专题13 相似三角形中K字型与十字架模型的三类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦相似三角形K字型与十字架模型，通过解题通法-题型归纳-压轴挑战三阶体系，系统提炼导角证相似、辅助线构造等方法，培养几何直观与推理能力，实现模型认知到综合应用的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心解法+易错提醒|模型特征（一线三等角/三垂直/十字架）+导角证相似+比例式应用|从模型本质到相似判定原理| |题型归纳|1典例+3变式/题型|题型模版（特征+方法）+变式迁移（正方形/矩形/动态问题）|从基础图形到复杂情境拓展| |压轴挑战|9道综合题|多问探究+动态问题+跨模型综合|从单一模型到多模型综合应用|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题13相似三角形中K字型与十字架模型的三类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一线三等角模型 题型二、三垂直模型 题型三、十字架模型 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆◆ 夙解题通法一明晰核心解法，功力能力迁移 题型特征：K字型为一线三等角（常见于矩形、正方形中，三个直角共线）：十字架模型为正方形中两 条垂直线段，常求比例或线段长。 -解题方法：K字型利用同角的余角相等导角，证两三角形相似，列比例式求解；十字架模型通过作辅助 线构造全等或相似，利用面积法或三角函数求线段比。 -易错提醒：K字型中找错直角边的对应关系；十字架模型未分清垂线与边的交点位置；比例式列反；忽 视多解情况（如动点问题）。 刁题型归纳精讲典型题法，奔尖解题根基 题型一、一线三等角模型 典例1(25-26八年级下·吉林长春·期末)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠A=∠D,E是AD的中 点，CD= DE.求证：△ABE∽△DEC 2 1/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1特征：一条直线上出现三个相等角，构造相似三角形，常用于求线段长度或证明。 2方法：由同角的余角补角相等得另一组等角，证两三角形相似，利用相似比列方程求解。注意直角情况。 变式1-1(25-26九年级上四川巴中期中)如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点， 且∠ADB+∠EDC=120° B D (1I)求证：△ABDADCE: (2)若BD=4,CE=3,求AB的长度. 变式1-2(2025·青海西宁·一模)阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几 何逻辑推理的典例，已知A,E,B三点共线，且∠A=∠DEC=∠B的情况就称之为“一线三等角”；让我们 起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1) 2) (3) (I)【特例探究】如图，已知A,E,B三点在同一条直线上，∠A=∠B=∠DEC=90°，求证： RtAADE∽RtABEC (②)【规律总结】如果∠A=∠B=∠DEC,你还能证明这两个三角形相似吗？求证：△ADE∽△BEC 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)【实例应用】如果∠A=∠B=∠DEC,若点E是AB的中点，求证：DE2=AD·DC 变式1-3(2026四川南充三模)【初步感知】如图①，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE, 过点E作EF⊥DE交BC于点F.易证：△AED∽△BFE.(不需要证明) 【尝试探究】如图②，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE交BC于点F. D E B E 图① 图② 图③ (I)求证：△AED∽△BFE: (2)若AB=10,AD=6,E为AB的中点，求BF的长. 【拓展应用】 (3)如图③，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AB=12.E为AB边上一点（点E不与点A、B重 合)，连接CE,过点E作∠CEF=45°交BC于点F,当△CEF为等腰三角形时，请直接写出BE的长. 题型二、三垂直模型 典例2(25-26九年级上安徽池州期中)如图，在正方形ABCD中，P是CD边上的中点，过点P作 PF⊥AP,交AB的延长线于点F,交BC于点E. E B (I)求证：△APDAPEC: PC (②)求BF的值. 题型模版 1特征：三个直角共顶点或共线，形成多组相似直角三角形，常用于坐标与几何综合。 3/12 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2方法：利用直角互余得等角，证直角三角形相似，用比例式（或射影定理）列方程求解边长或坐标。 变式2-1(2026内蒙古锡林郭勒模拟预测)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AE⊥DE, 点E为BC的中点. D B C (I)求证：△ABE∽aECD: (2)求证：AE2=AB·AD: (3)若AB=1,CD=4,求线段AD 变式2-2(25-26九年级下江西宜春·阶段练习)如图，在矩形ABCD中，E为边DC上的一点，把△ADE 沿AE翻折，使点D恰好落在边BC上的点F处，且AD=6. (I)求证：△ABF∽△FCE (2)若F为BC的中点，求AE的长. 变式2-3(2025广东深圳模拟预测)(1)如图1，在△ABC中，∠A=90°，将线段BC绕点B顺时针旋转 9O°得到线段BD,作DE⊥AB交AB的延长线于点E,求证：AB=DE: (2)如图2，连接CD并延长交AB的延长线于点F,若AB=2,AC=6,求BF的长」 C D D A B A B E 图1 图2 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、十字架模型 典例3(25-26八年级下·山东烟台·期末)探究不同情境，回答下面问题： D D 图1 图2 图3 (I)【观察与猜想】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，连接DE与CF交于点O, 若∠EOC=90°，则DE和CF的数量关系是_； (②)【观察与猜想】如图2，在矩形ABCD中，AD:CD=3:2,点E、F分别在边AB、AD上，连接DE 与CF交于点O,若∠EOC=90°，请猜想DE和CF的数量关系并进行证明； (3)【类比探究】如图3，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，连接DE与CF交于点 DE AD O,当∠E0C=∠4时，求证：CF=AB· 小颖同学通过对比图2，发现图3中△ADE和△DCF并不相似，经过思考，提出了如下问题：能否构造以 DE DE和CF为对应边的相似三角形来转化CF呢？请你根据小颖的思考完成证明，也可以用其他思路完成证 明. 题型模版 1特征：两条线段互相垂直且交点处有等角，形成“十”字，常结合正方形或矩形。 2方法：利用垂直得直角，由同角或对顶角相等证相似，列出比例式，结合矩形正方形性质求线段长。 变式3-1(26-27九年级上·全国期末)综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进 行探究，下面是他们的探究过程。 F B F 图1 图2 图3 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)【数学思考】 如图1，在矩形ABCD中，AD=5,AB=3,E,F分别是AB,AD上的两点，连接DE,CF, DE DE⊥CF于点G,则CF (2)【深入探究】 如图2，在矩形ABCD中，EF⊥GH,EF分别交AD,BC于点E,F,HG分别交AB,CD于点H, HG BC G,求证：EFAB: (3)【拓展延伸】 如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=9O°，点D在边BC上，连接AD,过点C作CE⊥AD于点E,且CE的 延长线交AB于点F.若AC=BF=6,BC=8,请求出CD的长. 变式3-2(2026新疆喀什·一模)根据所学知识，解答以下问题 4 D 图① 图② 图③ (I)如图①，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，F是边AD上一点，连接DE,CF,若DE⊥CF,判 断DE与CF的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在(1)的条件下，若四边形ABCD为矩形，且AB=a,AD=b,则(1)中的结论是否依然 成立？若成立，试说明理由；若不成立，探究DE与CF的数量关系： (3)如图③，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E是边AB的中点，F,G分别是边AD,BC上的动点， 且DE⊥FG,连接EF,DG,求EF+DG的最小值. 变式3-3(25-26八年级下·山东烟台期末)【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究. 6/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 图4 (I)如图L,在正方形ABCD中，AF⊥DE,AF交DE于点G,则DE 一（填比值）； 【探究证明】 (2)如图2，在矩形ABCD中，EF⊥GH,EF分别交AD、BC于点E、F,GH分别交AB、DC于点G、 EF AB H,求证：GHAD: 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点A作AM∥EF交BC于点M,过点B作BN∥HG交CD于点N 乙方案：过点E作EM⊥BC交BC于点M,过点G作GN⊥CD交CD于点N 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明. 【结论应用】 (3)如图3，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合.若AB=3,BC=4,求折痕EF的长； 【拓展运用】 (4)如图4，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10,BC=CD=5,点E、F分别在线段AB、BC DE 上，且AF⊥DE,求AF的值. ◆◆ ◆ 同压轴挑战一攻克高障压轴，突骏思维上保 1.(25-26九年级上·上海阶段检测)在△ABC中，AB=AC=20,BC=32,D点在边BC上运动（不与 B、C点重合)，点E在边AC边上，且∠ADE=∠B, 7/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (I)如图1，求证：△ABDP△DCE: (②)如图1，当DE‖AB时，求AE的长： (3)过A点作AF⊥AD交射线DE于点F,连接CF,当DF=CF时，求BD的长. 2.(25-26九年级上山东济南期中)(1)问题 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=9O°时，求证：AD:BC=AP,BP. (2)探究 若将90°角改为锐角（如图2)，其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由， (3)应用 如图3，在△MBC中，MB=25,B=5”,以点A为直角顾点作等 Rt△AD E.点D在BC上，点B在 4C上，点在8C上，且∠EFD=45,若CE=5,求CD 的长 D A P B B D 图1 图2 图3 3.(2026广东茂名·二模)综合与探究 E B E D 图1 图2 图3 (I)如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，且AE⊥BF, ①求证：△ABE≌△BCF: 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若AB=4,BE=2,连接EF,求∠FEC的度数： (2)【类比探究】如图2，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,BE=1,点E,F分别在边BC,CD上， 且AE⊥BF,求BF的值： (3)【类比探究】如图3，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=6,D为BC上一点，且BD=2, 连接AD,过点B作BE⊥AD交于点F,交AC于点E,求BE的长. 4.(2026湖北孝感·二模)已知四边形ABCD是边长为4的正方形，点E是边AB上一点，点P是边AD 上一点，连接PE,过点E作EQ⊥PE交DC的延长线于点Q,与边BC交于点R. D C Q D co D R P P E E B E B 图1 图2 备用图 (1)【问题发现】 如图1，求证：△APE∽△BER; (2)【问题探究】 如图2，若点E是B的中点，P 3,求E0的长度： (3)【拓展迁移】 若点E是AB的中点，连接PR,作点E关于直线PR的对称点F,若D、F、E三点在一条直线上，根据 ER 题意补全图形，并求出EO的值。 5.(2026河北承德二模)问题情境：如图1，矩形ABCD中，M是DC边上一点，EF⊥AM分别交 AD,BC F. 于点E, (图1) (图2) (图3) 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB 3 EF ()探究发现：若AD=4,求AM的值： (②)探索研究：如图2，矩形ABCD中，AB=7.5,AD=9,将矩形ABCD沿直线EF折叠，E,F分别在边 AD,BC CD DM=3 上，点A落在边上的点M处， ，连接 以，与F交于点9 G. ①求EF的长： ②连接BG,若BF=2.5,求BG的长： (3)探究拓展：如图3，矩形ABCD中，AB=7.5,AD=9,将矩形ABCD沿直线EF折叠，E,F分别在边 AD,BC CD DM=x BF=y 上，点A落在边上的点M处，若 ,求y关于x的函数关系式. 6.(25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测)阅读下列材料： 如图1，点A、D、E在直线I上，且∠BDA=∠BAC=∠AEC,则∠CAE+∠BAC+∠BAD=180°，又 ∠ABD+∠BDA+∠BAD=180°，故∠CAE=∠ABD.像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称 为“一线三等角”图形 请根据以上阅读解决下列问题： B B E D C B E 图1 图2 图3 图4 (I)如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作 BE⊥ED于点E.可证∠ACD=一，进而可证△BEC≌ ②如图3，在△1BC中，点D在BC上，∠CMD=90°，AC=AD∠DBA=∠DAB.MB=25, 则点C到 AB边的距离为 (3)如图4，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，F为边AB上一点，若LDEF=∠B,AB=10, BE=4,EF=6,求DE的长. 7.(25-26九年级下·吉林四平·阶段检测)【问题情景】 (1)如图①，小红把三角板EFG(∠GFE=30°)放置到矩形ABCD中，使得顶点E、F、G分别落在 AD、CD、AB上，则线段DE与AG的数量关系为 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式探究】 (2)如图②，小红把三角板EFG(∠GFE=30°)放置到矩形ABCD中，使得顶点E、F、G分别在AD BC、AB边上，若GA=6,AE=8,求BG的长； 【拓展应用】 (3)如图③，小红把△EFG放到平行四边形ABCD中，使得顶点E、F、G分别在AD、BC、AB边上， AE 6 ABi,∠FEG=∠BAD,以F为顶点作∠CFM=∠C,交CD于点P,交AD的延长线于点M,直接写 EG 出EF的值. B F B G G 图① 图② 图③ 8.(25-26九年级上湖南郴州阶段检测)综合与探究： 数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，且∠BDA=∠BAC=∠AEC,像这种一条直 线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型， 图1 图2 图3 图4 【初步探究】如图2，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC的中点，点F在边CD上，连接AE,EF,若 EF⊥AE,求CF的长： 【深入探究】如图3，等边△ABC的边长为6，点D是BC的三等分点，点E在边AC上，连接AD,DE,若 ∠ADE=60°，求CE的长： 【拓展延伸】如图4，在ABCD中，点E为边BC上的一点，点F为边AB上的一点.若 EF ∠DEF=∠B,AB=10,BE=6,求DE的值. 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(25-26九年级上山东德州阶段检测)【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形ABCD 中，AD=m,AB=n,E、R、G、H分别是边AB、CD、AD、BC上的点，连接EF、GH交于点O, EF m 当EF⊥GH时，总是会有GHn· G D H D D MD E B H H 图① 图② 图③ 图④ 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到 一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点D、A处，如图②， DE ADm 可证△ABH△DAE,可得AH ABn· EFm (1)在图①中添加辅助线，证明一般性的规律GHn· 【模型应用】 (2)如图③，在正方形ABCD中，'AB=4,E、F分别在边CD、DA上，连接BE、CF,若BE=5, BE⊥CF,则AF=一·（直接写出结果）· 【拓广延伸】 (3)如图④，在直角梯形ABCD中，AD川BC,∠B=90°，AB=6,BC=8,点M、N分别是边AD,BC上的 动点，连接MN交梯形对角线AC于点O,若∠AOM=90°，求MN的长度. 12/12 专题13 相似三角形中K字型与十字架模型的三类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一线三等角模型 题型二、三垂直模型 题型三、十字架模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：K字型为一线三等角（常见于矩形、正方形中，三个直角共线）；十字架模型为正方形中两条垂直线段，常求比例或线段长。 - 解题方法：K字型利用同角的余角相等导角，证两三角形相似，列比例式求解；十字架模型通过作辅助线构造全等或相似，利用面积法或三角函数求线段比。 - 易错提醒：K字型中找错直角边的对应关系；十字架模型未分清垂线与边的交点位置；比例式列反；忽视多解情况（如动点问题）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一线三等角模型 典例1（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，E 是的中点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，由题意可得，再结合即可得证，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】证明：∵E 是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型模版 1.特征：一条直线上出现三个相等角，构造相似三角形，常用于求线段长度或证明。 2.方法：由同角的余角/补角相等得另一组等角，证两三角形相似，利用相似比列方程求解。注意直角情况。 变式1-1（25-26九年级上·四川巴中·期中）如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，再证明出，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由（1）可得，再由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：∵为等边三角形， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式1-2（2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) ∵，， ∴， ∴． (3) ∵，， ∴， ∴． ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．本题考查一线三等角模型，平时要多积累总结． （1）利用已知得出，以及即可得出； （2）利用已知得出，进而求出; （3）根据相似三角形的判定得出，确定，结合题意得出，再由相似三角形的判定和性质即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 变式1-3（2026·四川南充·三模）【初步感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连接，过点作交于点．易证：．（不需要证明） 【尝试探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，为的中点，求的长． 【拓展应用】 (3)如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连接，过点作交于点．当为等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的长为或6 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质及分情况讨论． （1）利用矩形的性质和垂直的定义，平角的定义，通过同角（等角）的余角相等证明即可； （2）利用问题（1）的解题思路先证明，再通过相似三角形对应边成比例列方程求解即可； （3）首先考虑到为等腰三角形时的三种情况：，，，然后利用几何性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ． （2）为中点， ． 由（1）知， ． 即， ． （3）分三种情况： ①当时，则，， 则点与点重合，点与点重合，不符合题意； ②当时，则， 为的外角， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， ； ③当时，则， ， 在中，， ， ， 又， 点为中点， ． 综上所述，的长为或6． 题型二、三垂直模型 典例2（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1) 证明：∵边形是正方形， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键点在于利用“同角的余角相等”证明，以及利用正方形用比例关系表示，本题的易错点在于找不到角的关系，比例式列错． （1）在正方形ABCD中，找到得两个余角，利用同角的余角相等，得出一对角相等，再利用已知直角相等，即可证明； （2）设正方形边长为，利用第（1）问的相似和中点，用比例关系表示，从而表示出，再证明，即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）设正方形的边长为， ∵是边上的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故． 题型模版 1.特征：三个直角共顶点或共线，形成多组相似直角三角形，常用于坐标与几何综合。 2.方法：利用直角互余得等角，证直角三角形相似，用比例式（或射影定理）列方程求解边长或坐标。 变式2-1（2026·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）如图，在四边形中，，，点为的中点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求线段． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）两个角分别对应相等的两个三角形相似； （2）两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； （3）利用相似三角形的性质并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：由（1）可得， ∴， ∵点E为的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴，， ∴． 变式2-2（25-26九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，在矩形中，为边上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，且． (1)求证：． (2)若为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由矩形的性质得，由翻折得，推导出，则； （2）由为的中点，，得，由，勾股定理求得，进而根据相似三角形的性质求得，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， 把沿翻折，点落在边上的点处， ， ，， ， ． （2）解：为的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ∴在中，， 即 变式2-3（2025·广东深圳·模拟预测）（1）如图1，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E，求证：； （2）如图2，连接并延长交的延长线于点F，若，求的长． 【答案】（1）见解析（2）10 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，可推导出，继而证明，即可解答； （2）先证明，再推导出，可得到，则，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵， 在△ABC和△EDB中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ， ， ， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 题型三、十字架模型 典例3（25-26八年级下·山东烟台·期末）探究不同情境，回答下面问题： (1)【观察与猜想】如图，在正方形中，点、分别在边、上，连接与交于点，若，则和的数量关系是 ； (2)【观察与猜想】如图，在矩形中，，点、分别在边、上，连接与交于点，若，请猜想和的数量关系并进行证明； (3)【类比探究】如图，在平行四边形中，点、分别在边、上，连接与交于点，当时，求证：． 小颖同学通过对比图，发现图中和并不相似，经过思考，提出了如下问题：能否构造以和为对应边的相似三角形来转化呢？请你根据小颖的思考完成证明，也可以用其他思路完成证明． 【答案】(1) (2)，证明如下：如图， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． (3)证明方法不唯一，例如： 方法1：以点为圆心，为半径画弧交于点， 则， ∴， 由平行四边形得， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 方法2：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据三角形全等对应边相等即可． （2）根据三角形相似对应边成比例求解即可． （3）根据三角形相似对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2）略 （3）略 题型模版 1.特征：两条线段互相垂直且交点处有等角，形成“十”字，常结合正方形或矩形。 2.方法：利用垂直得直角，由同角或对顶角相等证相似，列出比例式，结合矩形/正方形性质求线段长。 变式3-1（26-27九年级上·全国·期末）综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． (1)【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； (2)【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； (3)【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 【答案】(1) (2)证明：过点作于点，过点作于点，且交于点． ∵四边形是矩形， ， ． 同理，， ， ∵， ∴， ∵， ． ， ， ． (3) 【分析】（1）通过证明，由相似比即可求解； （2）构造出两个相似三角形，利用相似比及矩形对边相等的性质证明； （3）作平行线构造相似三角形，结合勾股定理解出线段长度，再由相似比即可求出的长． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，， ∴； （2）略 （3）解：过点作，延长交于点． 在中，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴ 又， ， ， ， ． 变式3-2（2026·新疆喀什·一模）根据所学知识，解答以下问题 (1)如图①，在正方形中，E是边上一点，F是边上一点，连接，，若，判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在（1）的条件下，若四边形为矩形，且，，则（1）中的结论是否依然成立？若成立，试说明理由；若不成立，探究与的数量关系； (3)如图③，在矩形中，，，E是边的中点，F，G分别是边，上的动点，且，连接，，求的最小值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)不成立， (3) 【分析】（1）根据正方形性质得到边相等、角为直角，由 推导角相等，证明与全等，得到与的数量关系． （2）根据矩形性质得到角为直角，由 推导角相等，证明与相似，结合矩形边长、得到与的比值． （3）过点E作，过点G作，交点为H，过点G作于点K，连接，可得四边形是平行四边形，可得 ，所以最小值为的长．利用勾股定理求出的长，结合 证明相关三角形相似，得到与的数量关系；最后利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 在正方形中，，， ∵， ∴， 又∵， ∴． 在和中， ∴（）， ∴． （2）不成立，，理由如下： 在矩形中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过点E作，过点G作，交点为H，过点G作于点K，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ， ∴当D，G，H三点共线时， 的值最小，最小值为的长． ∵E是的中点，， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∵，易得 ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴的最小值为． 变式3-3（25-26八年级下·山东烟台·期末）【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． (1)如图1，在正方形中，，交于点G，则______（填比值）； 【探究证明】 (2)如图2，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点A作交于点M，过点B作交于点 乙方案：过点E作交于点M，过点G作交于点 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明． 【结论应用】 (3)如图3，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合．若，，求折痕的长； 【拓展运用】 (4)如图4，在四边形中，，，，点E、F分别在线段上，且，求的值． 【答案】(1)1 (2)证明：甲方案：如图2，过点A作交于点M，过点B作交于点N； 四边形是矩形， ，，， 四边形均为平行四边形，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ； 乙方案：如图2，过点E作交于点M，过点G作交于点N，交于点O， 四边形是矩形， ，，， 四边形均为矩形， ， ， ，， ，， ， ， 又， ， ， ∴． (3)折痕的长为 (4)的值为 【分析】（1）证明，则，即可得到答案； （2）甲方案：如图2，过点A作交于点M，过点B作交于点N；证明， ，，再证明，根据相似三角形的性质进行解答即可；乙方案：如图2，过点E作交于点M，过点G作交于点N，交于点O，证明，，再证明，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）由矩形的性质可得，，由勾股定理得，由（2）可知，，即可得到答案； （4）过点D作，交的延长线于，过点A作交EF于点，连接AC，过点F作于点，过点E作于点，证明，则，证明，最后证明 ，利用相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）略 （3）解：由矩形的性质可得，， 由勾股定理得， 由（2）可知，， ， ， 即折痕的长为； （4）解：如图4，过点D作，交的延长线于，过点A作于点，连接，过点F作于点，过点E作于点， ， ，， 四边形是矩形， ∴， ，，， ， ， ∴， ∵ ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ， ， （不合题意舍去）或 ， ， 同（2）知， ， 又， ∴ ， ， ， ， ， 即的值为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26九年级上·上海·阶段检测）在中，，，点在边上运动（不与、点重合），点在边边上，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图1，当时，求的长； (3)过点作交射线于点，连接，当时，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后根据平行线所截线段成比例可进行求解； （3）由题意可分①当点F在的延长线上，②当点F在线段上，然后进行分类求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， ∵，， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ； （3）解：①当点F在的延长线上，作于，于，于，则，    ∴四边形为矩形， ，， ∵，，， ， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ， ， ； ②当点F在线段上，如图所示：    同理①可得：， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ， ， ； 综上所述：当时，． 2．（25-26九年级上·山东济南·期中）（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）成立；理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）5 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）, , , 是等腰直角三角形    是等腰直角三角形 又 即 解得． 3．（2026·广东茂名·二模）综合与探究 (1)如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，且， ①求证：； ②若， ，连接，求的度数； (2)【类比探究】如图2，在矩形中，， ，，点E，F分别在边，上，且，求的值； (3)【类比探究】如图3，在中， ， ， ，D为上一点，且，连接，过点B作交于点F，交于点E，求的长． 【答案】(1)①证明：如图，设与相交于点P， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②． (2) (3) 【分析】（1）①利用正方形的性质可得，再证明，由“”即可证明结论；②如图：连接，根据正方形的性质易得，进而求出，由①中可得，易证，再结合以及三角形内角和定理求解即可； （2）由矩形的性质以及勾股定理可得，通证明，再利用相似三角形的性质求解即可； （3）如图：过点A作的垂线，过点C作的垂线，两垂线交于点G，延长交于点H，利用勾股定理求得，根据（2）知，求得，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）①略； ②解：如图：连接， ∵四边形是正方形，， ， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵在矩形中，，， ∴，，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． （3）解：如图：过点A作的垂线，过点C作的垂线，两垂线交于点G，延长交于点H， ∴， ∵， ∴四边形是矩形． ∵ ，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，解得：． 4．（2026·湖北孝感·二模）已知四边形是边长为4的正方形，点是边上一点，点是边上一点，连接，过点作交的延长线于点，与边交于点． (1)【问题发现】 如图1，求证：； (2)【问题探究】 如图2，若点是的中点，，求的长度； (3)【拓展迁移】 若点是的中点，连接，作点关于直线的对称点，若、、三点在一条直线上，根据题意补全图形，并求出的值． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， (2) (3) 【分析】（1）证明结合，即可证明； （2）根据，代入数据求得，勾股定理求得，根据，证明，根据相似三角形的性质，即可求解． （3）连接，作点关于直线的对称点，过作交于，得出四边形是平行四边形，证明得出，设，则，由（1）知：，求得，进而求得，同理可得，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：点是的中点，， ， 由（1）知：， ，即：， ， 在中，，， ， ， ∴ ，即：， ， ． （3）如图，过作交于， ∴四边形是平行四边形， ， 关于直线的对称， ， ， ，， ， 设，则， 由（1）知：， ， ， ，，（舍去） ， ， ∴ ， ． 5．（2026·河北承德·二模）问题情境：如图1，矩形中，M是边上一点，分别交于点E， (1)探究发现：若，求的值； (2)探索研究：如图2，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边上，点A落在边上的点M处，，连接，与交于点 ①求的长； ②连接，若，求的长； (3)探究拓展：如图3，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边上，点A落在边上的点M处，若，，求y关于x的函数关系式． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）如图1：过点E作于点Q，得，由相似三角形的性质求解即可； （2）①如图2.1：过点E作于点Q，由翻折性质得，则由（1）的求解过程得的值，由勾股定理求得，即可求得的值；②如图2.2：过G点作于点P，由相似三角形性质得，由勾股定理即可求得的长； （3）如图：连接，过点E作于点Q，由翻折性质得，由（1）知，则有，则可得，从而得；在中，由勾股定理建立关于x与y的关系式，整理后即可求得y与x的函数关系式． 【详解】（1）解：如图1：过点E作于点Q， 则， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是矩形， ， ， ∵， ， ， ， ， ． （2）解：①如图2.1：过点E作于点Q， ∵将矩形沿直线折叠，E、F分别在边上，点A落在边上的点M处， ，即， ， 故由（1）知：，即， ∵， ； ②如图2.2：过G点作于点P，则， ， 又， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：； （3）解：如图：连接，过点E作于点Q， ∵将矩形沿直线折叠，E、F分别在边上，点A落在边上的点M处， ， 由（1）知，， ， ， ∵四边形是矩形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ∴，整理得：， ∴y关于x的函数关系式． 6．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 【答案】(1) 解：， ∴， ∵， ， ∴， ∴ 在与中， ， ∴； (2) (3) 【分析】()由可证，由可证，进一步可证； ()过点作于点，过点作，交延长线于点，由等腰三角形三线合一，得，进一步证得，可证，于是，得解点到的距离为； ()以点为端点，作线段，交延长线于点，则，可证，于是，得，从而求得． 【详解】（1）略 （2）过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 即点到的距离为； （3）以点为端点，作线段，交延长线于点， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，. ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 7．（25-26九年级下·吉林四平·阶段检测）【问题情景】 （1）如图①，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为_________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先利用含角的直角三角形的性质得到，再通过证明得到，即可得出结论； （2）过点作于，通过证明得到，求出的长，通过证明四边形是矩形得到，即可求出的长； （3）利用平行四边形和等腰三角形的性质推出，，得到，利用比例的性质即可求出的值． 【详解】解：（1），理由如下： 四边形是矩形， ， ， ，， ，， ，， ， ， ； （2）如图，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， （3），理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ，， 又， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，即， ． 8．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）综合与探究： 数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． 【初步探究】如图2，正方形的边长为4，点是边的中点，点在边上，连接，若，求的长； 【深入探究】如图3，等边的边长为6，点是的三等分点，点在边上，连接，若，求的长； 【拓展延伸】如图4，在中，点为边上的一点，点为边上的一点．若，求的值． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可求解； （2）根据等边三角形的性质证明即可求解； （3）在的延长线上取点，连接，使得，证明，由相似三角形的性质可得出答案 【详解】解：（1）∵正方形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的三等分点， ∴；或， ∵或 解得， ∴的值为； （3）在的延长线上取点，连接，使得， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点、处，如图②，可证，可得． （1）在图①中添加辅助线，证明一般性的规律． 【模型应用】 （2）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则______．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （3）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，求的长度． 【答案】 （1）证明：如图①，过点作，交于点，过点作，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，；，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴，， ∴． （2）1；（3） 【分析】（1）过点作，交于点，过点作，交于点，先证出，根据相似三角形的性质可得，再证出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，由此即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，由此即可得； （3）先利用勾股定理可得，再过点作于点，证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】（1） 略 （2）解：∵在正方形中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：1． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 如图④，过点作于点， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $