（　　） A．（5，﹣1） B．（5，1） C．（﹣1，5） D．（1，5） 【分析】根据“摇光”的点的坐标与“开阳”的点的坐标先判断平面直角坐标系的原点，确定x轴，y轴，根据坐标系确定表示“天权”的点的坐标即可． 【解答】解：由表示“摇光”的点的坐标为（﹣4，2）与表示“开阳”的点的坐标为（0，3）得：平面直角坐标系，如图： 可知：表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为（5，﹣1）； 故选：A． 【点评】本题考查了利用坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x、y轴的位置． 23．（2026•赤坎区校级模拟）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架AB垂直于地面BC，D在AB上，AD＝0.6m，D、E、F三点共线，DF＝3DE＝3AE．当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角正好为60°，则DF落在地面上的投影GH的长度为（　　） A． B． C． D． 【分析】作EM⊥AD于M，GN⊥FN于N，则∠MED+∠MDE＝90°，然后求出∠MED＝∠BDG＝90°﹣∠DGB＝30°，故DMAD＝0.3m，从而得到DE＝2DM＝0.6m，可得DF＝3DE＝1.8m，再证明四边形DGNF是矩形，得GN＝DF＝1.8m，最后在Rt△GNH中，根据GH求解即可． 【解答】解：作GN⊥FN于N，EM⊥AD于M， ∴∠MED+∠MDE＝90°． ∵∠EDG＝90°， ∴∠MDE+∠BDG＝90°． ∴∠MED＝∠BDG． ∵DG∥FH， ∴∠DGB＝∠FHG＝60°． ∴∠MED＝∠BDG＝90°﹣∠DGB＝30°． ∵DF＝3DE＝3AE． ∴AE＝DE， ∴DMAD＝0.3m， ∴DE＝2DM＝0.6m． ∴DF＝3DE＝1.8m． ∵∠FDG＝∠F＝∠GNF＝90°， ∴四边形DGNF是矩形． ∴GN＝DF＝1.8m． 在Rt△GNH中， ∵∠GHN＝60°， ∴GH（m）， 故选：D． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 24．（2026•市南区校级一模）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（　　） A．20° B．40° C．50° D．80° 【分析】点O为地心，OB所在平面为赤道所在平面，即∠AOB＝40°，延长OA至点C，GE⊥OA，即GE所在平面为A处的水平面，HD过点A且平行于OB，即HD为晷面，AF⊥HD，即AF为晷针，晷针与点A处的水平面所成的角即为∠GAF． 【解答】解：如图所示，点O为地心，OB所在平面为赤道所在平面，即∠AOB＝40°，延长OA至点C，GE⊥OA，即GE所在平面为A处的水平面，HD过点A且平行于OB，即HD为晷面，AF⊥HD，即AF为晷针，晷针与点A处的水平面所成的角即为∠GAF． 晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°， 因为OB∥HD， 所以∠CAD＝∠AOB＝40°． 因为AF⊥HD， 所以∠CAD+∠CAF＝90°． 因为GE⊥OA， 所以∠GAF+∠CAF＝90°． 所以∠GAF＝∠CAD＝40°． 故选：B． 【点评】本题主要考查平行线的性质，正确进行计算是解题关键． 25．（2026春•青羊区校级期中）如图，太阳光线AC与A'C'是平行的，同一时刻垂直于地面的两根木杆在太阳光照射下的影子一样长，那么这两根木杆高度相同，在探究过程中判断△ABC≌△A'B'C'的依据是ASA ． 【分析】根据平行线的性质可得∠ACB＝∠A′C′B′，根据题意可得BC＝B′C′，∠ABC＝∠A′B′C′＝90°，然后利用ASA判定△ABC≌△A′B′C′． 【解答】解：∵AC∥A′C′， ∴∠ACB＝∠A′C′B′， ∵两根木杆的影子一样长， ∴BC＝B′C′， 在△ACB和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）． 故答案为：ASA． 【点评】此题主要考查平行投影，全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法． 26．（2026•科尔沁区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点P（2，5）是一个光源，横杆MN两端的坐标分别为（﹣2，3），（3，3），则横杆MN在x轴上的投影长为　　 ． 【分析】如解图，横杆MN在x轴上的投影为AB，作PD⊥x轴，交MN于点C，证明△PMN∽△PAB，根据相似三角形对应边上的高线比等于相似比，进行求解即可． 【解答】解：如图，横杆MN在x轴上的投影为AB，作PD⊥x轴，交MN于点C， ∵点P（2，5），横杆MN两端的坐标分别为（﹣2，3），（3，3）， ∴PD＝5，MN∥x轴， ∴PC⊥MN，PC＝5﹣3＝2，MN＝3﹣（﹣2）＝5，△PMN∽△PAB， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查坐标确定位置，平行投影，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 27．（2025秋•山丹县校级期末）陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在太阳光下的影子属于　平行　 投影．（填“平行”或“中心”） 【分析】根据太阳光可视为平行光，因此影子属于平行投影解答即可． 【解答】解：太阳光线是平行的，陶渊明“采菊东篱下”时，所以菊花在太阳光下的影子是平行投影． 故答案为：平行． 【点评】本题考查了平行投影，熟知由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影是解题的关键． 28．如图，木棒AB在投影面α上的正投影为A1B1，且AB＝20cm，∠BAA1＝150°，那么投影A1B1＝　10　 cm． 【分析】根据题意和锐角三角函数，可以求得AC的长，然后即可得到A′B'的长． 【解答】解：作AC∥A′B′交BB′于点C，则AC⊥BB′， 由已知可得， ∠A′AC＝90°，∠BAA'＝150°， ∴∠BAC＝60°， ∵AB＝20cm，∠ACB＝90°， ∴AC＝AB•cos60°＝2010（cm）， ∴A′B'＝AC＝10cm， 即A′B'的长是10cm． 故答案为：10． 【点评】本题考查平行投影、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 29．（2024秋•莱阳市期末）如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为 　④②①③　 ． 【分析】根据不同时刻物体在太阳光下的影子的大小、方向的改变规律：就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长． 【解答】解：西为④，西北为②，东北为①，东为③， 故其按时间的先后顺序为：④②①③． 故答案为：④②①③． 【点评】本题考查平行投影，在不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长． 30．（2026春•滕州市期末）“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”AB与“圭”BC垂直，冬至时节“表”AB的日影最长（BC的长），某一节气，光线AM平分∠BAC，D为AC上一点，连接MD，BD，MD⊥AC． （1）若“表”AB＝6，AC＝10，求CM的长； （2）若AM＝CM，判断△ABD的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据角平分线的性质可得BM＝DM，再证明Rt△ABM≌Rt△ADM（HL），可得AB＝AD＝6，在Rt△ABC中利用勾股定理可得BC＝8，从而得到DC＝AC﹣AD＝4，DM＝BM＝BC﹣CM＝8﹣CM，在Rt△DCM中，根据勾股定理，即可求解； （2）根据角平分线的定义以及等腰三角形的性质可得∠BAM＝∠CAM＝∠C，从而得到∠BAD＝60°，由（1）知：AB＝AD，即可解答． 【解答】解：（1）∵MB⊥AB，AM平分∠BAC，MD⊥AC， ∴BM＝DM； 在Rt△ABM和Rt△ADM中， ， ∴Rt△ABM≌Rt△ADM（HL）， ∴AB＝AD＝6， ∵在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝10， ∴， ∴DC＝AC﹣AD＝10﹣6＝4，DM＝BM＝BC﹣CM＝8﹣CM， 在Rt△DCM中，根据勾股定理得：DC2+DM2＝CM2， ∴42+（8﹣CM）2＝CM2， ∴CM＝5； （2）△ABD是等边三角形，理由如下： ∵AM平分∠BAC， ∴∠BAM＝∠CAM， ∵AM＝CM， ∴∠C＝∠CAM， ∴∠BAM＝∠CAM＝∠C， ∵∠BAM+∠CAM+∠C＝90°， ∴∠BAM＝∠CAM＝∠C＝30°， ∴∠BAD＝60°， 由（1）知：AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形． 【点评】本题主要考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，掌握其相关知识点是解题的关键． 31．已知一纸板的形状为正方形ABCD，如图所示，其边长为10厘米，AD，BC与投影面β平行，AB，CD与投影面不平行，正方形ABCD在投影面β上的正投影为A1B1C1D1，如果∠ABB1＝30°，求投影面A1B1C1D1的面积． 【分析】作AH⊥BB1于H，由∠ABB1＝45°得AH＝sin45°AB，从而求出A1B1；因为AD、BC与投影面β平行，所以AD＝A1D1；将数据代入投影面A1B1C1D1的面积＝A1D1•A1B1，计算即可． 【解答】解：作AH⊥BB1于H． ∵正方形ABCD边长为10厘米，AD、BC与投影面β平行， ∴AD＝A1D1＝10厘米． ∵∠ABB1＝30°， ∴AH＝sin30°•AB＝5厘米， ∴A1B1＝AH＝5厘米， ∴投影面A1B1C1D1的面积＝A1D1•A1B1＝10×5＝50（cm2）， 答：投影面A1B1C1D1的面积为50cm2． 【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．也考查了正方形的性质． 32．（2026•沭阳县校级开学）小娟的身高是15分米，她的影长是24分米．如果同一时间、同一地点测得一棵树的影长是6米，这棵树有多高？（用方程解） 【分析】同一时间、同一地点，物体高度与影长的比值为定值，先统一单位，再列方程求解． 【解答】解：设这棵树的高度为x分米，6米＝60分米， ∵同一时间、同一地点物体高度与影长的比值相等， ∴， 解得：x＝37.5， 答：这棵树高37.5分米． 【点评】本题主要考查了平行投影，熟练掌握平行投影的性质是解答本题的关键． 33．（2025•太原开学）列综合算式或方程，不解答． （1）同学们去参观科技馆，四年级去了320人，比六年级的2倍少15人．六年级去了多少人？ （2）爸爸获得一笔3000元的奖金给小亮存了教育储蓄，教育储蓄定期三年，年利率为2.75%，到期时能获得利息多少元？ （3）如图，同一时刻，直立在地上6米高的树的影子长是4.5米，附近一座大楼的影子长15米．这座大楼高多少米？ 【分析】（1）由题意可得四年级人数加上15人等于六年级人数的2倍，即可列式； （2）根据利息＝本金×年利率×时间列式即可； （3）根据大楼高度与影子的比值等于树的高度与影子的比值列方程求解． 【解答】解：（1）由题意四年级去了320人，比六年级的2倍少15人得：（320+15）÷2； （2）由题意年利率为2.75%得：3000×3×2.75%； （3）设这座大楼高为x米， 由题意得：x：15＝6：4.5． 【点评】本题考查了列式计算，涉及整数四则运算的应用，百分数的应用，比的应用，正确理解题意是解题的关键． 【考点3】创新及压轴题（第34-37题） · 测量日影变化实践活动读图分析 · 综合多物体影子位置判断光源 · 利用相似比例列方程解决遮挡问题 · 结合方位与时间判断影子方向长短 34．（2025春•哈尔滨期末）北京某中学开展了测量日影变化规律的实践活动．请结合实践过程，读图完成下列各题． 实践活动材料：1米长的竹竿1根、量尺1个、绘图工具1套． 【物影日变化】 活动1：如图1是同学们记录的一天中9点、12点、15点竹竿影子的方向和长度． （1）正午12点，竹竿影子的朝向是 　正北　 （填“正北”或“正南”）． （2）一天中竹竿影子长度的变化规律是 　先变短再变长　 （填“先变长再变短”或“先变短再变长”）；此现象与地球的 　自转　 有关（填“自转”或“公转”）． 【物影年变化】 活动2：9月8日至9月20日，每隔6天测一次，竹竿影长测量时间为正午．如图是太阳直射点一年当中的回归运动． 日期 影长/厘米 朝向 白昼时长 9.8 73 朝北 12小时28分钟 9.14 77 朝北 12小时17分钟 9.20 81 朝北 12小时11分钟 （3）根据记录可知，9月8日至20日，竹竿影子长度变 　长　 （填“长”或“短”），白昼时间变 　短　 （填“长”或“短”），测量期间太阳直射点最接近图2中的 　③　 （填序号），此过程太阳的直射点向 　南　 移动（填“北”或“南”）． （4）一年中，物体的影长会随着季节变化而变化，此现象与地球的 　公转　 有关（填“自转”或“公转”）． 【物影与生活】 （5）图3中A、B两图分别为某同学所绘夏至日、冬至日正午竹竿影子的方向和长度．B图测绘的时间可能是 　夏至日　 前后（填“夏至日”或“冬至日”），假如想在北京市买房，为了保证房屋采光，推荐看房的最佳季节是 　冬季　 （填“春季”，“夏季”，“秋季”或“冬季”）． 【分析】根据平行投影，即根据太阳光的照射下，杆高与影长的变化规律进行解答即可． 【解答】解：（1）正午12点，竹竿影子的朝向是正北， 故答案为：正北； （2）一天中竹竿影子长度的变化规律是先变短再变长，此现象与地球的自转有关， 故答案为：先变短再变长，自转； （3）根据记录可知，9月8日至20日，竹竿影子长度变长，白昼时间变短，测量期间太阳直射点最接近图2中的③，此过程太阳的直射点向南移动， 故答案为：长，短，③，南； （4）一年中，物体的影长会随着季节变化而变化，此现象与地球的公转有关， 故答案为：公转； （5）图3中A、B两图分别为某同学所绘夏至日、冬至日正午竹竿影子的方向和长度．B图测绘的时间可能是夏至日前后，假如想在北京市买房，为了保证房屋采光，推荐看房的最佳季节是冬季， 故答案为：夏至日，冬季． 【点评】本题考查平行投影，掌握在太阳光的照射下，杆高与影长的变化规律是正确解答的关键． 35．（2024秋•九江期中）太阳能光伏发电因其清洁、安全、高效等特点，已成为世界各国重点发展的新能源产业．图①是太阳能电板，图②是其截面示意图，其中GF为太阳能电板，AE、CD均为钢架且垂直于地面DE，AB为水平钢架且垂直于CD，测得AG＝CF＝0.4m，BC＝0.6m，AC＝0.75m．若某一时刻的太阳光线垂直照射GF． （1）求钢架AE的长； （2）求太阳能电板GF的影子EH的长（结果保留小数点后两位）． 【分析】（1）由题意，得AE⊥DE，CD⊥DE，AB⊥CD，GE⊥GF，FH⊥GF，易证四边形ABDE是矩形，由矩形的性质得出∠BAE＝90°，进而得出∠1+∠2＝90°．在Rt△AEG中，由∠AGE＝90°，进而得∠1+∠3＝90°，∠2＝∠3．根据相似三角形的判定可证△AEG∽△CAB，由相似三角形的性质得出，把数值代入即可得出结果； （2）过点E作EM⊥FH于M，易证四边形EGFM是矩形，由矩形的性质得出∠GEM＝90°，即∠4+∠3＝90°，再根据∠AED＝90°，得出∠4+∠5＝90°，进而得出∠3＝∠5，根据相似三角形的判定可证△AEG∽△HEM，由相似三角形的性质得出．在Rt△AEG中，由勾股定理可得EG的长，进而得出EH的值． 【解答】解：（1）如图，由题意，得AE⊥DE，CD⊥DE，AB⊥CD，GE⊥GF，FH⊥GF， ∴∠AED＝∠BDE＝∠ABD＝90°，∠AGE＝∠GFH＝90°， ∴四边形ABDE是矩形， ∴∠BAE＝90°， ∴∠1+∠2＝90°． 又∵在Rt△AEG中，∠AGE＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠2＝∠3． 又∵∠AGE＝∠ABC＝90°， ∴△AEG∽△CAB， ∴， ∵AG＝0.4m，BC＝0.6m，AC＝0.75m， ∴， ∴（m）． 答：钢架AE的长为0.5m． （2）如图，过点E作EM⊥FH于M， ∴∠EMF＝90°， ∴∠AGE＝∠GFH＝∠EMF＝90°， ∴四边形EGFM是矩形， ∴∠GEM＝90°， ∴∠3+∠4＝90°． 又∵∠AED＝90°， ∴∠4+∠5＝90°， ∴∠3＝∠5． 又∵∠AGE＝∠EMH＝90°， ∴△AEG∽△HEM， ∴． 在Rt△AEG中，由勾股定理，得AE2＝AG2+EG2， ∴（m）， ∴EM＝GF＝AG+AC+GF ＝0.4+0.75+0.4 ＝1.55（m）， ∴， ∴（m）． 答：太阳能电板GF的影子EH的长为2.58m． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理的应用，矩形的判定和性质，平行投影，熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行投影是解题的关键． 36．（2024•顺义区二模）“夏至”是二十四节气的第十个节气，《恪遵宪度》中解释道：“日北至，日长之至，日影短至，故曰夏至．至者，极也．”夏至入节的时间为每年公历的6月21日或6月22日． 某小组通过学习、查找文献，得到了夏至日正午（中午12时），在北半球不同纬度的地方，100cm高的物体的影长和纬度的相关数据．记纬度为x（单位：度），影长为y（单位：cm），x与y的部分数据如表： x 0 5 15 23.5 25 35 45 55 65 y 43.5 33.4 15.0 0 2.6 20.3 39.4 61.3 88.5 （1）通过分析如表数据，发现可以用函数刻画纬度x和影长y之间的关系．在平面直角坐标系xOy中，画出此函数的图象； （2）北京地区位于大约北纬40度，在夏至日正午，100cm高的物体的影长约为 　30.0　 cm（精确到0.1）； （3）小红与小明是好朋友，他们生活在北半球不同纬度的地区，在夏至日正午，他们测量了100cm高的物体的影长均为40cm，那么他们生活的地区纬度差约是 　44　 度． 【分析】（1）利用描点法画出函数图象； （2）利用图象法判断x＝40时，y的值即可； （3）利用图象法判断出y＝40时，x的两个值可得结论． 【解答】解：（1）图形如图所示： （2）北京地区位于大约北纬40度，在夏至日正午，100cm高的物体的影长约为30.0． 故答案为：30.0（不唯一）； （3）y＝40时，x≈3或47， 47﹣3＝44（度）． 故答案为：44． 【点评】本题考查平行投影，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． 37．（2024•泰兴市开学）数学课上，老师组织同学们开展室外测量活动，下面是两个同学的对话． 小明：“校园这棵大树有多高呢？” 小亮：“我们可以通过测量同一时间、同一地点、不同物体的影长来计算” 小明：“我测得大树的影长是15m” 小亮：“我的身高和影长也测量出来了（如图）” 你能根据他们的对话，知道这棵大树有多高吗？ 【分析】根据题意知道，同一时间、同一地点物体的长度和它的影子的长度的比值一定，即物体的长度和它的影子的长度的成正比例，由此列式解答即可． 【解答】解：设这棵大树有x米高． 1.5：1.2＝x：15， 1.2x＝15×1.5， 1.2x＝22.5， x＝18.75． 答：这棵大树有18.75米高． 【点评】此题主要考查了平行投影，首先判定两种量成何种比例，再设出未知数，列式解答即可． 📝 随堂检测 【练习 1】（2024秋•三水区月考）如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为 　6　 ． 【分析】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，证明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A'B'的长． 【解答】解：延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图， ∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）． ∴PD＝1，PE＝2，AB＝3， ∵AB∥A′B′， ∴△PAB∽△PA′B′， ∴，即， ∴A′B′＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系． 【练习 2】（2026•兴平市一模）如图，乐乐将高为1.8米的标杆CD竖立在地面上，某一时刻高为9米的小树AB在太阳光下的投影为BE，此时标杆CD在太阳光下的投影为CF，CF＝1.2米．已知AB⊥BF，CD⊥BF，点B、E、C、F在同一直线上，则投影BE的长为　6　 米． 【分析】根据平行光线照射下，垂直于地面的物体与其投影构成相似三角形，可得到△DCF∽△ABE，进而利用相似三角形对应边成比例的性质，求出小树AB的投影BE的长度． 【解答】解：∵AB⊥BF，CD⊥BF，点B、E、C、F在同一直线上， ∴CD∥AB， ∵AE∥DF， ∴△DCF∽△ABE， ∴， 即， BE＝6m． 故答案为：6． 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，灵活运用“同一时刻物高与影长成比例”的原理是解题的关键． 【练习 3】（2026•米脂县校级开学）比赛当天下午，小颖先参加了校运动会女子100米短跑比赛，一段时间后又参加了女子400米接力比赛，如图是小刚在同一位置为小颖拍摄的两张比赛照片，则小颖参加400米接力赛的照片是　甲　 （填“甲”或“乙”，小颖处于北半球）． 【分析】根据平行投影的规律：从早晨到傍晚物体的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长，进行判断即可． 【解答】解：根据平行投影的规律：从早晨到傍晚物体的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长；则乙照片是参加100m的，甲照片是参加400m的． 故答案为：甲． 【点评】本题考查平行投影．熟练掌握平行投影的规律，是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 中心投影看光源是否为同一点，平行投影看光线是否平行 · 中心投影连线找影端，影子随距离变化 · 平行投影同一时刻物高影长成正比，列比例式求解 · 北半球影子方向西→北→东，正午最短 · 测高测影本质是相似三角形比例应用 【作业 1】（2026•隆安县二模）如图，木棒AB竖直举起靠近墙面，打开手机手电筒P照射木棒AB（点P在AB的垂直平分线上且位于AB右侧），在墙面上形成投影CD，已知AB＝10cm，CD＝40cm，此时点P到AB的距离为20cm，若木棒AB不动，水平移动手机手电筒P使投影CD的长度缩短20cm，则点P相对于木棒AB的移动方式（　　） A．向左平移40cm B．向右平移40cm C．向左平移20cm D．向右平移20cm 【分析】过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E，证明△PAB∽△PCD得，即可求出EF，移动后过点P′作P′F′⊥C′D′于点F′，交AB于点E′，C′D′＝40﹣20＝20cm，同理△P′AB∽△PC′D′，则，即，求出P′E′，即可求解． 【解答】解：如图，过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E， ∵AB∥CD， ∴PE⊥AB，△PAB∽△PCD， ∴， ∵PE＝20cm，AB＝10cm，CD＝40cm， ∴， ∴EF＝60cm， 移动后如图，过点P′作P′F′⊥C′D′于点F′，交AB于点E′， ∵投影CD的长度缩短了20cm， ∴C′D′＝40﹣20＝20cm， 同理△P′AB∽△PC′D′， ∴， 即， ∴P'E'＝60cm， 经检验，P'E'＝60cm是原分式方程的根， ∴点P相对于木棒AB向右平移了60﹣20＝40（cm）． 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，平行投影，线段垂直平分线的性质，生活中的平移现象，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 2】（2026春•无锡期中）小张拿着一块矩形纸片在阳光下做投影实验，这块矩形纸片在地面上形成的投影不可能是（　　） A．矩形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形 【分析】根据平行投影的概念解答即可． 【解答】解：∵太阳光线是平行光线，矩形的对边平行， ∴矩形对边在平行投影下得到的投影仍然平行， ∴平行四边形，矩形、正方形都是特殊的平行四边形，倾斜放置或合适角度都可以得到， ∵等腰梯形只有一组对边平行，不符合平行投影的性质， ∴不可能是等腰梯形． 故选：B． 【点评】本题考查的是平行投影，熟知由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影是解题的关键． 【作业 3】（2025秋•龙华区期末）如图，数学实验小组在水平放置的木板中央竖直钉一枚钉子．从早晨到傍晚，钉子在阳光照射下，投在木板上的影子长度的变化情况是（　　） A．一直变短 B．短﹣长﹣短 C．一直变长 D．长﹣短﹣长 【分析】根据太阳光照射角度随时间的变化而变化，得出影子的长短随时间的变化而变化，早晨和傍晚影子长，中午影子短据此即可求解． 【解答】解：∵早晨太阳逐渐升高，下午太阳逐渐变低， ∴投在木板上的影子长度的变化情况是：长﹣短﹣长． 故选：D． 【点评】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长． 【作业 4】（2024秋•市南区期末）如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上，刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，；夏至日影最短，．若圭面上冬至线与夏至线之间的距离为4m，则表高为（　　） A．2.1m B．2.4m C．5.6m D．5.8m 【分析】设表高为xm．根据冬至线与夏至线之间的距离为4m，构建方程求解． 【解答】解：设表高为xm． 由题意2xx＝4， 解得x＝2.4． ∴表高为2.4m． 故选：B． 【点评】本题考查平行投影，一元一次方程的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【作业 5】（2026•上栗县模拟）如图，在直角坐标系中，点P（2，3）是一个点光源．木杆AB两端的坐标分别为（1，1），（4，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为　　 ． 【分析】连接PA并延长交x轴于C，连接PB并延长交x轴于D，待定系数法求出直线PA的解析式为y＝2x﹣1，求出，D（5，0）即可求解． 【解答】解：连接PA并延长交x轴于C，连接PB并延长交x轴于D， 设直线PA的解析式为y＝kx+b，则有 ， 解得， ∴直线PA的解析式为y＝2x﹣1， 当y＝0时，2x﹣1＝0， 解得， ∴， 同理可求D（5，0）， ∴， ∴木杆AB在x轴上的投影长为． 故答案为：． 【点评】本题考查坐标确定位置，中心投影，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 6】（2025秋•子洲县期末）榆林剪纸是陕西榆林珍贵的文化遗产，也是享誉中外的陕北剪纸的精华．榆林剪纸在手电筒下形成的影子属于　中心　 投影．（填“中心”或“平行”） 【分析】根据平行投影和中心投影的定义解答即可． 【解答】解：∵手电筒的光源为点光源， ∴榆林剪纸在手电筒下形成的影子属于中心投影． 故答案为：中心． 【点评】本题考查平行投影和中心投影，熟知中心投影是指把光由一点向外发散形成的投影；平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影是解题的关键． 【作业 7】（2025秋•金凤区校级期末）下列各种现象： ①孙敬“悬梁”在灯下读书的影子； ②朱买臣“负薪”在日光下读书的影子； ③车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子； ④匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子． 其中属于平行投影的是　②　 （填序号）． 【分析】根据平行投影的定义判断即可． 【解答】解：①∵灯是点光源，光线发散， ∴孙敬“悬梁”在灯下读书的影子是中心投影，不符合题意； ②∵太阳光近似平行光线， ∴朱买臣“负薪”在日光下读书的影子是平行投影，符合题意； ③∵萤火虫为点光源，光线发散， ∴车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子是中心投影，不符合题意； ④∵灯光为点光源，光线发散， ∴匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子是中心投影，不符合题意． 故答案为：②． 【点评】本题考查了平行投影与中心投影，熟知平行投影的光源为平行光线（如日光），而中心投影的光源为点光源（如灯光、萤火虫光）是解题的关键． 【作业 8】太阳光照射一扇矩形的窗户，投在平行于窗户的墙上的影子的形状是 　矩形　 ． 【分析】太阳光照射一扇矩形的窗户，根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，且平行物体的投影仍旧平行．故可知矩形的窗户的投影是与窗户全等的矩形． 【解答】解：太阳光照射一扇矩形的窗户，投在平行于窗户的墙上的影子的形状是与窗户全等的矩形． 故答案为：矩形． 【点评】本题考查了平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，且平行物体的投影仍旧平行． 【作业 9】（2026秋•同步）平地上立有三根等高的木杆，从上面看如图所示，图中画出了其中一根木杆在路灯灯光下的影子．你能分别在图中画出另外两根木杆在同一路灯灯光下的影子吗？ 【分析】利用中心对称变化的性质作出图形即可． 【解答】解：图形如图所示： 【点评】本题考查中心投影，解题的关键是理解中心投影的定义，属于中考常考题型． 【作业 10】如图，高20m的教学楼（AC）某一时刻在地面上的影子（CB）长15m，在教学楼前10m处有一高为5m的旗杆（DF）．问：在同一时刻你能看到旗杆顶端的影子吗？通过计算说明． 【分析】利用同一时刻物高与影长成正比求得旗杆的影长，然后与楼距的和比较即可说明． 【解答】解：不能看到国旗的影子，理由如下： ∵同一时刻物高与影长成正比， ∴设旗杆的影长为x，则， 解得：x＝3.75， ∵旗杆距离教学楼10米， ∴10+3.75＜15， ∴不能看到国旗的影子． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，能够求得旗杆的影长是解答本题的关键，难度不大． 【作业 11】（2025秋•抚州月考）学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿AB、CD、EF，垂足分别为B、D、F，两根竹竿之间的距离均为6米（BD＝DF＝6米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿AB、CD的影子分别为BG、DH，如图1和图2的示意图．请解决下列问题： （1）反映平行投影的情形图是　图2　 ，反映中心投影的情形图是　图1　 ；（填“图1”或“图2”） 【画图操作】 （2）结合图1中的影子BG、DH画出表示竹竿EF的影子FM及光源O；【数学思考】 （3）在（2）中，小明从点P向右沿地面走，经过光源O的正下方沿直线走到点M，小明的影长y随小明与点P之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为D ． A． B．．C． D． 【解决问题】 （4）在图2中，学习小组经测量：竹竿AB＝3.6米，竹竿CD＝2.25米，竹竿EF＝1.5米，竹竿AB、CD的影长BG＝DH＝4米，求竹竿EF的影长． 【分析】（1）根据平行投影和中心投影的定义判断即可； （2）根据中心投影的定义画出图形； （3）利用相似三角形的性质构建方程组求解即可． 【解答】解：（1）反映平行投影的情形图是图2，反映中心投影的情形图是图1， 故答案为：图2，图1； （2）根据中心投影的定义画出图形，的影子BG、DH画出表示竹竿EF的影子FM及光源O如图所示： ； （3）∵在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长， ∴小明的影长变化是先越来越短，再越来越长， 故选：D； （4）如图，过点O作OR⊥BG于点R，设OR＝y米，BR＝x米， ∵AB⊥BG，OR⊥BG， ∴AB∥OR， ∴△ABG∽△ORG， ∴， 即①， 同理可得：， 即②， 联立①②，得， 整理得，， 解得， ∴OR＝9米，BR＝6米， 又同理可得：， 即， 解得FM＝3.6， 答：EF的影长为3.6米． 【点评】本题考查了平行投影、中心投影和相似三角形的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $