第1讲 锐角三角函数 优等生讲义(知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年鲁教版(五四制)九年级数学上册

第1讲 锐角三角函数 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年鲁教版(五四制)九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解锐角正弦、余弦、正切的定义，会在直角三角形中求三角函数值 · 掌握锐角三角函数的增减性，能比较三角函数值的大小 · 掌握同角三角函数的关系sin2A+cos2A=1与tanA= · 掌握互余两角三角函数的关系sinA=cos(90°-A) · 熟记30°、45°、60°特殊角的三角函数值，能进行混合运算 📚 知识梳理 ☆ 1.锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA sinA=，cosA=，tanA= 概念辨析例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，求sinB的值 解析：BC==6，sinB=== ☆ 2.锐角三角函数的增减性 正弦值sinA随角度A的增大而增大（0°<A<90°） 余弦值cosA随角度A的增大而减小（0°<A<90°） 正切值tanA随角度A的增大而增大（0°<A<90°） 当0°<A<45°时sinA<cosA；当45°<A<90°时sinA>cosA 概念辨析例题：比较大小：sin47°与sin43° 解析：正弦在锐角范围内随角度增大而增大，47°>43°，故sin47°>sin43° ☆ 3.同角与互余三角函数的关系 同角关系：sin2A+cos2A=1 同角关系：tanA= 互余关系：sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90°-A) 互余关系：tanA·tan(90°-A)=1 概念辨析例题：已知sinA+cosA=，求sinA·cosA的值 解析：(sinA+cosA)2=，即sin2A+cos2A+2sinA·cosA=，代入sin2A+cos2A=1，得2sinA·cosA= ☆ 4.特殊锐角三角函数值 sin30°=，cos30°=，tan30°= sin45°=，cos45°=，tan45°=1 sin60°=，cos60°=，tan60°= 混合运算时先代入特殊角值，再按实数运算法则计算 概念辨析例题：计算：4sin30°-2cos45°+tan60° 解析：原式=4×-2×+=2-=2（注：按原题答案化简后为2） 📋 知识总结表 【考点1】锐角的正弦、余弦与正切的意义（第1-9题） · 先画直角三角形，标出对边、邻边、斜边 · 用勾股定理求未知边 · 按定义写出sin/cos/tan的比 · 网格题先证直角三角形再求比值 1．（2026•大姚县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，则sinB的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数定义列式计算即可． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴sinB， 故选：D． 【点评】本题考查锐角三角函数定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（2025秋•岑溪市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，，则AB＝（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 【分析】利用正弦的定义建立等式即可求出斜边AB的长度． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴， 又∵，BC＝6， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查直角三角形中锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 3．（2024秋•长治期末）如图，△ABC的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】在AB上取格点D，连接CD，设正方形网格中的小正方形的边长为1，由勾股定理得AD，CD，AC，利用勾股定理逆定理证明△ACD是直角三角形，然后根据正弦函数的定义即可得出sinA的值． 【解答】解：在AB上取格点D，连接CD，如图所示： 设正方形网格中的小正方形的边长为1， 由勾股定理得：AD，CD，AC， 在△ACD中，AD2+CD210，AC210， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴△ACD是直角三角形，即∠ADC＝90°， ∴sinA， ∴sinA的值为． 故选：C． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，理解正方形网格的特点，熟练掌握勾股定理，锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 4．（2026春•萨尔图区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，则cosB的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算． 【解答】解：根据题意可知，． 故选：D． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是关键． 5．（2026•邹城市三模）定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（sec），锐角A的正割记作secA．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，点E在边CA上，∠ADE＝90°，DE＝CE，那么secA的值是 　　 ． 【分析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB中点得CD＝AD＝BDAB，进而得∠A＝∠DCA，根据DE＝CE得∠EDC＝∠DCA＝∠A，由三角形外角性质得∠AED＝∠EDC+∠DCA＝2∠A，在Rt△ADE中根据∠A+∠AED＝90°，得∠A＝30°，设DE＝a，则AE＝2a，由勾股定理得AD，然后根据正割函数的性质即可得出答案． 【解答】解：如图所示： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点， ∴CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴CD＝AD＝BD＝1/2AB， ∴△DAC是等腰三角形， ∴∠A＝∠DCA， ∵DE＝CE， ∴∠EDC＝∠DCA， ∴∠EDC＝∠DCA＝∠A， ∵∠AED是△EDC的外角， ∴∠AED＝∠EDC+∠DCA＝2∠A， ∵∠ADE＝90°， ∴△ADE是直角三角形， ∴∠A+∠AED＝90°， ∴∠A+2∠A＝90°， ∴∠A＝30°， 设DE＝a，则AE＝2a， 由勾股定理得：AD， ∴secA． 【点评】此题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正割函数的定义，理解直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正割函数的定义是解决问题的关键． 6．（2025秋•青羊区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点M为AB的中点，点E为AC上一点，点D为BE上一点，∠ADE＝∠ABC，∠ADM＝∠BDC，若，BD＝6，则tan∠ADE的值　　 ． 【分析】根据锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及三角形内角和定理进行解答即可． 【解答】解：∵∠ADE＝∠MBD+∠MAD，而∠ABC＝MBD+∠DBC，∠ADE＝∠ABC， ∴∠MAD＝∠CBD， 又∵∠ADM＝∠BDC， ∴△ADM∽△BDC， ∴， 又∵点M是AB的中点， ∴， 在Rt△ABC中，设ABk，则BC＝3k， ∴AC2k， ∴tan∠ADE＝tan∠ABC， 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键． 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，求sinA和sinB的值． 【分析】利用勾股定理得出AB的长，再利用三角函数关系得出即可． 【解答】解：根据勾股定理，得AB2， 所以sin∠A，sin∠B． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义以及勾股定理，理解锐角三角函数的定义是解决问题的前提，根据勾股定理求出斜边AB是正确解答的关键． 8．（2023秋•同步）如图，在Rt△ABC中，两直角边AC＝12，BC＝5，求∠A的各个三角函数． 【分析】先利用勾股定理求出斜边AB，再利用三角函数的定义即可求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∵两直角边AC＝12，BC＝5， ∴AB13， ∴sinA，cosA，tanA，cotA， 【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 9．已知∠B是Rt△ABC的一个锐角，且AB＝5，AC＝3，求tanB的值． 【分析】讨论：当∠C＝90°时，先利用勾股定理计算出BC＝4，然后利用正切的定义求解；当∠A＝90°时，直接利用正切的定义求解． 【解答】解：当∠C＝90°时，BC4， 所以tanB； 当∠A＝90°时，tanB， 综上所述，tanB的值为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是关键． 【考点2】锐角三角函数的增减性（第10-14题） · 正弦、正切随角度增大而增大 · 余弦随角度增大而减小 · 比较大小先化为同名三角函数 · 45°是sinA与cosA大小的分界 10．（2025•惠城区三模）已知α为锐角，当25°≤α≤65°时，cosα的最大值为（　　） A．cos25° B．cos65° C． D． 【分析】根据余弦函数在锐角范围内的角度越大，余弦值越小．因此，在25°到65°的区间内，当α取最小值25°时，cosα取得最大值． 【解答】解：已知25°≤α≤65°，当α取最小值时，即α＝25°，cosα的值最大，即最大值为cos25°． 故选：A． 【点评】本题考查了余弦函数值的变化，余弦函数在锐角范围内的角度越大，余弦值越小是关键． 11．（2025秋•鄞州区期末）下列是4个已知角度的三角函数，值最大的是（　　） A．cos46° B．tan46° C．sin46° D．sin88° 【分析】根据锐角三角函数的增减性先得到0＜sin44°＜sin46°＜sin88°＜1，再得到tan46°＞sin45°＝1即可． 【解答】解：∵cos46°＝sin（90°﹣46°）＝sin44°，44°＜46°＜88°， ∴0＜sin44°＜sin46°＜sin88°＜1， ∵tan45°＝1，而tan46°＞tan45° ∴tan46°＞1， ∴cos46°，tan46°，sin46°，sin88°中，tan46°的值最大， 故选：B． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的增减性是正确解答的关键． 12．（2026春•莱芜区期末）已知，那么锐角α的取值范围是（　　） A．30°＜α＜90° B．0°＜α＜30° C．45°＜α＜90° D．0°＜α＜60° 【分析】根据特殊锐角三角函数值得出sin30°，进而得到sinα＞sin30°，再根据三角函数的增减性进行解答即可． 【解答】解：∵sin30°，而sinα， ∴sinα＞sin30°， ∴α＞30°， 又∵α为锐角， ∴α＜90°， ∴30°＜α＜90°， 故选：A． 【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，三角函数的增减性，掌握特殊锐角三角函数值，三角函数的增减性是正确解答的关键． 13．（2024秋•裕安区校级期末）比较大小：sin47° 　＞　 sin43°．（填“＞”，“＝”或“＜”） 【分析】根据正弦函数是0°～90°范围内是单调递增的，即可得到结果． 【解答】解：∵0°＜43°＜47°＜90°， ∴sin43°＜sin47°， 即sin47°＞sin43°， 故答案为：＞． 【点评】本题考查了三角函数的大小，熟练理解锐角三角函数的单调性是解题的关键． 14．（2025秋•苏州校级期中）tan60°　＞　 tan40°（选填“＞”或“＝”或“＜”）． 【分析】利用正切值随角度的增加而增加即可得出答案． 【解答】解：∵60°＞40°， ∴tan60°＞tan40°， 故答案为：＞． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，解决本题的关键是掌握正切值随角度的增加而增加． 【考点3】同角三角函数的关系（第15-20题） · 熟记sin2A+cos2A=1 · tanA= · 已知一个三角函数值可求另外两个 · sinA+cosA平方后用恒等式 15．（2025秋•沙坪坝区校级同步）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　） A．3 B． C． D． 【分析】根据直角三角形的边角关系以及勾股定理求出a的值，再由锐角三角函数的定义进行计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， 由于，可设b＝k，则c＝3k， ∴a2k， ∴sinA， 故选：B． 【点评】本题考查同角三角函数的关系，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的关键． 16．（2025秋•琅琊区期末）已知∠A为锐角，cosA，则tanA的值为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】由锐角的余弦定义得到cosA，令AC＝x，AB＝3x，由勾股定理得到BC2x，由锐角的正切定义即可求出tanA＝2． 【解答】解：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵cosA， ∴令AC＝x，AB＝3x， ∴BC2x， ∴tanA2． 故选：B． 【点评】本题考查同角三角函数的关系，关键是掌握锐角的余弦，正切定义． 17．（2025秋•宁国市月考）若a＝sin48°，b＝cos48°，c＝tan48°，则a，b，c由小到大的顺序为 b＜a＜c ． 【分析】根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系解答即可． 【解答】解：根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系可知： cos48°＝sin42°＜sin48°＜1，tan48°＞tan45°＝1， ∴b＜a＜c． 故答案为：b＜a＜c． 【点评】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键． 18．（2025秋•蒙城县月考）比较大小：sin42°　＜　 cos42°．（填“＞”或“＝”或“＜”） 【分析】利用锐角三角函数的性质，比较sin42°和cos42°的大小． 【解答】解：根据锐角三角函数的性质可知： 因为当0°＜α＜45°时，sinα＜cosα， 所以sin42°＜cos42°． 故答案为：＜． 【点评】本题主要考查锐角三角函数的大小，熟练掌握该知识点是关键． 19．（2024秋•涡阳县期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）求证：sin2A+cos2A＝1； （2）若sinA+cosA，求sinA•cosA的值． 【分析】（1）根据正弦、余弦的定义和勾股定理证明即可； （2）将sinA+cosA两边同时平方并将左边展开，将（1）的关系式代入计算即可． 【解答】（1）证明：∵sinA，cosA， ∴sin2A+cos2A， ∵∠C＝90°， ∴根据勾股定理，得BC2+AC2＝AB2， ∴sin2A+cos2A＝1． （2）解：∵sinA+cosA， ∴（sinA+cosA）2＝（）2，即sin2A+cos2A+2sinA•cosA， ∵sin2A+cos2A＝1， ∴1+2sinA•cosA， ∴sinA•cosA． 【点评】本题考查同角三角函数的关系，掌握正弦、余弦的定义是本题的关键． 20．（2025秋•南阳校级月考）如图，根据提供的数据回答下列问题： （1）在图①中，sinA＝　　 ，cosA＝　　 ，sin2A+cos2A＝　1　 ； 在图②中，sinA1＝　　 ，cosA1＝　　 ，　1　 ． 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？请用含锐角β的等式表示出来． （2）利用你发现的规律求解以下题目：已知β是锐角，且满足sinβ＝3cosβ，求cosβ的值． 【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，从而发现规律； （2）根据（1）中的规律，即可求解． 【解答】解：（1）如图①，利用三角函数的定义， ∴，，sin2A+cos2A＝1， 图②中，，，， 规律：对于任意锐角β有sin2β+cos2β＝1； （2）∵β为锐角，∴sinβ＞0，cosβ＞0， 结合得出的规律得， 由，得10cos2β＝1， 解得（负值已经舍去）． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义以及发现规律的能力，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【考点4】互余两角三角函数的关系（第21-26题） · sinA=cos(90°-A) · cosA=sin(90°-A) · tanA=cot(90°-A) · 利用互余转化后再代入计算 21．（2025•海伦市二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数的定义得出tanB，设AC＝4x，BC＝3x，根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可． 【解答】解：∵tanB， ∴设AC＝4x，BC＝3x， 由勾股定理得：AB5x， ∴sinA． 故选：B． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，互余两角三角函数的关系等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键． 22．（2025秋•合肥期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则tanB＝（　　） A． B． C． D． 【分析】利用三角函数的定义及勾股定理进行计算即可进行求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA，∴，可设ACx，则AB＝3x，由勾股定理得，BCx，∴tanB故选：D． 【点评】本题考查互余两角的三角函数的关系，理解锐角三角函数的定义，掌握勾股定理是正确解答的前提． 23．（2026春•梅州月考）若sin44°＝0.6947，cos44°＝0.7193，则cos46°＝　0.6947　 ． 【分析】利用三角函数的互余关系，将 cos46° 转化为 sin44°即可求解． 【解答】解：根据题意可知，44°+46°＝90°， ∴cos46°＝sin（90°﹣46°）＝sin44°＝0.6947． 故答案为：0.6947． 【点评】本题考查了互余两角的三角函数的关系，掌握三角函数的定义是关键． 24．如果α是锐角，且，那么cos（90°﹣α）的值为 　　 ． 【分析】利用互余两角的三角函数关系求解． 【解答】解：∵sinα＝cos（90°﹣α）， ∴cos（90°﹣α）＝sinα． 故答案为：． 【点评】本题考查的是互余两角三角函数的关系，解答此题的关键，是要牢记互余两角的三角函数关系，即sinα＝cos（90°﹣α）（α是锐角）． 25．（2024秋•慈溪市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若，则tanB的值是 　　 ． 【分析】根据题意设BC＝3a，AB＝4a，然后利用勾股定理求出AC，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：∵sinA， ∴设BC＝3a，AB＝4a， ∴ACa， ∴tanB． 故答案为：． 【点评】本题考查互余两角的三角函数关系，解题的关键是掌握三角函数的定义． 26．（2025春•海淀区校级期中）在△ABC中，已知∠C＝90°，，求sinA﹣sinB的值． 【分析】根据锐角三角函数的定义，勾股定理以及互余两角三角函数的关系进行计算即可． 【解答】解：设在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c， ∴tanA，tanB，sinA，sinB， ∵tanA+tanB，即， ∴， ∵a2+b2＝c2， ∴， ∴•， 即sinA•sinB， ∴（sinA﹣sinB）2＝sin2A+sin2B﹣2sinA•sinB ＝sin2A+cos2A﹣2sinA•sinB ＝1﹣2 ， ∴sinA﹣sinB＝±． 【点评】本题考查锐角三角函数，勾股定理以及互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理以及互余两角三角函数的关系是正确解答的关键． 【考点5】特殊锐角三角函数的值（第27-32题） · 熟记30°/45°/60°的sin、cos、tan值 · 代入后按实数运算顺序计算 · 非负数之和为0则各项为0 · 逆用特殊角值求角度 27．（2025•广信区校级模拟）在三角形ABC中，已知∠A，∠C都是锐角，且满足，则三角形ABC的形状是　直角三角形　 ． 【分析】先根据非负数的性质确定，继而求出∠A＝60°，∠C＝30°，即可判断三角形ABC的形状． 【解答】解：∵， ∴∠A＝60°，∠C＝30°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°， ∴三角形ABC的形状是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值，绝对值和平方式的非负性，熟练掌握以上知识点是关键． 28．（2025秋•南通期末）4sin30°﹣2cos45°+tan60°＝　2　 ． 【分析】将特殊角的三角函数值代入表达式并计算． 【解答】解：原式＝42 ＝2， 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角度的三角函数值是关键． 29．（2026•双塔区校级模拟）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，，则△ABC是　等边　 三角形． 【分析】根据特殊角的三角函数值分别求出∠A、∠B，再根据等边三角形的判定定理解答． 【解答】解：∵sin60°，tan60°， ∴∠A＝60°，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， 故答案为：等边． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、等边三角形的判定，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 30．（2026•湖南模拟）已知公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ．已知75°＝30°+45°．则sin75°＝　　 ． 【分析】根据给定的公式，结合特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【解答】解：∵sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，75°＝30°+45°， ∴sin75°＝sin（30°+45°） ＝sin30°cos45°+cos30°sin45° ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 31．（2026•宿城区三模）计算：． 【分析】分别根据特殊角的三角函数值，实数的运算，零指数幂及负整数指数幂的运算法则计算出各数，再算加减即可． 【解答】解： ＝3． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，实数的运算，零指数幂及负整数指数幂，熟知以上知识是解题的关键． 32．（2025秋•肥东县期末）2sin260°﹣tan45°+4cos60°． 【分析】直接把各角的三角函数值代入进行计算即可． 【解答】解：原式＝2×（）2﹣1+4 1+2 ． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 【考点6】计算器—三角函数（第33-35题） · 不同计算器按键顺序不同 · 锐角三角函数值多为近似数 · 注意度分秒的输入 · 已知三角函数值反求角度 33．下列说法正确的是 　②　 ．（只填序号） ①所有计算器的按键顺序都完全相同； ②用计算器得到的锐角三角函数值都是近似数； ③tan63°≈2.0013． 【分析】根据计算器的使用方法进行判断即可． 【解答】解：①不同的计算器按键顺序并不完全相同，所以①错误； ②大多数锐角三角函数是无理数，计算器并不能计算出准确数值，所以都是近似数，所以②正确； ③tan63°≈1.9626，故③错误． 故答案为：②． 【点评】本题主要考查了计算器计算三角函数，属于基础题． 34．（2025春•同步）用计算器计算三角函数的值（精确到万分位）： （1）sin28°36'≈　0.4787　 ； （2）cos85°52'≈　0.0721　 ． 【分析】正确用计算器计算即可得答案． 【解答】解：（1）sin28°36'＝0.4787； 故答案为：0.4787； （2）cos85°52'＝0.0721． 故答案为：0.0721． 【点评】本题主要考查了用计算器计算三角函数的值，解题关键是正确使用计算器． 35．已知tanB＝1.6863，求锐角B的度数（精确到1°）． 【分析】用计算器求三角函数，即可解答． 【解答】解：∵tanB＝1.6863， ∴锐角B的度数≈59°． 【点评】本题考查了用计算器求三角函数，准确熟练地进行计算是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•安溪县期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先利用勾股定理计算出AB，然后根据余弦的定义求解． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∴cosA． 故选：A． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解余弦的定义是解决问题的关键． 【练习 2】（2025秋•市中区期末）如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是（　　） A． B． C． D．2 【分析】先根据勾股定理的逆定理，证明△ABC是直角三角形，进而根据正切的定义即可求解． 【解答】解：根据网格可得：，，， ∵AC2+BC2＝20+5＝25，AB2＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查了网格与勾股定理，求正切，证明△ABC是直角三角形是解题的关键． 【练习 3】（2023秋•雁塔区校级月考）如图，在下面正方形网格中，△ABC按如图所示的位置摆放，则cos∠ABC的值是（　　） A． B．1 C． D． 【分析】根据网格所示信息，勾股定理的逆定理证明△ABC是等腰直角三角形，利用三角函数的定义解答． 【解答】解：∵， ∴AC2+BC2＝AB2 ∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴， 故选：D． 【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【练习 4】（2026•南开区三模）计算3tan30°的值等于（　　） A．3 B． C． D． 【分析】直接把tan30°代入进行计算即可． 【解答】解：原式＝3． 故选：D． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 【练习 5】（2026•鲤城区校级三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，，那么sinA的值是　　 ． 【分析】根据勾股定理求出斜边AB的长度，再由锐角三角函数的定义即可求出sinA的值． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，， 由勾股定理得：， 根据锐角三角函数的定义可得：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 【练习 6】（2026•惠东县模拟）计算：cos60°　　 ． 【分析】将特殊角的三角函数值代入，再根据负整数指数幂的运算法则即可得解． 【解答】解：原式， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值、负整数指数幂，解题关键是熟练掌握相关计算法则． 【练习 7】（2026•旺苍县模拟）在△ABC中，若∠A，∠B满足则∠C的度数为　90°　 ． 【分析】先根据非负数的性质求出sinA及tanB的值，再由锐角三角函数的定义解答即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴∠A＝60°，∠B＝30°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°． 故答案为：90°． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，非负数的性质，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 【练习 8】（2025秋•浙江期末）计算：2cos45°+2sin30°+tan60°+（﹣1）2025． 【分析】先根据特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 【练习 9】（2025秋•榆树市校级期末）计算：（﹣1）2025+2sin245°﹣cos30°+tan60°． 【分析】把特殊角的三角函数值代入，再运用实数的混合运算顺序和法则计算即可． 【解答】解：（﹣1）2025+2sin245°﹣cos30°+tan60° ． 【点评】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值和实数的混合运算法则是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记sin、cos、tan的定义口诀「正弦对比斜、余弦邻比斜、正切对比邻」 · 牢记sin2A+cos2A=1和tanA=两个恒等式 · 掌握互余转化sinA=cos(90°-A)用于角度转换 · 背熟30°/45°/60°特殊角三角函数值表 · 网格题先证直角三角形再用定义求比值 【作业 1】（2026•玉溪模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°．若AB＝3，AC＝5，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据余弦的定义即可求得答案． 【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°．若AB＝3，AC＝5， 则cosA， 故选：D． 【点评】本题考查锐角三角函数定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 【作业 2】（2026•南开区一模）的值等于（　　） A． B． C． D． 【分析】代入特殊角的三角函数值，再计算即可得到结果． 【解答】解：原式． 故选：D． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 【作业 3】（2026•海门区校级模拟）在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，则sinB＝ 　或　 ． 【分析】分∠C＝90°或∠A＝90°两种情况进行讨论，再根据锐角三角函数的定义，即可求出本题的答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，当∠C＝90°时， ∵AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∴sinB， 在Rt△ABC中，当∠A＝90°时， ∵AC＝3，BC＝4， ∴sinB， 综上分析可知，sinB或sinB． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义，注意分情况讨论是关键． 【作业 4】（2026•蓬江区模拟）°＝　1　 ． 【分析】先根据分母有理化、特殊角的三角函数值计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 【解答】解：2﹣1＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了分母有理化，特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键． 【作业 5】（2026•福州模拟）在3×3的正方形网格中，A，B，C，D均为格点，BC交网格线于点E，则tan∠AEB的值是　2　 ． 【分析】首先，根据已知条件，得出AG∥FC，得∠AEB＝∠BCF，最后，得． 【解答】解：如图，在3×3的正方形网格中， ∵AG∥FC， ∴∠BCF＝∠AEB， ∵∠BFC＝90°， ∴A，B，C，D均为格点，BC交网格线于点E，则． 故答案为：2． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 6】（2025春•同步）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B，C不重合），作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，在D点的运动过程中，试判断BE+CF的值是否发生改变？ 【分析】首先根据BE⊥AD于E，CF⊥AD于F可得CF∥BE，从而得到∠DCF＝∠DBE；设CD＝a，DB＝b，∠DCF＝∠DBE＝α，则可用含有α的表达式表示出CF及BE；由于∠ABC＝90°，可以求得0＜α＜90°，根据点D从B→D运动时α的变化情况，即可得出cosα的变化趋势，进而得出结论． 【解答】解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F， ∴CF∥BE， ∴∠DCF＝∠DBF． 设CD＝a，DB＝b，∠DCF＝∠DBE＝α， ∴CF＝DC•cosα，BE＝DB•cosα， ∴BE+CF＝（DB+DC）cosα＝BCcosα． ∵∠ABC＝90°， ∴0＜α＜90°． 当点D从B→D运动时，α是逐渐增大的，cosα的值是逐渐减小的， ∴BE+CF＝BCcosα的值是逐渐减小的． 综上，在D点的运动过程中，BE+CF的值是逐渐减小的． 【点评】本题侧重考查知识点的理解、应用能力． 学生在日常学习中应从以下2个方向（【直观想象】【逻辑推理】）培养对知识点的理解、应用能力． 【作业 7】（2026春•广饶县期末）已知α是锐角，且．求的值． 【分析】先根据且α是锐角求出α的度数，再将特殊角的三角函数值代入求解． 【解答】解：∵且α是锐角， ∴α＝45°， ∴ ． 【点评】本题考查特殊角三角函数值的混合运算，根据α的正弦值求出α的度数是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 锐角三角函数 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年鲁教版(五四制)九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解锐角正弦、余弦、正切的定义，会在直角三角形中求三角函数值 · 掌握锐角三角函数的增减性，能比较三角函数值的大小 · 掌握同角三角函数的关系sin2A+cos2A=1与tanA= · 掌握互余两角三角函数的关系sinA=cos(90°-A) · 熟记30°、45°、60°特殊角的三角函数值，能进行混合运算 📚 知识梳理 ☆ 1.锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA sinA=，cosA=，tanA= 概念辨析例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，求sinB的值 解析：BC==6，sinB=== ☆ 2.锐角三角函数的增减性 正弦值sinA随角度A的增大而增大（0°<A<90°） 余弦值cosA随角度A的增大而减小（0°<A<90°） 正切值tanA随角度A的增大而增大（0°<A<90°） 当0°<A<45°时sinA<cosA；当45°<A<90°时sinA>cosA 概念辨析例题：比较大小：sin47°与sin43° 解析：正弦在锐角范围内随角度增大而增大，47°>43°，故sin47°>sin43° ☆ 3.同角与互余三角函数的关系 同角关系：sin2A+cos2A=1 同角关系：tanA= 互余关系：sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90°-A) 互余关系：tanA·tan(90°-A)=1 概念辨析例题：已知sinA+cosA=，求sinA·cosA的值 解析：(sinA+cosA)2=，即sin2A+cos2A+2sinA·cosA=，代入sin2A+cos2A=1，得2sinA·cosA= ☆ 4.特殊锐角三角函数值 sin30°=，cos30°=，tan30°= sin45°=，cos45°=，tan45°=1 sin60°=，cos60°=，tan60°= 混合运算时先代入特殊角值，再按实数运算法则计算 概念辨析例题：计算：4sin30°-2cos45°+tan60° 解析：原式=4×-2×+=2-=2（注：按原题答案化简后为2） 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 正弦sinA 对边/斜边 只与角度有关，与三角形大小无关 余弦cosA 邻边/斜边 角度越大余弦值越小 正切tanA 对边/邻边 tan45°=1 同角关系 sin2A+cos2A=1 知一可求另外两个 互余关系 sinA=cos(90°-A) sin44°=cos46° 特殊角值 30°/45°/60°三角函数值 熟记并会逆用求角度 ⚠️ 核心考点 【考点1】锐角的正弦、余弦与正切的意义（第1-9题） · 先画直角三角形，标出对边、邻边、斜边 · 用勾股定理求未知边 · 按定义写出sin/cos/tan的比 · 网格题先证直角三角形再求比值 1．（2026•大姚县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，则sinB的值是（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•岑溪市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，，则AB＝（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 3．（2024秋•长治期末）如图，△ABC的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2026春•萨尔图区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，则cosB的值是（　　） A． B． C． D． 5．（2026•邹城市三模）定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（sec），锐角A的正割记作secA．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，点E在边CA上，∠ADE＝90°，DE＝CE，那么secA的值是 ____________________ ． 6．（2025秋•青羊区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点M为AB的中点，点E为AC上一点，点D为BE上一点，∠ADE＝∠ABC，∠ADM＝∠BDC，若，BD＝6，则tan∠ADE的值__________________ ． 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，求sinA和sinB的值． 8．（2023秋•同步）如图，在Rt△ABC中，两直角边AC＝12，BC＝5，求∠A的各个三角函数． 9．已知∠B是Rt△ABC的一个锐角，且AB＝5，AC＝3，求tanB的值． 【考点2】锐角三角函数的增减性（第10-14题） · 正弦、正切随角度增大而增大 · 余弦随角度增大而减小 · 比较大小先化为同名三角函数 · 45°是sinA与cosA大小的分界 10．（2025•惠城区三模）已知α为锐角，当25°≤α≤65°时，cosα的最大值为（　　） A．cos25° B．cos65° C． D． 11．（2025秋•鄞州区期末）下列是4个已知角度的三角函数，值最大的是（　　） A．cos46° B．tan46° C．sin46° D．sin88° 12．（2026春•莱芜区期末）已知，那么锐角α的取值范围是（　　） A．30°＜α＜90° B．0°＜α＜30° C．45°＜α＜90° D．0°＜α＜60° 13．（2024秋•裕安区校级期末）比较大小：sin47° _____ sin43°．（填“＞”，“＝”或“＜”） 14．（2025秋•苏州校级期中）tan60°_____ tan40°（选填“＞”或“＝”或“＜”）． 【考点3】同角三角函数的关系（第15-20题） · 熟记sin2A+cos2A=1 · tanA= · 已知一个三角函数值可求另外两个 · sinA+cosA平方后用恒等式 15．（2025秋•沙坪坝区校级同步）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　） A．3 B． C． D． 16．（2025秋•琅琊区期末）已知∠A为锐角，cosA，则tanA的值为（　　） A． B．2 C． D． 17．（2025秋•宁国市月考）若a＝sin48°，b＝cos48°，c＝tan48°，则a，b，c由小到大的顺序为 __________ ． 18．（2025秋•蒙城县月考）比较大小：sin42°_____ cos42°．（填“＞”或“＝”或“＜”） 19．（2024秋•涡阳县期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）求证：sin2A+cos2A＝1； （2）若sinA+cosA，求sinA•cosA的值． 20．（2025秋•南阳校级月考）如图，根据提供的数据回答下列问题： （1）在图①中，sinA＝__________________ ，cosA＝__________________ ，sin2A+cos2A＝_____ ； 在图②中，sinA1＝____________________ ，cosA1＝___________________ ，_____ ． 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？请用含锐角β的等式表示出来． （2）利用你发现的规律求解以下题目：已知β是锐角，且满足sinβ＝3cosβ，求cosβ的值． 【考点4】互余两角三角函数的关系（第21-26题） · sinA=cos(90°-A) · cosA=sin(90°-A) · tanA=cot(90°-A) · 利用互余转化后再代入计算 21．（2025•海伦市二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 22．（2025秋•合肥期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则tanB＝（　　） A． B． C． D． 23．（2026春•梅州月考）若sin44°＝0.6947，cos44°＝0.7193，则cos46°＝___________ ． 24．如果α是锐角，且，那么cos（90°﹣α）的值为 __________________ ． 25．（2024秋•慈溪市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若，则tanB的值是 ____________________ ． 26．（2025春•海淀区校级期中）在△ABC中，已知∠C＝90°，，求sinA﹣sinB的值． 【考点5】特殊锐角三角函数的值（第27-32题） · 熟记30°/45°/60°的sin、cos、tan值 · 代入后按实数运算顺序计算 · 非负数之和为0则各项为0 · 逆用特殊角值求角度 27．（2025•广信区校级模拟）在三角形ABC中，已知∠A，∠C都是锐角，且满足，则三角形ABC的形状是__________ ． 28．（2025秋•南通期末）4sin30°﹣2cos45°+tan60°＝____________________ ． 29．（2026•双塔区校级模拟）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，，则△ABC是_______ 三角形． 30．（2026•湖南模拟）已知公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ．已知75°＝30°+45°．则sin75°＝____________________ ． 31．（2026•宿城区三模）计算：． 32．（2025秋•肥东县期末）2sin260°﹣tan45°+4cos60°． 【考点6】计算器—三角函数（第33-35题） · 不同计算器按键顺序不同 · 锐角三角函数值多为近似数 · 注意度分秒的输入 · 已知三角函数值反求角度 33．下列说法正确的是 _____ ．（只填序号） ①所有计算器的按键顺序都完全相同； ②用计算器得到的锐角三角函数值都是近似数； ③tan63°≈2.0013． 34．（2025春•同步）用计算器计算三角函数的值（精确到万分位）： （1）sin28°36'≈___________ ； （2）cos85°52'≈___________ ． 35．已知tanB＝1.6863，求锐角B的度数（精确到1°）． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•安溪县期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 【练习 2】（2025秋•市中区期末）如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是（　　） A． B． C． D．2 【练习 3】（2023秋•雁塔区校级月考）如图，在下面正方形网格中，△ABC按如图所示的位置摆放，则cos∠ABC的值是（　　） A． B．1 C． D． 【练习 4】（2026•南开区三模）计算3tan30°的值等于（　　） A．3 B． C． D． 【练习 5】（2026•鲤城区校级三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，，那么sinA的值是__________________ ． 【练习 6】（2026•惠东县模拟）计算：cos60°___________________ ． 【练习 7】（2026•旺苍县模拟）在△ABC中，若∠A，∠B满足则∠C的度数为________ ． 【练习 8】（2025秋•浙江期末）计算：2cos45°+2sin30°+tan60°+（﹣1）2025． 【练习 9】（2025秋•榆树市校级期末）计算：（﹣1）2025+2sin245°﹣cos30°+tan60°． 💯 课后巩固 【作业 1】（2026•玉溪模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°．若AB＝3，AC＝5，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【作业 2】（2026•南开区一模）的值等于（　　） A． B． C． D． 【作业 3】（2026•海门区校级模拟）在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，则sinB＝ ____________________ ． 【作业 4】（2026•蓬江区模拟）°＝_____ ． 【作业 5】（2026•福州模拟）在3×3的正方形网格中，A，B，C，D均为格点，BC交网格线于点E，则tan∠AEB的值是_____ ． 【作业 6】（2025春•同步）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B，C不重合），作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，在D点的运动过程中，试判断BE+CF的值是否发生改变？ 【作业 7】（2026春•广饶县期末）已知α是锐角，且．求的值． 复习建议 · 熟记sin、cos、tan的定义口诀「正弦对比斜、余弦邻比斜、正切对比邻」 · 牢记sin2A+cos2A=1和tanA=两个恒等式 · 掌握互余转化sinA=cos(90°-A)用于角度转换 · 背熟30°/45°/60°特殊角三角函数值表 · 网格题先证直角三角形再用定义求比值 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $