第九单元 解三角形专项训练-2027届高三数学一轮复习

2027届高三一轮复习单元测试卷——好题汇编 第九单元 解三角形 一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1.在中,,,,则的大小为 A. B. C. D. 2.在中,内角,,所对的边分别为,,,若,则= A. B. C. D. 3.若,且,则= A.1 B. C.2 D. 4.在中,内角,,所对的边分别为,,,,,,则= A.5 B. C.3 D.4 5.(改编)在数学史上,曾经定义过以下两种三角函数：为角的正矢,记作；为角的余矢,记作.若,则= A. B. C. D. 6.在中,内角,,所对的边分别为,,,,则= A.4 B.3 C. D. 7.在平面四边形中,,,,若为的中点,则的最大值为 A. B. C. D. 8.在中,内角,,所对的边分别为,,,若的面积为3,,则的最小值为 A. B.4 C. D. 二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分． 9.(2025甘肃兰州创新)在中,内角,,所对的边分别为,,,则下列条件能确定有两解的是 A.,, B.,, C.,, D.,, 10.(原创)如图,在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为,从处向山顶前进50米到达处,在处测得对于山坡的斜度为,若山坡与地平面的夹角为,米,则 A.米 B.米 C. D.米 11.已知,,下列说法正确的是 A.若,,则 B.若,则 C.若,,则 D.若,,则 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分． 12.在中,若,,,则=______. 13.(改编)在中,内角,,所对的边分别为,,,,,为的中点,且,若平分交于点,则=______. 14.(原创)已知,若,,则=______. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(13分)(人教A版教材题变式) 在中,内角,,所对的边分别为,,,已知,,. (1)求； (2)求. 16.(15分)(原创) 在中,内角,,所对的边分别为,,,. (1)求角的大小. (2)已知为锐角. (i),,求的面积； (ii)若外接圆的半径为1,求周长的取值范围. 17.(15分)(改编) 在中,内角,,所对的边分别为,,,. (1)求； (2)若,求面积的最大值. 18.(17分)(2026山西长治模拟创新) 在中,内角,,所对的边分别为,,,已知,为上一点. (1)求角； (2)若为的中点,且,求的最大值； (3)若平分,且,求的取值范围. 19.(17分)(原创) (1)证明：. (2)若,满足,其中,,,求的值. (3)如图,,,,,四点在一个单位圆上,,,证明：. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第九单元 解三角形 参考答案及解析 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C A D C C A B BC ACD ABD 1.【解题分析】因为，即，所以，因为，所以. 【答案】B 2.【解题分析】因为，所以，因为，所以. 【答案】C 3.【解题分析】因为，所以，即，因为，所以. 【答案】A 4.【解题分析】因为，且，，所以，解得或(舍去). 【答案】D 5.【解题分析】因为，所以，所以，所以.因为. 【答案】C 6.【解题分析】因为，所以，所以，所以. 【答案】C 7.【解题分析】设的中点为，连接，(图略)，易知. 因为，所以，所以，解得. 易知，，当且仅当，，三点共线时，等号成立，故的最大值为. 【答案】A 8.【解题分析】因为的面积为3，所以.因为，所以，所以.因为，所以，其中.因为，所以，所以，即的最小值为4. 【答案】B 9.【解题分析】对于选项，，满足条件的三角形不存在； 对于选项，，因为，所以满足条件的三角形有2个； 对于选项，，因为，所以满足条件的三角形有2个； 对于选项，，满足条件的三角形有1个. 【答案】BC 10.【解题分析】由题知米，，所以米，故选项正确； 由，解得米，故选项错误； 由，解得，所以，，， 由，解得米，所以米，故选项，正确. 【答案】ACD 11.【解题分析】对于选项，因为，，，，所以，，所以，所以，故选项正确； 对于选项，因为，所以，由，得，解得(舍去)或，所以，所以，故选项正确； 对于选项，因为，所以，因为，，所以，，所以，，故选项错误； 对于选项，，为锐角，，可得到，，得，所以，又，得，则，所以，故选项正确. 【答案】ABD 12.【解题分析】因为，且，，，所以，所以. 【答案】 13.【解题分析】因为为的中点，所以，因为，，，所以，因为，又，所以.因为平分，所以，所以， 所以， 所以，即. 【答案】 14.【解题分析】因为，所以， 因为，所以， 所以，所以，即， 因为，，所以，所以，即. 【答案】 15.【解题分析】(1)因为，所以.……5分 (2)由(1)知，，因为，所以，由，得，因为，所以，所以.……13分 16.【解题分析】(1)因为，所以，所以，所以，所以.因为，所以或.……4分 (2)因为为锐角，所以. (i)，即，解得，所以，即的面积为.……9分 (ii)因为外接圆的半径为1，所以，，.又因为，所以.因为，所以，所以，所以，即周长的取值范围为.……15分 17.【解题分析】(1)(方法一)因为，所以，所以，所以，所以.……7分 (方法二)因为，所以，所以，所以.……7分 (2)(方法一)因为，所以，所以，所以，即，所以，因为，所以，所以的面积为，当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为.……15分 (方法二)因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，即，所以的面积为，当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为.……15分 (方法三)因为，所以，所以，即，所以，都为锐角，作边上的高，垂足为(图略)，则.因为，则，即，所以的面积为，当且仅当，即时，等号成立，故面积的最大值为.……15分 18.【解题分析】(1)因为，所以，所以，所以，因为，所以，因为，所以.……4分 (2)因为为的中点，且，所以，由(1)知，，所以，所以，所以，即，当且仅当时等号成立，所以的最大值为.……9分 (3)由正弦定理知，，，因为平分，且，所以，，所以.因为，所以，所以，综上，的取值范围是.……17分 19.【解题分析】(1)由题意得，，，两式相加得，.……5分 (2)由(1)知，，因为，于是由，可得，即，所以或.因为，所以，所以，即，所以，即，所以，即.……10分 (3)延长，交于点(图略)，因为，，，四点共圆，且，所以.设，，，则，，所以.在中，由正弦定理得，，所以.在中，由正弦定理得，，所以.，由(1)式，得.……17分 $