26.4 实际问题与二次函数--拱桥问题专项训练2026-2027学年人教版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦二次函数模型在拱桥问题中的应用，通过坐标系建立、解析式求解、实际量计算的逻辑链条，系统训练几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用（选择/填空）|18题|求抛物线解析式、水面宽度、高度|从实际情境抽象坐标，用顶点式设表达式，代入已知点求参数| |综合拓展（解答）|8题|含对称、最值、跨学科情境（如大棚、奖杯）|构建函数模型解决复杂问题，体现二次函数性质的应用迁移|

人教版九年级上册数学 26.4 实际问题与二次函数--- 拱桥问题 专项训练 一．选择题（共10小题） 1．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m.水面下降2.5m,水面宽度增加（　　） A．1m B．2m C．3m D．6m 2．某大桥桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为，当水面宽度AB为20m时，水面与拱顶的高度CO的长为（　　） A．2m B．4m C．10m D．16m 3．如图，某抛物线形状的大门，先测得门的底部宽度AB=8m,然后用长为4m的小竹竿CD竖直的接触地面和门的内壁，测得AC=1m,则门的最高点离地面的距离是（　　） A．9m B． C．8.7m D． 4．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01（x-20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为（　　） A．5米 B．4米 C．2.25米 D．1.25米 5．如图，小明受抛物线图象启发，在平面直角坐标系中设计了一款杯体高BD为7的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y=+6的一部分，则杯口的口径AC长为（　　） A． B．7 C． D． 6．校动会期间，某学校在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状（如图所示）．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离AB=8m,再用两根长度为2m的标杆CE、DF垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离EF=6m,则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为（　　） A．6m B．4.8m C． D． 7．数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，撑开后如图1所示，由此发现数学知识——抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨OA，OB的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．抛物线的表达式为y=-0.1x2+1，若点A到x轴的距离是0.6dm,则A，B两点之间的距离是（　　） A．4dm B．6dm C．8dm D．10dm 8．廊桥是我国古老的文化遗产．如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知水面AB宽48m,拱桥最高处点C到水面AB的距离为12m,为保护该桥的安全，现要在该抛物线上的点E，F处安装两盏警示灯，若要保证两盏灯的水平距离EF是24m,则警示灯E距水面AB的高度为（　　） A．12m B．11m C．10m D．9m 9．如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线AC，BD为某抛物线的一部分，杯口AB=8cm,杯底CD=4cm,且AB∥CD，杯深12cm.如图2，将盛有部分水的水杯倾斜45°，水面正好经过点B（即∠ABP=45°）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中不正确的是（　　） A．玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为y=x2-16 B．直线PB的解析式为y=x-4 C．点P到杯口AB的距离为5cm D．点P到点D的距离为 10．某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）如图所示，某学习小组探究之后得出如下结论： ①水面宽度为30m； ②抛物线的解析式为； ③最大水深为3.2m； ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的． 其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共8小题） 11．如图，某湖面上有一座抛物线型拱桥，以拱顶O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线的函数表达式为．某一时刻，桥下水面AB的宽度为16米，则此时拱顶O到水面AB的距离为______米． 12．某温室大棚的拱架呈抛物线型（图1），如图2，以拱架底部AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，y轴与抛物线交于顶点M．已知AB=6m,现要在距离底部3m高处安装一根与AB平行的通风管CD，通风管CD的长度为3m,则拱架最高点M距底部AB的高度为______m. 13．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E、F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF= ______米． 14．在中国河北省赵县有一座闻名遐迩的古桥——赵州桥，它是世界上现存年代最久远、保存最完整的巨大石拱桥之一，被誉为“中国第一古桥”．赵州桥是中国古代桥梁建筑的杰出典范，尤其是那道横断面呈抛物线型的大拱，仿佛在穿越时空向世人诉说着古老东方的智慧与辉煌．站在赵州桥上，我们观测到桥下的水面宽度AB恰好为20m,拱桥最高点C离水面的距离CO为4m,则当水位上升1m时，水面的宽度为______m. 15．如图，两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0.0225x2+0.9x+10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，右边的抛物线解析式是 ______． 16．某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋ACB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为80米，桥拱的最大高度CD为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与CD的距离为4米的景观灯杆EF的高度为 ______米． 17．（2024春•同步）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB，使点C，D在抛物线上，点A，B在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值为 ______． 18．图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD=12cm,此时面汤最大深度EG=9cm.如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM=45°时停止，此时碗中液体最大深度为 ______． 三．解答题（共8小题） 19．有一座抛物线形状的拱桥，已知正常水位时，水面的宽度为20米，拱顶距水面5米，如图是拱桥的截面图，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系xOy的原点O是桥拱截线与水位正常的水面截线相交处的一点，x轴在水面截线上；AB是警戒线，拱顶到AB的距离为1.8米． （1）求桥拱截线所在抛物线的表达式； （2）求达到警戒线AB位置时水面的宽度． 20．如图是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面AB的距离为1.8m,秋季水位会下降约0.2m,此时水面CD宽度约为4.0m. （1）如图1，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的函数表达式； （2）如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯（M-E-F-N），这串彩灯挂在拱桥的中间部分EF与水面接近平行，彩灯两端EM和FN自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点M，N到水面CD的距离为1.4m,求这串彩灯（M-E-F-N）的最大长度． 21．某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中OA是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，AB是保温墙，AB⊥OA，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面OA的高度是3米，以OA所在直线为x轴，以过点O且垂直于OA的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）若保温墙的高度AB为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙AB到点O的水平距离（即OA的长）． 22．如图1是一个花坛，将其抽象为如图2所示的平面图，图2中花坛的外轮廓可看作由抛物线AMB和线段AB组成，已知AB=10dm,O是AB的中点，花坛的最大深度OM=4dm,OM⊥AB，以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OM所在直线为y轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点C、D是花坛下方支架与花坛的两个接触点（即点C、D在抛物线上），且C、D关于y轴对称，若点A到水平地面EF的距离为7dm,C、D两点之间的距离为5dm,EF∥x轴，求点C到水平地面EF的距离． 23．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥，桥梁两钢缆L1与L2具有相同的抛物线形状．如图，以桥面水平方向为x轴，以两钢缆主塔为y轴，建立平面直角坐标系．已知L1所在抛物线与L2所在抛物线关于y轴对称，钢缆L1的最低点A到桥面的距离是1m,两钢缆最低点A，B之间的距离是40m,OD=10m. （1）求钢缆L1所在抛物线的函数表达式． （2）为提升桥梁的稳定性，现需要在钢缆L2的C处（C在B的右侧）与桥面之间加装一根垂直于桥面的加劲梁CE．已知加劲梁CE的长为5m,求加劲梁CE与主塔的水平距离． 24．如图，某座桥梁的中间桥拱截面轮廓线由两部分构成：上部可看作抛物线型曲线，下部为矩形ABCD，其中矩形的长AB为6m,宽BC为3m.以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，y轴也是抛物线的对称轴，抛物线的最高点E到水面AB的距离为4m. （1）求抛物线DEC的解析式； （2）为方便船只通行，在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离水面AB的高度不超过，那么两排灯的水平距离最少是多少？ （3）现有一艘小船高3.8m,宽2.4m,这艘小船能否通过该拱桥？通过计算说明你的结论． 25．如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽AB=12m时，桥洞顶部离水面4m.若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系． （1）请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式； （2）如图2，若拱桥上的路面E-D-F也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：． ①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离CD的长度； ②已知桥上路面起点E的横坐标为-2，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由． 26．武汉欢乐谷是华中地区超受欢迎的主题乐园，位于东湖畔，占地35万平方米，拥有38个室外游乐项目，过山车是其经典项目之一．如图所示，以OE所在直线为x轴，OF所在直线为y轴建立平面直角坐标系，F→E→G为过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）． （1）求抛物线F→E→G的函数关系式； （2）在轨道距离地面米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了1.5米至K点，又进入下坡段K→H（K接口处轨道忽略不计，点H为最低点）．已知轨道抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同，求OH的距离； （3）现需要在轨道下坡段F→E进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架AM、CM、BN、DN，且要求AB=2OA，已知这种材料的价格是50000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？ 人教版九年级上册数学 26.4 实际问题与二次函数--- 拱桥问题 专项训练 (参考答案) 一．选择题（共10小题） 1、B 2、B 3、B 4、C 5、B 6、C 7、A 8、D 9、C 10、A  二．填空题（共8小题） 11、4； 12、4； 13、18； 14、； 15、y=0.0225x2-0.9x+10； 16、15.84； 17、15； 18、2cm；  三．解答题（共8小题） 19、解：由题意可得，抛物线与x轴的交点为（0，0），（20，0），顶点坐标为（10，5）， 设抛物线解析式为 y=a（x-10）2+5 将（0，0）代入可得100a+5=0， 解得，即； （2）由题意可得，A、B两点的纵坐标为5-1.8=3.2， 将 y=3.2代入， 可得， 化简可得 x2-20x+64=0，解得：x1=4，x2=16 即A（4，3.2），B（16，3.2）， 则AB=16-4=12米， 答：达到警戒线AB位置时水面的宽度为12米． 20、解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+k（a≠0）， 由题意得：拱顶的坐标为（0，1.8），点D的坐标为（2，-0.2）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y=-x2+1.8； （2）由题意知，点F（a,-a2+1.8）， ∴EF=2a, ∵彩灯两端的最低点到水面CD的距离为1.4m,秋季水位会下降约0.2m, ∴彩灯的最低点M，N在直线y=1.2上， ∴点N为（a,1.2）， ∴FN=-a2+0.6， 设彩灯的长度为w, w=EF+2FN =2a-a2+1.2 =-a2+2a+1.2， ∵-1＜0， ∴a=1时，w最大，w最大=-1+2+1.2=2.2． 答：这串彩灯的最大长度为2.2米． 21、解：（1）已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面OA的高度是3米， ∴顶点（6，3）， 设抛物线的函数解析式为y=a（x-6）2+3，将点O（0，0）代入得： 36a+3=0， 解得：， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）当时，得：， 解得：x1=4，x2=8， ∵保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧， ∴x=8， 答：保温墙AB到点O的水平距离为8米． 22、解：（1）根据题意得：A（-5，0），B（5，0），M（0，-4）， 设抛物线的解析式为：y=a（x-0）2-4，把B（5，0）代入得： 0=a（5-0）2-4， 解得：， ∴； （2）由题意可得：C、D两点之间的距离为5dm, ∴点C的横坐标为， 把代入得：， ∴点C到AB的距离为3dm, ∵EF∥x轴， ∴EF∥AB， ∵点A到水平地面EF的距离为7dm, ∴点C到水平地面EF的距离为7-3=4（dm）． 23、解：（1）由题意可得：点A的坐标为（20，1），即L1的顶点为（20，1），  又∵OD=10m,D在y轴上， ∴D（0，10），D在L1上， 设L1的抛物线解析式为顶点式：y=a（x-20）2+1（a≠0）， 将D（0，10）代入得：a（0-20）2+1=10， 解得 ∴抛物线L1的解析式为； （2）∵L2与L1关于y轴对称， ∴L2的顶点B（-20，1），L2的解析式为：，即为； ∵CE垂直桥面（x轴），长度为5m, ∴C点纵坐标y=5，代入L2解析式得：； 解得， C在B右侧，即x＞-20， ∴加劲梁CE与主塔的水平距离为． 24、解：（1）∵矩形的长AB为6m,宽BC为3m,抛物线的最高点E到水面AB的距离为4m. ∴E（0，4），C（3，3）， 设抛物线DEC的解析式为y=ax2+k, ∴， 解得， ∴抛物线DEC的解析式为y=-x2+4； （2）当y=时，-x2+4=， 解得x=±， ∴两排灯的水平距离最少是3米； （3）当x=1.2时，y=×1.22+4=3.84＞3.8， ∴这艘小船能通过该拱桥． 25、解：（1）由图象可知，顶点C的坐标（6，4）． 设y=a（x-6）2+4（a≠0）， 代入点A（0，0），得0=a（0-6）2+4， 解得， 所以解析式为； （2）①∵， ∴抛物线的顶点D（6，5）， ∴CD=5-4=1m； ②点E在水平面上方，理由： 将E点横坐标x=-2代入，得， 则， 当水面宽为10m时， 将x=1代入，得， 因为，所以点E在水平面上方． 26、解：（1）设抛物线解析式为 ， ∴， 解得：， ∴抛物线F→E→G的函数关系式为． （2）当时，， ∴x2=8，x1=1， ∴PK=7+1.5=8.5，PG=8-1=7， ∴EH=PK=8.5， ∴米． （3）设A（t,0），则B（3t,0）， ∴AM+CM+BN+DN = =， ∵， ∴当时，支架最短，为12米， 此时，最低造价为12×50000=600000元． 学科网（北京）股份有限公司 $