2.3《二次函数y=ax2的图象与性质1-2课时》讲义 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数y=ax²的图象与性质核心知识点，承接二次函数概念，类比一次函数“解析式→列表→描点→分析性质”的研究思路，通过a=1,-1,2,-2等特殊值的图象探索，系统梳理开口方向、顶点坐标、对称轴、最值、增减性及对称性等关键性质，为后续学习复杂二次函数奠定基础。 该资料以“观察数据—猜想图象—验证性质—归纳规律”为主线，通过表格对比与图象绘制培养几何直观（数学眼光），分类讨论a的正负及绝对值影响发展推理意识（数学思维），结合圆面积与直径的实际问题转化强化模型意识（数学语言）。课中师生互动演示提升教学效率，课后分层练习助力学生查漏补缺，巩固知识应用。

第二章 直角三角形的边角关系 《2.3二次函数y=的图象与性质1-2课时》讲义 【学习目标】 1. 知识与技能目标 （1）掌握画二次函数图象的标准方法：列表、描点、平滑连线，能独立画出a=1，-1,2，-2时等基础抛物线草图。 （2）理解抛物线的基础概念，熟练掌握y=ax2（a = 0）的图象核心要素：开口方向、顶点坐标、对称轴、最值、自变量与函数值取值范围。 （3）能根据解析式判断a的正负，区分抛物线开口向上 / 向下；理解∣a∣大小对抛物线开口宽窄、陡峭程度的影响。 （4）掌握y=ax2与y=－ax2图象的对称关系，能利用对称性快速绘制、对比图象。 （5）会代入点坐标求二次函数解析式中参数a；已知函数值能求对应自变量，已知自变量能计算函数值。 2. 数学思维与能力目标 （1）类比一次函数的研究思路，建立 “解析式→列表取值→画图象→分析图象性质” 的函数通用探究逻辑，形成研究新函数的固定方法。 （2）通过观察表格数值、对比图象，自主归纳y=ax2的增减性、对称性，提升数形结合分析能力。 （3）通过多组a取值（正、负、绝对值大小）的图象对比，锻炼分类讨论、观察归纳、对比辨析的数学思维。 （4）能将实际问题（圆面积与直径）转化为y=ax2型二次函数，结合图象解决简单实际求值问题。 3.综合应用目标 （1）能准确辨析关于y=ax2图象与性质的正误命题，解决判断、填空、求值类基础题型。 （2）能在同一平面直角坐标系中画出多个y=ax2型抛物线，对比图象异同并规范描述。 （3）利用抛物线的轴对称性解题：若点(m,n)在抛物线上，则(−m,n)也在抛物线上，会运用该性质求点坐标。 （4）结合二次函数图象与性质，解决简单实际建模问题，借助图象估算函数数值。 4.情感态度目标 （1）在自主画图、小组交流数据规律的过程中，感受数形结合的数学思想。 （2）通过分类归纳a正负对抛物线的影响，体会分类讨论思想的严谨性，提升自主探究数学规律的兴趣。 一、课前复习 我们学已经学过了二次函数的概念，接下来还要研究二次函数的哪些内容？ 类比一次函数的研究，研究二次函数的图象与性质可以按照什么思路开展呢？ ——从最特殊的y=x2开始，先画图，从图象中分析性质。性质大概有自变量、因变量的取值范围，增减性等； 学习新函数的时候，画出该函数图象的方法是什么？ ——列表、描点、画图 二、新知探索 思考：观察二次函数表达式y=ax2，你认为x取哪些值比较合适？与同伴交流。 x取值 … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2函数值 y=－x2函数值 y=2x2函数值 y=－2x2函数值 1. y=x2图象与性质探索 （1）填表：先填写y=x2函数值； （2）思考：观察表格中数据，你能获取二次函数y=x2自变量x与因变量y变化的哪些信息？由此，猜测图象具有哪些特点？ 观察与思考角度表 表格中数据特点 猜测图象特点 ①y是否有最小值？若有，值为_____； 是否有最大值，若有值为______； 则图象应该有最_______点。（填高/低） 该点坐标为_____________； ②数据两侧对称，最中间的数值是（0,0） 则图象应该也关于______呈_____对称； ③随着x值的增大，y值如何变化？ 则图象的趋势应该是________________； ④所有y值的取值范围是_________ 则图象的位置应该位于______________。 （3）描点画图：先在平面直角坐标系中画出y=x2的图象。 老师在黑板演示描点简易方法，后学生再独立画。 教学注意：先标记顶点，再两边对称取点，连线时注意平滑的曲线。 （4）观察性质：观察y=x2的图象，说一说性质有哪些？ 思考路径：①开口方向：________________；②顶点坐标：___________；③顶点是最_____点，则y的有最______值，为_______，则y的取值范围是___________。④图象关于_______呈________对称；⑤图象从左到右变化趋势是___________________。 2. y=－x2的图象与性质探索 （1） 填表：填写表格中y=－x2的函数值，并通过数据观察数据特点，由此猜测图象特点。 （2） 思考：观察表格中，x取相同值时，y=x2与y=－x2的函数值有什么关系？所以，两个函数图象具有什么特点？在同一个直角坐标系中，可以怎样快速画出的y=－x2图象。 （3） 描点画图：找学生黑板画，其他学生学案画。 （4） 观察：y=－x2的图象有哪些特点？与y=x2的图象有何异同？ 思考路径：①开口方向：________________；②顶点坐标：___________；③顶点是最_____点，则y的有最______值，为_______，则y的取值范围是___________。 ④图象关于_______呈________对称；⑤图象从左到右变化趋势是___________________。 异同：顶点坐标、开口大小、对称性相同；开口方向、增减性不同。 3. y=2x2的与y=－2x2图象与性质探索 （1） 填表：填写表格中y=2x2与y=－2x2的函数值，并通过数据观察数据特点，由此猜测图象特点。 （2） 描点画图：根据表格，在同一直角坐标系中画出两个函数图像； （3） 观察分析：y=2x2与y=－2x2图象有什么异同？ y=2x2与y=x2图象有什么异同？ y=－2x2与y=－x2图象有什么异同？ 思维路径：①开口方向；②顶点坐标；③最低最高点？y的取值范围？④对称性；⑤图像的增减性；⑥开口大小。 （4） 解析式角度分析：观察四个二次函数的解析式，你能尝试分析它们的图象与性质吗？ 4. 二次函数y=ax2图象与性质总结 思考：根据刚才四个二次函数图象与性质的分析，你能总结一下的图象与性质吗？该如何分类呢？ 二次函数的图象叫做抛物线。 抛物线 y=ax2 a＞0 a＞0 图象 开口方向 顶点坐标 （ , ）是最____点（填高/低） （ , ）是最____点（填高/低） 最值 当x=____时，y有最____值，为___； 当x=____时，y有最____值，为___； 对称性 （1）关于_______________________呈________对称； （2）抛物线上的点，若纵坐标相等，则两个点必关于对称轴对称；如果对称轴是y轴，则横坐标互为相反数。 （3）二次函数的一个y值，会对应着______个x值； 增减性 当x＜0时，y随x增大而_______； 当x＞0时，y随x增大而_______； 当x＜0时，y随x增大而_______； 当x＞0时，y随x增大而_______； 开口大小 |a|越大，开口越______（填大/小），图象与y轴越______（填远/近），图象越______（填陡/缓），y随x的变化而变化的速度越______（填快/慢） 熟记：图像与性质总结完毕后，给时间记忆，并同桌之间相互提问巩固。 三、课堂练习 1. 说一说，画一画（课本改编） （1）二次函数y=－3x2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? （2）二次函数y=－x2的图象与二次函数y=x2的图象有什么关系? 在同一坐标系中画出刚才四个函数图象的草图。 2.(1)已知抛物线y=ax2经过点(2，4)，求a的值; (2)如果点(2，a),(b，－8)都在抛物线y=－x2上，求a，b的值。 3.判断正误 （1） 抛物线y=6x2的开口向上；（ ） （2） 二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过（－1,a）；（ ） （3） 二次函数y=ax2(a＜0）的图象是轴对称图形；（ ） （4） 二次函数y=ax2(a＜0）的图象有最低点；（ ） （5） 若点(m，n)在抛物线y=ax2上，那么点(－m，n)也在这条抛物线上。（ ） 4 . (1)写出圆的面积S与它的直径d之间的函数表达式; (2)画出这个函数的图象; (3)从图象上求出直径为3.4 cm时圆的面积(结果精到0.1cm)。 5. 已知二次函数y=－x2。 (1)画出这个函数的图象; (2)当x=2，-1.8时，求y的值; (3)当y=-2，-1.28时，求x的值 四、巩固练习 【基础类】 1. 二次函数y=3x2的图象大致是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点（－3，y1），（－5，y2）都在二次函数y=2x2的图象上，则y1与y2的大小关系是（ ）y1＞y2 B. y1＜y2 C. y1=y2 D.无法判断 3. 已知点A(2，-1)，B(-3，m)都在抛物线y=ax2上，则a=______,m=______。 4. 二次函数y=mx2与y=nx2的图象如图所示，则m与n的大小关系是__________。 【提升类】 5. 已知点A（m,n）在二次函数y=ax2图象上，则下列选项中，位于二次函数y=ax2图象上上的点的坐标可以是（ ） A. (－m,－n) B. (－m,n) C. (m,－n) D. (－n,m) 6. 函数y=ax2与y= (a≠0)在同意平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点（x1，y1）,（x2，y2）是函数y=的图象上两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是_____________。 课堂练习答案： 1. 略 2. （1）a=1；（2）a=-2,b=±4； 3.（1）√，（2）√，（3）√，（4）×，（5）√ 4.（1）； （2） (3) 9.1cm2 5. （1）－2，－1.62； （2）±2；±1.6 巩固练习答案 1.A； 2. B 3. a=－，m=－ 4. m＞n； 5.B 6. D 7. m＞3 学科网（北京）股份有限公司 $