25.2降次——解一元二次方程 配方法分层训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以“配方法解一元二次方程”为核心，通过三级分层设计（基础必做、提升必做、拓展选做），构建从概念理解到综合应用再到创新拓展的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求，培养运算能力、几何直观与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础必做|单一知识点（配方步骤、完全平方式）|选择填空夯实基础运算（如配方正误判断、补全完全平方式）| |提升必做|综合应用（含参数方程、几何与代数结合）|解答题融合几何情境（如矩形面积、围栏最大面积问题）| |拓展选做|创新拓展（新定义“配方坐标”、动点问题）|选做题培养创新意识（如“配方坐标”定义应用、三角形动点面积问题）|

九年级数学 · 25.2 降次——解一元二次方程 配方法 · 分层训练 25.2降次——解一元二次方程 配方法 分层训练· 第一部分（必做） 一、选择题（共 6 题） 1．用配方法解方程 ，配方后正确的是（ ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程 ，二次项系数化为 1 并配方后得到（ ） A． B． C． D． 3．若二次三项式 是一个完全平方式，则 的值为（ ） A． B． C． D． 4．方程 的根是（ ） A． B． C． D． 5．如图，用面积模型将 补成完全平方式。若大正方形面积为 64，且 ，则 =（ ） （第5题图） A．4 B．5 C．8 D．11 6．小明解方程 时写出：，继而得到 。错误原因是（ ） A．移项错误 B．配方项应为 2 C．不能用配方法 D．等式两边未同时加 4 二、填空题（共 4 题） 7．+____________=。 8．+____________=。 9．方程 的根为 ____________________。 10．若恒有 ，则 =__________。 三、解答题（共 4 题） 11．用配方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 12．用配方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 13．已知关于 的方程 ，请通过配方判断： （1） 为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出此时的根。 （2） 为何值时，方程没有实数根？ 14．一个矩形的长比宽多 4 cm，面积为 45 cm²。设宽为 cm。 （1）列出关于 的一元二次方程； （2）用配方法求这个矩形的长和宽。 第二部分（必做） 四、选择题（共 4 题） 15．方程 的根是（ ） A． B． C． D． 16．代数式 的最大值是（ ） A．−5 B．1 C．3 D．5 17．关于 的方程 （ 为实数）的实数根情况是（ ） A．两个不等实根 B．两个相等实根 C．没有实数根 D．随 a 的值改变 18．若实数 ， 满足 ，则 的值是（ ） A．−5 B．−1 C．1 D．5 五、填空题（共 4 题） 19．代数式 的最小值为__________。 20．若实数 ， 满足 ，则 =__________。 21．关于 的方程 没有实数根，则 的取值范围是____________________。 22．若 ，则 =__________。 六、解答题（共 4 题） 23．用配方法解方程：。 24．小华用配方法解方程 ，过程如下： ； ； ，所以 。 （1）指出从哪一步开始出现错误，并说明原因； （2）写出正确的解答过程。 25．用配方法求代数式 的最小值，并说明当 为何值时取得最小值。 26．如图，一面墙外用 40 m 长的围栏围成一个矩形场地，靠墙的一边不需要围栏。设垂直于墙的一边长为 m。 （1）用含 的式子表示矩形面积 ，并将其配方； （2）围成的矩形面积最大是多少？此时矩形的长和宽分别是多少？ （第26题图） 第三部分（选做·附加） 27．阅读材料：对于首项系数为 1 的二次三项式 ，若可写成 ，则称有序数对 为 的“配方坐标”。根据定义完成下列问题： （1）求 的“配方坐标”； （2）求 的“配方坐标”，并用配方法解方程 ； （3）若 的“配方坐标”为 ，求使 成立的所有整数 。 28．如图，在直角三角形 中，， cm， cm。点 从 点沿 向 点运动，点 从 点沿 向 点运动，两点速度均为 1 cm/s，同时出发，运动时间为 s（）。 （1）用含 的式子表示 的面积； （2）当 的面积是原三角形面积的一半时，用配方法求 的值； （3）当四边形 的面积为 45 cm² 时，用配方法求 的值。 （第28题图） 详细答案与解析 第一部分（必做） 1．答案：C 解析：原方程移项得 。一次项系数 的一半是 ，两边同时加 ，得 ，故选 C。 2．答案：B 解析：方程两边同除以 3，得 ，移项后两边同时加 4：，故选 B。 3．答案：B 解析：完全平方式只能为 或 ，展开后一次项系数分别为 6 和 -6，所以 ，故选 B。 4．答案：A 解析：由 开平方，得 ，所以 。 5．答案：B 解析：图中四部分面积之和为 。大正方形面积为 64，所以 。又 ，故 ，得到 。 6．答案：D 解析：由 配方时，左边应加 使其成为 ，等式右边也必须同时加 4，因此正确结果是 。 7．答案：49 解析：因为 ，所以应填 49。 8．答案： 解析：因为 ，所以应填 。 9．答案： 解析：移项得 ，两边加 9，得 。开平方得到 。 10．答案：7 解析：右边展开为 ，比较常数项可得 。 第一部分（必做） 11．答案：（1）；（2）；（3）；（4） 解析：（1）移项得 ，两边加 9，得 ，所以 。 （2）移项得 ，两边加 16，得 ，所以 。 （3）移项得 ，两边加 4，得 ，所以 。 （4）移项得 ，两边加 25，得 ，所以 。 12．答案：（1）；（2）；（3）；（4） 解析：（1）两边同除以 2，得 ；两边加 1，得 ，所以 。 （2）两边同除以 3，得 ；两边加 4，得 ，所以 。 （3）两边同除以 4，得 ；两边加 1/4，得 ，所以 。 （4）两边同除以 5，得 ；两边加 1，得 ，所以 。 13．答案：（1）；（2） 解析：原方程移项并配方：，两边加 9，得 。 （1）有两个相等的实数根时，右边应等于 0，所以 ，得 。此时 ，故 。 （2）没有实数根时，右边应小于 0，所以 ，得 。 14．答案：（1），即 ；（2）宽 5 cm，长 9 cm 解析：设宽为 cm，则长为 cm。由面积为 45 cm²，得 ，整理得 。 两边加 4，得 ，所以 ，即 。因为宽必须为正数，舍去 ，故宽为 5 cm，长为 9 cm。 第二部分（必做） 15．答案：A 解析：将原方程整理成 ，于是 ，所以 。 16．答案：C 解析：配方：。因为 ，所以原式不大于 3；当 时取到 3。 17．答案：C 解析：原方程可直接写为 ，即 。实数的平方不能为负数，所以无论 取何实数，方程都没有实数根。 18．答案：C 解析：配方得 。两个平方数都不小于 0，和为 0 时只能分别为 0，所以 ，，故 。 第二部分（必做） 19．答案：4 解析：配方：。因为平方项不小于 0，所以最小值为 4，当 时取得。 20．答案：8 解析：原等式配方为 ，所以 ，。因此 。 21．答案：任意实数 k 解析：左边可配方为 ，方程等价于 。对任意实数 ，实数范围内都无解，所以 可取任意实数。 22．答案：7 解析：配方：。所以 ，，故 。 23．答案： 解析：方程两边同乘 ，得 。两边加 1，得 。开平方：，所以 。 24．答案：（1）第二行开始错误；（2） 解析：（1）由 配方时，左边加 4，右边也必须加 4，小华却把右边写成 ，因此第二行开始错误。 （2）正确过程：，两边加 4，得 。开平方得 ，所以 。 25．答案：最小值为 7，当 x=3 时取得 解析：配方：。因为 ，所以原式最小值为 7；当 时取得。 26．答案：（1），；（2）最大面积 200 m²，长 20 m，宽 10 m（垂直于墙的一边 10 m，平行于墙的一边 20 m） 解析：（1）垂直于墙的两边共用围栏 m，所以平行于墙的一边为 m。面积 ，且 。 （2）因为平方项不小于 0，所以 。当 时取得最大值 200，此时另一边为 m。 第三部分（选做·附加） 27．答案：见解析 解析：（1），所以“配方坐标”为 。 （2），所以“配方坐标”为 。令 ，得 ，所以 。 （3）“配方坐标”为 ，故 。由 得 ，即 。符合条件的整数为 0，1，2，3，4。 28．答案：（1）；（2） s；（3） s 解析：（1）运动 s 后，，，所以 。 （2）原三角形面积为 cm²，一半为 27。于是 ，整理得 。配方：，得 或 。由 ，舍去 18，故 s。 （3）四边形面积为 45 cm² 时， 面积为 cm²。列方程 ，整理得 。配方：，得 或 。结合取值范围， s。 学科网（北京）股份有限公司 $