25.2降次——解一元二次方程同步训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

九年级数学上册 · 同步训练 25.2　降次——解一元二次方程 25.2　降次——解一元二次方程 25.2.1　第1课时　直接开平方法 A 巩固题 知识要点分类练 知识点1 解形如 （）的一元二次方程 1．方程 的根是（　　） A． B． C．， D．， 2．一元二次方程 的根是（　　） A． B．， C．， D． 3．已知关于 的方程 . (1)若方程有两个不相等的实数根，则 ____________； (2)若方程有两个相等的实数根，则 ____________； (3)若方程无实数根，则 ____________. 4．若关于 的方程 的一个根为 ，则另一个根为 ____________. 5．解下列方程： (1)； (2)； (3). 知识点2 解形如 （）的一元二次方程 6．方程 的根是（　　） A．， B．， C． D．， 7．解一元二次方程 时，可以将其转化为两个一元一次方程. 若其中一个一元一次方程为 ，则另一个一元一次方程为（　　） A． B． C． D． 8．在等式 中，□内的数为 ____________. 9．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4). B 拓展题 规律方法综合练 10．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是（　　） A． B． C． D． 11．已知三角形的两边长分别是 4 和 6，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（　　） A．17 B．11 C．15 D．11 或 15 12．如图 25-2-1 所示是一个简单的数值运算程序. 若输出的结果为 8，则输入 的值为（　　） A．2 或 B．3 或 C．3 或 D． 或 1 13．［易错题］已知 ，则 的值为 ____________. 14．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). C 探究题 拓广探究创新练 15．［新考法 注重学习过程］小明在解一元二次方程时，发现了一种新解法. 如：解方程：. 解：原方程可变形为 ，∴，∴. 由此可得 ，，或 ，即 ，. 我们称小明的这种解法为“平均数法”. (1)下面是小明用“平均数法”解方程 的过程. 解：原方程可变形为 ，∴，∴. 由此可得 ，，或 ，即 ，. 若上述过程中的 ，，则 ____________，____________，____________，____________； (2)请用“平均数法”解方程：. 第2课时　配方法 A 巩固题 知识要点分类练 知识点1 解二次项系数为1的一元二次方程 1．填空： (1)； (2)； (3)； (4). 2．用配方法解方程时,左右两边需同时加上的常数是（　） A．16 B．4 C．2 D．1 3．一元二次方程配方后可变形为（　） A． B． C． D． 4．将一元二次方程化成的形式,则的值为（　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知方程□,等号右侧的数印刷不清楚.若可以将其配方成,则印刷不清楚的数是____________. 6．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4). 知识点2 解二次项系数不为1的一元二次方程 7．把方程的二次项系数化为1,可得方程（　） A． B． C． D． 8．用配方法解一元二次方程,配方正确的是（　） A． B． C． D． 9．某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程,每人负责完成一个步骤（如图 25-2-2）,老师看后,发现最后结果是错误的,并说:"错误是从某位同学负责的步骤开始出现的."这位同学是（　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 B 拓展题 规律方法综合练 10．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4). 11．若关于的一元二次方程通过配方可以化成的形式,则的值不可能是（　） A．3 B．6 C．9 D．10 12．小明在 DeepSeek 的对话框中输入如图 25-2-3 所示的文字,经过深度思考,DeepSeek 给出的这个数应该是____________. 13．用配方法解下列方程： (1)； (2). 25.2.2　公式法 A 巩固题 知识要点分类练 知识点1 一元二次方程根的判别式 1．一元二次方程 根的判别式的值为（　） A．4 B．2 C．0 D．-4 2．关于一元二次方程 的根的情况，下列结论正确的是（　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 3．利用一元二次方程根的判别式判断下列方程的根的情况： (1)； (2)； (3)； (4). 知识点2 用公式法解一元二次方程 4．用公式法解方程 时，，， 的值分别是（　） A． B． C． D． 5． 是下列哪个一元二次方程的根（　） A． B． C． D． 6．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4). 7．解方程 时，小海同学的解答过程如下：解：∵ ，，，…第一步 ∴ . …第二步 方程有两个不相等的实数根 ，…第三步 即 ，. …第四步 (1)上述解题过程是从第____________步开始出现错误的； (2)请写出正确的解题过程. B 拓展题 规律方法综合练 8．亮亮在解一元二次方程 时，不小心把常数项丢掉了. 已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（　） A．1 B．0 C．7 D．9 9．如图 25-2-4，同时改变方程中三个符号中的两个（“＋”变为“－”或“－”变为“＋”），使该方程的实数根的个数不变，则可以改变的是（　）FIG fig box=236,214,304,277 cap=图25-2-4（　） A．①② B．①③ C．②③ D．任意两个都成立 10．［阅读与思考］如图 25-2-5，线段 上的一点 把线段 分割为两条线段 ，. 若 ，则称点 是线段 的黄金分割点. 主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好. 若舞台长 18 米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则 满足的方程是（　）FIG fig box=125,559,224,577 cap=图25-2-5（　） A． B． C． D． 11．若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根 ，则下列关于 的值判断正确的是（　） A． B． C． D． 12．［易错题］若关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是____________. 13．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3). 14．已知关于 的一元二次方程 . (1)当 时，判断方程根的情况； (2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 ， 的值，并求此时方程的根. 25.2.3　因式分解法 A 巩固题 知识要点分类练 知识点1 因式分解法的理论依据 1．由方程 可以得到的方程是（　） A． 或 B． C． D． 2．一元二次方程 的根是（　） A． B． C．， D．， 知识点2 用因式分解法解一元二次方程 3．一元二次方程 可以转化为两个一元一次方程，这两个一元一次方程是（　） A．， B．， C．， D．， 4．一元二次方程 的根是（　） A．， B．， C．， D．， 5．用因式分解法解一元二次方程 时，要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个一元一次方程是 ，则另一个一元一次方程是____________． 6．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 知识点3 用合适的方法解一元二次方程 7．解方程 最合适的方法是（　） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 8．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． B 拓展题 规律方法综合练 9．若二次三项式 可以分解为，则关于 的方程 的两个根为（　） A．， B．， C．， D．， 10．解下列方程：①；②；③；④．较简便的方法是（　） A．依次为直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 B．依次为因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法 C．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法 D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法 11．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 7 m/s 的速度竖直上抛，那么经过 s 物体离地面的高度(单位:m)约为 ．根据上述规律，物体经过____________s 落回地面． 12．在数学活动课上，老师出了一道一元二次方程的试题：“解方程：．”让同学们解答．甲、乙两位同学的做法如下： (1)小组在交流过程中发现有一位同学做错了，则做错的同学是____________（填“甲”或“乙”），根据该同学使用的方法写出正确的解答过程； (2)利用公式法解此方程． 13．我们之前学过的各类方程的解法不尽相同，但是它们都利用了一个共同的数学思想——转化思想，把未知转化为已知，把复杂转化为简单．运用转化的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如：解一元三次方程 ，可以将它的左边分解因式，转化为 ，解方程 ，，，可得方程 的解为 ，，．请参考上述解方程的方法，解方程：． 25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 A 巩固题 知识要点分类练 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 1．已知 ， 是方程 的两个实数根，则 （　） A．−25 B．−20 C．20 D．25 2．一元二次方程 的两个实数根为 ，，下列结论正确的是（　） A． B． C． D． 3．已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，其中 ，则 ____________． 4．不解方程，求下列方程两个根 ， 的和与积： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点2 一元二次方程的根与系数关系的应用 5．已知关于 的一元二次方程 的两个实数根的和为 2，则 （　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 的值为（　） A．1 B．−1 C．2 D．−2 7．已知关于 的方程 的两个实数根为 ，．若 ，求 的值． B 拓展题 规律方法综合练 8．若关于 的一元二次方程 的两个实数根为 ，，且 ， 同号，则 的值可能为（　） A．5 B．−2 C．0 D．1 9．关于 的一元二次方程 存在两个实数根 ，，下列说法错误的是（　） A．若 ，则 B．若 ，则 C． 和 一定异号 D．若 ，则 10．已知实数 ， 满足 ，（），则 的值是（　） A．−1 B．−4 C．−5 D．−7 11．若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 的值是 ____________． 12．已知 ， 是方程 的两个实数根，且 ． (1)求 ， 及 的值； (2)求 的值． 13．已知关于 的一元二次方程 （ 为常数）有两个不相等的实数根 和 ． (1)填空： ____________， ____________； (2)求 ， 的值（用含 的代数式表示）； (3)已知 ，求 的值． C 探究题 拓广探究创新练 14．通过学习，我们发现两个一次二项式的乘法公式 与我们学习的一元二次方程的解法有关：如果我们能将一个一元二次方程 化为 的形式，就能够得到这个方程的两个根为 ，．请结合上述材料，解决下列问题： (1)请用含 ， 的式子表示 ，： ____________， ____________； (2)若关于 的一元二次方程 可以化为 的形式，请求出这个方程的两个根； (3)逆向来看，我们也可以借助上述关系式来构造一元二次方程，请试着构造一个一元二次方程，使方程的二次项系数为 2，且有一个根为 3，另一个根为 5． 参 考 答 案 【25.2.1 第1课时 直接开平方法】 1．D 2．C 3．(1)　(2)　(3) 4．3　[解析]关于的方程的一个根为，，原方程为，解得，，另一个根为3。 5．解：(1)移项，得。二次项系数化为1，得。由此可得，即，。(2)移项、合并同类项，得。二次项系数化为1，得。由此可得，即，。(3)移项、合并同类项，得。二次项系数化为1，得。由此可得，即，。 6．A　[解析]开平方，得，，或，即，。故选A。 7．A 8．2或 9．解：(1)移项，得。由此可得，，或，即，。(2)系数化为1，得。由此可得，，或，即，。(3)系数化为1，得。由此可得，，或，即，。(4)移项，得。系数化为1，得。由此可得，，或，即，。 10．C 11．C　[解析]由，得，，或，即，。当时，，能构成三角形，三角形的三边长分别为4，5，6，其周长为；当时，，长度为1，4，6的三条线段不能构成三角形，舍去，此三角形的周长为15。 12．C　[解析]由题意，得，解得，。故选C。 13．　[解析]，，即，。 14．解：(1)开平方，得，，或，即，。(2)方程化为。由此可得，，或，即，。(3)移项、合并同类项，得。系数化为1，得。由此可得，，或，即，。(4)移项，得。系数化为1，得。由此可得，，或，即，。(5)开平方，得，即，或，于是，。 15．解：(1)5　2　　(2)原方程可变形为，，。由此可得，，或，即，。 【第2课时 配方法】 1．(1)2　(2)9　3(3)　(4)　 2．B 3．A 4．D 5．2　[解析]设印刷不清楚的数是，则原方程为。移项，得。配方，得，。方程可以配方成，，解得，印刷不清楚的数是2。 6．解：(1)移项，得。配方，得，。由此可得，，。(2)移项，得。配方，得，。由此可得，，。(3)移项，得。配方，得，。原方程无实数根。(4)去括号，得。移项、合并同类项，得。配方，得，。由此可得，，。 7．A 8．A 9．B 10．解：(1)移项，得。二次项系数化为1，得。配方，得，。原方程无实数根。(2)移项，得。二次项系数化为1，得。配方，得，。由此可得，，。(3)移项，得。二次项系数化为1，得。配方，得，。由此可得，，。(4)移项，得。二次项系数化为1，得。配方，得，。由此可得，，。 11．D　[解析]将方程移项，得。配方，得，即。由题意知，解得，则的值不可能是10。故选D。 12．2　[解析]设这个数为。由题意，得。整理，得，即，解得。故这个数为2。 13．解：(1)方程化为。移项，得。二次项系数化为1，得。配方，得，。由此可得，，。(2)移项，得。配方，得，，。由此可得，，。 【25.2.2 公式法】 1．A 2．A 3．解：(1)，，，，此方程有两个不相等的实数根。(2)，，，，此方程有两个相等的实数根。(3)，，，，此方程有两个不相等的实数根。(4)方程化为，此时，，，，此方程无实数根。 4．C　[解析]原方程可化为，，，。 5．C 6．解：(1)，，，。方程有两个不相等的实数根，即，。(2)，，，。方程有两个不相等的实数根，即，。(3)方程化为，此时，，，。方程有两个不相等的实数根，即，。(4)方程化为，此时，，，，方程无实数根。 7．解：(1)一(2)方程化为，此时，，，。方程有两个不相等的实数根，即，。 8．D 9．B　[解析]，，，，，原方程有两个不相等的实数根。当改变①②处的符号时，原方程变为，此时，，，，原方程无实数根，故A，D选项不符合题意；当改变①③处的符号时，原方程变为，此时，，，，原方程有两个不相等的实数根，故B选项符合题意；当改变②③处的符号时，原方程变为，此时，，，，原方程无实数根，故C选项不符合题意。故选B。 10．A 11．C　[解析]关于的一元二次方程有两个相等的实数根，，。故选C。 12．且[解析]关于的一元二次方程有两个实数根，，且，解得且，的取值范围是且。 13．解：(1)，，，。方程有两个不相等的实数根，即，。(2)方程化为，此时，，，。方程有两个不相等的实数根，即，。(3)方程化为，此时，，，。方程有两个不相等的实数根，即，。 14．解：(1)，方程化为，。由题意知，，，方程有两个不相等的实数根。(2)方程有两个相等的实数根，。可取，，则原方程变为，解得（本题答案不唯一）。 2．B[解析]方程化为。，，，。当时，，方程有两个不相等的实数根，故选项A不符合题意；当时，，方程有两个不相等的实数根，故选项B符合题意；当时，的正负无法确定，无法判断该方程的根的情况，故选项C不符合题意；方程的根的情况与的值有关，故选项D不符合题意。故选B。 3．C[解析]由题意，得是关于的一元二次方程的一个根，，即。在中，，，，，此方程有两个实数根。故选C。 4．解：(1)根据题意，得，且，解得且，即的取值范围为且。(2)证明：由题意，得，，即，，无论为任何非零实数，该方程总有一个确定的根，为1。 5．D[解析]一元二次方程有两个不相等的实数根，，解得，的值可以是0。故选D。 6．B[解析]一元二次方程有两个实数根，，解得。故选B。 7．10[解析]设“□”为，则方程化为。该方程无实数根，，解得，“□”的最小整数值为10。 【25.2.3 因式分解法】 1．A 2．C 3．A 4．B 5． 6．解：(1)左边分解因式，得。于是，或，即，。(2)移项，得。左边分解因式，得。于是，即。(3)移项，得。左边分解因式，得。于是，或，即，。(4)方程化为。左边分解因式，得。于是，或，即，。(5)左边分解因式，得，即。于是，或，即，。 7．D 8．解：(1)移项，得。二次项系数化为1，得。由此可得，即，。(2)，，，。方程有两个不相等的实数根，即，。(3)移项、合并同类项，得。左边分解因式，得。于是，即。(4)方程化为。左边分解因式，得。于是，或，即，。 9．D 10．D 11．1.4[解析]物体落回地面时，物体离地面的高度为0 m，，解得(不合题意，舍去)，。故答案为1.4。 12．解：(1)乙正确的解答过程如下：原方程可化为。配方，得，。由此可得，，。(2)原方程可化为，此时，，，。方程有两个不相等的实数根，即，。 13．解：左边分解因式，得。于是，或，或，即，，。 【25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系】 1．C 2．D 3． 4．解：(1)，。(2)，。(3)，。(4)，。 5．A[解析]设一元二次方程的两个实数根为，，则。由题意，得，，解得，此时一元二次方程有实数根，故符合题意。故选A。 6．B 7．解：由一元二次方程的根与系数的关系，得，。，，解得，。关于的方程有两个实数根，，解得，的值为。 8．B[解析]由题意，得，解得。，同号，，即，，的值可能为。故选B。 9．C[解析]根据题意，得。若，则，即，解得，故A选项的说法正确。若，则，即，解得，故B选项的说法正确。由根与系数的关系，知，而，，即，当时，与异号；当时，，中有一个数为0；当时，与同号，故C选项的说法不正确。由根与系数的关系，知。若2，则，，，解得，故D选项的说法正确。故选C。 10．D[解析]当时，，。方程两边同时除以，得，即。，，，是一元二次方程的两个不相等的实数根，，，。故选D。 11．2025[解析]，是一元二次方程的两个根，，，，。 12．解：(1)由根与系数的关系可知，。，，，。(2)由(1)可知，，。 13．解：(1)由根与系数的关系，得，。故答案为，1。(2)，，。是关于的一元二次方程(为常数)的一个实数根，，且，，即。(3)，。把，代入，得1，解得，。当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去，。 14．解：(1)利用多项式乘多项式的法则，得。由题意，得，，。故答案为，。(2)利用多项式乘多项式的法则，得。由题意，得，，，，，原方程可以化为，于是，或，即，。(3)由题意知方程或符合题意。，，二次项系数为2，且有一个根为3，另一个根为5的一元二次方程为。 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $