圆锥曲线：抛物线中的定点问题、定值问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 高中数学一轮复习抛物线专项训练，聚焦定点与定值问题，通过精选例题与变式系统构建解题思路，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |抛物线中的定点问题|3例+3变式|动圆轨迹、切线交点、倾斜角关系等背景下的直线过定点证明|从抛物线定义出发，通过方程联立、参数消元建立定点坐标与参数关系，体现从具体到抽象的数学抽象过程| |抛物线中的定值问题|3例+3变式|焦点弦性质、切线斜率、面积关系等情境下的定值探究|以抛物线方程为基础，通过代数运算推导几何量的不变关系，培养逻辑推理与数学运算能力|

圆锥曲线：抛物线中的定点问题、定值问题专项训练 圆锥曲线：抛物线中的定点问题、定值问题专项训练 考点目录 抛物线中的定点问题 抛物线中的定值问题 考点一 抛物线中的定点问题 例1．（2026·四川成都·模拟预测）在直角坐标系中，动圆P与圆外切，且与直线相切，记P的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)若直线l与E交于x轴异侧两点A，B，且．证明：l过定点 【答案】(1) (2)当直线l斜率为0时，l与抛物线有且只有一个交点， 则可设直线l的方程为，，，联立， 得，，，， ， ， ，或，由题（舍去），则，l过定点． 【分析】（1）根据几何关系，结合抛物线定义即可得解； （2）设直线l的方程为，联立抛物线方程消去，利用韦达定理代入求出即可得证. 【详解】（1）由题意，动圆圆心P到点的距离比其到直线的距离大1， 圆心P到点的距离等于它到直线的距离， 圆心P的轨迹E是以点为焦点，以直线为准线的抛物线， 设E的方程为（），则，，E的方程为． （2）略. 例2．（2026·河南·模拟预测）设抛物线C：的焦点为，直线与抛物线交于，两点，当在上时，与的横坐标之积为. (1)求抛物线的方程； (2)分别过，两点作抛物线的两条切线，两条切线相交于点，若是直线上的动点，证明：直线恒过定点； (3)过点作直线的垂线，直线与抛物线交于点，点与点为不同的两点，证明：. 【答案】(1) (2)证明：设，由是直线上的动点，得， 由（1）知抛物线的方程为，即，故， 所以过，两点的两条切线方程分别为和， 又，， 故过，两点的两条切线方程可分别变形为 和， 由两条切线相交于点，得，， 所以直线的方程为， 又，所以 ，即 ， 由，得， 所以直线恒过定点． (3)证明：设点，由题意知，直线的斜率存在且不为，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，直线的方程为， 由 得 ， 由 ，得 ． 所以，同理，， 得，， 易知，当最小时，的横坐标在和的横坐标之间． 由抛物线的对称性，不妨设，且，则， 则， ，     所以 ， 因为过点的切线的斜率为，所以 ，即 ， 令， ． 当 ，即时，． 当，即时，函数单调递增， 所以， 当且仅当时等号成立， 又， 所以当时，． 当，即时，函数单调递减， 所以． 设，， 则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以， 所以当时，， 又， 所以恒成立． 【分析】(1)联立直线与抛物线方程后通过韦达定理求出横坐标之积表达式并求解. (2)通过求导求出切线斜率并表示出切线方程后联立求解出点坐标，并通过在直线上联立证明直线过定点. (3)分别联立直线，直线与抛物线的方程后利用韦达定理求出横坐标之和，并分别表示出和，相加后通过求导判断单调性求出其最值. 【详解】（1）设，， 抛物线C：的焦点为． 当在上时，易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立，消去，得， 所以，又，解得， 所以抛物线的方程为．    （2）略 （3）略 例3．（2026·四川泸州·模拟预测）已知动点到定点的距离比它到直线 的距离小 (1)求动点的轨迹方程； (2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交的轨迹于两点，若，求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)由题意可知，直线 的倾斜角均不为 和， 故直线 ， 的斜率存在且不为 ， 因为，所以，即， 即， 若直线 的斜率为 ，则与抛物线只有一个交点，若斜率不存在，则 重合，均不符合题意； 故设，， 联立，得， 则， 则 ， 得， 则直线恒过点. 【分析】（1）设动点，利用轨迹方程的求法可得答案； （2）设直线，联立抛物线方程，得到关于 的一元二次方程，由韦达定理得，由，得，将 点坐标代入，化简，再将代入，可得，即得答案. 【详解】（1）设动点，根据题意， 到的距离 比到直线的距离小，即： 分析绝对值范围： 若，则，代入得： 两边平方并化简： ， 化简可得， 若，则，代入得右边为负，而左边根号非负，无解， 因此，动点 的轨迹方程为； （2）略 变式1．（2026·辽宁大连·一模）已知抛物线（）的焦点为，准线为，直线与相交于两点，点. (1)求的方程； (2)若，求证：过定点； (3)若线段的中点在直线上，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明：方法1：设，，由题意得l存在斜率，设l：，联立得， 令，则， 因为， 所以，即. 因为，， 所以， 整理得. 因为，所以， 所以，得. 所以， 所以直线过定点. 方法2：设，，由题意得l存在斜率，设l：， 因为， 所以，，即. 因为，， 所以， 即， 整理得， 因为，所以，所以， 所以， 所以直线过定点. (3) 【分析】（1）可通过准线方程建立等式求出的值，进而得到抛物线的方程； （2）先求出焦点的坐标，设出直线的方程以及、两点坐标；因为，利用向量夹角公式可得到，方法1：将等式用坐标表示后，结合抛物线方程化简，方法1：再联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理代入化简结果，得到直线中参数的关系，从而确定直线所过的定点；方法2：利用抛物线的焦半径公式以及坐标代换后，因式分解，得到直线中参数的关系，从而确定直线所过的定点； （3）方法1：设出、两点坐标以及直线的方程，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理求出中点的坐标；因为的中点在直线上，所以可得到直线参数的关系；再求出弦长以及点到直线的距离，进而表示出的面积，最后利用导数求函数最值的方法求出面积的最大值；方法2：设AB的中点为，，，利用条件建立起的关系式，弦长以及点到直线的距离都用表示出来，进而用表示出的面积，最后利用导数求函数最值的方法求出面积的最大值. 【详解】（1）由题意可知，，， 所以C的方程为. （2）略 （3）方法1：设，，由题意得l存在斜率， 设l：，联立得， 令，则， 由中点在上，得. 所以， 点P到直线l的距离. 面积，. 令，则，. 所以，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，有最大值， 即△PAB面积的最大值为. 方法2：设AB的中点为，，，则，. 因为，，所以，. 因为抛物线与直线交点为，，所以. 所以, ， . 因为直线l的斜率，且经过点， 所以直线l的方程为， 即：， 所以点到直线的距离， 所以面积，. 令，则，. 则，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，有最大值， 即△PAB面积的最大值为.    变式2．（2026·湖南常德·二模）抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴． （i）证明：直线过定点； （ii）点为抛物线的准线与轴的交点，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2)（i）证明：由题可设，， 由，消得到，则，， 又，所以，令，得到， 所以，又轴，则，得到， 所以，解得，则，所以直线过定点. （ii）或 【分析】（1）根据条件，利用抛物线的定义，建立方程组，即可求解； （2）（i）设直线，，联直线与抛物线方程，再结合题设条件和根与系数间的关系，得，即可求解；（ii）根据条件，将问题转化成到直线的距离相等，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】（1）因为抛物线上的一点到焦点的距离为， 则，消得到，解得，所以抛物线的标准方程. （2）（i）略 （ii）因为在抛物线上，则，解得，所以，由（i）知， 又点为抛物线的准线与轴的交点，则，又的面积与的面积相等， 则到直线的距离相等，所以，即，解得， 所以直线的方程为或. 变式3．（2026·江西·模拟预测）已知动圆过定点，且与直线相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交轨迹C于M，N两点，若，求证：直线MN恒过定点． 【答案】(1) (2)证明：由题意可知，直线的倾斜角均不为和， 故直线的斜率均存在且不为0， 因为，所以，即， 即， 若直线的斜率为，则与抛物线只有一个交点，不符合题意； 故设，， 联立，得， 则， 则 ， 得， 则直线恒过点. 【分析】（1）由抛物线的定义可得方程； （2）设，由得出，利用韦达定理化简即可. 【详解】（1）由题意可知，动圆圆心到点和到的距离相等， 故动圆圆心的轨迹C是以为焦点，为准线的抛物线， 故动圆圆心的轨迹C的方程为； （2）略 考点二 抛物线中的定值问题 例1．（2026·上海浦东新区·三模）已知抛物线与斜率为1的直线相交于，两点．是的焦点．是上异于，的一点． (1)证明：； (2)若是的顶点且，求直线的方程； (3)设且的外接圆与有异于，，的公共点．证明：直线斜率为定值，并求出此定值． 【答案】(1)如图，作出符合题意的图形， 由题意得，．设． 联立化简得，而判别式． 解得，由焦半径公式得，． 若，则，则， 即，解得，与矛盾，故． (2) (3)对于一元四次方程， 设四个根为，则方程为， 则， 化简得， 可得，则韦达定理得证， 如图，作出符合题意的图形， 由题意得，则由弦长公式得， 解得，故，联立，解得或， 则，，令，则，即点在上． 对于点，有，即；对于点，有，即． 设，，将的外接圆方程可设为． 将，代入，可得， 化简得， 此四次方程的四个根恰为外接圆与的四个交点的参数，，，． 由韦达定理得，则．得到， 由题意得直线的斜率为， 代入，得． 此值与无关，故直线的斜率为定值． 【分析】（1）根据抛物线的几何意义，结合直线与抛物线交点个数即可证明. （2）结合（1）问，得到与的值，直线互相垂直则意味着直线的方向向量数量积为零，进而构建方程即可求解. （3）将抛物线方程转化为参数方程，表示出外接圆表达式，根据韦达定理即可求解. 【详解】（1）略 （2）由题意得为顶点，若，得到 而，可得， 由韦达定理得，，则， 解得或，当时，，此时不符合题意，舍去， 当时，，满足所有条件，故． （3）略 例2．（25-26高二下·安徽阜阳·期中）已知点在抛物线上． (1)求抛物线的标准方程； (2)若射线，均与圆相切，且点，在抛物线上． ①若存在，使得，求直线的方程； ②过点作于点，问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在定点，定值． 【分析】（1）由题意可得，进而求解即可得抛物线的标准方程； （2）设，求得直线的方程，利用直线与圆相切可得，化简得，进而可得直线过定点；①利用，可求得，进而计算可求得直线的方程；②由题意可得点在以为直径的圆上，进而可得，可得结论. 【详解】（1）将点代入抛物线方程得，解得， 所以抛物线的标准方程为． （2）设， 因为点，在抛物线上，所以，， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 同理可得到直线的距离为， 因为两直线均与圆相切，所以，即， 两边平方得，所以， 所以， 所以 整理得， 因为，是不同的两点，所以， 所以①， 设直线的方程为，与抛物线联立得， 所以，所以，所以， 所以的方程，所以，所以直线过定点. ①因为，，， 所以， 由，得， 显然不符合题意，所以， 所以， 所以②， 由①②得，所以或， 当，得，此时是方程， 又，不符合题意，舍去； 所以，可得， 由，，两式相减得， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. ②因为直线过定点，过点作于点， 所以点在以为直径的圆上，所以， 所以存在定点，使得为定值，定值为. 例3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们斜率的倒数之差是．记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点，过点向曲线作两条切线，切点分别为，求； (3)直线与曲线交于不同两点，满足，过坐标原点向直线作垂线，垂足为，求一定点，使得为定值， 【答案】(1) (2) (3)，定值为 【分析】（1）根据题意列出等式即可求解； （2）根据题意求出过点的两条切线，利用弦长公式即可求解； （3）联立直线与抛物线，根据得到直线经过定点，再根据直线得到动点的运动轨迹即可求解. 【详解】（1）设，由，可得，通分可得，解得， 所以曲线的方程为：. （2） 如图所示，设点，过的切线为， 联立得，由，，得， 所以切线方程为，代入得， 同理，抛物线在处切线方程：， 切线过得，直线的方程为， 联立得所以，， . （3） 如图所示，设直线的方程为，设，， 联立抛物线方程可得：，由韦达定理得：，， ，， 由得：得， 所以化简得：， 直线方程为：即恒过定点：， 直线，且恒过定点，所以． 动点的运动轨迹是以线段为直径的圆，圆心即为线段的中点，， 所以平面内存在定点，使得为定值，定值为． 变式1．（2025·河北秦皇岛·二模）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，为坐标原点． (1)求的方程； (2)已知点，若上存在一点，使得，求的取值范围； (3)过的直线交于两点，过的直线交于，两点，，位于轴的同侧，证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3) 设， 则直线的斜率， 可得直线的方程，整理得， 同理可得：直线的方程， 由题意可得：，整理得， 又因为直线的斜率分别为， 显然为锐角，则， 所以为定值. 【分析】（1）根据题意可知焦点F到准线的距离为，即可得方程； （2）设，利用平面向量数量积可得，结合基本不等式运算求解； （3）设，求直线的方程，结合题意可得，结合夹角公式分析求解. 【详解】（1）由题意可知：焦点F到准线的距离为， 所以抛物线E的方程为. （2）设，可知，则， 可得， 显然不满足上式， 则，可得， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 则，即， 所以t的取值范围为. （3）略 变式2．（25-26高三上·内蒙古锡林郭勒·月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且. (1)求的方程； (2)若过点作两条直线与，与相交于，两点，与相交于，两点，线段和中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，，证明：，且为定值. 【答案】(1) (2) 设点，，，， 则直线的斜率， 同理得直线的斜率， 直线的斜率， 直线的斜率， 所以， ， 从而得. 由消去得， 所以， 由，得或. 设和的中点分别为，， 则，， 同理，， 所以，即， 所以得. 【分析】（1）由已知，根据点坐标，借助可表示出点坐标，然后带入抛物线方程，即可完成方程的求解； （2）由已知，分别设出四点坐标，然后利用坐标分别表示出直线，，，的斜率,即可证得，设和的中点分别为，，分别联立与抛物线方程，求得，的坐标，利用斜率公式表示，化简计算即可得出结果. 【详解】（1）设点，则，因为，， 所以，，所以点， 代入方程中，得，所以的方程为. （2）略 变式3．（2026·四川内江·月考）已知抛物线E的准线方程为：，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点. (1)求抛物线E的标准方程； (2)证明：为定值. 【答案】(1) (2) 易知抛物线E的焦点， 设直线AB的方程为，、， 联立可得， 由韦达定理可得，， 接下来证明抛物线E在点A处的切线方程为， 联立可得，即，即， 所以，直线与抛物线E只有唯一的公共点， 所以，AC的方程为， 同理可知，直线BD的方程为， 在直线AC的方程中，令，可得，即点， 同理可得点，所以，直线的方程为，即， 设点、，联立，可得， 由韦达定理可得，， 所以， 同理可得， 所以 ， 故为定值. 【分析】（1）由抛物线的准线方程求解，即可求解抛物线标准方程. （2）设出直线AB的方程，然后与抛物线方程联立，韦达定理，推出两切线方程，进而求得点，点，从而求出直线方程，联立抛物线方程，结合弦长公式求出，代入运算化简即可证明. 【详解】（1）因为抛物线的准线为：，设，则，所以， 故抛物线E的标准方程为. （2）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：抛物线中的定点问题、定值问题专项训练 圆锥曲线：抛物线中的定点问题、定值问题专项训练 考点目录 抛物线中的定点问题 抛物线中的定值问题 考点一 抛物线中的定点问题 例1．（2026·四川成都·模拟预测）在直角坐标系中，动圆P与圆外切，且与直线相切，记P的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)若直线l与E交于x轴异侧两点A，B，且．证明：l过定点 例2．（2026·河南·模拟预测）设抛物线C：的焦点为，直线与抛物线交于，两点，当在上时，与的横坐标之积为. (1)求抛物线的方程； (2)分别过，两点作抛物线的两条切线，两条切线相交于点，若是直线上的动点，证明：直线恒过定点； (3)过点作直线的垂线，直线与抛物线交于点，点与点为不同的两点，证明：. 例3．（2026·四川泸州·模拟预测）已知动点到定点的距离比它到直线 的距离小 (1)求动点的轨迹方程； (2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交的轨迹于两点，若，求证：直线恒过定点． 变式1．（2026·辽宁大连·一模）已知抛物线（）的焦点为，准线为，直线与相交于两点，点. (1)求的方程； (2)若，求证：过定点； (3)若线段的中点在直线上，求面积的最大值. 变式2．（2026·湖南常德·二模）抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴． （i）证明：直线过定点； （ii）点为抛物线的准线与轴的交点，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 变式3．（2026·江西·模拟预测）已知动圆过定点，且与直线相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交轨迹C于M，N两点，若，求证：直线MN恒过定点． 考点二 抛物线中的定值问题 例1．（2026·上海浦东新区·三模）已知抛物线与斜率为1的直线相交于，两点．是的焦点．是上异于，的一点． (1)证明：； (2)若是的顶点且，求直线的方程； (3)设且的外接圆与有异于，，的公共点．证明：直线斜率为定值，并求出此定值． 例2．（25-26高二下·安徽阜阳·期中）已知点在抛物线上． (1)求抛物线的标准方程； (2)若射线，均与圆相切，且点，在抛物线上． ①若存在，使得，求直线的方程； ②过点作于点，问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求该定值；若不存在，请说明理由． 例3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们斜率的倒数之差是．记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点，过点向曲线作两条切线，切点分别为，求； (3)直线与曲线交于不同两点，满足，过坐标原点向直线作垂线，垂足为，求一定点，使得为定值， 变式1．（2025·河北秦皇岛·二模）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，为坐标原点． (1)求的方程； (2)已知点，若上存在一点，使得，求的取值范围； (3)过的直线交于两点，过的直线交于，两点，，位于轴的同侧，证明：为定值． 变式2．（25-26高三上·内蒙古锡林郭勒·月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且. (1)求的方程； (2)若过点作两条直线与，与相交于，两点，与相交于，两点，线段和中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，，证明：，且为定值. 变式3．（2026·四川内江·月考）已知抛物线E的准线方程为：，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点. (1)求抛物线E的标准方程； (2)证明：为定值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $