27.3实际问题与反比例函数同步训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

九年级数学上册 · 同步训练 27.3　实际问题与反比例函数 27.3　实际问题与反比例函数 第1课时　根据两个变量存在反比例关系建立函数模型 A 巩固题 知识要点分类练 知识点1 日常生活中的反比例关系 1．某工厂为了提高生产效率，采购了一批新的生产设备.其中用 5000 元购买售价是 元/台的机器 台，则 关于 的函数解析式为（　） A． B． C． D． 2．随着科技的迅猛发展，智能机器人逐步融入人们的日常生活中.某酒店的智能送餐机器人的最快移动速度 （单位：m/s）是总质量 （单位：kg）的反比例函数.已知该智能送餐机器人载重前的总质量 kg，此时它的最快移动速度 m/s.当其载重后总质量 kg 时，它的最快移动速度 是（　） A．1 m/s B．1.5 m/s C．2 m/s D．3 m/s 3．经研究发现，远视眼镜镜片的度数 （单位：度）与镜片焦距 （单位：m）的关系式满足 .小明原来佩戴镜片度数为 400 度的远视眼镜，经过一段时间的矫正治疗，复查验光时，所配镜片焦距调整为 0.4 m，则小明的眼镜镜片度数（　） A．下降了 250 度 B．下降了 150 度 C．上涨了 250 度 D．上涨了 150 度 4．学校要设计一个面积是 40000 m² 的矩形运动场，则运动场的长 （m）与宽 （m）之间的函数关系式为 ____________，当 ____________ 时，运动场是正方形. 5．一辆汽车以 45 km/h 的平均速度从甲地出发去乙地，经过 6 h 到达目的地. (1)甲、乙两地相距 ____________ km； (2)如果汽车把平均速度提高到 （km/h），从甲地到乙地所用的时间为 （h），那么 与 之间的函数解析式为 ____________； (3)因某种原因，这辆汽车需要在 5 h 内从甲地到乙地，则这辆汽车的平均速度至少为 ____________ km/h； (4)已知这辆汽车的平均速度最大可达 80 km/h，那么它从甲地到乙地最快需 ____________ h. 6．政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为 72000 m³，某运输公司承担了运送土石方的任务. (1)运输公司平均运送速度 （单位：m³/天）与完成运送任务所需时间 （单位：天）之间有怎样的函数关系？ (2)若该运输公司每天可运送土石方 8000 m³，则该运输公司完成全部运输任务需要多长时间？ 知识点2 物理学科中的反比例关系 7．某同学用自制密度计测量液体的密度，下表是他记录的密度计悬浮在不同的液体中时的数据.当密度计悬浮在另一种液体中时， cm，该液体的密度 是（　） A．20 g/cm³ B．25 g/cm³ C．0.8 g/cm³ D．0.4 g/cm³ 8．某蓄电池的电压为定值.使用此电源时，通过用电器的电流 （A）与电阻 （Ω）之间的函数关系为 ，则电流 的值随电阻 值的增大而 ____________（填“增大”或“减小”）. 9．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强 （Pa）是气球体积 （m³）的反比例函数.当 m³ 时， Pa，则当 m³ 时， ____________ Pa. 10．小明想要用撬棍撬动一块石头，已知阻力为 1500 N，阻力臂为 0.4 m.设动力为 （单位：N），动力臂为 （单位：m）（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，撬棍本身所受的重力忽略不计）. (1)求 关于 的函数解析式；（不必写自变量的取值范围） (2)当动力臂为 2 m 时，撬动石头至少需要多大的力？ B 拓展题 规律方法综合练 11．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 （单位：A）与电阻 （，单位：Ω）是反比例函数关系，当 Ω 时， A.下列结论不正确的是（　） A．蓄电池的电压为 36 V B．电流 随电阻 的增大而减小 C．当 Ω 时， A D．该函数图象位于第一、三象限 12．把一个长、宽、高分别为 3 cm，2 cm，1 cm 的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积 （cm²）与高 （cm）之间的函数解析式为 ____________. 13．如图 27-3-1，一块砖的 ，， 三个面的面积比是 5：3：1.如果 面向下放在地上，地面所受压强为 Pa，那么 面向下放在地上时，地面所受压强为 ____________ Pa. 14．如今太阳能进入了千家万户，一个容量为 240 升的太阳能热水器，每次排完水后才能再次蓄水，若设在蓄满水后能连续排水的时间是 分钟，每分钟的排水量为 升. (1)写出 与 之间的函数解析式；（不必写自变量的取值范围） (2)若该热水器连续排水的最长时间是 1 小时，求自变量 的取值范围； (3)若每分钟排水 5 升，则该热水器连续排水的时间是多少分钟？ 第2课时　根据图象信息建立函数模型 A 巩固题 知识要点分类练 知识点1 日常生活中的反比例关系 1．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度 （单位：m）是面条的粗细（横截面积）（单位：m²）的反比例函数，其图象如图 27-3-2 所示，则 关于 的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 2．某燃气公司计划在地下修建一个容积为 （ 为定值，单位：m³）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积 （单位：m²）与其深度 （单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图 27-3-3 所示. (1)求 的值； (2)受地形条件限制，储存室的深度 需要满足 ，求储存室的底面积 的取值范围. 知识点2 物理学科中的反比例关系 3．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 （单位：A）与电阻 （单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图 27-3-4 所示. 当电阻 大于 9 Ω 时，电流 可能是（　　） A．3 A B．4 A C．5 A D．6 A 4．在一个可以改变容积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的容积时，气体的密度随之改变，密度 （单位：kg/m³）是体积 （单位：m³）的反比例函数，它的图象如图 27-3-5 所示，当 m³ 时，气体的密度是（　　） A．1 kg/m³ B．2 kg/m³ C．5 kg/m³ D．10 kg/m³ 5．某玩具汽车的功率 （单位：W）为定值，行驶速度 （单位：m/s）与所受阻力 （单位：N）是反比例函数关系，它的图象如图 27-3-6 所示，则该玩具汽车的功率 ____________ W. 6．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压 （kPa）是气体体积 （m³）的反比例函数，其图象如图 27-3-7 所示. (1)写出这个函数的解析式；（不必写自变量的取值范围） (2)当气球的体积是 1.6 m³ 时，气球内的气压是多少千帕？ B 拓展题 规律方法综合练 7．学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量 （mg）与时间 （min）成正比例，喷雾完成后 与 成反比例，图象如图 27-3-8 所示. 当每立方米空气中含药量低于 1.6 mg 时，对人体方能无毒害作用，则下列说法中正确的是（　　） A．每立方米空气中含药量从 6 mg 上升到 8 mg 需要 2 min B．每立方米空气中含药量下降过程中， 与 之间的函数关系式是 C．为了确保对人体无毒害作用，从消毒开始 25 min 后学生才能进入教室 D．每立方米空气中含药量不低于 4 mg 的持续时间为 10 min 8．小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当. 当训练次数不超过 15 次时，完成一次训练所需的时间 （单位：秒）与训练次数 （单位：次）之间满足如图 27-3-9 所示的反比例函数关系. 完成第 3 次训练所需时间为 400 秒. (1) 与 之间的函数解析式为 ____________； (2)当 的值为 6, 8, 10 时，对应的函数值分别为 ，比较 与 的大小： ____________ . 9．如图 27-3-10 为某人对地面的压强 （单位：kPa）与这个人和地面接触面积 （单位：m²）的函数关系图象. (1)通过图象确定 关于 的函数解析式； (2)如果此人所穿的每只鞋与地面的接触面积大约为 30 cm²，那么此人双脚站立时对地面的压强有多大？ (3)若某一沼泽地面能承受的最大压强为 10 kPa，则此人应站立在面积至少多大的木板上才不至于下陷（木板的质量忽略不计）？ 第3课时　根据数据和图象特征选择合适的函数模型 A 巩固题 知识要点分类练 知识点 根据数据和图象特征选择合适的函数模型 1．为了理解面积一定的矩形中，相邻两边的关系，小华画出面积为 16 的一些矩形，若记矩形的一边长为 ，另一边长为 ，把 ， 列表如下： (1)根据表中的数据在如图 27-3-11 所示的平面直角坐标系中描点，并画出 关于 的函数图象； (2)写出 关于 的函数解析式（不必写出自变量的取值范围），并求出 的值. 2．为了解某一实际问题中变量 （）随变量 （）的变化情况，某实验小组在一定条件下，通过多次实验，测出变量 ， 的部分对应数据如下表： (1)根据表中数据猜想变量 （）与变量 （）之间的函数关系，并写出 关于 的函数解析式； (2)若 ，请估计 的取值范围. 3．如图 27-3-12①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表： (1)桌面所受压强 （单位：Pa）关于受力面积 （单位：m²）的函数解析式为 ____________， 的值为 ____________； (2)将另一长、宽、高分别为 0.2 m，0.1 m，0.3 m 且与原长方体质量相同的长方体按图②所示的方式放置于该水平玻璃桌面上.若玻璃桌面能承受的最大压强为 2000 Pa，则这种摆放方式是否安全？请作出判断，并说明理由. B 拓展题 规律方法综合练 4．汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为 h，平均速度为 km/h（汽车行驶速度不超过 100 km/h）.根据经验，， 的几组对应值如下表： (1)根据表中的数据，猜想行驶时间 （h）关于平均速度 （km/h）的函数关系，并求出其函数解析式； (2)汽车上午 8:00 从甲地出发，能否在上午 10:30 之前到达乙地？请说明理由； (3)若汽车到达乙地的行驶时间 满足 ，求平均速度 的取值范围. 5．某商户购进苹果 1575 千克，为寻求合适的销售价格，进行了 5 天试销，试销情况如下： (1)根据表中的数据，从一次函数和反比例函数中选择一个函数模型，使得它能近似反映试销期间这批苹果每天的销售量 （千克）与售价 （元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出 的取值范围）； (2)若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量 （千克）与售价 （元/千克）之间都满足（1）中的函数关系，在试销 5 天后，该商户决定将这批苹果的售价定为 10 元/千克，但销售 10 天后，该商户为清空库存，计划用不超过 2 天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/千克，才能使后面 2 天都按新的售价销售且能如期全部售完？ 参 考 答 案 【第1课时 根据两个变量存在反比例关系建立函数模型】 1．B 2．A[解析]设。根据题意，得，解得，。当 kg时，(m/s)。故选A。 3．B[解析]在中，当时，，即矫正治疗后小明佩戴的眼镜镜片度数是250度。（度），小明的眼镜镜片度数下降了150度。故选B。 4．　 5．(1)270　(2)(3)54　(4) 6．解：(1)根据题意，得，。(2)在中，令，得，解得。答：该运输公司完成全部运输任务需要9天。 7．C[解析]由表格中的数据可知，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度（单位：cm）是液体的密度（单位：g/cm³）的反比例函数，且。把代入，得，解得，该液体的密度是0.8 g/cm³。故选C。 8．减小 9．16000 10．解：(1)由题意，得，，关于的函数解析式为。(2)把代入，得。答：当动力臂为2 m时，撬动石头至少需要300 N的力。 11．D 12． 13． 14．解：(1)与之间的函数解析式为。(2)热水器连续排水的最长时间是1小时，。，函数图象在每一个象限内，随的增大而减小，当时，取得最小值，最小值为，自变量的取值范围为。(3)当时，。答：该热水器连续排水的时间是48分钟。 【第2课时 根据图象信息建立函数模型】 1．B[解析]设关于的函数解析式为。将代入，得，解得，。故选B。 2．解：(1)由题意，得与之间的函数解析式为。把代入，得，。(2)由(1)得。当时，；当时，。在第一象限内，随的增大而减小，当时，。 3．A 4．A[解析]设密度关于体积的函数解析式为。把代入，得，解得，密度关于体积的函数解析式为。把代入，得(kg/m³)。故选A。 5．20 6．解：(1)设与之间的函数解析式为。把代入，得，解得，这个函数的解析式为。(2)把代入，得。当气球的体积是1.6 m³时，气球内的气压是60 kPa。(3)把代入，得。，。故气球的体积应不小于0.75 m³。 7．C 8．(1)[解析]设与之间的函数解析式为。将代入，得，解得，故与之间的函数解析式为。(2) 9．解：(1)由图象可知，与成反比例，故设关于的函数解析式为。点在函数的图象上，，解得，关于的函数解析式为。(2)(cm²) m²。将代入，得，此人双脚站立时对地面的压强为100 kPa。(3)将代入，得，此人应站立在面积至少为0.06 m²的木板上才不至于下陷。 【第3课时 根据数据和图象特征选择合适的函数模型】 1．解：(1)如图所示：(2)由(1)中的图象可猜测是的反比例函数。设关于的函数解析式为。将代入，得，解得，。经检验，表中其余各对，的值均满足，关于的函数解析式为。当时，，。 2．解：(1)猜想变量与变量之间的函数关系为反比例函数关系。设它的函数解析式为。根据表中数据，分别求出的值，如下表：计算所有值的平均值，得。我们把这个平均值6010作为的值，就得到一个函数模型。将已知数据代入，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，关于的函数解析式为。(2)，当时，；当时，，当时，的取值范围为。 3．解：(1)由表中的数据可以看出每一组与的对应值的乘积为一定值，故桌面所受压强是受力面积的反比例函数。设。将代入，得，解得，桌面所受压强（单位：Pa）关于受力面积（单位：m²）的函数解析式为。当时，，解得，即。故答案为，0.2。(2)这种摆放方式不安全。理由如下：由题图②可知(m²)。在中，当时，(Pa)。，这种摆放方式不安全。 4．解：(1)由表中的数据可以看出每一组与的对应值的乘积为一定值，是的反比例函数。设。将代入，得，解得，关于的函数解析式为。(2)不能。理由：，，。，汽车上午8:00从甲地出发，不能在上午10:30之前到达乙地。(3)，，平均速度的取值范围是。 5．解：(1)，与之间满足反比例函数关系。设关于的函数解析式为。把代入，得，解得。关于的函数解析式为。(2)试销5天共销售苹果（千克）。当苹果的售价定为10元/千克时，每天的销售量为（千克），销售10天后，还剩下苹果（千克）。由，得。把代入，得。，当时，随的增大而减小，当时，，故新的售价最高定为6元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完。 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $