-26.4实际问题与二次函数同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

九年级数学上册 · 同步训练 26.4　实际问题与二次函数 26.4　实际问题与二次函数 第1课时　二次函数的最值问题——最大高度与最大面积 A 巩固题 知识要点分类练 知识点1 最大高度问题 1．一个小球从地面竖直向上弹起时的速度为 10 m/s，经过 s，小球距离地面的高度为 m，已知 ，则小球弹起后又回到地面所花的时间和弹起的最大高度分别是（　　） A．1 s，4 m B．2 s，5 m C．5 s，10 m D．10 s，20 m 2．如图 26-4-1，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置 ，喷头 向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度 （m）与水平距离 （m）之间的关系式是 ，则水流喷出的最大高度是（　　） A．3 m B．2.75 m C．2 m D．1.75 m 3．体育课上，小华在足球训练中发现，自己踢球射向球门的路线呈抛物线形，足球的高度 （m）与时间 （s）的关系可以用公式 表示． (1)当 在什么范围内时，足球的高度逐渐增大？当 在什么范围内时，足球的高度逐渐减小？ (2)经过多长时间，足球到达它的最高点？最高点的高度是多少米？ 4．某地为庆祝国庆节举行焰火表演，表演时礼炮的升空高度 （m）与飞行时间 （s）的关系式是 ．若这种礼炮点火升空到最高点处引爆，求从点火升空到引爆需要的时间和最高点的高度． 知识点2 最大面积问题 5．把一根长为 20 cm 的铁丝弯成一个矩形 ，其中 cm，矩形 的面积为 cm²． (1)求 与 之间的函数解析式； (2)当 为何值时，矩形 的面积最大？最大面积为多少？ B 拓展题 规律方法综合练 6．有一块缺角矩形地皮 （如图 26-4-2），其中 m， m， m，，现准备在此块地皮上建一座地基为矩形的教学大楼（图 26-4-3 中用阴影部分表示），以下四个方案中，地基面积最大的是（　　） 7．某运动员在单板滑雪大跳台中的高度 （m）与运动时间 （min）之间的关系如图 26-4-4，该图象可以近似地看作抛物线 的一部分，其中线段 表示跳台的高度，且 m， 为该运动员在空中到达的最大高度．若点 的坐标为 ，则该运动员在空中到达的最大高度 为（　　） A．75 m B．70 m C．65 m D．60 m 8．如图 26-4-5，某农场计划修建三间矩形饲养室，饲养室一面靠现有墙（墙可用长度 m），中间用两道墙隔开．已知计划中的修筑材料可建围墙总长为 60 m，设饲养室垂直于墙的一边长为 m，总占地面积为 m²，则三间饲养室的总面积 有（　　） A．最小值 200 m² B．最小值 225 m² C．最大值 200 m² D．最大值 225 m² 9．“温室大棚春意浓，花果飘香醉眼瞳”．小华家有一个蔬菜大棚，其截面顶部为抛物线形，如图 26-4-6，大棚一端固定在离地面 1 m 的墙体 处，另一端固定在离地面 2 m 的墙体 处，现建立如图所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度 （m）与其离墙体 的水平距离 （m）之间的关系式为 ，现测得 ， 两墙体之间的水平距离为 8 m，则大棚的最高处到地面的距离为 ____________ m． 10．如图 26-4-7 所示，已知矩形菜地 的一面靠墙（墙的最大可用长度为 26 米），其余边用长为 49 米的篱笆围成，菜地与墙平行的边上预留了一个宽为 1 米的小门（小门不用篱笆）． (1)设 边的长为 米，则 ____________ 米（用含 的代数式表示）； (2)当 为何值时，围成的矩形菜地的面积为 200 平方米？ (3)当 为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？ 第2课时　二次函数的最值问题——最大利润 A 巩固题 知识要点分类练 知识点1 简单销售问题中的利润问题 1．某童装专卖店销售一种童装，已知这种童装每天获得的利润 （元）与销售单价 （元）满足关系 ．若想每天获得的利润最大，则销售单价为（　　） A．25 元 B．20 元 C．30 元 D．40 元 2．某种商品每件的进价为 30 元，在某时间段内，若每件的售价为 元（ 为整数），则可卖出 件．若想获得最大利润，则每件的售价应为 ____________ 元． 知识点2 “每……每……”的销售利润问题 3．将进货价格为 35 元/个的商品按 40 元/个的价格出售时，能卖出 200 个．若调整单价（单价为整数）：每涨价 1 元，则销售量就减少 5 个．设这种商品每个涨价 元时，获得的利润为 元，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 4．“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰．新中国成立以来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件的成本为 20 元，按每件 24 元的价格出售，每日可售出 40 件．经市场调查发现，若调整单价（单价为整数）：每涨价 1 元，则日销售量就会减少 2 件．该模型每件应涨价 ____________ 元，才能使每日的利润最大． 5．小郭在景区销售一种旅游纪念品，已知该种纪念品每件的进价为 6 元，当销售价格定为每件 8 元时，每天可以销售 200 件．市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价 1 元，则日销量将会减少 10 件．物价部门规定：销售价格不能超过每件 12 元．设该种纪念品的销售价格为每件 元，日销量为 件，日销售利润为 元． (1)直接写出 与 之间的函数解析式（不用体现自变量的取值范围）； (2)求 与 之间的函数解析式（不用体现自变量的取值范围），当 为何值时，日销售利润最大？求出此时的最大利润． B 拓展题 规律方法综合练 6．某酒店有 150 间标准房，当标准房的价格为 120 元/（间·天）时，每天都客满．市场调查表明，房价在 120～170 元/（间·天）之间[含 120 元/（间·天）和 170 元/（间·天），房价为 10 的整数倍]浮动时，每提高 10 元/（间·天），日均入住数减少 8 间．如果不考虑其他因素，该酒店将标准房的价格提高到 ____________ 元/（间·天）时，客房的日营业收入最大． 7．某超市要销售一种新上市的文具，进价为 20 元/件，试营销阶段发现：当销售价格是 25 元/件时，每天的销售量为 250 件．若调整单价（单价为整数）：每涨价 1 元，则每天的销售量就减少 10 件．经过试营销后，超市决定按日销售利润取最大值时的销售价格进行销 8．为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是 30 元/件，当售价为 40 元/件时，每天可以售出 60 件．经调查发现，售价每降价 1 元/件，每天可以多售出 10 件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价 元/件，则每天售出的数量是 ____________ 件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元/件，文旅公司每天的利润是 630 元？ (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为 元，当售价为多少元/件时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 9．某生物科技发展公司投资 5000 万元研制出一种绿色保健食品．已知该种绿色保健食品的成本为 300 元/件．试销时，售价不低于 300 元/件，又不高于 800 元/件．经市场调查发现，年销售量 （单位：万件）与售价 （单位：元/件）的关系符合一次函数关系式 ．请根据相关信息，回答下列问题： (1)售价 的取值范围为 ____________． (2)经测算，当该种绿色保健食品年销售量不低于 20 万件时，每件成本降低 100 元．设销售该种绿色保健食品的年利润为 （单位：万元）（年利润＝年销售额－成本－投资）．SUB ① | 当年销售量为 20 万件时，售价为 ____________ 元/件，每件成本为 ____________ 元，此时的年利润为 ____________ 万元；SUB ② | 填表： 第3课时　建立适当坐标系解决生活中的抛物线形问题 A 巩固题 知识要点分类练 知识点1 解决拱桥、隧道等实体类问题 1．如图 26-4-8①所示是一座抛物线形拱桥的剖面图，当拱顶离水面 2 m 时，水面宽 4 m. 以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 轴建立平面直角坐标系，如图②所示，则这条抛物线的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 2．如图 26-4-9①是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化. “门”的内侧曲线呈抛物线形，如图②，已知其底部宽度 为 80 m，高度为 200 m，则离地面 150 m 处的水平宽度（即 的长）为（　　） A．40 m B．45 m C．50 m D．55 m 3．如图 26-4-10，要修建一条截面为抛物线的隧道，线段 表示水平的路面，根据设计要求： m，该抛物线的顶点 到 的距离为 9 m. (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求满足设计要求的抛物线的函数解析式； (2)现需在这一隧道内壁上同一高度处安装照明灯（即在该抛物线上的点 ， 处分别安装照明灯）. 若要求 ， 处照明灯的水平距离为 5 m，求照明灯的高度. 知识点2 解决运动轨迹类问题 4．随着自动化设备的普及，许多家庭庭院也引入了自动喷灌系统. 如图 26-4-11，喷灌器喷水点 到地面的高度为 0.25 m，喷出的水柱在离喷水口水平距离为 2 m 处达到最高 0.45 m，且水柱刚好落在庭院围墙与地面的交界点 处. 若喷灌器喷出的水柱是抛物线形，则喷灌器 与围墙的距离 为（　　） A．3.5 m B．4 m C．4.5 m D．5 m 5．从地面竖直向上先后抛出两个小球，小球的高度 （单位：m）与小球运动时间 （单位：s）之间的函数关系式为 . 若后抛出的小球经过 2.5 s 比先抛出的小球高 m，则抛出两个小球的间隔时间是 ____________ s. 6．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况. 他以水平方向为 轴，1 m 为单位长度，建立了如图 26-4-12 所示的平面直角坐标系，铅球从 轴上的点 处出手，运动路径可看作抛物线，在点 处达到最高位置，落在 轴上的点 处. 小明某次试投时的数据如图所示. (1)根据图中信息，求出铅球运动路径所在抛物线的解析式； (2)若铅球投掷距离（铅球落地点 与出手点 的水平距离 的长度）不小于 10 m，成绩为优秀. 请通过计算，判断小明此次试投的成绩能否达到优秀. B 拓展题 规律方法综合练 7．一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，建立如图 26-4-13 所示的平面直角坐标系，拱桥的跨度为 6 m，当水面宽 4 m 时，拱顶离水面 2 m. 有下列结论：①该抛物线的解析式为 ；②当水面宽 5 m 时，水面下降了 1.125 m；③当水面下降 2 m 时，水面宽度增加了m. 其中，正确结论的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 8．图 26-4-14①是一个瓷碗，图②是其截面示意图，碗体 呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽 cm，碗的最大深度 cm. 将碗中盛汤，当汤的深度 为 4 cm 时，汤面的直径 的长为 ____________. 9．阜平县近年来将非遗文化与旅游、节庆活动相结合，推出了多种展览和表演形式. 某次非遗文化展览活动中设置的拱门内、外边界线（分别记为 ，）都呈抛物线形，且形状相同，建立如图 26-4-15 所示的平面直角坐标系. 若 米， 米，则 的最大高度为 ____________ 米. 参 考 答 案 【第1课时 二次函数的最值问题——最大高度与最大面积】 1．B 2．B[解析].，当时，取得最大值，最大值为，即水流喷出的最大高度是2.75 m. 3．解：(1)在中，，，，抛物线的对称轴为直线.，当时，足球的高度逐渐增大；当时，足球的高度逐渐减小.(2)在中，，，当时，有最大值，经过2 s，足球到达它的最高点，最高点的高度是20 m. 4．解：，，当时，取得最大值，为45，从点火升空到引爆需要的时间为4 s，最高点的高度为45 m. 5．解：(1)四边形是矩形，，.矩形的周长为20 cm， cm， cm，矩形的面积，与之间的函数解析式为.(2)，，当时，的值最大，为25，当的值为5时，矩形的面积最大，最大面积是25 cm². 6．A[解析]如图，过点作于点，设为上的一点，地基为矩形，点，分别在，上，交于点， m，矩形的面积为 m²，则四边形为矩形，， m，，， m，，为等腰直角三角形， m， m.又 m，，抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小.，当时，取得最大值，此时点与点重合，点与点重合.故选A. 7．D 8．C[解析]根据题意，得，抛物线的对称轴为直线，开口向下，当时，随的增大而减小.，，当时，取得最大值，为，三间饲养室的总面积有最大值200 m².故选C. 9．[解析]根据题意，得点的坐标为，点的坐标为.将，两点的坐标代入，得解得.，当时，有最大值，为.故大棚的最高处到地面的距离为 m. 10．解：(1)四边形是矩形，，米.故答案为.(2)由题意，得，整理，得，解得，.，，.答：当的值为20时，围成的矩形菜地的面积为200平方米.(3)设围成的矩形菜地的面积为平方米，则.，抛物线的开口向下，当时，的值最大.答：当的值为12.5时，围成的矩形菜地的面积最大. 【第2课时 二次函数的最值问题——最大利润】 1．A[解析].，当时，取得最大值，最大值为125，即当销售单价为25元时，每天获得的利润最大.故选A. 2．65 3．C 4．8[解析]设当该模型每件涨价元时，每日的利润为元，则.，抛物线开口向下，当时，取得最大值，为288.故答案为8. 5．解：(1)根据题意，得，故与之间的函数解析式为.(2)根据题意，得.，当时，随的增大而增大.，当时，取得最大值，为960.答：与之间的函数解析式为，当的值为12时，日销售利润最大，此时的最大利润为960元. 6．150[解析]设房价提高个10元/(间·天)，日营业收入为元，则房价为元/(间·天)，日均入住数为间.由题意，得.，抛物线开口向下，对称轴为直线.，且为整数，当时，；当时，，，当时，取得最大值，此时.故答案为150. 7．20[解析]设当销售价格为元/件时，日销售利润为元.根据题意，得.，当时，有最大值，为2250，此时，每天的销售量为(件)，则降价促销后，销售价格为元/件，销售量为件.根据题意，得.设，则方程化为，即，解得，，或.要使销售量尽可能大，. 8．解：(1)(2)根据题意，得.整理，得，解得，.要让利于游客，舍去，该款巴小虎吉祥物应该降价3元/件，文旅公司每天的利润是630元.(3)根据题意，得.，当时，取得最大值，为640，此时售价为38元/件.答：当售价为38元/件时，每天的利润最大，最大利润是640元. 9．解：(1)售价不低于300元/件，又不高于800元/件，.故答案为.(2)①在中，当时，，解得，当年销售量为20万件时，售价为600元/件.当年销售量不低于20万件时，每件成本降低100元，当年销售量为20万件时，每件成本为(元).年销售额(万元)，成本(万元)，年利润(万元).故答案为600,200,3000.②当时，，此时每件成本为(元)，；当时，，此时每件成本为300元，.故答案为600,1400.③当年销售量低于20万件，即时，，解得.又，，此时；当年销售量不低于20万件，即时，，解得.又，，此时.故当年销售量低于20万件时，；当年销售量不低于20万件时，. 【第3课时 建立适当坐标系解决生活中的抛物线形问题】 1．B 2．A[解析]已知其底部宽度为80 m，高度为200 m，以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图，则，.设抛物线的函数解析式为.将代入，得，解得，.将代入，得，解得，，，，离地面150 m处的水平宽度(即的长)为(m).故选A. 3．解：(1)答案不唯一，如建立平面直角坐标系如图所示.由题意，得顶点的坐标为，设抛物线的函数解析式为.将代入，得，解得，抛物线的函数解析式为，即.(2)点，在同一高度，点，关于抛物线的对称轴对称.由题意，得点的横坐标为.当时，，即照明灯的高度为 m. 4．D[解析]建立如图所示的平面直角坐标系.由题意，得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数解析式为.点在该抛物线上，，解得，.当时，，解得，(不符合题意，舍去)， m.故选D. 5．1.5[解析]把代入，得.当时，，解得，(不符合题意，舍去)，抛出两个小球的间隔时间是(s). 6．解：(1)依题意，抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为.设铅球运动路径所在抛物线的解析式为.把代入，得，解得，铅球运动路径所在抛物线的解析式为.(2)令，得，解得，(不符合题意，舍去)，点的坐标为，m m，小明此次试投的成绩能达到优秀. 7．C[解析]设抛物线的解析式为.由题意，得点在该抛物线上，将代入，得，解得，故抛物线的解析式为，故①错误；当水面宽5 m时，.将代入，得.当水面宽4 m时，，水面下降的高度为(m)，故②正确；当水面下降2 m，即时，将代入，得，解得，，此时水面宽度为(m).又原来水面宽4 m，水面宽度增加了m.故③正确.综上所述，正确的结论是②③，共2个.故选C. 8． cm[解析]以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，如图.设抛物线的解析式为.由题意，得抛物线上点的坐标为.把代入，得，解得，抛物线的解析式为.当时，，解得，，汤面的直径的长为(cm). 9．4.05[解析]米，，.又米，，.米，.设的函数解析式为.将代入，得，解得，的函数解析式为.与的形状相同，设的函数解析式为.将代入，得，解得，的函数解析式为.当时，，的最大高度为4.05米.故答案为4.05.当时，，；当时，，.综上，当时，其限变点的纵坐标的取值范围是. 6．解：（1）联立解得函数图象的“和零点”为，.（2）函数的图象存在唯一的一个“和零点”，关于的方程有两个相等的实数根.方程整理，得，则，解得.故的值为1.（3）联立解得.由（1）可知.如图：. 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $