精品解析：陕西咸阳彩虹学校2026-2027学年度第一学期九年级数学第一次阶段学情自测

彩虹初中2026~2027学年度第一学期第一阶段 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 总分：120分） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级、考场、座位号、考号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若线段a、b、c、d是成比例线段，且，，，则d的值为（     ） A. B. 4 C. 6 D. 8 2. 如图，在正方形中，连接，点是边上一点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 将一元二次方程配方后化为的形式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点是坐标原点，点在第一象限，连接，若点的坐标是，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 为响应全民健身热潮，促进城际间的体育文化交流，某热门联赛计划组织多支足球队进行单循环赛制的友谊赛．参赛的每两支足球队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排28场比赛．设有支足球队参赛，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 7. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且，则该方程的解为（ ） A. ， B. C. ， D. 8. 如图，在矩形中，，点以的速度从点开始沿边向终点移动，同时点以的速度从点开始沿边向终点移动，其中一点到达终点时，E、F两点均停止运动，当E、F两点之间的距离为时，点E、F运动的时间为（ ） A. B. C. D. 或 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若方程是关于的一元二次方程，则的值可以是______________．（写出一个符合题意的数即可） 10. 已知四边形四边形，，若，则的长为____________． 11. 某社区图书室6月初的借阅人次为3000次，通过增设便民服务和开展阅读推广活动，8月初的借阅人次达到4320次．设该社区图书室6月至8月借阅人次的月平均增长率为，根据题意可列方程为__________________． 12. 如图，在矩形中，点是上一点，连接、，若，，则的度数为___________． 13. 关于x的方程有实数根，则m能取的所有正整数的和为_____ ． 14. 如图，在中，，是的中线，交边于点，若，，则的长为____________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程： 16. 如图，点在正方形的边上，连接，若，求的度数． 17. 求证：关于的一元二次方程，无论取何值，这个方程总有两个不相等的实数根． 18. 如图，已知，利用尺规作图法作菱形，使得点在射线上．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 若是关于的一元二次方程的一个解，求的值． 20. 如图，在四边形中，对角线、交于点，，，，求证：四边形是矩形． 21. 已知等腰三角形的三边长分别为、、2，且、是关于的一元二次方程的两根，求的值． 22. 如图，四边形是平行四边形，，分别过点，作，的垂线，分别交和的延长线于点，．求证：四边形是正方形． 23. 某服装店出售某种品牌的童装，进价为50元/件，原来售价为100元/件，每天可以出售40件，经市场调查发现每件童装每降价1元，平均每天可以多售出2件．若每天要获得2400元的利润，并使顾客得到更大的优惠，求每件该童装需降价多少元？ 24. 如图，在中，，相交于O，经过点的直线分别交、于点E、F，连接、，且平分． （1）求证：四边形为菱形； （2）若为的中点，，，求的长． 25. 某园林部门准备在一块长50米、宽40米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子（如图），，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺设草坪．设小路的宽度为（）米． （1）用含的代数式表示亭子的边长为___________米； （2）若小路的占地面积为180平方米，求小路的宽度． 26. 解答下列各题 （1）【问题探究】 如图1，点是矩形内的一个动点，点是的中点，连接、、，若，，． ①的长为______________； ②求点到点的最小距离； （2）【问题解决】 如图2，矩形是某工厂的一片空地，现要在、边上设立出入口、，要求，再从向铺设小路，从向铺设一条与小路垂直的小路（即于点M），从向修一条运输通道，为节省成本，要求运输通道的长度尽可能短．已知，，求运输通道长度的最小值．（小路、运输通道的宽度与出入口的大小均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 彩虹初中2026~2027学年度第一学期第一阶段 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 总分：120分） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级、考场、座位号、考号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若线段a、b、c、d是成比例线段，且，，，则d的值为（     ） A. B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义，，代入已知值求解d． 本题考查了比例线段，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵线段 a、b、c、d 是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 2. 如图，在正方形中，连接，点是边上一点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到的度数，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴． 3. 将一元二次方程配方后化为的形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：， ， ，即． 4. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点是坐标原点，点在第一象限，连接，若点的坐标是，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再得出和的长，由此即可得． 【详解】解：∵点的坐标是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴在中，， ∴点的坐标为． 5. 为响应全民健身热潮，促进城际间的体育文化交流，某热门联赛计划组织多支足球队进行单循环赛制的友谊赛．参赛的每两支足球队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排28场比赛．设有支足球队参赛，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵有支足球队参赛，单循环赛制要求每两支球队之间只比赛1场，每支球队需要与其余支球队各比赛1场， ∴所有球队参赛的总场次（含重复计算）为， 又∵甲队与乙队的比赛和乙队与甲队的比赛是同一场，每场比赛被重复计算了1次， ∴实际总比赛场数为， 已知总赛程为28场，因此可得方程，即选项A正确． 6. 如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，结合菱形的面积公式求出的长，则可利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵在菱形中，对角线、交于点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∵点是的中点， ∴． 7. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且，则该方程的解为（ ） A. ， B. C. ， D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题中两根的和与积的等量关系，结合一元二次方程的根与系数的关系求出的值，再解方程即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴， ∴原方程为， ∴， 解得． 8. 如图，在矩形中，，点以的速度从点开始沿边向终点移动，同时点以的速度从点开始沿边向终点移动，其中一点到达终点时，E、F两点均停止运动，当E、F两点之间的距离为时，点E、F运动的时间为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设点E、F运动的时间为，根据矩形的性质和已知条件用含t的式子表示出的长，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设点E、F运动的时间为， 由题意得，， ∵， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或， ∵， ∴符合题意，不符合题意， ∴点E、F运动的时间为． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若方程是关于的一元二次方程，则的值可以是______________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】（答案不唯一，任意满足的数均可） 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，得到的取值范围，任选一个符合条件的数即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程 ∴ 解得 因此任意不等于1的数都符合题意，例如． 10. 已知四边形四边形，，若，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似多边形对应边成比例的性质，结合已知与的倍数关系和的长度，即可计算的长． 【详解】解：∵ 四边形四边形， ∴ ∵， ∴ 把代入比例式得， 解得． 11. 某社区图书室6月初的借阅人次为3000次，通过增设便民服务和开展阅读推广活动，8月初的借阅人次达到4320次．设该社区图书室6月至8月借阅人次的月平均增长率为，根据题意可列方程为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】已知6月初初始借阅人次和8月初实际借阅人次，月平均增长率为，按照平均增长率的计算规则推导8月初借阅人次的表达式，即可列出对应方程． 【详解】解：∵6月初借阅人次为，月平均增长率为， ∴7月初借阅人次为， ∴8月初借阅人次为， 又∵8月初借阅人次为， ∴可列方程． 12. 如图，在矩形中，点是上一点，连接、，若，，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先得出，，则可得的度数、，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 13. 关于x的方程有实数根，则m能取的所有正整数的和为_____ ． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出m的取值范围，进而求出结果． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故m能取的正整数值为2，3，其和为5． 故答案为：5． 14. 如图，在中，，是的中线，交边于点，若，，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由直角三角形的性质得到，；可证明垂直平分，得到；设，则；由勾股定理得，，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在中，，是的中线， ∴，； ∵， ∴垂直平分， ∴； 设，则； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴． 16. 如图，点在正方形的边上，连接，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，则根据已知条件可求出的度数，进而可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． 17. 求证：关于的一元二次方程，无论取何值，这个方程总有两个不相等的实数根． 【答案】 证明：∵关于的一元二次方程， ∴ ， ∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据根的判别式得出，据此可得答案． 【详解】略 18. 如图，已知，利用尺规作图法作菱形，使得点在射线上．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【解析】 【分析】先作，在上截取，再分别以A、C为圆心，为半径作弧，两弧交于点D，连接即可． 【详解】解：作图略， 证明：由作图可知， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴点在射线上． 19. 若是关于的一元二次方程的一个解，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程得到的值，再将所求代数式变形后代入计算． 【详解】解：∵是方程的一个解 ∴ 整理得 ∴ ． 20. 如图，在四边形中，对角线、交于点，，，，求证：四边形是矩形． 【答案】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】根据，可证四边形是平行四边形，再证明，可证四边形是矩形． 【详解】略 21. 已知等腰三角形的三边长分别为、、2，且、是关于的一元二次方程的两根，求的值． 【答案】的值为 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再分三种情况：①，②和③，结合三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两根， ∴，． ①当时，则，此时这个等腰三角形的三边长分别为2，4，2， ∵， ∴不满足三角形的三边关系，舍去； ②当时，则，此时这个等腰三角形的三边长分别为4，2，2， ∵， ∴不满足三角形的三边关系，舍去； ③当时，则，此时这个等腰三角形的三边长分别为3，3，2， ∵， ∴满足三角形的三边关系， ∴； 综上，的值为． 22. 如图，四边形是平行四边形，，分别过点，作，的垂线，分别交和的延长线于点，．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质结合垂线的定义证明四边形是矩形，再根据直角三角形的两锐角互余结合等角对等边证明，即可得证． 【详解】证明：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形． ， ， ， 矩形是正方形． 23. 某服装店出售某种品牌的童装，进价为50元/件，原来售价为100元/件，每天可以出售40件，经市场调查发现每件童装每降价1元，平均每天可以多售出2件．若每天要获得2400元的利润，并使顾客得到更大的优惠，求每件该童装需降价多少元？ 【答案】每件该童装需降价20元 【解析】 【分析】设每件该童装需降价元，根据利润每件的利润销售量建立方程，解方程，并结合要使顾客得到更大的优惠得出的值即可． 【详解】解：设每件该童装需降价元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵要使顾客得到更大的优惠， ∴， 答：每件该童装需降价20元． 24. 如图，在中，，相交于O，经过点的直线分别交、于点E、F，连接、，且平分． （1）求证：四边形为菱形； （2）若为的中点，，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 平分， ， ， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由“”证，得，证出四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，可得．再证明四边形是平行四边形，进而可求出的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 25. 某园林部门准备在一块长50米、宽40米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子（如图），，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺设草坪．设小路的宽度为（）米． （1）用含的代数式表示亭子的边长为___________米； （2）若小路的占地面积为180平方米，求小路的宽度． 【答案】（1） （2）3米 【解析】 【分析】（1）根据亭子的边长是小路宽度的5倍可得答案； （2）小路的面积可以看成是两个小矩形的面积之和，其中一个矩形的长为，宽为，另一个矩形的长为，宽为，据此建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵小路的宽度为米，亭子的边长是小路宽度的5倍， ∴亭子的边长为米； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得， 解得或， ∵， ∴， 答：小路的宽度为3米． 26. 解答下列各题 （1）【问题探究】 如图1，点是矩形内的一个动点，点是的中点，连接、、，若，，． ①的长为______________； ②求点到点的最小距离； （2）【问题解决】 如图2，矩形是某工厂的一片空地，现要在、边上设立出入口、，要求，再从向铺设小路，从向铺设一条与小路垂直的小路（即于点M），从向修一条运输通道，为节省成本，要求运输通道的长度尽可能短．已知，，求运输通道长度的最小值．（小路、运输通道的宽度与出入口的大小均忽略不计） 【答案】（1）①；②9； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据矩形的性质得到，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半作答即可； ②由①可知，动点到定点的距离恒为8，因此的轨迹是以为圆心、8为半径的在矩形内部的圆弧，根据“点到圆的最短距离=点到圆心的距离-半径”求出相关量计算即可； （2）延长和，相交于G，根据矩形的性质得到，，根据圆周角定理可知M在以为直径的圆上，证明，得到，取中点O，连接，则，连接，可知，根据“点到圆的最短距离=点到圆心的距离-半径”计算即可． 【小问1详解】 解：①∵矩形， ∴， ∵在中，，是斜边的中点， ∴； ②如图，连接， 由①可知，动点到定点的距离恒为8，因此的轨迹是以为圆心、8为半径的在矩形内部的圆弧， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴的最小值为； 【小问2详解】 解：如图，延长和，相交于G， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴M在以为直径的圆上，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 取中点O，连接，则， 连接， 可知， 根据“点到圆的最短距离=点到圆心的距离-半径”可知长度的最小值 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $