圆锥曲线中的定值、定点、定直线、最值问题-2027届高考数学一轮复习

圆锥曲线中的定值、定点、定直线、最值问题培优精品（解析） 题型一 面积定值 1.已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于、两点，为坐标原点，证明：的面积为定值． 【详解】（1）设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为， 焦点F到渐近线的距离为，由实轴长是虚轴长的倍，得， 所以双曲线的标准方程为. （2）由（1）知，双曲线的渐近线方程为， 当直线的斜率不存在时，的方程为，，， 当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且， 由消去y得， 由，得， 由，得，不妨设与的交点为，则点的横坐标， 同理得点的横坐标，则， 而原点到直线的距离，因此， 所以的面积为定值，且定值为. 2.已知椭圆离心率等于，长轴长为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与轨迹交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探究的面积是否为定值，并说明理由. 【详解】（1）由题意得，解得，       所以椭圆的方程为. （2）设，联立直线和椭圆方程可得：， 消去可得：，所以，即， 则，       ， ， 把韦达定理代入可得：，整理得，                                    又，而点到直线的距离， 所以，         把代入，则，可得是定值1． 3.已知椭圆的右焦点为，点在椭圆C上. (1)求椭圆的方程； (2)过坐标原点的两条直线分别与椭圆C交于四点，且直线斜率之积为， 求证：四边形的面积为定值. 【详解】（1）由题意又∵点是椭圆上一点，∴，又 解得 因此，椭圆的方程为 （2）证明：当直线的斜率不存在时，由对称性不妨设 ， 则 ，又 ，解得 ，不妨取 ,则，则 , 所以 ; 当直线斜率存在时，设直线的方程为，设点 联立，得，则 因为，得，即， 所以，，解得， ， 原点到直线的距离为，因为 且所以（定值）， 综上述四边形的面积为定值． 题型二 斜率的和差积商定值 1.已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于点、（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值. 【详解】（1）由双曲线：虚轴长为4，得，双曲线的渐近线方程为，由直线为双曲线C的一条渐近线，得，则，所以双曲线C的标准方程为. （2）由（1）知，，， 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，设， 由消去得，，，，直线的斜率，直线的斜率， 所以，为定值． 2.设、是双曲线与x轴的左右两个交点，是双曲线上垂直于x轴的弦的端点，直线与交点为点. (1)求点轨迹方程. (2)过点的直线l交曲线Γ于两点，其中点在轴上方.设直线的斜率为，直线的斜率为，探究是否为定值，若为定值，求出定值；若不是定值，说明理由. 【详解】（1）设，，由题意可得， 共线，故，① 又共线，故，② 由①②得，（*）因在双曲线上，则，即， 将其代入（*）式，得，即，即的轨迹方程为. （2）由题意可设直线的方程为，联立，得. 设，则，即， 则，为定值. 3.已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程；(2)若，问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由； (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，所以双曲线的方程为． （2）双曲线的左焦点为，当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意，当直线的斜率不为0时，设， 由，消去得，显然，， 设，则，得， 于是， ，即，因此与不垂直， 所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得，则，又， 于是， 而，即有，且，所以，即为定值． 题型三 角度定值 1.设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为2． (1)求抛物线的方程； (2)双曲线M：的焦点为，过的直线与抛物线交于两点．证明． 【详解】（1）点到圆上点的最大距离为，即，得， 故抛物线C的方程为． （2）由题意可知，设的方程为，， 联立方程，得， 易得，由根与系数的关系得，， 所以， 所以，则直线与直线的倾斜角互补， 所以． 2.已知、分别是椭圆：的左右焦点，点在椭圆上，且的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与线段相交与，与椭圆交于两点，证明：. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由的面积为，得，解得， 由点在椭圆上，得，而，解得， 所以椭圆C的标准方程为. （2）依题意，直线不垂直于轴，设直线的方程为，，， 由，消去并整理得， ，又直线与线段交于点，则， ，，于是， 直线的斜率分别为， ，则，而，所以. 题型四 定点问题 1.已知抛物线的焦点F到双曲线的渐近线的距离为 (1)求抛物线C的方程； (2)若不过原点O的直线m与抛物线C交于A、B两点，且，求证：直线m过定点. 【详解】（1）解：抛物线的焦点F为，双曲线的渐近线方程为：，即：， 则，解得， 故抛物线C的方程为： （2）证明：若直线l的斜率存在，不妨设为，则l的方程为：， 与抛物线方程联立得，消去y得：， ，即时，设，，则，， 由可得：，即，亦即：， 将，代入上式得：，又即：， 所以直线l的方程为：，即，故直线l过定点， 若直线l的斜率不存在，设，，由可得：， 又，联立解得：或舍，此时直线l的方程为，即直线l过点， 综上可得：直线l过定点 2.已知双曲线的焦距为4，一条渐近线的倾斜角为． (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线，与的左支相交于两点，点与点关于轴对称，问：直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【详解】（1）由已知，，则． 因为，则，所以，从而．所以双曲线的方程是． （2）设直线，代入，得，即． 设点，则． 如果直线过定点，因为点与及的左支关于轴对称， 猜想：定点在轴上． 设点，由题设，点，则． 因为向量与共线，则，即， 即．所以，即． 因为为可变量，则，所以直线过定点． 3.已知为抛物线：上一点，，为上异于点的两动点，且以线段为直径的圆恰好经过点． (1)求点到的焦点之间的距离； (2)证明：直线过定点． 【详解】（1）因为为抛物线：上一点，则，即， 可知抛物线：的焦点为，准线为，所以点到的焦点之间的距离. （2）由题意可知：直线的斜率可能不存在，但不为0， 设直线，，联立方程，消去x可得， 则，可得， 由题意可知：，则， 则，整理可得， 则，即，所以直线过定点. 4.已知椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线l交该椭圆于C、D两点（点C在点D的上方），椭圆的上、下顶点分别为A、B，直线AD与直线BC交于点Q．证明：点Q在定直线上． 【详解】（1）将点坐标代入椭圆方程中得，即， 因，所以，故椭圆的标准方程为． （2）由题易知的斜率存在，设直线的方程为，设， 由，得， 则，，，又， 则直线AD的方程为，直线BC的方程为， 联立，方程可得，得，故点在定直线上． 5.已知椭圆C：的离心率为，长轴的右端点为）． (1)求C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长； (3)不经过点A的直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，且以为直径的圆过点A，试证明直线l过一定点，并求出此定点； 【详解】（1）椭圆C：的离心率为，长轴的右端点为， 可得，解得，，，所以椭圆的标准方程为． （2）设，，联立，消去， 得，，由韦达定理得，， 由弦长公式得.故弦长. （3）①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 联立方程组，整理得， 可得，，， 设，，所以，， 由题意得，即， 可得 ， 所以，解得或， 当时，直线方程为此时过，不符合题意（舍去）； 当时，直线方程为，此时过定点，符合题意， ②当直线l的斜率不存在时，设直线l：，根据对称性， 不妨设M，N的坐标分别为，， 所以，解得，直线l过点，综上可得，直线l过定点． 6.已知点、分别为双曲线E：的左、右焦点，点到双曲线E的渐近线的距离为，点A为双曲线E的右顶点，且． (1)求双曲线E的标准方程； (2)若四边形为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线过定点． 【详解】（1）设焦距为2c，则， 故点到双曲线E的渐近线的距离为． 由，知，得．又因为，所以，解得． 所以双曲线E的标准方程为． （2）①当直线的斜率不存在时，由，设直线的方程为， 当时，则在双曲线，可得,所以， 当时，则在双曲线，可得,所以不合题意舍， 可得直线的方程为， ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立得，当时，，， 因为四边形为矩形，所以，所以， 所以， 所以 所以， 所以，所以或， 当时，直线的方程为，恒过定点，不合题意，舍去． 当时，直线的方程为，恒过定点． 综上①②，直线恒过定点． 7.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上. (1)求的方程； (2)设直线不经过点，且与相交于A、B两点，若直线PA与直线PB的斜率之和为-2，求证：l过定点，并求出该定点的坐标. 【详解】（1）由题意得：所以的方程为： （2）当直线的斜率不存在时，设直线方程为： 当直线的斜率存在时设直线方程为，设 联立直线与椭圆方程：整理得： 或者 当时，直线方程为：，过定点，与题意矛盾 当，直线方程为： 即：直线过定点 综上所述：直线过定点 题型五 定直线问题 1.已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点的坐标分别为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点是坐标原点. （i）记和的面积分别为，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上. 【详解】（1）由题意：，解得，所以双曲线的方程为：. （2）（i）因为与A不重合，所以直线的斜率不为0，故可设直线的方程为， 联立得，设， 因为点在双曲线的左支上，所以，解得， 又，则， 即有，则，解得， 满足，所以，于是直线的方程为. （ii）由（i），则，故. ，则，所以直线的方程为， 同理，所以直线的方程为：， 故点的横坐标满足：，显然，由题意得：， 则， 则，故点在定直线上. 2.已知抛物线：的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于、两点，且. (1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点（异于，两点），且、位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 【详解】（1）抛物线：的焦点，则直线，由得， 依题意，，解得，所以抛物线的方程为，焦点. （2）由抛物线对称性，不妨令点在上方，由（1）知，, 显然直线不垂直于坐标轴，设其方程为，，， 由消去得：，显然，， 直线的斜率为，方程为， 直线的斜率为，方程为， 由消去得：， 整理得， 因此点的横坐标恒为，所以点在定直线上.  题型六 面积最值问题 1.已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴. (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，求面积的最大值. 【详解】（1）依题意，右焦点，则左焦点，而，轴， 则，于是， 解得，，所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线不垂直于轴，设其方程为， 由整理得，，解得， 设，则 则面积， 令，则，且， ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为. 2.已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点． (1)若l的倾斜角为，求弦长的值； (2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值． 【解答过程】（1）由得，所以，抛物线C：，焦点，直线l：， 联立方程，消去y得，设，则， 得弦长． （2）设直线l的方程为：，，联立方程，消去x得， 设，则， 所以， 同理可得，所以四边形的面积为： ， 当且仅当，即时，等号成立，所以四边形的面积的最小值为. 3.已知椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点和点. (1)求的标准方程；(2)斜率为的直线与分别交于两点（均异于点），求面积的最大值. 【详解】（1）设椭圆的方程为 则，解得 故椭圆的标准方程为 （2）设直线的方程为， 由得故得， ， 点到直线的距离，所以， 当且仅当，即（满足）时取得最大值， 从而面积的最大值为. 4.已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)过点的直线（不与轴重合）与交于M，N两点，是的右焦点. （i）证明：； （ii）求面积的最大值. 【详解】（1）由题，可得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）（i）设直线，，，， 联立，消去，整理得，，得， ，， 所以直线的斜率，直线的斜率， ， 又， 所以，即. （ii）由，由于，则，， 令，则，， 当且仅当，即，即时，等号成立，所以面积的最大值为. 5.已知椭圆分别为椭圆C的左顶点和右焦点，过F的直线l交椭圆C于点P，Q．若，且当直线轴时，． (1)求椭圆C的方程； (2)记的面积为S，求S的最大值． 【解答过程】（1）设椭圆的右焦点为，则，…① 由，得，…② 又当直线轴时，P，Q的横坐标为c，将代入中，得， 则，…③ 联立①②③，解得， 所以椭圆C的方程为． （2）直线不与y轴垂直时，可设的方程为， 联立椭圆方程，消去x并整理得， ， 又设，由韦达定理得 所以 ． 令，则，设函数， 由对勾函数性质易知在上为增函数， 所以当，即时，，此时S取得最大值为． 6.已知椭圆的左，右焦点分别为，，，离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求四边形EPFQ面积的取值范围. 【解答过程】（1）由，即，又，即，， ，故椭圆C的方程为. （2）设四边形EPFQ面积为S，当直线PQ与直线EF有一条斜率为0时，另一条斜率不存在， 不妨设直线PQ斜率不存在，此时直线EF与x轴重合， ，且PQ方程为，将与联立， 求得两交点为，，，故. 当直线PQ与直线EF有一条斜率为可设直线PQ的方程为， ，，联立方程， 得且恒成立， ，， 同理可得， 令，则，， 令，则， 在上单调递增，在上单调递减，，故. 7.已知双曲线的焦距为4，离心率为2，，分别为C的左、右焦点，两点，都在C上. (1)求C的方程； (2)若，且，，求四个点A，B，，所构成四边形的面积的最小值. 【解答过程】（1）由题意可得，解得， 故曲线的方程为， （2），， 则分别在两支上，且都在的上方或的下方， 不妨设都在的上方，又 ， 则在第二象限，在第一象限，如图所示，延长交双曲线与点，延迟交双曲线于点， 由对称性可知四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍， 由题设直线的方程为，直线的方程为， 由第（2）问易得， 因为,所以，所以， 两条直线与间的距离， 所以， 令，，所以， 设，则，在上恒为减函数， 所以在上恒为增函数， 当时即，取得最小值为12， 所以四个点所构成的四边形的面积的最小值为12. 高考试题专题 1.已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ） A. B. C. D. 答案：C 【详解】将直线与椭圆联立，消去可得， 因为直线与椭圆相交于点，则，解得， 设到的距离到距离，易知，则，，，解得或（舍去），故选：C. 2.（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ） A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 答案：AC 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设，由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为，所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC. 3.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． ⑴求C的方程； ⑵记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限， 直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【详解】⑴设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，，双曲线方程为. ⑵方法一由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即，得点在定直线上运动. 方法二（最后利用）全部转换为的形式比较简单 4.已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 答案：A 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即，又在圆上， 所以，即，即点的轨迹方程为. 5.（多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P、A、B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 答案：ABD 【详解】A选项，抛物线的准线为，的圆心到直线的距离 显然是，等于圆的半径，故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，由，得到，故，此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，，不满足； 当时，，，，不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解）设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解，即存在两个这样的点，D选项正确. 答案 ABD 6.已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意的正整数，. 【详解】（1）由已知有，故的方程为.当时，过且斜率为的直线为，与联立得到. 解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上.故，从而，. （2）由于过且斜率为的直线为，与联立， 得到方程.展开即得， 由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根. 从而根据韦达定理，另一根，相应的. 所以该直线与的不同于的交点为， 而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为， 故一定在的左支上.所以. 这就得到，. . 再由，就知道所以数列是公比为的等比数列. （3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，， 则.（若在同一条直线上，约定） 证明： .证毕，回到原题. 由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 而又有，， 故利用前面已经证明的结论即得 . 这就表明的取值是与无关的定值，所以. 方法二：由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 这就得到， 以及. 两式相减，即得. 移项得到. 故. 而，. 所以和平行，这就得到，即. 7.设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 答案：C 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以.故选：C 8.（多选）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（ ） A. B. C. 双曲线C的离心率为 D. 当时，四边形的面积为 答案：ACD 【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故，故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，则为直角三角形，且，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即，故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为，故D正确，故选：ACD. 9.已知椭圆的离心率为，长轴长为4． ⑴求C的方程； ⑵过点的直线l交C于A、B两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【详解】⑴因为长轴长为4，故，而离心率为，故，故， 故椭圆方程为：. ⑵由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得，故 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线中的定值、定点、定直线、最值问题培优精品（原卷） 题型一面积定值 x2 y2 1.已知双曲线C:。斥=1a>0b>0)的实轴长是虚轴长的2倍，且焦点到新近线的距离为2. (1)求双曲线C的方程； (2)若动直线1与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线交于P、Q两点，O为坐标 原点，证明：△OPQ的面积为定值. 5 2已知带圆C号+若-1a6>0男心率等于号. 长轴长为4. (1)求椭圆的标准方程C: 1 (2)若直线y=x+m与轨迹C交于M,N两点，O为坐标原点，直线OM,ON的斜率之积等于4， 试探究△QW的面积是否为定值，并说明理由. 第1页共19页 3已加指国c号层=a>60的右焦点为50：点P1空) 在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程： (②过坐标原点O的两条直线F,MW分别与精圆C交于E,R,M,V四点，且满足直线OE,OM斜 殊 率之积为2，求证：四边形EMFN的面积为定值. 题型二斜率的和差积商定值 x2 y2 1,已知双曲线c:。-1(a>0,b>0的虚轴长为4，直线2xr-y=0为双曲线c的一条渐近线 第2页共19页 (1)求双曲线C的标准方程： (2)记双曲线C的左、右顶点分别为A、B,过点T(2,0)的直线I交双曲线C于点M、N(点M在 k 第一象限)，记直线MA斜率为k,直线B斜率为k2,求证：K x2 2.设4、4，是双曲线4少1与x轴的左右两个交点，R,B是双曲线上垂直于x轴的弦的端点， 直线4与4，B交点为点P. (1)求点P轨迹方程Γ. (2)过点M(,0)的直线1交曲线T于C,D两点，其中点C在x轴上方.设直线AD的斜率为，直 k 线A,C的斜率为飞，探究飞，是否为定值，若为定值，求出定值：“一一 VA 第3页共19页 x2 y 3.已知双曲线c:。F=1(a>0b>0)的离心率为V2,点(（3，-)在双曲线c上.过C的左焦点 F作直线I交C的左支于A、B两点. (1)求双曲线C的方程： (②若M(-2,0,问：是否存在直线1，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线1的方程： 若不存在，说明理由； ③)点P(4,2),直线AP交直线x=-2于点.设直线4、QB的斜率分别k、k,求证： k一k2为定值. 1B 心题型三 角度定值 1设物建c-2p奶发点为p:已知点调写广-1上一点证头的尿大位 为2 (1)求抛物线C的方程： 第4页共19页 x2 y2 2)双曲线M:22=l的焦点为F,F,过F,的直线，与抛物线C交于M,N两点.证明 ∠FFM=∠FEN B已知、F分别是随园C:。+O>b>0的左右焦点，点在椭因C上，且A4 的面积为2： (1)求椭圆C的标准方程： 2)过点74,0 的直线'与线段F相交与S,与椭圆交于P,0两点，证明：∠PS=∠0S 它题型四 定点问题 第5页共19页 x2 1.已知抛物线C:y=2pxp>0的焦点F到双曲线3y=l的渐近线的距离为1， (1)求抛物线C的方程； (2)若不过原点O的直线m与抛物线C交于A、B两点，且OA⊥OB,求证：直线m过定点 2 已知双曲线9：-=1a>0,b>0的焦距为4，一条渐近线的倾斜角为6 (1)求双曲线C的方程： 2过点M-,O)作直线，与C的左支相交于A,B两点，点D与点A关于x轴对称，问：直线BD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 第6页共19页 3.已知112)为抛物线C:广=2x(p>0)上一点，P,e为C上异于点A的两动点，且以线段0 为直径的圆恰好经过点A. P (1)求点A到C的焦点之间的距离： (2)证明：直线P9过定点. 1已知。+二71经过点2】 (1)求椭圆的标准方程； (②过点V(0,6)的直线1交该椭圆于C、D两点（点C在点D的上方），椭圆的上、下顶点分别为 A、B,直线AD与直线BC交于点Q.证明：点Q在定直线上. 0 第7页共19页 5已知椭圆C:等+片1(a>b>0的离心率为2，长轴的右端点为4(2,0 (1)求C的方程； ②直线，X-2y+1=0与椭圆C交于不同两点P、Q,求弦长P0, (3)不经过点A的直线1与椭圆C分别相交于M,N两点，且以MW为直径的圆过点A,试证明直线 1过一定点，并求出此定点： x y 6.已知点F、R分别为双曲线E:。示=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点F到双曲线E的新近线 的距离为2√5，点4为双曲线E的右顶点，且45=2A5 第8页共19页 (1)求双曲线E的标准方程： (2)若四边形ABCD为矩形，其中点B、D在双曲线E上，求证：直线BD过定点. √5 17已知随圆C:x+=1(a>b>0)的离心率为2，点P(0,)在椭圆上. (1)求C的方程； (2)设直线I不经过P点，且与C相交于A、B两点，若直线A与直线PB的斜率之和为-2，求证： 直线1过定点，并求出该定点的坐标， B 巴题型五 定直线问题 第9页共19页 己知双曲线。@0,6>0的离心率和焦距分别为2和22，设点48C的坐标分别 为-a,0).(a,0),(2a,0) (1)求双曲线Γ的方程： (2)已知M是双曲线Γ的左支上异于点A的一个动点，直线CM交Γ的右支于点P,O是坐标原点. ⑤)记aABM和△OCP的面积分别为S,S,且S-S,=V6,求直线CM的方程， (i)设直线AM与直线BP的交点为W,证明：点N在一条定直线上. 2.已知抛物线C:广=2p(p>0)的焦点为F,过点F且与x轴垂直的直线交C于A、8两点，且 AB=4 (1)求抛物线C的方程，并写出焦点坐标： (2)过焦点F的直线I与抛物线C交于M、N两点（异于A,B两点），且M、A位于x轴同一侧， 直线AM与直线BN相交于点G,证明：点G在定直线上. M G 第10页共19页 题型六 最值问题 已知椭园C号+@>b>0的右焦点为，点M0,在C上，且你1 (1)求C的方程； (2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点，求△AOB面积的最大值 B A 2.已知抛物线C:y=2pxp>0的焦点为F,位于第一象限的点P1,yo在抛物线C上，且PF=2. 直线1过焦点F且与抛物线C交于A,B两点. 第11页共19页 (1)若1的倾斜角为45°，求弦长AB的值： (2)若过F且与1垂直的直线交C于M,N两点，求四边形AMBN的面积的最小值. B已知椭圆r的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点M小，V2)和点2，)A (1)求椭圆Γ的标准方程： (2)斜率为V2的直线I与椭圆Γ分别交于A,B两点（均异于点M),求△MAB面积的最大值. V 第12页共19页 4已知椭c后+方=a>6>0的商心*为2，且c过点4引 .x2y2 (1)求C的方程； 2)过点P(4,0)的直线1（不与x轴重合）与C交于Mw两点，F是C的右焦点. (i)证明：∠AFM=∠AFN: (ii)求△MWF面积的最大值. P S.已知箱圆c:。+多1Q>b>0,AP分别为稍圆C的左顶点和右焦点，过r的直线/交服C 于点P,Q.若AF=3,且当直线l1x轴时，|PQ=3. (1)求椭圆C的方程： 第13页共19页 (2)记△APQ的面积为S,求S的最大值. 6已相同c:子茶-0b:0的左.右售点分别为？1F,292商心车。6 3 (1)求椭圆C的方程： (2)过点F2作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P、Q和E、F,求四边形EPFQ面积的取值 范围. E F 第14页共19页 已知双线c誉手1a>0b>0的黑距为4，高心率为2，P上分别为C的在、右焦息 两点Ax1,y1,Bx2,y2都在C上. (1)求C的方程； (2)若AFI/BE2,且x1x,<0,y1y>0,求四个点A、B、F、F所构成四边形的面积的最小值. 高考试题专题 1,已知椭园C:+少=1的左、右焦点分别为R,F,直线y=x+m与C交于A,B两点，若 △FAB △FAB 面积是 面积的2倍，则m=（) √2 V2 A.3 B.3 C.-3 D.3 第15页共19页 2.(多进)设O为坐标原点，直线y=-V3(x-)过抛物线C:严=2pr(p>0)的焦点，且与C交 于M,N两点，1为C的准线，则() A.p=2 R.wN-等 C.以N为直径的圆与I相切 D.△OMN为等腰三角形 3.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为2√5,0），离心率为5. (1)求C的方程： ②记C的左、右顶点分别为4,4，过点（4,0)的直线与C的左支交于4，N两点，M在第二 象限， 直线MA与4，交于点P.证明点P在定直线上. 4.已知曲线C:r+y=16(V>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP,P为垂足，则线 段PP'的中点M的轨迹方程为() 第16页共19页 x2.y2 A.16+41(>0) B.活苦10 y+=1 y2,x2 C.164(y>0) D.16+81(y>0) 5.(多进)抛物线C:广=4r的准线为1，P为C上的动点，过P作OA:r+0-4=l的一条切 线，Q为切点，过P作1的垂线，垂足为B,则（) A.1与⊙A相切 B.当P、A、B三点共线时，IPQV C.当|PB=2时，PA⊥AB D.满足PAHPB的点P有且仅有2个 6已知双曲线C:r-广=mm>0),点R(54)在C上，k为常数，0<k<1.按照如下方式依次构造 点P(n=2,3,过P作斜率为k的直线与C的左支交于点2，令B为2关于'轴的对称点， 记的坐标为） ①若=2，求 第17页共19页 1+ (2)证明：数列{x,-y}是公比为-k的等比数列： (3)设S为△PP+P+2的面积，证明：对任意的正整数n,S=Sn1. 7,设抛物线C:y=2p>0)的焦点为F点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B.若直 线BF的方程为=-2x+2,则4F() A.3 B.4 c.5 D.6 多选)双曲线C:怎一发a>06>0的左右焦点分别为F、月，左、右顶点分 4么，以F5为直径的园与C的一条海近线交于MN两点，且∠N4M-g 6,则() ∠A4,=君 B.MA=2MA C.双曲线C的离心率为V3 D.当a=V2时，四边形NAM4的面积为83 √2 已知椭圆C:。+=a>b>0的离心率为2，长轴长为 第18页共19页 1)求C的方程； 2过点0，-2》的直线交C于A、B两点，0为坐标原点若△01B的面积为N5,求4B B 第19页共19页