第二十五章一元二次方程节节练 2026-2027 学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年人教版初中数学九年级上册节节练 25.1一元二次方程的概念 25.2降次-解一元二次方程 25.3实际问题与一元二次方程 （满分100 分，限时45分钟） 一、选择题（共 8 小题，每题 3 分，共 24 分） 1. 社区打算在一块长方形闲置空地搭建微型花圃，长比宽多 2m，花圃总面积为 15m²。设花圃的宽为 x m，则下面所列方程符合题意的是（ ） A.x(x-2)=15 B.x(x+2)=15 C.2x+2(x+2)=15 D.x2+(x+2)2=15 2. 下列关于 x 的方程，属于一元二次方程的是（） A.2x-3=0 B.+x2=5 C.x2-6x=0 D.(x+1)2=x2+7 3. 文具店推出周年优惠活动，一款笔记本标价 8 元，若连续两次降价，每次降价百分率相同，降价后售价为 5.12 元。设每次降价百分率为 x，可列方程（ ） A.8(1-x)2=5.12 B.8(1-2x)=5.12 C.8x2=5.12 D.8(1+x)2=5.12 4. 小明在用配方法解方程x2-8x+5=0的过程中，把方程转化为(x-m)2=n的形式，则 m、n 的值分别为（ ） A.m=4，n=11 B.m=-4，n=11 C.m=4，n=21 D.m=-4，n=21 5. 某果园技术员统计果树产量，发现每多栽种 1 棵果树，单棵果树的产量会下降 2kg。原有果树 40 棵，单棵产量 50kg，若要总产量达到 2240kg，设多种 x 棵果树，下列说法正确的是（ ） A. 可列方程(40+x)(50-2x)=2240，解得x=4或x=30，两个解都符合实际 B. 可列方程(40+x)(50-2x)=2240，x=30不符合实际，应舍去 C. 可列方程(40-x)(50+2x)=2240，解得x=4或x=30 D. 可列方程40\times50-2x=2240 6. 已知关于 x 的一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） A.k>4 B.k<4 C.k≥4 D.k≤4 7. 已知x1 ，x2是一元二次方程x2+3x-6=0的两个实数根，则x1+x2的值为（ ） A.3 B.-3 C.6 D.-6 8. 若a是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根，则代数式a2-a+2的值为（） A.4 B.5 C.6 D.7 二、填空题（共 5 小题，每题 3 分，共 15 分） 9. 若x=2是一元二次方程x^2-ax-4=0的一个根，则 a 的值为 。 10. 用因式分解法解方程x(x-5)=0，该方程的两个根是 。 11. 班级微信群传播一则校园通知，一开始只有 1 个同学收到消息，每轮每个收到消息的人都会转发给相同数量的同学，经过两轮转发后，一共有 121 名同学收到这条通知。设每轮每人转发x人，则可列方程为 。 12. 已知一元二次方程x2-7x+10=0的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，则这个等腰三角形的周长为 。 13. 若实数 m、n 满足m2-3m-1=0，n2-3n-1=0，且m≠n，则 + = 。 三、解答题（共 5 小题，共 36 分） 14.（6 分）学校手工社团制作方形木牌，解方程x2-4x=0，求出木牌边长 x。（用因式分解法求解） 15.（7 分）用配方法解一元二次方程2x2-4x-6=0。 16.（7 分）小区规划一块靠墙的矩形小菜园，墙长12m，用总长 24m 的栅栏围出另外三边。小菜园面积为 70m²，求小菜园平行于墙的边长。 17.（8 分）已知关于 x 的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+m=0。 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若x=2是方程的一个实数根，求m的值以及方程的另一个根。 18.（8 分）某茶饮门店推出新品，每杯成本 4 元，售价 10 元时，单日可卖出 120 杯。市场调研：售价每降低 1 元，销量增加 40 杯。门店想要单日总利润达到 720 元，同时尽量减少库存，该新品每杯定价应为多少元？ 四、综合题（共 2 小题，共 25 分） 19.（12 分）【探究背景】利用拼图，理解配方法的几何意义。 准备 4 张长为 a、宽为 b 的长方形纸片，和 1 张边长为(a-b)的正方形纸片。 （1）【拼图观察】用 4 张长方形纸片拼成大正方形，大正方形面积可以表示为(a+b)2，也可以写成4ab+(a-b)2，展开左右两边验证该等式成立。 （2）【拓展思考】借助配方法思路，求代数式x2-8x+10的最小值，并写出此时 x 的取值。 （3）【迁移思考】直接写出代数式-x2+6x-5的最大值。 20.（13 分）定义：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，且|x1-x2|=1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程x2-3x+2=0的两个根是x1=1，x2=2，此时|x1-x2|=|1-2|=1，则方程x2-3x+2=0是“邻根方程”． （1）下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）． ①x2=1；②x2+4x+4=0；③x2-x=0． （2）已知方程（x-k）（x-3）=0是“邻根方程”，求k的值． （3）若方程x2-bx+c=0是“邻根方程”，求证：b+2c+1≥0． 参考答案 试卷说明：节节练系列，是每一节的检测卷，按照试卷模式设计，内容涵盖全面，题型丰富、难度梯度分层明显，用时要求和分值明确，加强题目情景化，更加贴合知识的实用性 一、选择题（共 8 小题，每题 3 分，共 24 分） 1.答案：B 解析：设宽为xm，长比宽多2m，则长为(x+2)m。 矩形面积 = 长×宽，得方程：x(x+2)=15。故选 B。 点评：矩形面积情景列一元二次方程，读懂数量关系是列方程关键。 2.答案：C 解析：一元二次方程满足三个条件：整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为 2。 A 是一元一次方程；B 含有分式，不是整式方程；C 满足全部条件；D 化简后2x+1=7，是一元一次方程。故选 C。 点评：考查一元二次方程定义，注意分式、化简后次数变化的陷阱。 3.答案：A 解析：连续两次降价，基数 8 元，每次降价率x，第一次降价后价格8(1-x)，第二次在第一次基础上再降价：8(1-x)2=5.12。故选 A。 点评：下降率模型，注意连续两次变化是平方，不是乘以(1-2x)。 4.答案：A 解析：x2-8x+5=0，x2-8x=-5，x2-8x+16=-5+16，(x-4)2=11； 对比(x-m)2=n，得m=4，n=11。故选 A。 点评：配方法基础训练，等式两边同时加上一次项系数一半的平方。 5.答案：B 解析：多种x棵，总棵树(40+x)，每棵产量(50-2x)，总产量(40+x)(50-2x)=2240。 整理：x2+30x-120=0，解得x1=4，x2=30。 当x=30，单棵产量50-2×30=-10，产量不能为负数，舍去x=30。故选 B。 点评：实际应用题，求出方程解后，要检验解是否符合现实意义，负数产量无实际意义。 6.答案：B 解析：一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式△>0。 △=(-4)2-4×1×k>0，16-4k>0，解得k<4。故选 B。 点评：根的判别式基础：两个不等实根△>0；两个相等实根△=0；无实根△<0。 7.答案：B 解析：韦达定理，对于ax2+bx+c=0(a≠0)，两根之和x1+x2=-。 方程x2+3x-6=0，a=1，b=3，x1+x2=-3。故选 B。 点评：根与系数关系基础题，注意符号，两根之和是-，不要漏掉负号。 8.答案：A 解析：∵a是 x2-2x-3=0 的根 ∴a2-2a-3=0 即a2=2a+3， 代入 a2-a+2=(2a+3)-a+2=a+5， 解方程 x2-2x-3=0，得 x1=3，x2=-1 a=3，a+5=8；a=-1：a+5=4，对应选项A。 点评：本题考查一元二次方程根的概念与整体降次代入求值。不需要直接求出根再代入计算，利用方程变形对高次代数式降次是常用解题技巧；本题存在两个根，需要结合选项筛选出符合条件的结果，注意不要漏看、错取根。 二、填空题（共 5 小题，每题 3 分，共 15 分） 9.答案：1 解析：把x=2代入x2-ax-4=0，4-2a-4=0，解得a=1。 点评：方程根的定义，根代入等式成立，基础必考题型。 10.答案：x1=0，x2=5 解析：x(x-5)=0，则x=0或者x-5=0，解得x1=0，x2=5。 点评：因式分解法解一元二次方程，若乘积为 0，则至少其中一个因式等于 0。 11.答案：1+x+x(1+x)=121 解析：第一轮：1 个人转发x人，第一轮结束收到消息一共(1+x)人； 第二轮：每个人转发x人，新增x(1+x)人；两轮合计：1+x+x(1+x)=121。也可写成(1+x)2=121。 点评：传播问题模型，分清初始数量，每一轮新增人数，是本章典型应用情景。 12.答案：17 解析：解方程x2-7x+10=0，因式分解(x-2)(x-5)=0，根x1=2，x2=5。 分等腰三角形讨论： ①三边2，2，5：2+2<5，不满足三角形三边关系，舍去； ②三边5，5，2：满足三边关系，周长5+5+2=17。 点评：结合等腰三角形三边关系，方程解不一定都能构成三角形，必须检验三边大小。 13.答案：-3 解析：m≠n，m、n可以看作一元二次方程x2-3x-1=0两个不相等实数根。 韦达定理：m+n=3，mn=-1。 ===-3。 点评：同构构造一元二次方程，代数式通分变形，拔高题型。 三、解答题（共 5 小题，共 36 分） 14.（6 分） 答案：x_1=0（舍去），x_2=4；木牌边长为 4 解析：x2-4x=0，x(x-4)=0 ，解得x1=0，x2=4。 木牌边长不能为 0，舍去x_1=0，所以x=4。 答：方形木牌的边长为 4。 点评：因式分解法解方程，几何实际背景，根要符合实际物理意义。 15.（7 分） 答案：x1=3，x2=-1 解析：2x2-4x-6=0， x2-2x-3=0 {二次项系数化为1，两边同除以2} x2-2x=3， x2-2x+1=3+1，(x-1)2=4，则 x-1=±2 ； 若x-1=2， 则x1=3；若x-1=-2 ，则x2=-1。 点评：配方法，二次项系数不为 1 时，第一步要把二次项系数化为 1，是易错点。 16.（7 分） 答案：平行于墙边长为 10 m 解析：设平行于墙的边长为xm}，x≤12；垂直墙边长 m。 x =70，x(24-x)=140， x2-24x+140=0，(x-10)(x-14)=0 解得x1=10，x2=14。 墙长只有 12 m，x=14>12，不符合条件，舍去。因此x=10。 答：小菜园平行于墙的边长为 10 m。 点评：靠墙栅栏模型，除检验方程解，还要结合墙长的限制条件取舍根。 17.（8 分） 答案：(1) 见解析；(2)m=1或者m=2；当m=1另一根为 0；当m=2另一根为 3 解析 （1）证明： △=[-(2m+1)]2-4×1×(m2+m)=4m2+4m+1-4m2-4m=1>0 ， △=1>0恒成立，∴无论m取何实数，方程总有两个实数根。 （2）把x=2代入方程： 22-(2m+1)×2+m2+m=0，4-4m-2+m2+m=0， m2-3m+2=0，即(m-1)(m-2)=0 解得：m1=1，m2=2。 当m=1，原方程x2-3x+2=0，一根为 2，另一根为 0； 当m=2，原方程x2-5x+6=0，一根为 2，另一根为 3。 点评：判别式证明恒有实根；利用根的定义代入求参数，再回代求另外根。 18.（8 分） 答案：定价 7 元 解析：设降价x元 单件利润：6-x；销量：120+40x 则有(6-x)(120+40x)=720 720+240x-120x-40x2 =720 -40x2+120x=0 -40x(x-3)=0 解得：x1=0，x2=3 尽量减少库存，选降价更多x=3，定价 10-3=7元。 点评：销售利润问题，重点读懂 “每降低 1 元，增加 40 杯” 的数量关系；“尽量减少库存” 意味着要选择降价更多的解。 四、综合题（共 2 小题，共 25 分） 19.（12 分） 答案：(1) 左右展开均为a2+2ab+b2，等式成立；(2) 最小值-6，x=4；(3) 最大值4。 解析 (1) 左边：(a+b)2=a2+2ab+b2 右边：4ab+(a-b)2=4ab+a2-2ab+b2=a2+2ab+b2 左边=右边，等式成立。 (2)x2-8x+10=(x-4)2-16+10=(x-4)2-6 ∵(x-4)2≥0，当x=4时，(x-4)2=0，代数式取得最小值-6。 (3)-x2+6x-5=-(x2-6x)-5=-(x-3)2+9-5=-(x-3)2+4 ∵-(x-3)2≤0，当x=3，代数式取最大值4。 点评：几何拼图验证完全平方公式；配方法求二次代数式最值，注意负二次项，求的是最大值。 20.（13 分） 答案：见解析 解析 （1）解：一元二次方程x2=1的两个根是x1=1，x2=-1，此时|x1-x2|=|-1-1|=2≠1，故方程x2=1不是“邻根方程”； 一元二次方程x2+4x+4=0的两个根是x1=-2，x2=-2，此时|x1-x2|=|-2-（-2）|=0≠1，故方程x2+4x+4=0不是“邻根方程”； 一元二次方程x2-x=0的两个根是x1=1，x2=0，此时|x1-x2|=|1-0|=1，故方程x2-x=0是“邻根方程”； 故答案为：③； （2）解：解方程（x-k）（x-3）=0，得x1=k,x2=3， 方程（x-k）（x-3）=0是“邻根方程”， ∴|k-3|=1， ∴k-3=1或k-3=-1， 解得k=2或k=4． （3）证明：设方程x2-bx+c=0的两个根为x1，x2， 则x1+x2=b,x1x2=c,且Δ=（-b）2-4×1×c=b2-4c≥0， ∵方程x2-bx+c=0是“邻根方程”， ∴|x1-x2|=1， ∴（x1-x2）2=1， ∴（x1+x2）2-4x1x2=1， ∴b2-4c=1， ∴c=， ∴b+2c+1=b+1+2×=b2 +b+ =（b2 +2b+1）=（b +1）2， 而（b+1）2≥0， ∴（b +1）2≥0， 故b+2c+1≥0． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $