精品解析：黑龙江省佳木斯市第一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考学试题

佳一中2026级高一学年第一次月考 数学试题 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定判断即可. 【详解】命题“，”的否定是，. 2. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由 ，得，因为，因此， 因为 ，所以. 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质求解. 【详解】A选项：若，则，故A错误； B选项：因为，所以，又，所以，故B正确； C选项：因为，所以，又，所以，故C错误； D选项：若，则，故D错误. 4. 某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（ ） A. 只参加400米比赛的有3人 B. 只参加100米比赛的有2人 C. 三项比赛都参加的有2人 D. 只参加1500米比赛的有3人 【答案】C 【解析】 【详解】记“参加100米比赛同学”，“参加400米比赛同学”，“参加1500米比赛同学”， 不妨用表示集合的元素个数，则由集合的容斥原理： 设三个项目都参加的人数为，即, 由题意， ，解得，即三项都参加的有人，正确；  计算只参加各项目人数： 只参加100米比赛人数：，错误； 只参加400米比赛人数：，错误； 只参加1500米比赛人数：，错误. 5. 已知集合，，若 ，则实数m的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足. 当时，，由 可知： 若，解得； 若，解得. 综上，实数的取值集合为. 6. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. D. 13 【答案】B 【解析】 【详解】已知正实数满足，由于，，等式两边同时除以， 化简得， 通过“1”的代换得. 由于，因此，当且仅当即时等号成立. 将代入，解得，满足正实数条件， 因此的最小值为. 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法比较与的大小，对差式配方后结合平方数的非负性判断差的符号. 【详解】易知 ； 又，， 因此，即， 当且仅当且时等号成立. 8. 设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（ ） A. 0是任何数环的元素 B. 集合是一个数环 C. 集合是一个数环 D. 若集合为数环，则也为数环 【答案】C 【解析】 【详解】由数环的定义可知，设，则，则，， 故0是任何数环的元素，A正确； 偶数与偶数相加、相减、相乘的结果均是偶数，所以是一个数环，B正确； 设，则， 因为不是整数，所以，所以集合不是数环，C错误； 设，因为为数环，则，又为数环， 则，所以，D正确．故选C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 使或成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】BC 【解析】 【详解】由题意可得只需满足所选条件组成的集合是集合或的真子集即可. 对于A，因为集合或不是集合或的真子集，故A不正确； 对于B，因为集合或是集合或的真子集，故B正确； 对于C，因为集合是集合或的真子集，故C正确； 对于D，因为集合或与集合或相等，不是真子集关系，故D不正确. 10. 下列说法正确的是（ ）． A. 正数满足，则的最大值为 B. 当时，的最小值是 C. 当时，的最小值是 D. 当时，的最大值是 【答案】AD 【解析】 【分析】ABD选项，变形后使用基本不等式可得答案；C选项，等号取不到 【详解】A选项，正数满足，则， 当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，所以B错误； C选项，当时，，当且仅当，即时，等号成立， 但，故等号取不到，C错误； D选项，当时，， 当且仅当，即时，等号成立，D正确 11. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 关于的不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意得为方程的根，且，即可判断A；根据韦达定理可得，进而求解判断BCD. 【详解】由题意，为方程的根，且，故A正确； 所以，即， 对于B，，故B正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，由不等式，得， 即，解得，故D正确. 故选：ABD. II卷非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】通过移项、通分将分式不等式转化为等价的一元二次不等式，结合分母不为零的约束求解. 【详解】原不等式可化为，即 ， 等价于，即。 原不等式的解集为. 13. 已知，，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法将表示为与的线性组合，结合不等式的性质求解其取值范围. 【详解】设（）， 则， 故有 ，解得 ， 因此， 由，得 ①； 由，得 ②； 将①和②相加，得， 即的取值范围为. 14. 已知正实数，则的最大值为______，的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空直接利用基本不等式求解即可；第二空先提公因式，再利用，使得分式其次得，然后化简，利用基本不等式得，然后再构造，利用基本不等式求解即可； 【详解】由题可知，得，当且仅当时等号成立，故的最大值为； 因为，得 当且仅当时，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：对于分式型的双变量求最值问题，我们经常利用题中条件进行齐次化构造，然后再利用基本不等式求解；多次利用基本不等式求最值，我们一定要判断两个等号需要同时成立才可以取到最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记全集，已知集合，． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）的取值范围为 【解析】 【分析】（1）求出集合与集合B，再利用集合的并集运算即可. （2）根据已知条件可得到：，再利用子集运算即可. 【小问1详解】 当，， 又， . 【小问2详解】 ，. ，解得：， 故的取值范围为. 16. 设命题:，使得不等式恒成立；命题：. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）先求函数在区间上的最大值，再根据恒成立问题求出实数的取值范围. （2）先求出命题，为真为假时，的取值范围，再根据命题，中有且仅有一个为真命题，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 设函数， 函数在区间上单调递减，， 若命题为真命题，即函数在区间上的最大值小于0， 即， 所以实数的取值范围为 【小问2详解】 若命题为真命题，则，若命题为假命题，则. 若命题为真命题，则， 解得：或， 若命题为假命题，则. 命题，中有且仅有一个为真命题，分两种情况： 若真假：则，即； 若假真： 则或 综上可知：实数的取值范围为或. 17. 已知集合，集合 （1）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围 （2）若，求实数m的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 若是的充分不必要条件，则是的真子集，分类讨论是否为空集； (2) 因为，所以，且有公共元素. 【小问1详解】 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，，解得； 当时，因为，所以，解得， 综上，实数m的取值范围为. 【小问2详解】 因为，所以，即，， 因为，所以且，解得， 又，所以实数m的取值范围为. 18. 某公司为了提高生产效率，决定投入72万元购进一套生产设备．预计使用该设备后，每年因该设备额外产生收益50万元，该设备前年的维修、保养等费用共万元．设使用年后该设备的盈利额为万元（设备的盈利额＝因设备额外产生的收益－设备的购进成本-设备维修保养费），其中． （1）写出关于的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利． （2）使用若干年后，对该套设备的处理方案有以下两种： 方案①：当年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备； 方案②：当盈利额达到最大值时，以20万元价格处理该设备． 请你研究哪种方案处理较为合理，并说明理由． 【答案】（1）；3 （2）两方案盈利相同，但方案①使用时间更短，设备更新更快，更有利于提高生产效率，所以方案①更合理. 【解析】 【分析】（1）先求出前年的盈利额，利用求解即可. （2）由(1)分别利用基本不等式和一元二次函数性质分别计算两方案的盈利情况进行比较. 【小问1详解】 由题意得使用年后：， 令，即，解得 因为，所以， 即从第3年开始，该设备开始盈利 【小问2详解】 方案①：平均盈利额为， 当且仅当“”即时等号成立 第6年平均盈利额达到最大值，以52万元价格处理该设备，共盈利万元 方案②：盈利额为，当时，盈利额达到最大值，为128万元 第10年盈利额达到最大值，以20万元价格处理该设备，共盈利万元， 两方案盈利相同，但方案①使用时间更短，设备更新更快，更有利于提高生产效率，所以方案①更合理. 19. 已知关于的二次函数 （1）若关于的不等式的解集为，求实数、的值； （2）若实数，满足，求关于的不等式的解集．（答案用含有字母a的形式表示） （3）已知 有两个正实数根，，，且满足 ，求的最大值 【答案】（1），； （2）当，解集为或；当，解集为；当，解集为；当，解集为； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理列方程求解； （2）将代入，因式分解，对a的正负以及根1和的大小作分类讨论，写出不等式解集； （3）先由韦达定理与得到的关系式，结合正根、不等根条件求出a的取值范围，再将目标式化为单变量a的函数，换元后用基本不等式求最大值. 【小问1详解】 不等式的解集为，得，方程两根为，所以，得，； 【小问2详解】 由，得，即， 因为，所以， 当，不等式化为， 若即，解集为； 若即，，无解； 若即，解集为； 当，不等式化为，此时，故解集为或； 综上所述，当，解集为或；当，解集为；当，解集为；当，解集为； 【小问3详解】 由得，两根，由韦达定理得， 因为，所以，所以， 由，得判别式，即，得，故或， 由得，所以， 由，得， 令，由得，所以， 因为，所以，故，当且仅当，即，即时取等号， 所以，故， 所以当时，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 佳一中2026级高一学年第一次月考 数学试题 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（ ） A. 只参加400米比赛的有3人 B. 只参加100米比赛的有2人 C. 三项比赛都参加的有2人 D. 只参加1500米比赛的有3人 5. 已知集合，，若 ，则实数m的取值集合是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. D. 13 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 8. 设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（ ） A. 0是任何数环的元素 B. 集合是一个数环 C. 集合是一个数环 D. 若集合为数环，则也为数环 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 使或成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 10. 下列说法正确的是（ ）． A. 正数满足，则的最大值为 B. 当时，的最小值是 C. 当时，的最小值是 D. 当时，的最大值是 11. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 关于的不等式的解集为 II卷非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是___________． 13. 已知，，则的取值范围是______ 14. 已知正实数，则的最大值为______，的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记全集，已知集合，． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 16. 设命题:，使得不等式恒成立；命题：. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围. 17. 已知集合，集合 （1）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围 （2）若，求实数m的取值范围 18. 某公司为了提高生产效率，决定投入72万元购进一套生产设备．预计使用该设备后，每年因该设备额外产生收益50万元，该设备前年的维修、保养等费用共万元．设使用年后该设备的盈利额为万元（设备的盈利额＝因设备额外产生的收益－设备的购进成本-设备维修保养费），其中． （1）写出关于的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利． （2）使用若干年后，对该套设备的处理方案有以下两种： 方案①：当年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备； 方案②：当盈利额达到最大值时，以20万元价格处理该设备． 请你研究哪种方案处理较为合理，并说明理由． 19. 已知关于的二次函数 （1）若关于的不等式的解集为，求实数、的值； （2）若实数，满足，求关于的不等式的解集．（答案用含有字母a的形式表示） （3）已知 有两个正实数根，，，且满足 ，求的最大值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $