2.3.5 《二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质》讲义 2026-2027学年鲁教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数顶点式y=a(x-h)²+k的图象与性质，系统梳理其开口方向、对称轴、顶点坐标等核心要素，衔接课前复习表格中y=x²等基础形式，通过对比引导学生发现顶点式与旧知的联系，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料设计注重数学眼光与思维培养，如通过平移操作、旋转对称对比表格，帮助学生直观感知变换规律，提升几何直观与推理意识。课堂练习涵盖综合题型，课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过小结与练习查漏补缺，强化知识应用。

《2.3.5二次函数y=的图象与性质》讲义 【学习目标】 1.掌握二次函数顶点式y=的图象、开口、对称轴、顶点、增减性等核心性质； 2.熟练运用 “左加右减、上加下减” 规律解决抛物线平移问题； 3.会根据顶点式判断函数增减区间，能比较抛物线上点的函数值大小； 4.掌握抛物线绕顶点/原点旋转 180°、关于 x/y 轴对称的解析式变换方法； 5.能结合顶点式与一次函数图象，综合判断参数符号，完成基础题型计算。 1、 课前复习 1.填写表格 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y随x增大而增大时，x的取值范围 草图 y=x2 y=2x2 + 3 y=3(x－1)2 y=－5(x+2)2 y=(x－2)2－1 ? ? ? ? ? 2. 思考：表格中最后一行应该填写什么？二次函数y=的图象有什么特征？它与二次函数y=y=的图象有什么关系？与二次函数y=的图象又有什么关系呢？ 二、新知学习——二次函数y=的图象与性质 抛物线的平移（重点） 1. 请在箭头的一侧标记处抛物线的平移方式 （方法：x左加右减，y上加下减） 思考：二次函数y=的图象与y=的图象有怎样的关系？与同伴进行交流。 2. 二次函数y=的图象与性质 二次函数y=的图象是___________，它与抛物线y=的________相同，只是________不同。可以由后者经过___________得到。 y=（a≠0）叫做二次函数的顶点式。性质如下表。 抛物线 y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 草图 开口方向 顶点坐标 （ , ）是最____点（填高/低） （ , ）是最____点（填高/低） 最值 当x=____时，y有最____值，为___； 当x=____时，y有最____值，为___； 对称性 （1）关于_______________________呈________对称； （2）抛物线上的两点(x1,y1)，(x2,y2)，若y1=y2，则两个点必关于对称轴对称，且对称轴x= h = ； 增减性 当x＜h时，y随x增大而_______； 当x＞h时，y随x增大而______； 当x＜h时，y随x增大而_______； 当x＞h时，y随x增大而_______； 开口大小 | a |越大，开口越______（填大/小），图象与_____越______（填远/近），图象越______（填陡/缓），y随x的变化而变化的速度越______（填快/慢） 3. 课堂练习 （1）确定下列二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、判断当y随x增大而减小时，x的取值范围。必要时画出草图验证。 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y随x增大而增大时，x的取值范围 草图 y=(x－2)2－1 y=(x+3)2－ y=(x+1)2－5 y=2(x－3)2－5 y = y = y = y=+5 （2）抛物线y=+3向左移动3个单位长度，再向下移动2个单位长度，得到抛物线的表达式为________________________。 （3）将抛物线y =进行平移，得到抛物线y =，以下关于平移的说法，正确的是（ ） A.先向左平移3个单位,再向下平移3个单位 B.先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 C.先向右平移3个单位，再向上平移3个单位 D.先向右平移3个单位，再向上平移2个单位 （4）二次函数y =与一次函数y=cx+a有同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. （5）已知抛物线y=a +n的开口向下，顶点坐标是(1,3)，若y随x的增大而减小,则x的取值范围是（ ） A. x >－1 B. x <3 C. x >1 D. x<0 （6）已知m≠0，点A(3-m，y1)、B(3，y2)、C(3+m，y3)。都在二次函数y=2+ k的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是（ ） A. y1＞y2＞y3 B.y1＜y2＜y3 C.y1=y3＜y2 D. y1=y3＞y2 （7） 抛物线y =的顶点坐标是____________，对称轴是直线____________。 2、 抛物线的旋转（易错点） 操作·思考：按照如下要求画出旋转前后抛物线的草图（关注顶点位置、对称轴、开口方向即可），观察抛物线前后相同与不同点是什么？思考只要关注哪些条件的变化，就可以写出新抛物线的解析式了？有结论后，与同伴交流你的想法。 1.以“顶点”为旋转中心 （1）抛物线y=2x2绕顶点旋转180°后的抛物线解析式为__________________________； （2）抛物线y=2x2+1绕顶点旋转180°后的抛物线解析式为________________________； （3）抛物线y=2(x－3)2绕顶点旋转180°后的抛物线解析式为______________________； （4）抛物线y=2(x－3)2+1绕顶点旋转180°后的抛物线解析式为____________________； 小结1：抛物线绕“顶点”旋转180°后，开口方向与原来相反，但是开口大小不变，所以新抛物线的a值变为原来的相反数；而顶点坐标不变，可以由此写出新抛物线的顶点式。 2.以“原点”为旋转中心 （1）抛物线y=2x2绕原点旋转180°后的抛物线解析式为__________________________； （2）抛物线y=2x2+1绕原点旋转180°后的抛物线解析式为________________________； （3）抛物线y=2(x－3)2绕原点旋转180°后的抛物线解析式为______________________； （4）抛物线y=2(x－3)2+1绕原点旋转180°后的抛物线解析式为____________________； 小结2：抛物线绕“原点”旋转180°后，开口方向与原来相反，但是开口大小不变，所以新抛物线的a值变为原来的相反数；顶点坐标发生变化，旋转前后的顶点关于原点中心对称，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，由此可求出旋转后的抛物线顶点坐标。进而求出新抛物线的顶点式。 易错点：明确抛物线的旋转中心是“顶点”还是“原点”后，再解答。 3.拓展（选学）：旋转中心是非“原点”和“顶点”的点，该如何写出新抛物线的解析式？ 方法：先定a值，还是原来的相反数；再看顶点变化：因为旋转前后的两个顶点关于旋转中心点对称，所以可利用“中点坐标公式”，反求出新抛物线的顶点坐标。进而写出旋转后抛物线的顶点式。 四、抛物线的对称（拓展） （1）抛物线y=2x2关于x轴对称后抛物线解析式为_______________；关于y轴对称后抛物线解析式为____________； （2）抛物线y=2x2+1关于x轴对称后抛物线解析式为____________；关于y轴对称后抛物线解析式为____________； （3）抛物线y=2(x－3)2关于x轴对称后抛物线解析式为___________；关于y轴对称后抛物线解析式为____________； （4）抛物线y=2(x－3)2+1关于x轴对称后抛物线解析式为____________；关于y轴对称后抛物线解析式为____________； 小结：抛物线关于坐标轴对称前后，开口方向与大小都不变，所以新抛物线的a值等于原来a值；对称前后两个顶点也关于坐标轴对称，由此可求出新抛物线的顶点坐标，就可以写出新抛物线的顶点式。 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2.3.5二次函数y=的图象与性质》讲义答案 1、 课前复习 1，填写表格 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y随x增大而增大时，x的取值范围 草图 y=x2 向下 直线x=0 或y轴 （0,0） x＜0 y=2x2 + 3 向上 直线x=0 或y轴 （0,3） x＞0 y=3(x－1)2 向上 直线x=1 （1,0） x＞1 y=－5(x+2)2 向下 直线 x=－2 （－2,0） x＜－2 y= 向上 直线x=2 （2,0） x＞2 二、新知学习——二次函数y=的图象与性质 抛物线的平移（重点） 1. 请在箭头的一侧标记处抛物线的平移方式 沿x轴 向右平移2个单位 法2：沿y轴向下平移1个单位，再沿x轴 向右平移2个单位 法1：沿x轴 向右平移2个单位， 再沿y轴向下平移1个单位 沿y轴向下平移1个单位 沿y轴向下平移1个单位 沿x轴 向右平移2个单位 （方法：x左加右减，y上加下减） 2. 二次函数y=的图象与性质 二次函数y=的图象是抛物线，它与抛物线y=的形状相同，只是位置不同。可以由后者经过平移得到。 y=（a≠0）叫做二次函数的顶点式。性质如下表。 抛物线 y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 草图 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （h , k）是最低点（填高/低） （h , k）是最高点（填高/低） 最值 当x=h时，y有最小值，为k； 当x=h时，y有最大值，为k； 对称性 （1）关于直线x=h呈轴对称； （2）抛物线上的两点(x1,y1)，(x2,y2)，若y1=y2，则两个点必关于对称轴对称，且对称轴x= h = ； 增减性 当x＜h时，y随x增大而减小； 当x＞h时，y随x增大而增大； 当x＜h时，y随x增大而增大； 当x＞h时，y随x增大而减小； 开口大小 | a |越大，开口越小，图象与对称轴直线x=h越近，图象越陡，y随x的变化而变化的速度越快。 3. 课堂练习 （1） 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y随x增大而增大时，x的取值范围 草图 y=(x－2)2－1 向下 直线x=2 （2 ,－1） x＜2 y=(x+3)2－ 向上 直线x=－3 （－3 ,－） x＞－3 y=(x+1)2－5 向下 直线x=－1 （－1 ,－5） x＜－1 y=2(x－3)2－5 向上 直线x=3 （3 ,－5） x＞3 y = 向下 直线x=－1 （－1 ,0） x＜－1 y = 向下 直线x=0 （0,－1 ） x＜0 y = 向上 直线x=0 （0,0） x＞0 y=+5 向上 直线x=8 （8 , 5） x＞8 （2）y=+1 （3）B （4）B （5）C （6）D （7） （2 ,－1），x=2。 2、 抛物线的旋转（易错点） 1.以“顶点”为旋转中心 （1）y=－2x2； （2）y=－2x2+1； （3）y=－2(x－3)2； （4）y=－2(x－3)2+1； 2.以“原点”为旋转中心 （1）y=－2x2； （2）y=－2x2－1； （3）y=－2(x+3)2； （4）y=－2(x+3)2+1； 四、抛物线的对称（拓展） （1）y=－2x2；y=2x2 （2）y=－2x2－1；y=2x2+1 （3）y=－2(x－3)2；y=2(x+3)2 （4）y=－2(x－3)2－1；y=2(x+3)2+1 学科网（北京）股份有限公司 $