解题大招48 解三角形问题的七大秒杀定理：倍角定理、中线长定理、角平分线定理、平行四边形定理、张角定理、斯库顿定理、托勒密定理（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦解三角形七大核心定理，构建“定理证明-题型应用-技巧提炼”三维体系，强化逻辑推理与解题效率。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |倍角定理|1典例+3训练|边平方关系→二倍角转化|定义→余弦/正弦/几何证法→边角互化| |中线定理|2典例+3训练|中点条件→中线长/向量公式|定理→向量/长度公式→最值求解| |角平分线定理|2典例+3训练|角平分线→比例关系+长度公式|定理→面积/正弦证法→比例计算| |张角定理|1典例+3训练|共顶分角→正弦关系式|定理→面积证法→分线段求值| |平行四边形定理|1典例+3训练|对角线→四边平方和|定理→余弦证法→中线问题转化| |斯库顿定理|1典例+3训练|角平分线长→邻边与分边乘积|定理→外接圆证法→长度直接计算| |托勒密定理|1典例+3训练|圆内接四边形→对边乘积和=对角线积|定理→余弦证法→四点共圆问题|

解题大招48 解三角形问题的七大秒杀定理 ——倍角定理、中线定理、角平分线定理、张角定理、平行四边形定理、斯库顿定理、托勒密定理 知识点01 倍角定理 1．倍角定理 在中，角的对边分别为，若，则；若，则（注意形式，还有其他四种变式）.反之亦成立，并且称其为倍角逆定理. 2．倍角定理的证明 证法一(余弦定理法)：若，则有 ， 从而有， 化简得，显然有，得证． 证法二（正弦平方差公式法）：因为，所以有，则有，则有，则有，得证． 证法三（平几相似法）：如图所示，延长至，使.由条件知，则有，又因为 ，则有，故有，则有 ，从而得证． 知识点02 中线定理 1. 中线长定理 中, 是边上的中线，则. 2.中线向量定理 在中，若点D是的中点，则＝＋)， 两边平方后，得＝，就可以得到中线、∠A及其两邻边的关系. 知识点03 角平分线定理 1．角平分线定理 在中，的平分线交于点（如图），则有. 【证明】因为，所以， 在中使用正弦定理有， 在中使用正弦定理有，又， 所以. 该结论也可以由两三角形面积之比得证，即 2.常见推论： （1）； （2）（库斯顿定理）； （3）. （4）（等面积法）. 知识点04 张角定理 1.张角定理 在中，角，，所对的边分别为，，，若为上一点（如图），且，，则有． 【证明】 因为，所以，于是等式两边同除以得． 2.张角定理与角平分线的长 特别地，如果在中，角，所对的边分别为，，的平分线交于点，根据张角定理就会有，再使用二倍角公式得到，加以化简也就得到，即，根据这个思路我们就可以处理与角平分线长相关的问题了． 【注】张角定理在选择、填空题中直接用就行，但是在解答题中使用之前需要推理一下． 知识点05 平行四边形定理 1．平行四边形定理 若四边形为平行四边形（如图），则． 2．平行四边形定理的证明 【证明】 因为四边形是平行四边形，所以，， 且，在中使用余弦定理有， 在中使用余弦定理有， 所以． 知识点06 斯库顿定理 1．斯库顿定理 如果是的角平分线，则. 2．斯库顿定理的证明 【证明】作的外接圆，如图所示，延长交圆于，连接. ，，， 即，，即. 由相交弦定理得，. 即. 3．二级结论 在中，若AD平分且与BC边相交于点D，则 知识点07 托勒密定理 1．托勒密定理及其证明 如下图 ,若四边形 内接于圆 ,则有 . 证明: 利用余弦定理即可 四边形 内接于圆 在 中,由余弦定理得 （1） 在 中,由余弦定理得 （2） 得 由于 所以 同理 即 2．广义托勒密定理 在四边形 内,有 , 并且仅当四边形 内接于圆时取等号.该不等式又称为托勒密不等式. 题型01 倍角定理的应用 看到式子形如某边平方等于另一邻边平方加该邻边乘第三边，直接用倍角定理得到二倍角关系，快速转化角的倍数条件. 正向：由边的代数式直接判定二倍角；逆向：已知二倍角，直接写出对应边的等式. 再结合正弦定理、余弦定理、内角和，实现边角互化，简化边角混合式，避开复杂三角恒等变换. 注意：看清边角对应，匹配定理六种形式，验证三角形内角范围. 【典例1】在中，内角的对边分别为，已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解法一（正余弦定理）：因为，所以． 又因为，所以， 则有；显然，从而选A. 解法二（倍角定理）：因为，所以由倍角定理知； 又因为，不妨设，则有 ； 所以 【跟踪训练】 1．在锐角中，的对应边长分别是，则 的取值范围是 A． B． C． D． 2．在锐角中，内角A, B, C的对边分别为a,b,c，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．在中，内角的对边分别为，已知，则 题型02 中线定理的应用 题干出现三角形中点、中线条件时，优先选用中线向量定理或中线长定理。向量形式适合处理向量数量积、夹角问题，对向量等式平方，转化为边长与夹角的关系；中线长定理直接建立中线长与三边的平方关系式，快速求线段长度。 两类公式可互相转化，按需选用。结合余弦定理、正弦定理，完成边角互化。遇到中线相关最值，常利用该公式结合不等式求解，注意确认中点条件。 【典例2-1】在中，内角，，所对的边分别为，，，且，设是的中点，若，则面积的最大值是 ． 【答案】 【解析】易求得，由中线长定理得，而 所以，， （当且仅当=时，“=”成立）.或求得后，利用“形”易得，当中线即为高线时，面积最大，下一步求出此时的面积，则更简单. 【典例2-2】(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 【解析】(1)法一：在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1， 则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4， 在△ABD中，∠ADB＝，由余弦定理得c2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB， 即c2＝4＋1－2×2×1×＝7，解得c＝，则cos B＝＝， sin B＝＝ ＝， 所以tan B＝＝. 法二：在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1， 则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4， 在△ACD中，由余弦定理得b2＝CD2＋AD2－2CD·ADcos∠ADC， 即b2＝4＋1－2×2×1×＝3，解得b＝，有AC2＋AD2＝4＝CD2，则∠CAD＝，C＝，如图，过A作AE⊥BC于E， 于是CE＝ACcos C＝，AE＝ACsin C＝，BE＝，所以tan B＝＝. (2)法一：在△ABD与△ACD中，由余弦定理得 整理得a2＋2＝b2＋c2，而b2＋c2＝8，则a＝2， 又S△ADC＝××1×sin∠ADC＝，解得sin∠ADC＝1，而0＜∠ADC＜π，于是∠ADC＝， 所以b＝c＝＝2. 法二：在△ABC中，因为D为BC的中点，则2＝＋，又＝－， 于是4＋＝(＋)2＋(－)2＝2(b2＋c2)＝16，即4＋a2＝16，解得a＝2， 又S△ADC＝××1×sin∠ADC＝，解得sin∠ADC＝1，而0＜∠ADC＜π，于是∠ADC＝，所以b＝c＝＝2. 【跟踪训练】 1．在中，为边的中点，，，，则为（   ） A． B． C． D． 2．中，角，，所对边分别为，，．是边的中点，且，，，则面积为________． 3．（25-26高一下·四川宜宾·期中）在中，角的对边分别为，向量，且 (1)求角的值； (2)若是边上的中线，，求的面积． 题型03 角平分线定理的应用 题干出现角平分线，优先用角平分线定理，得到被分线段与邻边的比例关系，快速实现边长转化。 求角平分线长度，可选用库斯顿定理或角平分线长度公式。可借助面积法，拆分大三角形为两个小三角形建立等式。 结合正弦、余弦定理处理边角关系，比例式常用于设参数，表示各边长度。 注意区分角平分线分对边的两条线段，合理利用角相等带来的等角条件辅助解题。 【典例3-1】（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，根据余弦定理， 已知，，，设，则有： 解得或（边长不能为负舍去），所以. 因为AD是角平分线，根据角平分线定理：可得. 又因为，所以. 在中，再根据余弦定理， 将，，代入可得： 所以.的长度为 故选：D. 【典例3-2】（26-27高二上·河南·阶段检测）如图，在中，点在边上，且，． (1)若，求； (2)若为的角平分线，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【分析】（1）在中求出，在中利用余弦定理求出. （2）利用平面向量基本定理和余弦定理求出和边，从而求出的面积. （3）先由互补角余弦定理得到两边的关系，再由锐角三角形得到两边的取值范围，最后用函数单调性求解的取值范围. 【解析】（1）因为，且，， 所以，则. 在中，由余弦定理得 ，所以. （2）因为，，为的角平分线， 所以，设，则. 而， 将上式两端平方可得， 所以，即. 又由余弦定理得，代入上式解得， 所以，，而，则. 所以. （3）设，，， 由，则得， 整理得，所以． 则. 因为为锐角三角形，所以有，解得， 令，则在上单调递增， 且，，所以． 【跟踪训练】 1．（2026·甘肃武威·模拟预测）在中，，是的平分线，，，则（   ） A． B． C． D． 2．在中，角的对边分别为，已知，，则的角平分线的最大长度为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知的内角，，所对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，求的角平分线的长． 题型04 张角定理的应用 题干出现同一点引出两条射线，将一个角拆分为两个已知角，优先使用张角定理。直接建立三条线段长与三个角的正弦关系式，快速实现边角互化，省去多次使用正弦定理的复杂推导。 多用于处理共顶点、分角的线段求值，可结合三角恒等变换化简。 注意找准顶点，分清大角与两个分角，确认三条线段对应的位置。常与面积法、正弦定理灵活互换，用于求边长、角度或线段最值。 【典例4】在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，点D在边上，，，，，则______. 【答案】2 【解析】 如图，由题意，，， 由张角定理，， 所以，解得：，故. 【跟踪训练】 1． 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC， AB，AD=3，则CD=（ ） A. B. C.4 D.6 2．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，的平分线交于点D，且，则的最小值为______. 3．在中，角所对的边分别为，是的角平分线，若，，则的最小值为 . 题型05 平行四边形定理的应用 平行四边形定理（对角线平方和定理）：平行四边形两条对角线的平方和等于四边平方和。解三角形中，常依托平行四边形拆分出两个全等三角形，或借助向量构造平行四边形。 遇到共起点两邻边、对角线长度条件，直接套用公式建立边长平方关系，快速处理中线类、向量模长问题。可与中线长定理互推，用于求边长、线段最值。 解题时识别平行四边形模型，结合余弦定理、向量数量积，实现边角转化，减少复杂三角运算. 【典例5】在中，. 1. 求； 1. 求边上的中线长. 【解析】（1）因为，，故， 所以，解得， 故，故. （2）如图所示，是中点，连接， 根据平行四边形定理可得， 则， 解得，即边上的中线为. 【跟踪训练】 1．在中， ，，c边上的中线长为1，则的外接圆的半径长为 ． 2．（2026·四川绵阳·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，. (1)求的值； (2)若是边的中点，求的值. 3．已知的内角，，的对边分别为，，，且满足 （1） 求角的大小； （2） 若为钝角，为等腰三角形，且边上的中线长为，求的周长. 题型06 托勒密定理的应用 题干出现圆内接四边形，优先启用托勒密定理：圆内接四边形对边乘积之和等于对角线乘积。 核心用于处理圆内接四点共面的线段求值，快速建立四条边与两条对角线的等式，替代多次正弦定理推导。 遇到四点共圆、圆周角相等条件，识别模型，设边长参数，结合余弦定理、正弦定理联立求解。 注意适用前提：四点共圆；非圆内接四边形不可直接套用。常配合圆周角性质、面积法综合解题。 【典例6】托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形ABCD的面积为（    ） A． B．16 C． D．12 【答案】C 【解析】设，由托勒密定理可知， 即，所以，， 又因为，， 因此， .故选：C. 【跟踪训练】 1．如图 ,在平面四边形 中, ,当 变化时,对角线 的最大值为______. 2．已知平面四边形是由与等腰直角拼接而成,其中 ,则当点到点D的距离最大时,角的大小______. 3.在平面四边形中 ， ，则 的最小值为． 题型06 斯库顿定理的应用 用于求解三角形角平分线长：若为的平分线交于，则.也可记作角平分线长平方等于两邻边乘积减去两段分边的乘积.应用时先找准角平分线及分点，将已知边长代入即可直接求长.逆用可求角平分线分出的两段比例（结合角平分线定理）.技巧：若题中给出角平分线长和邻边，可用该定理反求底边分成的两段乘积，再与比例关系联立求出各段.此法避免建系或余弦定理，计算简洁，专攻角平分线长度问题. 【典例7】已知在中，在上，平分，若，，，则  . 【答案】 【解析】方法1：角平分线定理+余弦定理 由角平分线定理可知：，设. 在中，由余弦定理得：① 在中，由余弦定理得：② 由①②可得：，即.答案：. 方法2：斯库顿定理 由角平分线定理可知：①， 由斯库顿定理可知： 即②，由①②得：.故答案为：. 【跟踪训练】 1．在中，平分，角平分线，，，则底边的长度 为 . 2．中，平分，，，，的值为 . 3.中，底边，为内角平分线，且满足，则角平分线的最小值 为 . 1．（2026·湖北孝感·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边上的中线长为（    ） A． B． C．6 D．10 2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·河北雄安·期末）在中，为的角平分线，点在边上，且满足，若，，的面积是，则（     ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西延安·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，是中点，则（   ） A．2 B． C． D． 5．已知在中，角对应的边分别为，平分且与边交于点，若7，b=5,c=3,则线段AD的长为（ ） A． B． C． D． 6． 在△ABC中，，AC边的中线长，则△ABC周长的最大值为（ ） A．    B．6    C．    D．9 7．（多选）（25-26高一下·吉林长春·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，D为线段BC上的一点，则下列结论正确的是（   ） A． B．的周长为 C．若AD为的中线，则 D．若AD为的角平分线，则 8．（多选）（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）已知，，分别为内角，，的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．若，则为钝角三角形 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．在中，是边的中线，若，且，，则 9．记的内角的对边分别为，已知 ，则cos=. 10．中，三边长，，，平分交于，则内角平分线的长度 为 . 11．已知AD是的角平分线，，，，则 . 12．（26-27高三上·山东青岛·开学考试）已知的内角，，的对边分别是，，，. (1)求； (2)，边上的中线，交于点，，，求的余弦值. 13．（26-27高三上·湖北·开学考试）记的内角、、的对边分别为、、，，、为边上的点． (1)若为的角平分线，，，求的面积； (2)若为锐角三角形，为边上的中线，，求的取值范围． 14．（25-26高一下·黑龙江鸡西·阶段检测）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 15．四点共圆是平面几何中一种重要位置关系，古希腊数学家对凸四边形（是指没有角度大于180°的四边形）进行研究时，分别总结出如下结论： （1）（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立． （2）（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大． 根据上述材料，如图，在凸四边形中，若，，，求四边形面积取得最大值时角的大小为 ，并求出此时四边形的面积为 ． 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招48 解三角形问题的七大秒杀定理 ——倍角定理、中线定理、角平分线定理、张角定理、平行四边形定理、斯库顿定理、托勒密定理 知识点01 倍角定理 1．倍角定理 在中，角的对边分别为，若，则；若，则（注意形式，还有其他四种变式）.反之亦成立，并且称其为倍角逆定理. 2．倍角定理的证明 证法一(余弦定理法)：若，则有 ， 从而有， 化简得，显然有，得证． 证法二（正弦平方差公式法）：因为，所以有，则有，则有，则有，得证． 证法三（平几相似法）：如图所示，延长至，使.由条件知，则有，又因为 ，则有，故有，则有 ，从而得证． 知识点02 中线定理 1. 中线长定理 中, 是边上的中线，则. 2.中线向量定理 在中，若点D是的中点，则＝＋)， 两边平方后，得＝，就可以得到中线、∠A及其两邻边的关系. 知识点03 角平分线定理 1．角平分线定理 在中，的平分线交于点（如图），则有. 【证明】因为，所以， 在中使用正弦定理有， 在中使用正弦定理有，又， 所以. 该结论也可以由两三角形面积之比得证，即 2.常见推论： （1）； （2）（库斯顿定理）； （3）. （4）（等面积法）. 知识点04 张角定理 1.张角定理 在中，角，，所对的边分别为，，，若为上一点（如图），且，，则有． 【证明】 因为，所以，于是等式两边同除以得． 2.张角定理与角平分线的长 特别地，如果在中，角，所对的边分别为，，的平分线交于点，根据张角定理就会有，再使用二倍角公式得到，加以化简也就得到，即，根据这个思路我们就可以处理与角平分线长相关的问题了． 【注】张角定理在选择、填空题中直接用就行，但是在解答题中使用之前需要推理一下． 知识点05 平行四边形定理 1．平行四边形定理 若四边形为平行四边形（如图），则． 2．平行四边形定理的证明 【证明】 因为四边形是平行四边形，所以，， 且，在中使用余弦定理有， 在中使用余弦定理有， 所以． 知识点06 斯库顿定理 1．斯库顿定理 如果是的角平分线，则. 2．斯库顿定理的证明 【证明】作的外接圆，如图所示，延长交圆于，连接. ，，， 即，，即. 由相交弦定理得，. 即. 3．二级结论 在中，若AD平分且与BC边相交于点D，则 知识点07 托勒密定理 1．托勒密定理及其证明 如下图 ,若四边形 内接于圆 ,则有 . 证明: 利用余弦定理即可 四边形 内接于圆 在 中,由余弦定理得 （1） 在 中,由余弦定理得 （2） 得 由于 所以 同理 即 2．广义托勒密定理 在四边形 内,有 , 并且仅当四边形 内接于圆时取等号.该不等式又称为托勒密不等式. 题型01 倍角定理的应用 看到式子形如某边平方等于另一邻边平方加该邻边乘第三边，直接用倍角定理得到二倍角关系，快速转化角的倍数条件. 正向：由边的代数式直接判定二倍角；逆向：已知二倍角，直接写出对应边的等式. 再结合正弦定理、余弦定理、内角和，实现边角互化，简化边角混合式，避开复杂三角恒等变换. 注意：看清边角对应，匹配定理六种形式，验证三角形内角范围. 【典例1】在中，内角的对边分别为，已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解法一（正余弦定理）：因为，所以． 又因为，所以， 则有；显然，从而选A. 解法二（倍角定理）：因为，所以由倍角定理知； 又因为，不妨设，则有 ； 所以 【跟踪训练】 1．在锐角中，的对应边长分别是，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为所以由倍角定理知， 则有，故． 因为是锐角三角形，所以，则有． 故选B. 2．在锐角中，内角A, B, C的对边分别为a,b,c，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以由倍角定理知. 因为是锐角三角形，故有， 显然 由对勾函数的性质知， ，从而选 B. 3．在中，内角的对边分别为，已知，则 【答案】0 【解析】因为，所以，且， 两式相加得， 则有，故有（这一步再次利用到了 ）， 则有，所以0. 题型02 中线定理的应用 题干出现三角形中点、中线条件时，优先选用中线向量定理或中线长定理。向量形式适合处理向量数量积、夹角问题，对向量等式平方，转化为边长与夹角的关系；中线长定理直接建立中线长与三边的平方关系式，快速求线段长度。 两类公式可互相转化，按需选用。结合余弦定理、正弦定理，完成边角互化。遇到中线相关最值，常利用该公式结合不等式求解，注意确认中点条件。 【典例2-1】在中，内角，，所对的边分别为，，，且，设是的中点，若，则面积的最大值是 ． 【答案】 【解析】易求得，由中线长定理得，而 所以，， （当且仅当=时，“=”成立）.或求得后，利用“形”易得，当中线即为高线时，面积最大，下一步求出此时的面积，则更简单. 【典例2-2】(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 【解析】(1)法一：在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1， 则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4， 在△ABD中，∠ADB＝，由余弦定理得c2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB， 即c2＝4＋1－2×2×1×＝7，解得c＝，则cos B＝＝， sin B＝＝ ＝， 所以tan B＝＝. 法二：在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1， 则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4， 在△ACD中，由余弦定理得b2＝CD2＋AD2－2CD·ADcos∠ADC， 即b2＝4＋1－2×2×1×＝3，解得b＝，有AC2＋AD2＝4＝CD2，则∠CAD＝，C＝，如图，过A作AE⊥BC于E， 于是CE＝ACcos C＝，AE＝ACsin C＝，BE＝，所以tan B＝＝. (2)法一：在△ABD与△ACD中，由余弦定理得 整理得a2＋2＝b2＋c2，而b2＋c2＝8，则a＝2， 又S△ADC＝××1×sin∠ADC＝，解得sin∠ADC＝1，而0＜∠ADC＜π，于是∠ADC＝， 所以b＝c＝＝2. 法二：在△ABC中，因为D为BC的中点，则2＝＋，又＝－， 于是4＋＝(＋)2＋(－)2＝2(b2＋c2)＝16，即4＋a2＝16，解得a＝2， 又S△ADC＝××1×sin∠ADC＝，解得sin∠ADC＝1，而0＜∠ADC＜π，于是∠ADC＝，所以b＝c＝＝2. 【跟踪训练】 1．在中，为边的中点，，，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，,，故答案选B． 2．中，角，，所对边分别为，，．是边的中点，且，，，则面积为________． 【答案】 【解析】 ，，则：，所以：，解得：， 根据中线长定理得设：，，解得：，所以：，，故：． 3．（25-26高一下·四川宜宾·期中）在中，角的对边分别为，向量，且 (1)求角的值； (2)若是边上的中线，，求的面积． 【答案】(1);(2) 【解析】（1）因为，所以， 所以， 由正弦定理得， 即，且，则， 可得，因为， 所以. （2）由题意得， 则， 即有，且， 解得， 所以， 故的面积为． 题型03 角平分线定理的应用 题干出现角平分线，优先用角平分线定理，得到被分线段与邻边的比例关系，快速实现边长转化。 求角平分线长度，可选用库斯顿定理或角平分线长度公式。可借助面积法，拆分大三角形为两个小三角形建立等式。 结合正弦、余弦定理处理边角关系，比例式常用于设参数，表示各边长度。 注意区分角平分线分对边的两条线段，合理利用角相等带来的等角条件辅助解题。 【典例3-1】（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，根据余弦定理， 已知，，，设，则有： 解得或（边长不能为负舍去），所以. 因为AD是角平分线，根据角平分线定理：可得. 又因为，所以. 在中，再根据余弦定理， 将，，代入可得： 所以.的长度为 故选：D. 【典例3-2】（26-27高二上·河南·阶段检测）如图，在中，点在边上，且，． (1)若，求； (2)若为的角平分线，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【分析】（1）在中求出，在中利用余弦定理求出. （2）利用平面向量基本定理和余弦定理求出和边，从而求出的面积. （3）先由互补角余弦定理得到两边的关系，再由锐角三角形得到两边的取值范围，最后用函数单调性求解的取值范围. 【解析】（1）因为，且，， 所以，则. 在中，由余弦定理得 ，所以. （2）因为，，为的角平分线， 所以，设，则. 而， 将上式两端平方可得， 所以，即. 又由余弦定理得，代入上式解得， 所以，，而，则. 所以. （3）设，，， 由，则得， 整理得，所以． 则. 因为为锐角三角形，所以有，解得， 令，则在上单调递增， 且，，所以． 【跟踪训练】 1．（2026·甘肃武威·模拟预测）在中，，是的平分线，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为的平分线，且， 由角平分线定理得， 又，所以，则在中， 由余弦定理得， 所以，在中，由正弦定理得， 则. 故选：A. 2．在中，角的对边分别为，已知，，则的角平分线的最大长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以， 解得， 即， 即， 因为，所以，所以， 所以，又， 则 因为 ， 所以， 因为，，， 所以的最大值在取最小值的时候取到，且， 由，， 当且仅当时，等号成立， 此时 ，，， 故，故选项B正确. 3．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知的内角，，所对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，求的角平分线的长． 【分析】（1）利用同角三角函数关系化简条件等式，结合正弦定理转化为边的关系，再用余弦定理即可求出； （2）先由面积公式求出，结合余弦定理得到，再利用半角公式求出，最后通过等面积法即可求解角平分线的长度. 【详解】（1）因为， 所以， 整理得：， 由正弦定理得：， 所以由余弦定理得：. （2）在中，因为，所以， 所以，得. 由余弦定理得：， 即，所以， 又因为，得， 因为，且是的角平分线， 所以， 即，所以. 题型04 张角定理的应用 题干出现同一点引出两条射线，将一个角拆分为两个已知角，优先使用张角定理。直接建立三条线段长与三个角的正弦关系式，快速实现边角互化，省去多次使用正弦定理的复杂推导。 多用于处理共顶点、分角的线段求值，可结合三角恒等变换化简。 注意找准顶点，分清大角与两个分角，确认三条线段对应的位置。常与面积法、正弦定理灵活互换，用于求边长、角度或线段最值。 【典例4】在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，点D在边上，，，，，则______. 【答案】2 【解析】 如图，由题意，，， 由张角定理，， 所以，解得：，故. 【跟踪训练】 1． 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC， AB，AD=3，则CD=（ ） A. B. C.4 D.6 【答案】B 【解析】如图： ∵sin∠BAC ∴cos∠BAC 由张角定理得： 即 即,即 解得, ∴ 2．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，的平分线交于点D，且，则的最小值为______. 【答案】4 【解析】解法1：如图，， ， 所以，故，从而， 当且仅当时取等号，所以的最小值为4. 解法2：如图，由张角定理，， 所以，故， 从而， 当且仅当时取等号，故的最小值为4. 3．在中，角所对的边分别为，是的角平分线，若，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】利用张角定理得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 如图： ∵是的角平分线，， ∴， 由张角定理得：， 即， ∵，∴， ∴， ∴， 当且仅当，即时取“=”. 题型05 平行四边形定理的应用 平行四边形定理（对角线平方和定理）：平行四边形两条对角线的平方和等于四边平方和。解三角形中，常依托平行四边形拆分出两个全等三角形，或借助向量构造平行四边形。 遇到共起点两邻边、对角线长度条件，直接套用公式建立边长平方关系，快速处理中线类、向量模长问题。可与中线长定理互推，用于求边长、线段最值。 解题时识别平行四边形模型，结合余弦定理、向量数量积，实现边角转化，减少复杂三角运算. 【典例5】在中，. 1. 求； 1. 求边上的中线长. 【解析】（1）因为，，故， 所以，解得， 故，故. （2）如图所示，是中点，连接， 根据平行四边形定理可得， 则， 解得，即边上的中线为. 【跟踪训练】 1．在中， ，，c边上的中线长为1，则的外接圆的半径长为 ． 【答案】1 【解析】如图，在中，设D为边的中点， 则，,所以, 故，而, 所以 ,则， 由于，故， 所以 ，设的外接圆的半径为R, 则 ， 2．（2026·四川绵阳·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，. (1)求的值； (2)若是边的中点，求的值. 【解析】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由，得，所以， 因为，由余弦定理， 则， ， 解得(舍去). （2）因为是边的中点， 所以， 所以， ，所以. 解法二：由平行四边形定理得， 即，解得. 3．已知的内角，，的对边分别为，，，且满足 （1） 求角的大小； （2） 若为钝角，为等腰三角形，且边上的中线长为，求的周长. 【解析】由余弦定理得：，所以， 由正弦定理得：，因为，所以， 所以，，即或 （1） 设等腰三角形腰长为， 即，，且由于，， 在中，，解得， 设BC的中点为D，如图所示: 根据平行四边形定理可得， 则，解得：， 所以， 则的周长为． 题型06 托勒密定理的应用 题干出现圆内接四边形，优先启用托勒密定理：圆内接四边形对边乘积之和等于对角线乘积。 核心用于处理圆内接四点共面的线段求值，快速建立四条边与两条对角线的等式，替代多次正弦定理推导。 遇到四点共圆、圆周角相等条件，识别模型，设边长参数，结合余弦定理、正弦定理联立求解。 注意适用前提：四点共圆；非圆内接四边形不可直接套用。常配合圆周角性质、面积法综合解题。 【典例6】托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形ABCD的面积为（    ） A． B．16 C． D．12 【答案】C 【解析】设，由托勒密定理可知， 即，所以，， 又因为，， 因此， .故选：C. 【跟踪训练】 1．如图 ,在平面四边形 中, ,当 变化时,对角线 的最大值为______. 【答案】 【解析】由托勒密不等式,得， ， 2．已知平面四边形是由与等腰直角拼接而成,其中 ,则当点到点D的距离最大时,角的大小______. 【答案】 【解析】由托勒密不等式, 因为为等腰直角三角形 当点到点的距离最大时,也即托勒密不等式取等号时,即四边形四点共圆时,所以 3.在平面四边形中 ， ，则 的最小值为． 【答案】 【解析】设，则且.如图所示，由托勒密不等式知， ，即，从而知，即的最小值为 ， 仅当四点共圆时取等号. 题型06 斯库顿定理的应用 用于求解三角形角平分线长：若为的平分线交于，则.也可记作角平分线长平方等于两邻边乘积减去两段分边的乘积.应用时先找准角平分线及分点，将已知边长代入即可直接求长.逆用可求角平分线分出的两段比例（结合角平分线定理）.技巧：若题中给出角平分线长和邻边，可用该定理反求底边分成的两段乘积，再与比例关系联立求出各段.此法避免建系或余弦定理，计算简洁，专攻角平分线长度问题. 【典例7】已知在中，在上，平分，若，，，则  . 【答案】 【解析】方法1：角平分线定理+余弦定理 由角平分线定理可知：，设. 在中，由余弦定理得：① 在中，由余弦定理得：② 由①②可得：，即.答案：. 方法2：斯库顿定理 由角平分线定理可知：①， 由斯库顿定理可知： 即②，由①②得：.故答案为：. 【跟踪训练】 1．在中，平分，角平分线，，，则底边的长度 为 . 【答案】3 【解析】由角平分线分边定理：，设，； 代入斯库顿定理：； 代入数值：，化简得； 解得（边长舍去负根），因此 2．中，平分，，，，的值为 . 【答案】 【解析】由角平分线定理求两段边长：，； 斯库顿定理求角平分线：，即； 在中，由余弦定理：； 代入数值化简：. 3.中，底边，为内角平分线，且满足，则角平分线的最小值 为 . 【答案】 【解析】设，，则，由角平分线分边公式：，； 代入斯库顿定理变形：； 由均值不等式：，当且仅当时取等； 因此，代入得； 故最小值为.故答案为：. 1．（2026·湖北孝感·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边上的中线长为（    ） A． B． C．6 D．10 【答案】B 【解析】中，由余弦定理得， 又，所以，所以，记边上的中点为M， 因为，所以，所以. 故选：B 2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，根据余弦定理， 已知，，，设，则有： 解得或（边长不能为负舍去），所以. 因为AD是角平分线，根据角平分线定理：可得. 又因为，所以. 在中，再根据余弦定理， 将，，代入可得： 所以.的长度为 故选：D. 3．（25-26高一下·河北雄安·期末）在中，为的角平分线，点在边上，且满足，若，，的面积是，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】   设，，则，解得， 由中线得，整理得， 整理得，所以， 由得， 整理得. 4．（2026·陕西延安·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，是中点，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】解法1：利用正弦定理结合条件可知：，即， 由余弦定理即，故，，在中由余弦定理可知：， 在中由余弦定理可知：， 整理得：，即. 故选：D 解法2：同解法1求得，，由平行四边形定理得， 即，解得. 5．已知在中，角对应的边分别为，平分且与边交于点，若7，b=5,c=3,则线段AD的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由斯库顿定理得 从而有，从而选C． 6． 在△ABC中，，AC边的中线长，则△ABC周长的最大值为（ ） A．    B．6    C．    D．9 【答案】B 【解析】先利用平行四边形定理得到，设，，再由可求出的最大值，从而可求出△ABC周长的最大值. 根据平行四边形定理可得， 即，又因为，且， 所以，即， 设，， 由得， 则，（当且仅当，即，是取等）， ∴周长的最大值为6． 故选：B 7．（多选）（25-26高一下·吉林长春·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，D为线段BC上的一点，则下列结论正确的是（   ） A． B．的周长为 C．若AD为的中线，则 D．若AD为的角平分线，则 【答案】ABD 【解析】对于A，因为，解得，故A正确； 对于B，由得，由余弦定理得 ，， 所以，故B正确； 对于C,由是的中线，得， 则 ，故C不正确； 对于D，依题意可得， 可得， 又因为平分，且，所以， 则， 整理得，故D正确. 8．（多选）（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）已知，，分别为内角，，的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．若，则为钝角三角形 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．在中，是边的中线，若，且，，则 【答案】BCD 【解析】对于A，在中，由正弦定理，，故A错误； 对于B，由，令，得， 由余弦定理得，因，故是钝角，故B正确； 对于C，因，，由有两解可得，即，故C正确； 对于D，因，则， 解得，又是边的中线，则， 两边取平方得， 则，故D正确. 故选：BCD 9．记的内角的对边分别为，已知 ，则cos=. 【答案】0 【解析】因为，则由倍角定理知，； 又因为，则有， 从而有 ，故． 故cosC=0. 10．中，三边长，，，平分交于，则内角平分线的长度 为 . 【答案】 【解析】由角平分线分边定理：，又； 联立解得：，； 代入斯库顿定理：； 开方得角平分线长度： 11．已知AD是的角平分线，，，，则 . 【答案】 【分析】设，借助张角定理可得，结合数据计算即可得解. 【详解】设， 则由张角定理可得：， 故，即有， 所以，则， 又因，， 所以. 12．（26-27高三上·山东青岛·开学考试）已知的内角，，的对边分别是，，，. (1)求； (2)，边上的中线，交于点，，，求的余弦值. 【解析】（1）由正弦定理可知， 又， 所以， 又 所以 又，所以； （2）设，则， 因为， 显然由上问可知， 而， ， ， 由题意可知. 13．（26-27高三上·湖北·开学考试）记的内角、、的对边分别为、、，，、为边上的点． (1)若为的角平分线，，，求的面积； (2)若为锐角三角形，为边上的中线，，求的取值范围． 【解析】（1）因为是的角平分线，所以． 因为，所以． 因为， 所以，化简得． 又因为，由余弦定理得，所以． 所以，解得． 所以的面积为． （2）由余弦定理，得，即． 因为为边的中线，所以． 所以． 由正弦定理，得， 所以． 所以 ． 因为为锐角三角形，， 所以，解得． 所以． 所以． 所以，即． 14．（25-26高一下·黑龙江鸡西·阶段检测）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【解析】（1）由正弦定理得：， ， ， ； ，， 或， 即或（舍）， ； （2） 由（1）知：，又为的平分线， 由角平分线定理得，， 设，则， ， ， 又， ， ， 解得：或（舍），即， ， ； （3），，， ， 为锐角三角形， ， 解得：， ， ， . 15．四点共圆是平面几何中一种重要位置关系，古希腊数学家对凸四边形（是指没有角度大于180°的四边形）进行研究时，分别总结出如下结论： （1）（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立． （2）（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大． 根据上述材料，如图，在凸四边形中，若，，，求四边形面积取得最大值时角的大小为 ，并求出此时四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】先分析出当 A、B、C、D四点共圆时，四边形的面积达到最大，然后分别在，中，根据余弦定理表示出，再由圆的内接四边形对角互补，即可求出角A；再根据三角形的面积公式分别求出，的面积，相加即可得到四边形的面积. 【详解】由题设当 A、B、C、D四点共圆时，四边形的面积达到最大，如图， 连接，在中，由余弦定理得： ，① 在中，由余弦定理得： ，② 因为A、B、C、D四点共圆，所以， 从而，③ 由①②③解得 ，因为，所以 ． 从而， ， 所以 ． 16．古希腊数学家托勒密给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知凸四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线. (1)若为凸四边形的外接圆直径，，，，求与的长度； (2)若，且为正三角形，求面积的最大值； (3)已知，且，，求的最大值 【解析】（1）如图①，因为为外接圆的直径， 所以， 因为， 所以. 因为， 所以（同弧所对的圆周角相等）. 在中，，， 所以，，. 在中，，， 由正弦定理，解得. （2）如图②，设的边长为a， 由托勒密定理， 得，即. 因为四点共圆， 所以， 所以， ， 当且仅当时，等号成立， 所以. （3）如图③，构造圆内接四边形， 设，，，， 由，构造， 由共圆得， 由余弦定理得， 由托勒密定理得， 即. 由三角形面积公式得 ， 所以. 因为. 所以， 当且仅当时，等号成立，的最大值为. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $