专题1.2 解直角三角形讲义 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学解直角三角形核心知识点，系统梳理从已知两边、一锐角和一边、锐角三角比及一边等基本类型，到多个直角三角形、非直角三角形、四边形中的应用，再到网格、坐标系、函数结合及动点问题的递进式学习支架。 该资料以“小模块-微专题-大压轴”为设计特色，通过典例与变式题培养学生推理能力，网格、坐标系等情境化题目发展几何直观，压轴动点问题提升创新意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题1.2解直角三角形》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 已知两边解直角三角形 微专题1 网格中解直角三角形 模块2 已知一锐角和一边解直角三角形 微专题2 坐标系中解直角三角形 模块3 已知一锐角的三角比的值和一边解直角三角形 微专题3 解直角三角形与函数 模块4 一图多个直角三角形的解法 压轴1 解直角三角形解决动点问题 模块5 解非直角三角形 通关检测·实战演练 模块6 四边形中解直角三角形 知识梳理 · 基础溯源 知识点1解直角三角形的概念 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中的已知元素， 求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 知识点2解直角三角形的依据 在RtAABC中，2C=90°，ZA,2B，2C的对边分别为a,b,c. (1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理); (2)两锐角之间的关系:乙A+ZB=90°(两角互余); (3)边角之间的关系:sinA=2,cosA=2，tanA=1 知识点3解直角三角形的基本类型及解法 一直角边和一锐角.其解法步骤列表如下: 解直角三角形有四种基本类型:1已知斜边和一直角边;2已知两直角边;3已知斜边和一锐角;4已知 模块通关·举一反 三 【模块一】已知两边解直角三角形 可根据已知边的类型不同分为两种情况，对应解法如下： 第一种，已知两条直角边：第一步根据勾股定理求出斜边；第二步根据锐角三角函数的定义求出任意一个锐角的三角函数值，进而得到该锐角的度数；第三步利用直角三角形两锐角互余的性质，求出另一个锐角的度数。 第二种，已知斜边和一条直角边：第一步根据勾股定理求出另一条直角边；第二步根据边角关系求出已知边对应的锐角的度数；第三步利用两锐角互余的性质，求出剩余未知锐角的度数。 解题时需要注意：计算过程中尽量直接使用题目给出的原始已知数据，避免通过中间推导得到的近似值计算，减少误差累积；若题目对计算结果的精度有要求，需要按照要求保留合适的数位，得到符合要求的结果。 【典例1】如图，在中，已知，，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【分析】根据勾股定理求出b，并求出，再由特殊角的三角函数值即可求解三角形. 【详解】 解：在中， ∵，，， ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题侧重考查了解直角三角形，掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题的关键． 【变式1-1】如图，在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【分析】利用直角三角形的边角关系，进行计算即可解答． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 【变式1-2】在中，已知，，，解这个直角三角形(利用计算器计算)． 【答案】，， 【分析】已知直角三角形的两条边，利用勾股定理求另一条边，利用锐角三角比确定锐角的度数． 【详解】解：∵在中，已知，，， ∴， 在中，，则， 利用计算器可得：， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【变式1-3】如图，在中，，点D为AB边的中点，连接CD，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB，再根据三角函数的意义，可求出答案． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点， ∴AD＝BD＝CD＝AB， ∴, 又∵CD＝3， ∴AB＝6， ， ∴＝＝， 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形的性质和三角函数，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提． 【模块二】已知一锐角和一边解直角三角形 .可根据已知边的类型不同分为两种情况，对应解法如下： 第一种，已知锐角A和斜边c：第一步利用直角三角形两锐角互余的性质，直接计算出另一个锐角B ；第二步根据锐角三角函数的定义，分别计算出A的对边a 、邻边(b ，即可得到全部未知边的长度。 第二种，已知锐角A和任意一条直角边：若已知的是A的对边a，第一步先求出B ，第二步根据三角函数定义计算斜边c ，再计算邻边b 即可；若已知的是A的邻边b，第一步仍先求出B，第二步计算斜边c ，再计算对边a 即可。 解题时需要注意：首先要准确识别锐角与边的对应关系，避免混淆正弦、余弦、正切的适用场景，错用公式；其次和已知边类题型的要求一致，计算过程优先使用题目给出的原始数据，尽量避免利用中间推导得到的近似值继续计算，降低累积误差；求解边长开方时同样只需取正根，若题目对计算精度有明确要求，需要按要求保留结果数位。 【典例2】如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A，D，B在同一条直线上），设，那么拉线BC的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角的余角相等得∠CAD＝∠BCD，由，即可求出BC的长度． 【详解】，， ． 在中， ， ． 故选B． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键． 【变式2-1】在中，，则的长为 ． 【答案】 【分析】直角三角形中，已知斜边和一个角，求这个角的对边，用正弦解答即可． 【详解】解：如图，在中，， ∵， ∴； 故答案为：．    【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握正弦的概念是解题的关键． 【变式2-2】在中，，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的边角关系可得结论． 【详解】解：在中， ∵，，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，选择合适的边角关系是得出正确答案的关键． 【变式2-3】在中，，，，求，和，． 【答案】，，， 【分析】在中，只需根据三角函数的定义即可求出、，根据直角三角形的两个锐角互余可求出，然后根据特殊角的三角函数值就可得到，的值． 【详解】解：在中， ，，， 则有，， ，． 【点睛】本题主要考查了正弦、余弦的定义、特殊角的三角函数值等知识，在直角三角形中，除直角外，只需知道两个元素至少有一条边，就可求出其它元素． 【模块三】已知一锐角的三角比的值和一边解直角三角形 具体解法可根据已知边的类型不同分为两种情况： 第一种，已知锐角A的三角比和斜边c：若题目仅给出该锐角的一个三角比值，可先利用同角三角函数的基本关系，求出剩余两个三角比的值；再根据锐角三角函数的定义，计算得到两条直角边的长度a 、b ；最后根据已知的三角比确定锐角A的大小，再利用直角三角形两锐角互余的性质，得到另一个锐角B 。 第二种，已知锐角A的三角比和任意一条直角边：若已知的是A的对边a，先整理得到所需的三角比后，根据定义计算得斜边c ，邻边b ，再确定两个锐角的大小即可；若已知的是A的邻边b，同理可计算得斜边c ，对边a ，再求出两个未知锐角即可。 解题时需要注意：不需要求出锐角的具体度数，可直接利用三角比的比例关系计算，无需额外推导角度，简化计算流程；计算过程同样要优先使用题目给出的原始数据，尽量避免使用中间推导得到的近似值继续计算，减少误差累积，若题目对计算结果的精度或表达形式有要求，需要按要求整理最终结果。 【典例3】如图，在中，，若则线段的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由同角的余角相等得出，再由锐角三角函数定义得，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D 【点睛】本题考查了解直角三角形以及直角三角形的性质等知识，由直角三角形的性质证出是解题的关键． 【变式3-1】如图，在中，，垂足是D，若，求的值． 【答案】 【分析】在中，根据，可得的长，进而得到的长，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，   ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． 【变式3-2】．．如图，在中，于D，若，求长． 【答案】 【分析】先解求出，进而求出，，据此利用勾股定理求出长即可． 【详解】解：在中， ∵， ∴， ∴，． 在中，由勾股定理得． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确求出的长是解题的关键． 【变式3-3】如图，在中，，点D在边上， (1)求和的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出长，再根据正切定义求得，进而利用勾股定理求解即可； （2）过D作于E，利用勾股定理求得，再根据正弦函数定义求解即可． 【详解】（1）如图，在中， ∵， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 则， ∴； （2）作于点E， 由，可设，则， ∵，且， ∴，解得：或(舍去)， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系并正确求解是解答的关键． 【模块四】一图多个直角三角形的解法 拿到这类题目后，首先要先理清图形结构，逐一标记出所有已知的边角条件，梳理多个直角三角形之间的位置关系，找到作为解题桥梁的公共边或关联边，优先求解这个中间量，再依托它推导目标边或角的数值，不要直接跳步求解目标边角，打乱解题逻辑。 其次要注意区分不同直角三角形中边角的对应关系：很多题目中多个三角形共享顶点，同一个顶点的角在不同直角三角形中，对应的对边、邻边会随斜边的改变发生变化，不能混淆对应关系，错用三角函数关系式。如果无法直接求出公共边的具体值，可以通过设未知数的方式，结合两个三角形的边角关系建立方程求解，既能够简化计算，也能有效避免多个未知量混淆的问题。 另外，若图形中存在隐含的平行、垂直等几何关系，要先结合相关几何性质推导出等角关系，再将已知的三角比转化到目标直角三角形中使用，不能忽略图形中隐含的几何条件，仅靠直观观察判断边角对应关系。得到计算结果后，还要结合三角形三边关系、锐角三角函数的取值范围验证结果的合理性，及时排查计算错误。 【典例4】如图，中，，点D在上，．若，，求的长．    【答案】 【分析】在中，由三角函数求得，再由勾股定理求得，最后在中由三角函数求得的长即可． 【详解】解：∵在中，， ， ， ， ， ， ∴的长度为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形，解题关键是解直角三角形求出，进而求出． 【变式4-1】如图，在中，，，是边上一点，于点，，，求的长．    【答案】 【分析】根据题意得，根据，求得，在在中，，得出，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数关系是解题的关键． 【变式4-2】如图，在中，，，点D在边上，，且．求的值．    【答案】 【分析】根据，，求出，即可求出，根据勾股定理求出，即可根据余弦的定义求解． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴，   ∵， ∴，    在中，根据勾股定理可得：， 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握解直角三角形的方法和步骤，以及各个三角函数的定义． 【变式4-3】如图，在中，，D是的中点，过D点作的垂线交于点E，， ，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】先解求出，再解得出，最后根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：在中，，， ， D是的中点， ， ，， ， ， ， 解得或（舍）， 故的长为， 故选C． 【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理，难度较小，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 【模块五】解非直角三角形 解非直角三角形的核心思路是通过添加辅助线将问题化归为已掌握解法的直角三角形问题，最常用的辅助线作法是过三角形的某个顶点作对边的高线，将原非直角三角形拆分为两个拥有公共边的直角三角形，再结合已知条件分步求解。 解题过程中需要注意：一是添加辅助线时要优先选择不拆分已知边角的作高方式，尽可能保留完整的已知条件，简化后续计算步骤；二是拆分得到的两个直角三角形共享一条公共边，若无法直接求出公共边的具体长度，可通过设未知数的方式，借助两个三角形的边角关系建立方程求解，避免多个未知量混淆；三是要准确区分不同直角三角形内的边角对应关系，不要混淆对边、邻边，错用三角函数公式；若题目对计算精度有明确要求，需要按照要求整理最终结果。 【典例5】已知中，，，则 ． 【答案】2 【分析】过点A作交于点D，根据三角形内角和定理，得到，进而得到，再利用勾股定理求得，然后解直角三角形即可求解． 【详解】解：过点A作交于点D，    ， ， ， ， 在中，， ， ∵， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握勾股定理是解题关键． 【变式5-1】如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作的垂线，与的延长线交于点，在中，由，，可得是等腰直角三角形，计算即可得出答案． 【详解】如图，过点作的垂线，与的延长线交于点， 在中， ，， ， ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，根据题意构造直角三角形进行求解是解题的关键． 【变式5-2】如图，在中，，，D为上一点，，求线段的长．    【答案】6 【分析】过点D作，垂足为点E，根据题意设，由勾股定理求出，则可求出的值，从而得出． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为点E， ∴， ∴设，则， ∴，， ∴． ∵，， ∴由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题考查了解直角三角形和等腰三角形的性质，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是关键． 【变式5-3】已知是中边上的高，，，，则的长为 ． 【答案】3或9/9或3 【分析】分如图1所示，当是锐角三角形时，如图2所示，当是钝角三角形时，两种情况解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，当是锐角三角形时， 在中，， ∴可设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； 如图2所示，当是钝角三角形时， 同理可得， ∴； 综上所述，的长为3或9， 故答案为：3或9． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【模块六】四边形中解直角三角形 四边形中解直角三角形问题，核心思路同样是通过添加辅助线完成化归，将原问题拆解为我们已经掌握解法的直角三角形问题，再结合勾股定理与锐角三角比完成求解。 常用的辅助线作法根据四边形类型有所不同：对于本身带有直角的特殊四边形，如直角梯形，一般过上底的非直角顶点向下底作垂线，即可将原图形拆分为一个直角三角形和一个矩形，借助矩形对边相等的性质，能快速得到直角三角形的已知边长，推进后续求解；对于不含直角的任意凸四边形，通常先连接一条对角线将四边形拆分为两个三角形，若拆分后得到非直角三角形，再进一步作高线将其拆分为两个直角三角形，即可沿用非直角三角形的求解方法完成计算。 解题过程中需要注意：一是添加辅助线时要优先选择不拆分已知边角的作法，尽可能保留完整的已知条件，简化后续计算步骤，避免增加不必要的计算量；二是要灵活运用四边形本身的边角性质推导直角三角形的已知条件，不要遗漏特殊四边形的边长、角度关系，导致缺少解题条件；三是计算过程同样要优先使用题目给出的原始数据，尽量避免用中间推导得到的近似值继续计算，减少误差累积，若题目对计算结果的精度或表达形式有明确要求，需要严格按照要求整理最终结果。 【典例6】如图，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处．已知，，则 ．    【答案】6 【分析】由折叠可知，，进而得到，由同角的余角相等可得，则，在中，，以此即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ，，， 根据折叠的性质可得，，， ， ， ， ， ， 在中，，即， 解得：． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，解题关键是利用矩形和折叠的性质推理论证得出，进而利用锐角三角函数解决问题． 【变式6-1】如图，在矩形中，于点，已知，，则对角线的长为 ．    【答案】 【分析】求出，在中，，代入求出即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，矩形性质，三角形内角和定理的应用，关键是求出． 【变式6-2】如图，在菱形中，对角线交于点O，点E，F分别为边上的中点，连接．      (1)求证：； (2)若，，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质以及三角形中位线的性质，求证即可； （2）根据中位线的性质，求得，再根据三角函数求得，勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴； （2）解：点为中点， ∴， ∴ ∵四边形为菱形 ∴ 在中， ∴， 由勾股定理得： ∴菱形的周长为 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 【变式6-3】如图，在中，于E，于F，且．    (1)求证：是菱形； (2)连接，交于点O，当，时，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)24 【分析】（1）证明，得即可； （2）在中，根据三角函数求出，再根据勾股定理得的长，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可． 【详解】（1）证明：在中，， 于E，于F，且， ， ∴， ， ∴是菱形； （2）解：    是菱形，， ，， ， 在中，， ， 的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理以及解直角三角形等知识，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是本题的关键． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】网格中解直角三角形 网格自带横平竖直的直角特性，我们可以依托格点直接得到或构造出所需的直角三角形，再结合勾股定理与三角比知识完成求解。具体求解时，若所求三角形的三个顶点都在格点上，先数准每条边对应横、纵方向的格点间隔，利用勾股定理计算出各边长度，再依据勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，进而结合定义求解对应三角比或未知角；若所求角或边不在现成的直角三角形中，则依托网格线作垂线，直接构造顶点在格点上的直角三角形，或将所求角通过等角转换，转化到现成的直角三角形中求解。 解题时需要注意：一是数格点间隔时要厘清两个顶点之间的实际距离，不要将格点的个数错当作间隔长度，导致边长计算错误；二是构造直角三角形时尽量选择顶点都在格点上的构造方式，避免引入非格点的未知长度，徒增计算复杂度；三是进行等角转换时，要依托网格的平行、对称性质确定等角关系，不能仅凭直观主观判断；四是计算完成后可结合图形比例估算结果的合理性，及时发现数错格点、错用公式等低级错误。 【典例7】如图，在的网格中，点A、B、C都在格点上，每个小正方形的边长为1，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作于点D，利用网格先求出、的面积，从而求出的长，再计算的正弦值． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∴，， 边上的高， 在中，， ∴， 故选D．    【点睛】本题考查了勾股定理和解直角三角形，利用的面积求出的长是解决本题的关键． 【变式7-1】如图，在正方形网格纸中每一个小正方形的边长为1，线段AB的两个端点都在小正方形的顶点上，请按下面的要求画图． （1）在图1中，画等腰△ABC，点C落在小正方形顶点上，使△ABC的面积为6； （2）在图2中，画钝角△ABD，点D落在小正方形顶点上，其中△ABD有一个内角为135°，△ABD的面积为4，并直接写出∠ADB的正切值． 【答案】（1）详见解析；（2）图详见解析，． 【分析】（1）以AB为底，构造高为3的等腰三角形即可． （2）利用数形结合的思想解决问题即可． 【详解】解：（1）如图，△ABC即为所求． （2）△ABD即为所求．tan∠ADB＝． 【点睛】本题考查作图−应用与设计，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式7-2】如图，的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接、相交于点E，则的值是 ．    【答案】 【分析】利用网格构造直角三角形，根据勾股定理求出、、、、的长，再根据勾股定理的逆定理和锐角三角函数的定义得出答案． 【详解】解：如图，连接、、、， 由网格构造直角三角形，利用勾股定理得， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 是等腰直角三角形，即， ， 在中， ， 故答案为：．    【点睛】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系，勾股定理以及逆定理是解决问题的前提，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键． 【变式7-3】如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，从而结论可得． 【详解】解：取格点E，连接AE、BE，如图： 设网格中的小正方形的边长为1， 则BE＝， AE＝， AB=． ∵BE2+AE2＝2+8＝10， AB2＝10， ∴BE2+AE2＝AB2． ∴∠AEB＝90°． 由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°． ∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD， ∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD， ∴∠APD＝∠ABE． 在Rt△ABE中，cos∠ABE＝． ∴cos∠APD＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键． 【微专题二】坐标系中解直角三角形 坐标系自带x轴与y轴互相垂直的天然属性，解直角三角形的核心思路是将点的坐标信息转化为直角三角形的边长信息，化归为常规直角三角形问题求解。 具体求解时，若直角三角形的顶点都落在坐标轴上，可直接读取顶点坐标，通过计算横、纵坐标的差值得到两条直角边的长度，进而结合勾股定理或三角比求解未知边角；若顶点不在坐标轴上，可过顶点作坐标轴的垂线或平行线，构造出以坐标差为直角边的直角三角形，再将所求边角转换到构造好的直角三角形中计算；若需要直接计算任意两个顶点之间的距离，可直接套用两点间距离公式得到边长，再结合勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，完成后续求解。 解题过程中需要注意：一是读取点的坐标时，要严格区分横坐标与纵坐标，切不可弄混横纵差值，导致边长计算从第一步就出错；二是构造直角三角形时，要优先选择不拆分已知条件、和已知坐标关联最直接的构造方式，避免引入多余未知量增加计算量；三是计算横纵差值时，要牢记距离为差值的绝对值，不要忽略坐标的负号导致边长计算结果出错；四是得到最终结果后，可结合点在坐标系中的相对位置验证结果的合理性，及时发现坐标读错、公式错用等低级错误。 【典例8】如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，．将绕点逆时针旋转，点B的对应点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴于．解直角三角形求出，即可． 【详解】解：如图，过点作轴于．    在中，，， ，， ， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【变式8-1】如图，在中，，，，把绕点O顺时针旋转后，得到，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】首先根据勾股定理得到，然后求出，，然后利用旋转的性质得到，，进而得到点A和点关于x轴对称，进而求解即可． 【详解】∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∵如图所示，把绕点O顺时针旋转后，得到，    ∴，， ∴， ∴点A和点关于x轴对称， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标是解题的关键． 【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，O是的中点.若，则点C的坐标是（    ）    A．（3，） B． C．，3） D． 【答案】B 【分析】过点A作轴，垂足为F，由四边形是矩形易证得是等边三角形,进而，解直角三角形得，，所以，由矩形是中心对称图形知点A，点C关于原点对称，得点． 【详解】∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴， 过点A作轴，垂足为F，    则 ∴点 ∵点A，点C关于原点对称， ∴点， 故选：B 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质、解直角三角形，点坐标的含义；结合已知条件构建直角三角形求解相关线段是解题的关键． 【变式8-3】如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点B在轴的正半轴上，，点A的坐标为，将绕点O逆时针旋转得对应，且点D落在边上，交轴于点E，则线段的长度是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角函数求出，再由旋转的性质可知，，再求出的长，然后根据即可得出结果． 【详解】在中，，点A的坐标为， ，， ，， 由旋转可知：，， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，掌握坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识是解题的关键． 【微专题三】解直角三角形与函数 解直角三角形与函数结合是常见的数形综合题型，解题核心思路是依托函数的图像性质与图像上点的坐标特征，将函数条件转化为直角三角形的边角关系，再化归为常规解直角三角形问题完成求解。 具体求解时，对于一次函数与坐标轴围成的直角三角形，可先求出一次函数与x轴、y轴的交点坐标，通过坐标差计算出两条直角边的长度，即可进一步求解斜边长度、锐角三角比或三角形面积等问题；对于反比例函数图像上的点构成的直角三角形，可结合反比例函数比例系数k的几何意义，快速得到直角三角形的边长或面积关系，再结合点的坐标推导未知边角；对于动点在函数图像上运动形成的直角三角形存在性问题，可先设出动点的坐标，再根据直角顶点的不同位置分类讨论，结合垂直关系的坐标特征或勾股定理列出方程，求解后再结合题目限制条件筛选结果。 【典例9】如图1，在中，为的中点，，动点从点出发，沿的边按匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，图是关于的函数图像，则此的面积（    ） A．18 B．9 C．18 D．36 【答案】C 【分析】过点作于．由图可知，，解计算出平行四边形的高，从而求出面积． 【详解】解：过点作于． 由图2可知，，点在上， 四边形是平行四边形， ， 在中，为的中点， ． ∵， ∴ 在中，， 的面积为． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角函数的应用，动点与函数图像的综合问题，解题的关键是从函数图像上获取线段长度的信息． 【变式9-1】．如图所示，已知的终边，直线的方程为，则等于 ．    【答案】 【分析】根据一次函数的性质，求出、的坐标，得到、的长度，根据三角函数的定义即可求出的值． 【详解】解：根据题意：直线的方程为， 令，则，令，则， 则点坐标为，点坐标为， 故，； ∴，， ∵，即， 且， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，利用等角的代换，体现了思维的灵活性． 【变式9-2】如图，过直线上的点长作，交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；过点作交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；…按照此方法继续作下去，若，则线段的长度为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的解析式求得直线和x轴的夹角的大小，再根据题意求得的长，然后依据直角三角形三角函数的求法求得的长，进而求得的长，进一步求得的长，然后根据直角三角函数求得，从而求得线段的长度，即可求解． 【详解】解：∵直线，， ∴ ∴ ∴ ∴直线l与x轴夹角为， ∵为x轴上一点，且，，轴 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∵轴， ∴ ∴， ∴， 同理， … ， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用解直角三角函数求得线段的长，解题关键是分析数据找出规律． 【变式9-3】如图，平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若是轴上的动点，则的最小值(　　)    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，先得到，作点的对称点，作，所以，可得，可得当、、共线时，最小，进而可求得． 【详解】解：如图，作点的对称点，作于点，    一次函数交轴于点， 当时，，当时，， ，，，， ， ， ， 在的延长线上取， ， 作于， ， ， 当、、在同一条直线上时， 最小， 过点作于， 在中，， ， 最小值是， 最小值是， 故选：B． 【点睛】本题考查了“胡不归”问题，即形式问题，解决问题的关键是根据三角函数构造出或． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】解直角三角形解决动点问题 这类问题的核心思路是“动中寻静”，抓住动点运动过程中的不变几何关系，将动态的位置变化转化为静态直角三角形的边角关系问题，依托勾股定理和锐角三角比的定义建立等量关系完成求解。 具体求解时，通常先设定动点的运动参数，一般设运动时间为t，再根据动点的运动轨迹，用含参数的代数式表示出相关线段的长度；接下来结合题目要求的直角限定条件，按照直角顶点的不同位置分类构造直角三角形，将整理好的条件代入勾股定理或锐角三角比的定义，列出关于运动参数的方程，求解得到参数的所有可能取值后，再结合动点的运动范围筛选出符合题意的结果，最终推得所求的动点位置、线段长度或图形面积等内容。如果是求解动点运动过程中的线段或面积最值问题，可以先将所求量表示为关于运动参数的代数式，再结合解直角三角形得到的边角关系确定参数的合法取值范围，进而求解最值。 解题过程中需要注意：一是要准确梳理动点的完整运动过程，在解题第一步就明确参数的取值范围，从源头避免得出不符合题意的结果；二是分类讨论直角顶点的位置时要保证不重不漏，所有可能成为直角顶点的情况都要逐一分析，防止出现漏解；三是用参数表示线段长度时，要注意根据动点所处的不同位置分段讨论，动点在运动轨迹的不同段时，同一条线段的表达式可能发生变化，不能一概而论；四是求出方程的解后，必须验证结果是否满足三角形的构成条件，舍去不能构成直角三角形的增根，确保结果的合理性。 【典例10】如图，在矩形中，，，F为的中点，点E、P分别为、上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．9 【答案】C 【分析】作点F关于的对称点，过点作于点P，由对称性质可知，∴的最小值即为的值，再根据解直角三角形求出PF’故可求解. 【详解】如解图，作点F关于的对称点，过点作于点P，由对称性质可知， ∴的最小值即为的值， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为. 【点睛】中等难度题.失分的原因有2个：（1）不能灵活运用矩形的性质；（2）未掌握利用对称性质求最值的方法. 【变式10-1】如图，在中，，D是边上的一个动点，点E与点A关于直线对称，连结．设与交于点F．若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】5或 【分析】根据轴对称的性质可得，，，然后分两种情况讨论：当时，当时，结合勾股定理以及锐角三角函数，即可求解． 【详解】解：∵点E与点A关于直线对称， ∴，，， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得：； 当时，如图，过点D作于点G，此时， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上所述，的长为5或． 故答案为：5或 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，轴对称的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【变式10-2】如图，在菱形中，，，在边上有一线段由B向C运动，点F到达点C后停止运动，E在F的左侧，，连接，则周长的最小值为 ．    【答案】8 【分析】过点作交于点，再作点关于的对称点，连接，连接与交于点，当运动到点时，，，三点共线，此时取最小值，即取最小值，则此时的周长最小． 【详解】解：如图，过点作交于点，则四边形为平行四边形， ，，再作点关于的对称点，连接，则，连接与交于点，当运动到点时，，，三点共线，此时取最小值，即取最小值，则此时的周长最小．    过点作，过点作交于点， ， ， ，连接， ，， 四边形为矩形，   ，， ， 周长的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于移动线段中三角形周长最小值问题，勾股定理，菱形的性质等知识，添加合适的辅助线转化为两点间距离问题是解题关键． 【变式10-3】如图，在中，，，交于点D，P为线段上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点P作于点H，由题意易得，进而可得即为，若使的值为最小，也就相当于为最小，则有当点C、P、H三点共线时，的值为最小，最后问题可求解． 【详解】解：过点P作于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 若使的值为最小，也就相当于为最小， ∴当点C、P、H三点共线时，的值为最小，如图所示： ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角函数及勾股定理，解题的关键是利用“胡不归”模型找到最小值的情况，然后进行求解即可． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.在Rt中，∠C=90°，如果AC=2，，那么AB的长是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦函数的定义即可直接求解． 【详解】解：∵cosA=， ∴AB=AC·＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了余弦函数的定义，理解定义是关键． 2．如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上，若直线且间距相等，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作直线的垂线，构造相似三角形，将转化为求出即可． 【详解】解：如图，过点作直线的垂线，交于点，于点， ，且间距相等， ，，相似比为， ， ， ． 故选：A 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形，以及平行线的性质、转化思想等知识点，转化思想的运用是解题关键． 3..如图，在中，，是斜边的中线，过点D作，垂足为点E．若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形的性质可得，再由，可得，然后根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：在中，∵是斜边的中线，， ∴， 在中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：A 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数，直角三角形的斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． 4.如图，绕点逆时针旋转60°得到（点与点是对应点，点与点是对应点），点是中点，与相交于点，，则的长为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得，，则为等边三角形，再根据点是中点，得出，从而求出，进而得出，最后根据求出即可求解． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转60°得到， ∴，， ∴为等边三角形，则，， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，对应角相等，以及解直角三角形的方法和步骤． 5.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点O，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接．根据格点先求出，再利用正方形对角线的性质判断与关系、的形状，最后求出的余弦值． 【详解】解：如图，连接．则，． 都是正方形的对角线， ． ∴，． ，是直角三角形． ． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 二 填空题 6.在中，，，，则的值为 【答案】/ 【分析】先由勾股定理求出的长，再由求解即可． 【详解】如图 ∵中，，，， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，熟记余弦的定义是解题的关键． 7.已知点，，，平分，交于点E，则直线对应的函数表达式是 ． 【答案】/ 【分析】先求E点坐标，再求直线解析式． 【详解】解：根据勾股定理可得：，，， ∴， ∴． ∵平分， ∴．    ∵， ∴，则， ∴． 设直线的解析式是， 根据题意得：， 解得：， 则直线对应的函数表达式是：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式和点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用．要把点的坐标有机的和图形结合起来求解． 8.如图，在中，，为中线，点E是的中点，连接．若， ． 【答案】 【分析】取中点F于，连接，由三角形中位线定理推出，得到的长，求出的长，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：取中点F，连接， ∵E是中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线，解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 9.在中，，是边上的高，，，则的面积为 ． 【答案】或/或 【分析】如图所示，分D在之间和延长线上两种情况考虑，先由求出，再求出的长，然后根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，∵在中，，， ∴，即：， ∴， 当D在之间时，， ∴的面积为； 当D在延长线上时， ∴的面积为 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了解三角形，根据已知得出两种符合要求的图形，即三角形为钝角三角形或锐角三角形分别分析是解题关键． 10.如图，在矩形中，E是的中点，将沿翻折，点C落在点F处．若，，则的长为 ．    【答案】3 【分析】过点E作于点G，由线段中点得，根据折叠可得，，，，从而得出为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质得到，在中利用即可解答． 【详解】解：如图，过点E作于点G，    ∵四边形为矩形， ∴，， ∵点E是的中点，， ∴， 根据折叠可得，，，，， ∴， 即为等腰三角形，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形，利用折叠的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 三解答题 11.如图，、、三点在同一水平线上，，，，． (1)求的度数； (2)求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形的外角的性质求解即可； （2）如图，过点作于，利用等腰直角三角形的性质求出，再根据，可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴的度数为； （2）如图，过点作于， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴线段的长度为． 【点睛】本题考查解直角三角形，三角形的外角的性质，锐角三角函数，角所对的直角边等于斜边的一半等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 12在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点，由平角的定义可求解，通过解直角三角形可求解，的长，即可求解的长，再利用勾股定理可求解的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ， ， ， ，， 即，， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 13.如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A和点B在x轴上，且点B的坐标为，，求点C的坐标． 【答案】 【分析】过C点作轴于点E，先证明四边形是矩形，即可得，则可得，根据，，可得，即有：，解得：，问题随之得解． 【详解】过C点作轴于点E，如图， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵轴，轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点B的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即：， ∴解得：（经检验，其为原分式方程的解）， 即：，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，菱形的性质，勾股定理等知识，掌握菱形的性质以及余弦的意义是解答本题的关键． 14.如图，在中，，，点为内一点，，，连接，将绕点逆时针方向旋转，使与重合，点的对应点，连接，交于点，求的长． 【答案】 【分析】过点作于，由旋转知，，，，在中，得出，在中，得出，根据，即可求解． 【详解】解：过点作于， 由旋转知，，，， ， ， ， ， 在中， ， ， 在中， ， ， 又， ， 【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，掌握旋转的性质是解题的关键． 15如图，点D从点A出发沿方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，同时点E从点B出发沿方向以1cm/s的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间为t秒（0<t<20），过点D作于点F，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形能成为菱形吗？如果能，求相应的t的值，如果不能，说明理由； (3)当t为何值时？． 【答案】(1)见解析 (2)四边形能成为菱形，.理由见解析 (3)当或16s时，为直角三角形 【分析】（1）利用t表示出以及的长，利用直角三角形的性质求得的长，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形． （2）由菱形的性质可列方程可求解． （3）分三种情况，建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴. 在中， ∵，， ∴. ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． （2）四边形能成为菱形，t=s.理由如下： ∵， ， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， 即 ， ． ∴四边形能成为菱形，t=s． （3）∵， ∴， 所以有2种情况， 当时，为直角三角形，如图一所示，    ∵， ∴四边形是矩形，                                                                               ∴， ∵， ∴，                    当时，为直角三角形，如图一所示，    ∵， ∴四边形是矩形，                                                                                 ∴， ∵， ∴，                                       ， t=10． ②当时，为直角三角形,如图二所示， 因为四边形是平行四边形， ∴， ∴∠BDE=，                            ∴， ∴ ，                                            ∴ ， ． 综上所述，当t=10s或16s时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了四边形综合题，直角三角形的性质，菱形的性质，解本题的关键是用分类讨论的思想解决问题． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题1.2解直角三角形》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 已知两边解直角三角形 微专题1 网格中解直角三角形 模块2 已知一锐角和一边解直角三角形 微专题2 坐标系中解直角三角形 模块3 已知一锐角的三角比的值和一边解直角三角形 微专题3 解直角三角形与函数 模块4 一图多个直角三角形的解法 压轴1 解直角三角形解决动点问题 模块5 解非直角三角形 通关检测·实战演练 模块6 四边形中解直角三角形 知识梳理 · 基础溯源 知识点1解直角三角形的概念 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中的已知元素， 求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 知识点2解直角三角形的依据 在RtAABC中，2C=90°，ZA,2B，2C的对边分别为a,b,c. (1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理); (2)两锐角之间的关系:乙A+ZB=90°(两角互余); (3)边角之间的关系:sinA=2,cosA=2，tanA=1 知识点3解直角三角形的基本类型及解法 一直角边和一锐角.其解法步骤列表如下: 解直角三角形有四种基本类型:1已知斜边和一直角边;2已知两直角边;3已知斜边和一锐角;4已知一直角边一锐角 模块通关·举一反 三 【模块一】已知两边解直角三角形 可根据已知边的类型不同分为两种情况，对应解法如下： 第一种，已知两条直角边：第一步根据勾股定理求出斜边；第二步根据锐角三角函数的定义求出任意一个锐角的三角函数值，进而得到该锐角的度数；第三步利用直角三角形两锐角互余的性质，求出另一个锐角的度数。 第二种，已知斜边和一条直角边：第一步根据勾股定理求出另一条直角边；第二步根据边角关系求出已知边对应的锐角的度数；第三步利用两锐角互余的性质，求出剩余未知锐角的度数。 解题时需要注意：计算过程中尽量直接使用题目给出的原始已知数据，避免通过中间推导得到的近似值计算，减少误差累积；若题目对计算结果的精度有要求，需要按照要求保留合适的数位，得到符合要求的结果。 【典例1】如图，在中，已知，，，解这个直角三角形． 【变式1-1】如图，在中，，，，解这个直角三角形． 【变式1-2】在中，已知，，，解这个直角三角形(利用计算器计算)． 【变式1-3】如图，在中，，点D为AB边的中点，连接CD，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【模块二】已知一锐角和一边解直角三角形 .可根据已知边的类型不同分为两种情况，对应解法如下： 第一种，已知锐角A和斜边c：第一步利用直角三角形两锐角互余的性质，直接计算出另一个锐角B ；第二步根据锐角三角函数的定义，分别计算出A的对边a 、邻边(b ，即可得到全部未知边的长度。 第二种，已知锐角A和任意一条直角边：若已知的是A的对边a，第一步先求出B ，第二步根据三角函数定义计算斜边c ，再计算邻边b 即可；若已知的是A的邻边b，第一步仍先求出B，第二步计算斜边c ，再计算对边a 即可。 解题时需要注意：首先要准确识别锐角与边的对应关系，避免混淆正弦、余弦、正切的适用场景，错用公式；其次和已知边类题型的要求一致，计算过程优先使用题目给出的原始数据，尽量避免利用中间推导得到的近似值继续计算，降低累积误差；求解边长开方时同样只需取正根，若题目对计算精度有明确要求，需要按要求保留结果数位。 【典例2】如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A，D，B在同一条直线上），设，那么拉线BC的长度为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】在中，，则的长为 ． 【变式2-2】在中，，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】在中，，，，求，和，． 【模块三】已知一锐角的三角比的值和一边解直角三角形 具体解法可根据已知边的类型不同分为两种情况： 第一种，已知锐角A的三角比和斜边c：若题目仅给出该锐角的一个三角比值，可先利用同角三角函数的基本关系，求出剩余两个三角比的值；再根据锐角三角函数的定义，计算得到两条直角边的长度a 、b ；最后根据已知的三角比确定锐角A的大小，再利用直角三角形两锐角互余的性质，得到另一个锐角B 。 第二种，已知锐角A的三角比和任意一条直角边：若已知的是A的对边a，先整理得到所需的三角比后，根据定义计算得斜边c ，邻边b ，再确定两个锐角的大小即可；若已知的是A的邻边b，同理可计算得斜边c ，对边a ，再求出两个未知锐角即可。 解题时需要注意：不需要求出锐角的具体度数，可直接利用三角比的比例关系计算，无需额外推导角度，简化计算流程；计算过程同样要优先使用题目给出的原始数据，尽量避免使用中间推导得到的近似值继续计算，减少误差累积，若题目对计算结果的精度或表达形式有要求，需要按要求整理最终结果。 【典例3】如图，在中，，若则线段的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 【变式3-1】如图，在中，，垂足是D，若，求的值． 【变式3-2】．．如图，在中，于D，若，求长． 【变式3-3】如图，在中，，点D在边上， (1)求和的长； (2)求的值． 【模块四】一图多个直角三角形的解法 拿到这类题目后，首先要先理清图形结构，逐一标记出所有已知的边角条件，梳理多个直角三角形之间的位置关系，找到作为解题桥梁的公共边或关联边，优先求解这个中间量，再依托它推导目标边或角的数值，不要直接跳步求解目标边角，打乱解题逻辑。 其次要注意区分不同直角三角形中边角的对应关系：很多题目中多个三角形共享顶点，同一个顶点的角在不同直角三角形中，对应的对边、邻边会随斜边的改变发生变化，不能混淆对应关系，错用三角函数关系式。如果无法直接求出公共边的具体值，可以通过设未知数的方式，结合两个三角形的边角关系建立方程求解，既能够简化计算，也能有效避免多个未知量混淆的问题。 另外，若图形中存在隐含的平行、垂直等几何关系，要先结合相关几何性质推导出等角关系，再将已知的三角比转化到目标直角三角形中使用，不能忽略图形中隐含的几何条件，仅靠直观观察判断边角对应关系。得到计算结果后，还要结合三角形三边关系、锐角三角函数的取值范围验证结果的合理性，及时排查计算错误。 【典例4】如图，中，，点D在上，．若，，求的长．    【变式4-1】如图，在中，，，是边上一点，于点，，，求的长．    【变式4-2】如图，在中，，，点D在边上，，且．求的值．    【变式4-3】如图，在中，，D是的中点，过D点作的垂线交于点E，， ，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 【模块五】解非直角三角形 解非直角三角形的核心思路是通过添加辅助线将问题化归为已掌握解法的直角三角形问题，最常用的辅助线作法是过三角形的某个顶点作对边的高线，将原非直角三角形拆分为两个拥有公共边的直角三角形，再结合已知条件分步求解。 解题过程中需要注意：一是添加辅助线时要优先选择不拆分已知边角的作高方式，尽可能保留完整的已知条件，简化后续计算步骤；二是拆分得到的两个直角三角形共享一条公共边，若无法直接求出公共边的具体长度，可通过设未知数的方式，借助两个三角形的边角关系建立方程求解，避免多个未知量混淆；三是要准确区分不同直角三角形内的边角对应关系，不要混淆对边、邻边，错用三角函数公式；若题目对计算精度有明确要求，需要按照要求整理最终结果。 【典例5】已知中，，，则 ． 【变式5-1】如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在中，，，D为上一点，，求线段的长．    【变式5-3】已知是中边上的高，，，，则的长为 ． 【模块六】四边形中解直角三角形 四边形中解直角三角形问题，核心思路同样是通过添加辅助线完成化归，将原问题拆解为我们已经掌握解法的直角三角形问题，再结合勾股定理与锐角三角比完成求解。 常用的辅助线作法根据四边形类型有所不同：对于本身带有直角的特殊四边形，如直角梯形，一般过上底的非直角顶点向下底作垂线，即可将原图形拆分为一个直角三角形和一个矩形，借助矩形对边相等的性质，能快速得到直角三角形的已知边长，推进后续求解；对于不含直角的任意凸四边形，通常先连接一条对角线将四边形拆分为两个三角形，若拆分后得到非直角三角形，再进一步作高线将其拆分为两个直角三角形，即可沿用非直角三角形的求解方法完成计算。 解题过程中需要注意：一是添加辅助线时要优先选择不拆分已知边角的作法，尽可能保留完整的已知条件，简化后续计算步骤，避免增加不必要的计算量；二是要灵活运用四边形本身的边角性质推导直角三角形的已知条件，不要遗漏特殊四边形的边长、角度关系，导致缺少解题条件；三是计算过程同样要优先使用题目给出的原始数据，尽量避免用中间推导得到的近似值继续计算，减少误差累积，若题目对计算结果的精度或表达形式有明确要求，需要严格按照要求整理最终结果。 【典例6】如图，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处．已知，，则 ．    【变式6-1】如图，在矩形中，于点，已知，，则对角线的长为 ．    【变式6-2】如图，在菱形中，对角线交于点O，点E，F分别为边上的中点，连接．      (1)求证：； (2)若，，求菱形的周长． 【变式6-3】如图，在中，于E，于F，且．    (1)求证：是菱形； (2)连接，交于点O，当，时，求的面积． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】网格中解直角三角形 网格自带横平竖直的直角特性，我们可以依托格点直接得到或构造出所需的直角三角形，再结合勾股定理与三角比知识完成求解。具体求解时，若所求三角形的三个顶点都在格点上，先数准每条边对应横、纵方向的格点间隔，利用勾股定理计算出各边长度，再依据勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，进而结合定义求解对应三角比或未知角；若所求角或边不在现成的直角三角形中，则依托网格线作垂线，直接构造顶点在格点上的直角三角形，或将所求角通过等角转换，转化到现成的直角三角形中求解。 解题时需要注意：一是数格点间隔时要厘清两个顶点之间的实际距离，不要将格点的个数错当作间隔长度，导致边长计算错误；二是构造直角三角形时尽量选择顶点都在格点上的构造方式，避免引入非格点的未知长度，徒增计算复杂度；三是进行等角转换时，要依托网格的平行、对称性质确定等角关系，不能仅凭直观主观判断；四是计算完成后可结合图形比例估算结果的合理性，及时发现数错格点、错用公式等低级错误。 【典例7】如图，在的网格中，点A、B、C都在格点上，每个小正方形的边长为1，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式7-1】如图，在正方形网格纸中每一个小正方形的边长为1，线段AB的两个端点都在小正方形的顶点上，请按下面的要求画图． （1）在图1中，画等腰△ABC，点C落在小正方形顶点上，使△ABC的面积为6； （2）在图2中，画钝角△ABD，点D落在小正方形顶点上，其中△ABD有一个内角为135°，△ABD的面积为4，并直接写出∠ADB的正切值． 【变式7-2】如图，的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接、相交于点E，则的值是 ．    【变式7-3】如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【微专题二】坐标系中解直角三角形 坐标系自带x轴与y轴互相垂直的天然属性，解直角三角形的核心思路是将点的坐标信息转化为直角三角形的边长信息，化归为常规直角三角形问题求解。 具体求解时，若直角三角形的顶点都落在坐标轴上，可直接读取顶点坐标，通过计算横、纵坐标的差值得到两条直角边的长度，进而结合勾股定理或三角比求解未知边角；若顶点不在坐标轴上，可过顶点作坐标轴的垂线或平行线，构造出以坐标差为直角边的直角三角形，再将所求边角转换到构造好的直角三角形中计算；若需要直接计算任意两个顶点之间的距离，可直接套用两点间距离公式得到边长，再结合勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，完成后续求解。 解题过程中需要注意：一是读取点的坐标时，要严格区分横坐标与纵坐标，切不可弄混横纵差值，导致边长计算从第一步就出错；二是构造直角三角形时，要优先选择不拆分已知条件、和已知坐标关联最直接的构造方式，避免引入多余未知量增加计算量；三是计算横纵差值时，要牢记距离为差值的绝对值，不要忽略坐标的负号导致边长计算结果出错；四是得到最终结果后，可结合点在坐标系中的相对位置验证结果的合理性，及时发现坐标读错、公式错用等低级错误。 【典例8】如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，．将绕点逆时针旋转，点B的对应点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【变式8-1】如图，在中，，，，把绕点O顺时针旋转后，得到，则点的坐标为 ．    【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，O是的中点.若，则点C的坐标是（    ）    A．（3，） B． C．，3） D． 【变式8-3】如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点B在轴的正半轴上，，点A的坐标为，将绕点O逆时针旋转得对应，且点D落在边上，交轴于点E，则线段的长度是（　　）    A． B． C． D． 【微专题三】解直角三角形与函数 解直角三角形与函数结合是常见的数形综合题型，解题核心思路是依托函数的图像性质与图像上点的坐标特征，将函数条件转化为直角三角形的边角关系，再化归为常规解直角三角形问题完成求解。 具体求解时，对于一次函数与坐标轴围成的直角三角形，可先求出一次函数与x轴、y轴的交点坐标，通过坐标差计算出两条直角边的长度，即可进一步求解斜边长度、锐角三角比或三角形面积等问题；对于反比例函数图像上的点构成的直角三角形，可结合反比例函数比例系数k的几何意义，快速得到直角三角形的边长或面积关系，再结合点的坐标推导未知边角；对于动点在函数图像上运动形成的直角三角形存在性问题，可先设出动点的坐标，再根据直角顶点的不同位置分类讨论，结合垂直关系的坐标特征或勾股定理列出方程，求解后再结合题目限制条件筛选结果。 【典例9】如图1，在中，为的中点，，动点从点出发，沿的边按匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，图是关于的函数图像，则此的面积（    ） A．18 B．9 C．18 D．36 【变式9-1】．如图所示，已知的终边，直线的方程为，则等于 ．    【变式9-2】如图，过直线上的点长作，交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；过点作交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；…按照此方法继续作下去，若，则线段的长度为（    ）．    A． B． C． D． 【变式9-3】如图，平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若是轴上的动点，则的最小值(　　)    A． B． C． D． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】解直角三角形解决动点问题 这类问题的核心思路是“动中寻静”，抓住动点运动过程中的不变几何关系，将动态的位置变化转化为静态直角三角形的边角关系问题，依托勾股定理和锐角三角比的定义建立等量关系完成求解。 具体求解时，通常先设定动点的运动参数，一般设运动时间为t，再根据动点的运动轨迹，用含参数的代数式表示出相关线段的长度；接下来结合题目要求的直角限定条件，按照直角顶点的不同位置分类构造直角三角形，将整理好的条件代入勾股定理或锐角三角比的定义，列出关于运动参数的方程，求解得到参数的所有可能取值后，再结合动点的运动范围筛选出符合题意的结果，最终推得所求的动点位置、线段长度或图形面积等内容。如果是求解动点运动过程中的线段或面积最值问题，可以先将所求量表示为关于运动参数的代数式，再结合解直角三角形得到的边角关系确定参数的合法取值范围，进而求解最值。 解题过程中需要注意：一是要准确梳理动点的完整运动过程，在解题第一步就明确参数的取值范围，从源头避免得出不符合题意的结果；二是分类讨论直角顶点的位置时要保证不重不漏，所有可能成为直角顶点的情况都要逐一分析，防止出现漏解；三是用参数表示线段长度时，要注意根据动点所处的不同位置分段讨论，动点在运动轨迹的不同段时，同一条线段的表达式可能发生变化，不能一概而论；四是求出方程的解后，必须验证结果是否满足三角形的构成条件，舍去不能构成直角三角形的增根，确保结果的合理性。 【典例10】如图，在矩形中，，，F为的中点，点E、P分别为、上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．9 【变式10-1】如图，在中，，D是边上的一个动点，点E与点A关于直线对称，连结．设与交于点F．若为直角三角形，则的长为 ． 【变式10-2】如图，在菱形中，，，在边上有一线段由B向C运动，点F到达点C后停止运动，E在F的左侧，，连接，则周长的最小值为 ．    【变式10-3】如图，在中，，，交于点D，P为线段上的动点，则的最小值为 ． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.在Rt中，∠C=90°，如果AC=2，，那么AB的长是（  ） A． B． C． D． 2．如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上，若直线且间距相等，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3..如图，在中，，是斜边的中线，过点D作，垂足为点E．若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 4.如图，绕点逆时针旋转60°得到（点与点是对应点，点与点是对应点），点是中点，与相交于点，，则的长为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 5.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点O，则（    ） A． B． C． D． 二 填空题 6.在中，，，，则的值为 7.已知点，，，平分，交于点E，则直线对应的函数表达式是 ． 8.如图，在中，，为中线，点E是的中点，连接．若， ． 9.在中，，是边上的高，，，则的面积为 ． 10.如图，在矩形中，E是的中点，将沿翻折，点C落在点F处．若，，则的长为 ．    三解答题 11.如图，、、三点在同一水平线上，，，，． (1)求的度数； (2)求线段的长度． 12在中，，，，求的长． 13.如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A和点B在x轴上，且点B的坐标为，，求点C的坐标． 14.如图，在中，，，点为内一点，，，连接，将绕点逆时针方向旋转，使与重合，点的对应点，连接，交于点，求的长． 15如图，点D从点A出发沿方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，同时点E从点B出发沿方向以1cm/s的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间为t秒（0<t<20），过点D作于点F，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形能成为菱形吗？如果能，求相应的t的值，如果不能，说明理由； (3)当t为何值时？． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $