3.2 确定圆的条件（知识解读）-2026-2027学年苏科版九年级数学上册

3.2 确定圆的条件（知识解读） 【新教材苏科版】 题型归纳 目录 【题型 1··确定圆心(尺规作图】 2 【题型 2·求能确定的圆的个数】 3 【题型3·三角形外接圆的概念辨析】 4 【题型 4·求三角形外心坐标】 4 【题型 5·求特殊三角形外接圆的半径】 5 【题型 6·己知外心的位置判断三角形的形状】 6 【题型 7·判断三角形外接圆的圆心位置】 6 【随堂检测】 7 知识点1 确定圆的条件 1.一个点:经过一个点可以画无数个圆(圆心只要不在这个点上就行) 2.两个点:经过两个点也可以画无数个圆;圆心一定在这两点连线的垂直平分线上。 3.不在同一直线上的三个点:有且只有 1 个圆, 重要定理:不在同一条直线上的三点确定一个圆。 易错:如果三点在同一直线上，不能作出圆。 知识点2 三角形的外接圆和外心 1.三角形外接圆:经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。 2.外心:外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点。 3.性质:外心到三角形三个顶点距离相等(这个距离就是外接圆半径R)。 4.区分:外心是垂直平分线交点，不是角平分线交点(角平分线交点是内心，内切圆圆 知识点3：外心的位置(高频考点) 1.锐角三角形:外心在三角形内部 斜边2.直角三角形:外心在斜边中点，外接圆半径 R = 3.钝角三角形:外心在三角形外部 反过来也成立:已知外心位置，可以判断三角形形状。 知识点4：尺规作图：找圆心 已知三角形，作外接圆步骤 1.作任意两条边的垂直平分线 2.两条垂直平分线交点就是外心(圆心) 3.以交点为圆心，交点到顶点长为半径画圆,，就是外接圆。 【题型 1··确定圆心(尺规作图】 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． (1)直接写出圆弧所在的圆心坐标：__________； (2)的半径为__________； (3)若点，则点在__________．（填“圆内”“圆上”或“圆外”） 【变式1-1】如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式1-2】如图是一位考古学家发现的一块古代车轮的碎片． (1)请你帮他找出这个车轮所在圆环的圆心并还原画出这个车轮的圆环图（尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）． (2)在（1）的条件下，若测量出车轮所在的圆环外径（外圆的直径）是，求车轮滚动一圈直走的路程（结果保留）． 【变式1-3】如图，已知．    (1)尺规作图：作的外接圆；（不要求写作法） (2)若，，求的外接圆半径是___________． 【题型 2·求能确定的圆的个数】 【典例2】已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【变式2-1】如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2-3】已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 【题型3·三角形外接圆的概念辨析】 【典例3】对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 【变式3-1】下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 【变式3-2】在中，若两直角边长为、，则它的外接圆的面积为______． 【题型 4·求三角形外心坐标】 【典例4】如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，已知，，，则外接圆的圆心坐标为___________． 【题型 5·求特殊三角形外接圆的半径】 【典例5】圆内接正三角形的边长为，则该圆的半径为_________． 【变式5-1】中，，，则的外接圆的半径为______． 【题型 6·己知外心的位置判断三角形的形状】 【典例6】如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【变式6-1】的外心在三角形的一边上，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【题型 7·判断三角形外接圆的圆心位置】 【典例7】如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来__________________________． 【变式7-1】如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________． 【变式7-2】如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为___________．    【变式7-3】在中，，，，则的外心在的______（填“内部”、“外部”或“边上”）；其外接圆的半径为______． 随堂检测 【随堂检测】 1．如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔.只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，当船航行到点的位置时，此时与两个灯塔间的角度（的大小）一定无触礁危险.那么，对于四个位置，船处于___________时，也一定无触礁危险.（　　）    A．位置 B．位置 C．位置 D．位置 3．三角形的外心是（   ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三角形三边垂直平分线的交点 D．三角形三个内角平分线的交点 4．下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 6．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 7．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 8．如图，点均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的______． 10．如图是一个残破的圆形零部件，现在需要找到它所在圆的圆心，当老师布置好这个任务后，第一小组的同学制定了如下方案：①在圆弧上取两条不平行的弦；②分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于、；③分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于P、Q；④作直线和，两直线交于点，则点为所在圆的圆心．其他小组的同学都非常认可第一小组的方案，你认为第一小组这样作法的依据是：________． 11．中国的拱桥始建于东汉中后期，距今已有一千八百余年的历史．它是由伸臂木石梁桥、撑架桥等逐步发展而成的．由于在形成和发展过程中的外形都是曲的，所以古时常称为曲桥．如平凉市的聚仙桥、长庆桥、平凉八里桥等． 如图是拱桥的一部分，点A、B在地面上，请用尺规作图法确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）．    12．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心； (2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 确定圆的条件（知识解读） 【新教材苏科版】 题型归纳 目录 【题型 1··确定圆心(尺规作图】 2 【题型 2·求能确定的圆的个数】 6 【题型3·三角形外接圆的概念辨析】 7 【题型 4·求三角形外心坐标】 9 【题型 5·求特殊三角形外接圆的半径】 12 【题型 6·己知外心的位置判断三角形的形状】 13 【题型 7·判断三角形外接圆的圆心位置】 14 【随堂检测】 17 知识点1 确定圆的条件 1.一个点:经过一个点可以画无数个圆(圆心只要不在这个点上就行) 2.两个点:经过两个点也可以画无数个圆;圆心一定在这两点连线的垂直平分线上。 3.不在同一直线上的三个点:有且只有 1 个圆, 重要定理:不在同一条直线上的三点确定一个圆。 易错:如果三点在同一直线上，不能作出圆。 知识点2 三角形的外接圆和外心 1.三角形外接圆:经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。 2.外心:外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点。 3.性质:外心到三角形三个顶点距离相等(这个距离就是外接圆半径R)。 4.区分:外心是垂直平分线交点，不是角平分线交点(角平分线交点是内心，内切圆圆 知识点3：外心的位置(高频考点) 1.锐角三角形:外心在三角形内部 斜边2.直角三角形:外心在斜边中点，外接圆半径 R = 3.钝角三角形:外心在三角形外部 反过来也成立:已知外心位置，可以判断三角形形状。 知识点4：尺规作图：找圆心 已知三角形，作外接圆步骤 1.作任意两条边的垂直平分线 2.两条垂直平分线交点就是外心(圆心) 3.以交点为圆心，交点到顶点长为半径画圆,，就是外接圆。 【题型 1··确定圆心(尺规作图】 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． (1)直接写出圆弧所在的圆心坐标：__________； (2)的半径为__________； (3)若点，则点在__________．（填“圆内”“圆上”或“圆外”） 【答案】(1) (2) (3)圆内 【分析】本题考查了图形与坐标综合，勾股定理，点与圆的位置关系等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）作出，的垂直平分线的交点即可求解； （2）利用勾股定理求解； （3）求出、两点的距离与半径比较即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，作出，的垂直平分线的交点为，， 故答案为：； （2）如图，连接，即为半径， ， 故答案为：； （3）∵，， ， ∴点在内． 【变式1-1】如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 圆心O如图． 【分析】本题考查画圆心，任取一条弦，分别作和的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：略． 【变式1-2】如图是一位考古学家发现的一块古代车轮的碎片． (1)请你帮他找出这个车轮所在圆环的圆心并还原画出这个车轮的圆环图（尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）． (2)在（1）的条件下，若测量出车轮所在的圆环外径（外圆的直径）是，求车轮滚动一圈直走的路程（结果保留）． 【答案】(1) 如图为所求作的图形． (2) 【分析】本题考查了确定圆心，求圆的周长； （1）先确定圆心，在小圆上任意取三点，作出两条线段，作这两条线段的垂直平分线，交于同一点即为圆环的圆心，进而画出车轮的圆环图； （2）根据圆环外径（外圆的直径）是，根据圆的周长公式，即可求解． 【详解】（1）解：略； （2）圆的周长， ∴车轮滚动一圈直走的路程是． 【变式1-3】如图，已知．    (1)尺规作图：作的外接圆；（不要求写作法） (2)若，，求的外接圆半径是___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形外接圆的性质可知的外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等进而作三边的垂直平分线即可； （2）根据圆周角定理可知，再根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：∵的外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等， ∴作三角形三边的垂直平分线，三条垂直平分线的交点即为的外接圆的圆心， ∴即为所求，    （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴， 即的外接圆半径是， 故答案为．      【点睛】本题考查了三角形外接圆的尺规作图，圆周角定理，勾股定理，掌握三角形外接圆的性质是解题的关键． 【题型 2·求能确定的圆的个数】 【典例2】已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记圆心的确定方法是解题的关键． 经过两点、的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到、的距离等于半径，利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆． 【详解】解：如图， 分别以、为圆心、5为半径作圆，两圆相交于点C、D， 然后分别以C、D为圆心，5为半径作圆，则和为所求． 故选：C． 【变式2-1】如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可． 【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆， ∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆， ∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点）， 故选B． 【变式2-3】已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 【答案】个 【分析】本题考查了圆的性质、确定圆心的方法，关键是找到满足题意的圆心的位置； 圆心在线段的垂直平分线上，且与的距离为，根据勾股定理求出圆心到中点的距离，就可得到圆心的个数． 【详解】解：设的中点为，圆心为， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在线段的垂直平分线上到的距离等于的点有两个， 故答案为：个． 【题型3·三角形外接圆的概念辨析】 【典例3】对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 【答案】B 【分析】根据三角形外心的定义和其性质逐一判断即可． 【详解】解：A、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以外心到三角形三个顶点的距离相等，故选项A正确，该选项不符合题意； B、到三角形三个顶点的连线平分三内角的是内心，不是外心，故选项B错误，该选项符合题意； C、三角形的外心即外接圆的圆心，三角形三个顶点都在外接圆上，所以外心到任一顶点的距离等于这个三角形的外接圆的半径，故选项C正确，该选项不符合题意； D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，所以它到三角形三个顶点的距离相等，则以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点，故选项D正确，该选项不符合题意． 【变式3-1】下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 【答案】C 【分析】可通过外心位置与三角形形状的对应关系判断错误选项． 【详解】解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点， 故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误． D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确． 【变式3-2】在中，若两直角边长为、，则它的外接圆的面积为______． 【答案】/平方厘米 【分析】此题考查的是求三角形的外接圆的面积，掌握圆周角为直角所对的弦是直径是解决此题的关键． 根据题意，写出已知条件并画出图形，然后根据勾股定理即可求出，再根据圆周角为直角所对的弦是直径即可得出结论． 【详解】如图，已知：，， 由勾股定理得： ， ∵， ∴是的直径， ∴这个三角形的外接圆直径是，半径为， ∴面积为， 故答案为：． 【题型 4·求三角形外心坐标】 【典例4】如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，解题的关键是掌握三角形的外心的定义．根据三角心的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，分别作、的垂直平分线交于点，即可求解． 【详解】解：如图，分别作、的垂直平分线交于点，点即为所求， 故选：C． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用．首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心． 【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的垂直平分线交点即为的外心， 的外心坐标是， 故选：D． 【变式4-2】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外接圆的外心、垂径定理、坐标与图形的性质．勾股定理等知识；关键是根据垂径定理得出外接圆的圆心位置． 连接，作的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点的坐标即可． 【详解】解：连接，作的垂直平分线，如图所示： 在的垂直平分线上找到一点， ， 点是过、、三点的圆的圆心， 即的坐标为， 故选：D． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，已知，，，则外接圆的圆心坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形外接圆圆心的确定，掌握三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，通过求三边垂直平分线的交点得到圆心坐标是解题的关键． 三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，所以需分别画出和的垂直平分线，再求其交点坐标． 【详解】解：如图所示： 分别作出与的垂直平分线交于点，则的横坐标为4，纵坐标为4， ∴△ABC的外接圆的圆心坐标为 故答案为：． 【题型 5·求特殊三角形外接圆的半径】 【典例5】圆内接正三角形的边长为，则该圆的半径为_________． 【答案】 【分析】本题考查圆内接正三角形的性质、垂径定理及勾股定理．关键是通过作辅助线，将圆的半径、正三角形边长的一半转化到直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设该圆的圆心为，半径为，圆内接正三角形为，连接、，过作于点， 则，，． ， 为直角三角形，， 且， ， ； 由勾股定理得，即，解得(舍去负值)； 故答案为：． 【变式5-1】中，，，则的外接圆的半径为______． 【答案】5 【分析】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长是圆的直径．已知中，，，斜边是外接圆的直径，因而外接圆的半径等于5． 【详解】解：，， 外接圆的半径等于5． 故答案为5. 【题型 6·己知外心的位置判断三角形的形状】 【典例6】如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C 【变式6-1】的外心在三角形的一边上，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据三角形外心与三角形的位置关系可判断三角形的形状，因此可得到答案． 【详解】解：当的外心在的内部时，则是锐角三角形； 当的外心在的外部时，则是钝角三角形； 当的外心在的一边时，则是直角三角形，且这边是斜边． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的外心，解决本题的关键是经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 【题型 7·判断三角形外接圆的圆心位置】 【典例7】如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来__________________________． 【答案】△ADC、△BDC、△ABD 【分析】先求出△ABC的外接圆半径r，再找到距离O点的长度同为r的点，即可求解． 【详解】由网格图可知O点到A、B、C三点的距离均为：， 则外接圆半径， 图中D点到O点距离为：， 图中E点到O点距离为：， 则可知除△ABC外把你认为外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC， 故答案为：△ADC、△ADB、△BDC． 【点睛】本题考查了外接圆的性质、勾股定理等知识，求出△ABC的外接圆半径r是解答本题的关键． 【变式7-1】如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________． 【答案】G 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，圆的定义，根据线段垂直平分线的性质确定圆心的位置是解题的关键．连接，作线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点G， 则点G即为所求作的点． 【详解】解：如图，点G即为所求作的点． 故答案为：G． 【变式7-2】如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为___________．    【答案】 【分析】本题考查的是确定圆弧所在圆的圆心，勾股定理的应用，如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，再利用勾股定理可得答案. 【详解】解：如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，    ∴为圆心， ∴半径， 故答案为： 【变式7-3】在中，，，，则的外心在的______（填“内部”、“外部”或“边上”）；其外接圆的半径为______． 【答案】 边上 【分析】根据直角三角形的外心在斜边上，即可判断外心的未知，根据勾股定理求出的长度，即可求出半径． 【详解】解：如图：的外心在的斜边上， ∵， ∴为直径， ∵，， ∴， ∴半径为：． 故答案为：边上，． 【点睛】本题主要考查了三角形的外心，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，解题的关键是熟练掌握各个相关内容并灵活运用． 随堂检测 【随堂检测】 1．如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的外心，关键是熟练掌握三角形的外心的概念．根据三角形的外心是三边的垂直平分线的交点，再结合图形进行判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三边的垂直平分线的交点， 三角形的外心到三个顶点的距离相等． 由图可知，设网格中每个小正方形的边长为， 则点到三个顶点的距离均为， 即点到三个顶点的距离相等， 的外心是点． 故选：C． 2．船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔.只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，当船航行到点的位置时，此时与两个灯塔间的角度（的大小）一定无触礁危险.那么，对于四个位置，船处于___________时，也一定无触礁危险.（　　）    A．位置 B．位置 C．位置 D．位置 【答案】B 【分析】先利用格点找出的外接圆的圆心，再判断哪个点在的外接圆上即可． 【详解】解：如图，    由网格可知，点O是和垂直平分线的交点， 即点O是的外接圆的圆心， ， 点M在的外接圆上， ， 船处于位置B时，也一定无触礁危险， 故选B． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外心，勾股定理与网格问题等，解题的关键有两个，一是找出的外接圆的圆心，二是掌握同弧所对的圆周角相等． 3．三角形的外心是（   ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三角形三边垂直平分线的交点 D．三角形三个内角平分线的交点 【答案】C 【分析】直接根据外心的定义即可选出正确答案. 【详解】解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点. 4．下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外心，掌握相关知识是解题的关键．根据锐角三角形的外心在三角形内部，如果一个三角形的外心在它的一边的中点上，则该三角形是直角三角形，如果一个三角形的外心在它的外部，则该三角形是钝角三角形，即可判断． 【详解】解：因为钝角三角形的外心在它的外部， 由题意得知，只有D选项为钝角， 故选：D． 5．如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外心，勾股定理， 根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， 所以点是△的外心， 故选：A． 6．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心． 依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，观察图象，可直接得出外心的坐标． 【详解】解：∵三角形的外心是各边的垂直平分线的交点， 图中已明确出各边垂直平分线以及其交点， 观察图象，可直接得出外心坐标为， 故选A． 7．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外接圆圆心的确定，勾股定理等知识，确定圆心坐标是关键；确定外接圆的圆心坐标，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，圆心M的坐标， ∵， ∴， ∴的半径为， 故选：C． 8．如图，点均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件； 根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【详解】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故选：C． 9．如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的______． 【答案】外心 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，勾股定理，解题关键是根据勾股定理得出．根据勾股定理得出，进而得到答案． 【详解】解：由图中信息可得：， ∴点O在的外心上， 故答案为：外心． 10．如图是一个残破的圆形零部件，现在需要找到它所在圆的圆心，当老师布置好这个任务后，第一小组的同学制定了如下方案：①在圆弧上取两条不平行的弦；②分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于、；③分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于P、Q；④作直线和，两直线交于点，则点为所在圆的圆心．其他小组的同学都非常认可第一小组的方案，你认为第一小组这样作法的依据是：________． 【答案】垂直平分弦的直线经过圆心 【分析】本题考查了三角形外接圆圆心（外心）的确定，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点， 根据在同一个圆中，每条弦的垂直平分线都经过圆心．因此，只要找到两条不平行弦的垂直平分线，它们的交点就是圆心．即可得出答案． 【详解】解：由作法可知，直线垂直平分弦，垂直平分弦， 因为在同一个圆中，每条弦的垂直平分线都经过圆心． 所以作直线和，两直线交于点，则点为所在圆的圆心． 故答案为：垂直平分弦的直线经过圆心． 11．中国的拱桥始建于东汉中后期，距今已有一千八百余年的历史．它是由伸臂木石梁桥、撑架桥等逐步发展而成的．由于在形成和发展过程中的外形都是曲的，所以古时常称为曲桥．如平凉市的聚仙桥、长庆桥、平凉八里桥等． 如图是拱桥的一部分，点A、B在地面上，请用尺规作图法确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）．    【答案】 如图所示，圆心O即为所求．    【分析】此题考查了尺规作图确定圆心，在上任取一点E，连接，分别作线段、的垂直平分线，两直线相交于点O，则点O即为圆心． 【详解】略 12．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心； (2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长． 【答案】(1) 如图，点即为所求； (2) 【分析】本题考查作图应用与设计作图，三角形的外接圆等知识，解题的关键是理解三角形外接圆的圆心的三边垂直平分线的交点． （1）线段，的垂直平分线的交点即为所求； （2）连接，利用勾股定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $