专题02 确定圆的条件（重难点讲义）数学新教材苏科版九年级上册

专题02 确定圆的条件 1.掌握定理：不在同一条直线上的三点确定一个圆；知道三点共线时不能画圆。 2.理解三角形外接圆、内接三角形、外心的概念；知道外心是三角形三边垂直平分线交点。 3.掌握锐角、直角、钝角三角形外心的位置；会尺规作三角形的外接圆。 4.了解多边形的外接圆、圆的内接多边形概念。 5.通过画图探究过一点、两点、三点作圆的情况，体会作图探究获得定理的过程，感受数学严谨性，体会分类讨论思想。 6.通过尺规作图作外接圆，理解外心的来源，提升动手作图能力，感受残缺铜镜找圆心这类实际问题中数学的应用价值。 三点定圆定理：不在同一条直线上的三点确定一个圆。 三角形外接圆、外心定义： 经过三角形三个顶点的圆叫作三角形的外接圆（circumcirle of triangle）。外接圆的圆心叫作三角形的外心（circumcenter of triangle），这个三角形叫作圆的内接三角形，外心是三角形三边的垂直平分线的交点。 多边形外接圆定义： 如果多边形的顶点都在同一个圆上，这个圆叫作多边形的外接圆（circumcirle of polygon），这个多边形叫作圆的内接多边形（innterpolygon of cirle）。 找外接圆圆心（外心）：作三角形任意两条边的垂直平分线，交点即为外心。 外心位置： 锐角三角形，外心在三角形的内部；直角三角形，外心在斜边的中点；钝角三角形，外心在三角形的外部。 残缺圆形找圆心：任取两条不平行的弦，作弦的垂直平分线，交点就是圆心。 题型01 确定圆的条件的相关问题 【典例】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，∴C选项正确，故选：C． 【变式1】（25-26九年级下·上海·月考）下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 【答案】D 【详解】解：A、经过一个定点，以定长为半径，由于圆心不确定，即可以作无数个圆，原说法错误，不符合题意； B、经过两个定点，以定长为半径，圆心在两个定点所连线段的垂直平分线上，即能作0个或1个或2个圆，原说法错误，不符合题意； C、经过不在同一条直线上的三个定点，只能作一个圆，原说法错误，不符合题意； D、经过三角形的三个顶点，只能作一个圆，原说法正确，符合题意；故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【详解】解：如图，分别以、为圆心、5为半径作圆，两圆相交于点C、D， 然后分别以C、D为圆心，5为半径作圆，则和为所求．故选：C． 【变式3】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆， ∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆， ∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点），故选B． 【变式4】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四点不在同一直线上， ∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆； （）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆； ∴确定圆的个数为、或，不可能为，故选：． 题型02 确定圆心（尺规作图） 【典例】（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）中国的拱桥始建于东汉中后期，距今已有一千八百余年的历史．它是由伸臂木石梁桥、撑架桥等逐步发展而成的．由于在形成和发展过程中的外形都是曲的，所以古时常称为曲桥．如平凉市的聚仙桥、长庆桥、平凉八里桥等． 如图是拱桥的一部分，点A、B在地面上，请用尺规作图法确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）．    【答案】如图所示，圆心O即为所求．    【变式1】（25-26九年级上·湖北十堰·月考）如图，在围成新月形的两条弧（和）中，哪一条弧的半径较大？分别作出它们所在的圆，验证你的猜想． 【答案】的半径较大，作图和验证见解析 【详解】解：的半径较大．如图，作的垂直平分线交于点C，交于点D，再作的垂直平分线交直线于点，作的垂直平分线交直线于O点，则点为所在圆的圆心，点O为所在圆的圆心， 连接，因为，所以的半径较大． 【变式2】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图是小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度直尺在给定网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图1，将绕点O逆时针旋转得，画出； (2)如图2，请用尺规画出这个圆的圆心． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，点即为这个圆的圆心． 【变式3】（25-26九年级上·重庆·月考）有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是__________________ 【答案】在圆形纸片的边缘上任取三点则线段的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心. 【详解】解：如图，在圆形纸片的边缘上任取三点 连接 则的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心. 故答案为：在圆形纸片的边缘上任取三点则线段的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心. 题型03 根据确定圆的条件求参数 【典例】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，若，，三点可以确定一个圆，则n的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设直线的解析式为： 则，解得：，直线的解析式为， 当时，，点在直线上， ，， 三点可以确定一个圆时，，故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·江苏·校考期中）小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（    ） A．① B．② C．③ D．都不能 【答案】B 【详解】解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·山东淄博·月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而确定圆即可．故选：A． 【变式3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）平面内，，，，五个点如图．过点______所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 【答案】A、E、C 【详解】解：要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线；因为当三个点接近共线时，它们所确定的圆的半径会趋向于无穷大， 由图可知点A、E、C三点接近共线，符合题意，故答案为：A、E、C． 题型04 作三角形的外接圆（尺规作图） 【典例】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）已知，，用圆规和直尺作出它的外接圆O． 【答案】见解析 【详解】解：如图，即为所求；∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，∴是的外接圆． 【变式1】（2026·陕西西安·一模）已知直角三角形是一个机器的零件，现在需要用一块圆形钢板与它组合，要求圆形钢板刚好覆盖住三角形零件，请用尺规作出该圆形钢板． 【答案】见解析 【分析】作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，长为半径作圆． 【详解】解：圆形钢板如图所示， 【变式2】（2025·福建泉州·一模）如图，已知，，是高． (1)求作的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，．求外接圆的半径． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：连接，∵，，∴，， ∴，设的半径为，则， ∴，在中，， ∴，解得，∴外接圆的半径为． 题型05 三角形外接圆的概念辨析 【典例】（25-26九年级上·江苏·期中）对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 【答案】B 【分析】根据三角形外心的定义和其性质逐一判断即可． 【详解】解：A、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以外心到三角形三个顶点的距离相等，故选项A正确，该选项不符合题意； B、到三角形三个顶点的连线平分三内角的是内心，不是外心，故选项B错误，该选项符合题意； C、三角形的外心即外接圆的圆心，三角形三个顶点都在外接圆上，所以外心到任一顶点的距离等于这个三角形的外接圆的半径，故选项C正确，该选项不符合题意； D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，所以它到三角形三个顶点的距离相等，则以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点，故选项D正确，该选项不符合题意． 【变式1】（25-26九年级上·江苏苏州·专题练习）对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 【答案】D 【详解】解：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，故A、B错误；D正确；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部，故C错误．故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏常州·月考）三角形的外心是三角形中（　　） A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】三角形的外心是三角形中三边垂直平分线的交点，故选：D． 【变式3】（25-26九年级上·重庆·校考期末）如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（     ） 甲的作法 过点B作与垂直的直线，交于点P，则P即为所求 乙的作法 以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【详解】解：甲的作法：如图，连接， ，．点O为中点，， 点O是的外心，甲的作法正确； 乙的作法：如图，连接， 点O为中点，．由作法可知，， ，点O是的外心，乙的作法正确． 题型06 求三角形外心坐标 【典例】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，由图可知：的外心坐标是；故选B． 【变式1】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设外接圆的圆心为点,外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， 由题可知，,,则作的中垂线交于, 作的中垂线交于,,设点的坐标为， ,，， ，则点的坐标为．故选: ． 【变式2】（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵三角形的外心是各边的垂直平分线的交点，图中已明确出各边垂直平分线以及其交点， 观察图象，可直接得出外心坐标为，故选A． 【变式3】（25-26九年级上·江苏泰州·月考）已知：A点坐标为，B点坐标为，若过A、B、C三点不能确定一个圆，写出一个满足要求的C点坐标_________．（写出一个就行） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：设直线的解析式为，由题意得： ，解得：，∴直线的解析式为， ∵A、B、C三点不能确定一个圆，∴A、B、C三点共线， ∴点C的坐标只需满足在直线上即可，例如：，等等；故答案为（答案不唯一）． 题型07 求特殊三角形外接圆的半径 【典例】（25-26九年级上·河南信阳·期中）直角三角形的两直角边长是一元二次方程 的两根，则该三角形外接圆的半径是________． 【答案】5 【详解】解：设两直角边分别为 和 ，则根据根与系数的关系，有 ，． 由勾股定理可得，斜边 ． ∵，∴ ， ∵直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半，∴外接圆半径，故答案为：5． 【变式1】（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．则能完全覆盖的最小圆的半径为___________．    【答案】 【详解】解：由勾股定理得：， 则能够完全覆盖这个三角形的最小圆面是以为直径的圆，圆的半径是，故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是、、是的外接圆，则的半径为_____． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于，作于，连接，作的垂直平分线，垂足为，交于，连接． ∴四边形为正方形，∴垂直平分， 又∵垂直平分，∴和的交点即为的外心M， ，，设直线的解析式为， 则，解得，∴直线的解析式为， 当时，，∴，∴的半径为，故答案为：． 【变式3】（25-26九年级下·河南南阳·开学考试）如图，在中，，能够将完全覆盖的最小圆形纸片的面积是 _________． 【答案】 【详解】解：设圆的圆心为点，能够将完全覆盖的最小圆是的外接圆，作于点，连接，，如下图所示：∵在中，，，∴， ∵，，∴为等腰三角形的角平分线和中线， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 由勾股定理得，得方程， 解得或（舍去），∴圆的面积为． 【变式4】（25-26九年级上·江苏无锡·月考）中，，，则的外接圆的半径为______． 【答案】5 【详解】解：，，外接圆的半径等于5．故答案为5. 题型08 外心的位置与三角形的形状 【典例】（26-27九年级上·北京·入学考试）下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 【答案】C 【详解】解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点， 故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误． D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）的外心在三角形的一边上，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【详解】解：当的外心在的内部时，则是锐角三角形； 当的外心在的外部时，则是钝角三角形； 当的外心在的一边时，则是直角三角形，且这边是斜边．故选B． 【变式2】（25-26九年级上·云南昭通·期末）是以为斜边的直角三角形，其外接圆半径，则斜边的长度为___________． 【答案】 【详解】解：∵是以为斜边的直角三角形， ∴斜边是其外接圆的直径，∴． 【变式3】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于．故选：C 题型09 多边形的外接圆 【典例】（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】A 【详解】解：∵任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心）,且外心到三个顶点的距离相等， ∴ 三角形一定有外接圆， 四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，故选：A 【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列图形，一定有外接圆的是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．直角梯形 D．矩形 【答案】D 【详解】解∶根据有四边形外接圆的性质，四边形必须对角互补， 矩形的四个角都是直角，对角互补，一定有外接圆，故选∶D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·期中）以下图形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．其中一定有外接圆的是（    ） A．① B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：根据有外接圆的条件，四边形必须对角互补， 只有矩形、正方形有外接圆，故③④一定有外接圆．故选：C. 题型10 证明多点在同一个圆上 【典例】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上． 【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD ∴OA=OB=OC=OD，∴A、B、C、D四点在以O圆心的同一个圆上． 【变式1】中，．求证：三点在同一个圆上． 【答案】见解析． 【详解】如图所示，取AB的中点O，连接CO在Rt△ABC中， ∵AO= BO，∠ACB= 90°，∴CO＝AB，即CO＝AO＝BO．∴A，B，C三点在同一个圆上，圆心为点O． 【变式2】如图，小明为检验 ，，， 四点是否共圆，用尺规分别作了 ， 的垂直平分线，它们交于点 ，则 ，，， 四点中，不一定在以 为圆心， 为半径的圆上的点是（      ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【详解】解：如图，连接 ，，，，∵ ， 的垂直平分线交于点 ，∴ ， ∴ ，， 在以点 为圆心， 为半径的圆上， ∴ 与 的大小关系不能确定，∴点不一定在圆上．故选C． 【变式3】如图，是的高，为的中点．试说明点在以点为圆心的同一个圆上． 【答案】见解析 【详解】证明：连接，．分别是的高，为的中点， ，∴点在以点为圆心的同一圆上． 【变式4】已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由． 【答案】点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上，证明见解析. 【详解】解：如图，连接AC，BD相交于点O，连接OE，OF，OG，OH， ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，AC⊥BD， ∵点E是AB的中点，∴OE＝AB，同理：OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD， ∴OE＝OF＝OG＝OH，∴点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上． 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的（    ） A．内心 B．外心 C．中心 D．重心 【答案】B 【详解】解：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心．故选：B． 2．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【详解】解：如图，满足题意． 这样的圆可以作2个．故选：B． 3．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，由边长相同的小正方形组成的网格，点都在小正方形的顶点上，则点是的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：如图，连接， 由网格可得，∴点是的外心，故选：． 4．（25-26九年级上·山东东营·月考）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，圆心M的坐标， ∵，∴，∴的半径为，故选：C． 5．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，外接圆的圆心坐标为______． 【答案】 【详解】解：如图，作线段、线段的垂直平分线相交于点， 由垂径定理可得，点即为外接圆的圆心，由图象可得，点的坐标为，故答案为：． 6．（2025·江苏苏州·模拟预测）经过点，，的圆的周长为_________． 【答案】 【详解】解：如图，记圆心为， ∵，，∴圆心在的垂直平分线上，即在轴上， 设，∴，解得：； ∴半径为：，∴圆的周长为，故答案为： 7．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么弧的度数是_____． 【答案】/90度 【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线交于点Q，连接，如图， 由图可得圆心为点Q，∵，，， ∴，∴为等腰直角三角形，∴弧的度数是，故答案为：． 8．（2025·江苏徐州·中考真题）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图． (1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”； (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)七(2)见解析 【详解】（1）解：如图，若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“七连弧纹镜”， 故答案为：七 （2）如图所示，即为所求， 9．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧． (1)弧所在圆的圆心的坐标为________________；(2)求弧所在圆的半径； 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，点即为圆心，由图可知：； （2）由勾股定理，得；故半径为． 10．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，， ，解答下列问题：(1)请在图中确定该圆弧所在圆心点的位置，则点坐标为_______．(2)连结，，求出的度数． 【答案】(1)图形见解析，(2) 【分析】本题主要考查确定圆的条件、勾股定理的逆定理、平面直角坐标系： 【详解】（1）如图所示，作线段和线段的垂直平分线，两条直线的交点即为点． 故答案为： （2）如图所示，连接． ∵，，， ∴．∴． 【强化训练】 1．（25-26九年级上·江西上饶·月考）在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，，，∴． ∵ 外心为斜边的中点，∴ 外接圆半径． ∴ 外心与顶点的距离为．故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 【答案】A 【详解】解：由勾股定理可知：，所以点是△的外心，故选：A． 3．（25-26九年级上·河北·课后作业）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（ ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵的外心为O，．，， 、是方格纸格线的交点，、的位置如图所示， ．故选：D． 4.（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为________． 【答案】 【详解】解：，，解得 或，故两直角边长分别为和． 由勾股定理，斜边长为 ．故外接圆直径为 ．故答案为：． 6．（2026·山西吕梁·一模）如图，在四边形中，，对角线，相交于点，，，则线段的长为______． 【答案】 【详解】解：，， ，，，四点共圆，且为该圆的直径，也是的外接圆直径， 过点作于点，设的外接圆，圆心为，连接，， ， 为等腰三角形，为的中点，且，，三点共线， ，，在直角中，， 设的半径为，则，， 在直角中，，，解得， 为该圆的直径，， 在直角中，． 7．（2026·上海宝山·二模）定义：有且仅有一条边长等于其外接圆半径的三角形叫做“等接圆三角形”．如果等腰三角形是“等接圆三角形”，那么的面积与其外接圆面积的比值是______．（保留） 【答案】或 【详解】解：由题意，圆的半径只能与等腰三角形的底边相等， 当等腰三角形的顶角为锐角时，如图，是等腰的外接圆， ，， ∴为等边三角形，∴，∴， 作于点，则，∴，∴， ∴，∴， ∴的面积为，的面积为， ∴的面积与的面积比为； 当为钝角时，如图，连接交于点， ∵，，∴垂直平分，∴， ∴，∴， ∴的面积，的面积为， ∴的面积与的面积比为； 综上：的面积与的面积比为或． 8．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________． 【答案】 【详解】解：作于D，如图， ∵，∴，∴， ∵垂直平分，∴的外心O在上， 连接，设的外接圆的半径为r，则 在中，，解得， ∵能够完全覆盖这个三角形的最小圆为的外接圆， ∴能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径为．故答案为：． 9．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知． (1)尺规作图：作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若的半径为10，点到BC的距离为6，求BC的长． 【答案】(1)见解析(2)16 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：作于．在中，，，， ，，． 10．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由：如果不是，请求出该三角形的最小覆盖圆的直径． 【答案】(1)见解析 (2)不是． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ； （2）解：不是．如图：作交的延长线于点，，，． 在中，，，则． 在中，．这个三角形最小覆盖圆的直径为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 确定圆的条件 1.掌握定理：不在同一条直线上的三点确定一个圆；知道三点共线时不能画圆。 2.理解三角形外接圆、内接三角形、外心的概念；知道外心是三角形三边垂直平分线交点。 3.掌握锐角、直角、钝角三角形外心的位置；会尺规作三角形的外接圆。 4.了解多边形的外接圆、圆的内接多边形概念。 5.通过画图探究过一点、两点、三点作圆的情况，体会作图探究获得定理的过程，感受数学严谨性，体会分类讨论思想。 6.通过尺规作图作外接圆，理解外心的来源，提升动手作图能力，感受残缺铜镜找圆心这类实际问题中数学的应用价值。 三点定圆定理：不在同一条直线上的三点确定一个圆。 三角形外接圆、外心定义： 经过三角形三个顶点的圆叫作三角形的外接圆（circumcirle of triangle）。外接圆的圆心叫作三角形的外心（circumcenter of triangle），这个三角形叫作圆的内接三角形，外心是三角形三边的垂直平分线的交点。 多边形外接圆定义： 如果多边形的顶点都在同一个圆上，这个圆叫作多边形的外接圆（circumcirle of polygon），这个多边形叫作圆的内接多边形（innterpolygon of cirle）。 找外接圆圆心（外心）：作三角形任意两条边的垂直平分线，交点即为外心。 外心位置： 锐角三角形，外心在三角形的内部；直角三角形，外心在斜边的中点；钝角三角形，外心在三角形的外部。 残缺圆形找圆心：任取两条不平行的弦，作弦的垂直平分线，交点就是圆心。 题型01 确定圆的条件的相关问题 【典例】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【变式1】（25-26九年级下·上海·月考）下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 【变式2】（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【变式3】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 题型02 确定圆心（尺规作图） 【典例】（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）中国的拱桥始建于东汉中后期，距今已有一千八百余年的历史．它是由伸臂木石梁桥、撑架桥等逐步发展而成的．由于在形成和发展过程中的外形都是曲的，所以古时常称为曲桥．如平凉市的聚仙桥、长庆桥、平凉八里桥等． 如图是拱桥的一部分，点A、B在地面上，请用尺规作图法确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）．    【变式1】（25-26九年级上·湖北十堰·月考）如图，在围成新月形的两条弧（和）中，哪一条弧的半径较大？分别作出它们所在的圆，验证你的猜想． 【变式2】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图是小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度直尺在给定网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图1，将绕点O逆时针旋转得，画出； (2)如图2，请用尺规画出这个圆的圆心． 【变式3】（25-26九年级上·重庆·月考）有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是__________________ 题型03 根据确定圆的条件求参数 【典例】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，若，，三点可以确定一个圆，则n的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·江苏·校考期中）小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（    ） A．① B．② C．③ D．都不能 【变式2】（25-26九年级上·山东淄博·月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）平面内，，，，五个点如图．过点______所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 题型04 作三角形的外接圆（尺规作图） 【典例】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）已知，，用圆规和直尺作出它的外接圆O． 【变式1】（2026·陕西西安·一模）已知直角三角形是一个机器的零件，现在需要用一块圆形钢板与它组合，要求圆形钢板刚好覆盖住三角形零件，请用尺规作出该圆形钢板． 【变式2】（2025·福建泉州·一模）如图，已知，，是高． (1)求作的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，．求外接圆的半径． 题型05 三角形外接圆的概念辨析 【典例】（25-26九年级上·江苏·期中）对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 【变式1】（25-26九年级上·江苏苏州·专题练习）对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 【变式2】（25-26九年级上·江苏常州·月考）三角形的外心是三角形中（　　） A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【变式3】（25-26九年级上·重庆·校考期末）如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（     ） 甲的作法 过点B作与垂直的直线，交于点P，则P即为所求 乙的作法 以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 题型06 求三角形外心坐标 【典例】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·江苏泰州·月考）已知：A点坐标为，B点坐标为，若过A、B、C三点不能确定一个圆，写出一个满足要求的C点坐标_________．（写出一个就行） 题型07 求特殊三角形外接圆的半径 【典例】（25-26九年级上·河南信阳·期中）直角三角形的两直角边长是一元二次方程 的两根，则该三角形外接圆的半径是________． 【变式1】（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．则能完全覆盖的最小圆的半径为___________．    【变式2】（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是、、是的外接圆，则的半径为_____． 【变式3】（25-26九年级下·河南南阳·开学考试）如图，在中，，能够将完全覆盖的最小圆形纸片的面积是 _________． 【变式4】（25-26九年级上·江苏无锡·月考）中，，，则的外接圆的半径为______． 题型08 外心的位置与三角形的形状 【典例】（26-27九年级上·北京·入学考试）下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）的外心在三角形的一边上，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【变式2】（25-26九年级上·云南昭通·期末）是以为斜边的直角三角形，其外接圆半径，则斜边的长度为___________． 【变式3】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 题型09 多边形的外接圆 【典例】（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列图形，一定有外接圆的是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．直角梯形 D．矩形 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·期中）以下图形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．其中一定有外接圆的是（    ） A．① B．②③ C．③④ D．②③④ 题型10 证明多点在同一个圆上 【典例】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上． 【变式1】中，．求证：三点在同一个圆上． 【变式2】如图，小明为检验 ，，， 四点是否共圆，用尺规分别作了 ， 的垂直平分线，它们交于点 ，则 ，，， 四点中，不一定在以 为圆心， 为半径的圆上的点是（      ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式3】如图，是的高，为的中点．试说明点在以点为圆心的同一个圆上． 【变式4】已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由． 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的（    ） A．内心 B．外心 C．中心 D．重心 2．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 3．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，由边长相同的小正方形组成的网格，点都在小正方形的顶点上，则点是的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．无法确定 4．（25-26九年级上·山东东营·月考）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 5．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，外接圆的圆心坐标为______． 6．（2025·江苏苏州·模拟预测）经过点，，的圆的周长为_________． 7．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么弧的度数是_____． 8．（2025·江苏徐州·中考真题）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图． (1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”； (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法） 9．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧． (1)弧所在圆的圆心的坐标为________________；(2)求弧所在圆的半径； 10．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，， ，解答下列问题：(1)请在图中确定该圆弧所在圆心点的位置，则点坐标为_______．(2)连结，，求出的度数． 【强化训练】 1．（25-26九年级上·江西上饶·月考）在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 3．（25-26九年级上·河北·课后作业）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（ ） A．4 B．5 C． D． 4.（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为________． 6．（2026·山西吕梁·一模）如图，在四边形中，，对角线，相交于点，，，则线段的长为______． 7．（2026·上海宝山·二模）定义：有且仅有一条边长等于其外接圆半径的三角形叫做“等接圆三角形”．如果等腰三角形是“等接圆三角形”，那么的面积与其外接圆面积的比值是______．（保留） 8．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________． 9．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知． (1)尺规作图：作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若的半径为10，点到BC的距离为6，求BC的长． 10．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由：如果不是，请求出该三角形的最小覆盖圆的直径． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $