第三单元倒数的认识及应用（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

2026-2027学年六年级数学上册同步全系列精品资源讲练合集 （专项讲义）第三单元倒数的认识及应用 一、核心知识点 1、倒数的认识的基础定义。 定义：乘积为1的两个数互为倒数，是分数除法单元的前置核心基础知识点，是后续把分数除法转换为分数乘法运算的关键转换工具，是整个分数运算体系的重要衔接环节。 核心逻辑：这类知识点的本质是“乘积为1的数对双向依存关系”，核心是精准把握“互为倒数”的双向属性，掌握不同类型数的倒数的求解方法，完全依托分数乘法的基础运算能力，为分数除法的计算规则做铺垫。 2、倒数的通用求解规则。 三步核心流程：第一步先确认要求倒数的数的类型，排除0这个没有倒数的特殊数；第二步如果是真分数/假分数，直接把分子和分母互换位置；如果是整数，把它转化为分母是1的分数后再互换分子分母；如果是小数，先把小数转化为最简分数后再互换分子分母；第三步把得到的倒数和原数相乘，验证乘积是否等于1，确认倒数求解正确。 特殊数专属规则：1的倒数是它本身1，0乘任何数都得0，永远无法得到乘积1，因此0没有倒数，这是倒数体系里的专属特殊判定规则。 速记口诀：分子分母倒，乘积要为1，1的倒数1，0没有倒数。 3、直接求分数倒数的基础题型。 题型特征：题目直接给出真分数或假分数，要求求出它的倒数，是倒数认识最基础的常规题型。 解题方法：直接把分数的分子和分母互换位置，得到的新分数就是原数的倒数，最后验证两个数的乘积为1即可，完全不需要额外的数的类型转换。 4、求整数、小数倒数的进阶题型。 题型特征：题目给出整数、小数这类非标准分数形式的数，要求求出它的倒数，是倒数认识的拔高拓展题型。 解题方法：先把整数、小数转化为最简分数形式，再互换分子分母得到倒数，最后验证乘积等于1，不能直接对整数、小数的数字做简单颠倒。 5、乘积校验方法。 算出一个数的倒数后，把原数和求出的倒数相乘，验证最终乘积是否严格等于1，快速排查分子分母颠倒错误、数的类型转换错误，避免出现倒数求解错误。 校验逻辑：两个数相乘的结果严格等于1，完全符合这个规律的结果才是正确的倒数。 二、高频易错点 1、概念表述错误：忽略倒数的“互为”双向属性，单独说某一个数是倒数，比如直接说“是倒数”，完全违背倒数的依存关系，这是本单元最高频的错题类型。 2、特殊数判定错误：错误认为0的倒数是0，或者认为所有数都有倒数，完全忽略0乘任何数都无法得到1的核心属性，得到倒数判定完全错误的结果。 3、数的类型转换失误：求小数的倒数时，没有先把小数转化为最简分数，直接把小数的数字顺序颠倒，比如把0.25的倒数错写成52.0，得到完全错误的结果。 4、大小关系混淆错误：错误认为所有数的倒数都比原数大，忽略假分数的倒数小于或等于1、1的倒数等于它本身的规则，得到倒数和原数的大小关系判定完全错误的结果。 5、带分数求倒数失误：求带分数的倒数时，没有先把带分数转化为假分数，直接把带分数的分数部分的分子分母颠倒，得到完全错误的倒数结果。 6、特殊场景失误：遇到“倒数是它本身的数是哪些”的题型时，漏掉1这个唯一符合条件的数，或者错误把0也纳入其中，得到完全不符合倒数定义的错误结果。 三、高频易错题 一、选择题 1．下面各组数中，互为倒数的是（    ）。 A．和9 B．8和0.125 C．和 D．和 2．如果a和b互为倒数，那么的计算结果是（    ）。 A．ab B．28 C． D． 3．如果和互为倒数，那么的计算结果是（    ）。 A． B． C．0 D． 4．图中m点表示一个数，它的倒数与1相比，下列选项正确的是（    ）。 A．大于1 B．小于1 C．等于1 D．无法确定 5．已知m和n互为倒数，的商是（    ）。 A． B． C． D． 6．如果（、、均不为0），那么（    ）。 A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a 7．17的倒数与17的和是（    ）。 A． B． C． D． 8．两个自然数的倒数之和是，这两个自然数是（    ）。 A．1和2 B．2和6 C．3和9 D．4和12 9．已知a的倒数是，b的倒数是，那么＝（    ）。 A． B． C． D． 10．除以它的倒数，结果是（    ）。 A． B． C．1 D．0 二、填空题 11．（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）。 12．已知a和b互为倒数，则的倒数为（ ），若a的倒数是a，则的倒数为（ ）。 13．有三个数，它们分别是最小的奇数，最小的质数和最小的合数，这三个数的倒数的乘积是（ ）。 14．已知（A、B、C均不为0），把A、B、C按从大到小的顺序排列：（ ）＞（ ）＞（ ）。 15．如果和两个数互为倒数，那么（ ），（ ）。 16．一个自然数与它的倒数的和是10.1。这个自然数的倒数是（ ）。 17．两个自然数的和是5，它们的倒数和是，这两个自然数分别是（ ）和（ ）。 18．有两个数a和b，如果a的倒数是它本身，b没有倒数，则2025－5ab＝（ ）；如果a、b互为倒数，则2025－5ab＝（ ）。 19．已知甲数是，乙数是甲数倒数的，求乙数是（ ）。 20．看图填一填。 （1）小华在一个正方体的六个面上各写一个数，并使每相对两个面上的数互为倒数，图中是正方体展开图，他在A面写的数是（ ）。 （2）抛起这个正方体，落下后整数朝上的可能性比分数朝上的可能性（ ）。（填“大”或“小”） 三、判断题 21．的倒数是。（ ） 22．2.5×0.2×2＝1，所以2.5、0.2、2互为倒数。（ ） 23．一个数的倒数不可能和这个数相等。（ ） 24．8除以它的倒数的商是。（ ） 四、计算题 25．直接写出下面各数的倒数。 25             五、解答题 26．如果、互为倒数，即，则？请写出推算过程。 27．已知两个质数的倒数和是，求这两个质数是多少？ 28．下图所示的是一个正方体的平面展开图，已知两个相对面上的数互为倒数，①②③的值分别是多少？ 29．两个连续奇数的倒数差是，这两个连续奇数是多少？提示：如果a＋2＝b（a不为0），那么。 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年六年级数学上册同步全系列精品资源讲练合集 （专项讲义）第三单元倒数的认识及应用 一、核心知识点 1、倒数的认识的基础定义。 定义：乘积为1的两个数互为倒数，是分数除法单元的前置核心基础知识点，是后续把分数除法转换为分数乘法运算的关键转换工具，是整个分数运算体系的重要衔接环节。 核心逻辑：这类知识点的本质是“乘积为1的数对双向依存关系”，核心是精准把握“互为倒数”的双向属性，掌握不同类型数的倒数的求解方法，完全依托分数乘法的基础运算能力，为分数除法的计算规则做铺垫。 2、倒数的通用求解规则。 三步核心流程：第一步先确认要求倒数的数的类型，排除0这个没有倒数的特殊数；第二步如果是真分数/假分数，直接把分子和分母互换位置；如果是整数，把它转化为分母是1的分数后再互换分子分母；如果是小数，先把小数转化为最简分数后再互换分子分母；第三步把得到的倒数和原数相乘，验证乘积是否等于1，确认倒数求解正确。 特殊数专属规则：1的倒数是它本身1，0乘任何数都得0，永远无法得到乘积1，因此0没有倒数，这是倒数体系里的专属特殊判定规则。 速记口诀：分子分母倒，乘积要为1，1的倒数1，0没有倒数。 3、直接求分数倒数的基础题型。 题型特征：题目直接给出真分数或假分数，要求求出它的倒数，是倒数认识最基础的常规题型。 解题方法：直接把分数的分子和分母互换位置，得到的新分数就是原数的倒数，最后验证两个数的乘积为1即可，完全不需要额外的数的类型转换。 4、求整数、小数倒数的进阶题型。 题型特征：题目给出整数、小数这类非标准分数形式的数，要求求出它的倒数，是倒数认识的拔高拓展题型。 解题方法：先把整数、小数转化为最简分数形式，再互换分子分母得到倒数，最后验证乘积等于1，不能直接对整数、小数的数字做简单颠倒。 5、乘积校验方法。 算出一个数的倒数后，把原数和求出的倒数相乘，验证最终乘积是否严格等于1，快速排查分子分母颠倒错误、数的类型转换错误，避免出现倒数求解错误。 校验逻辑：两个数相乘的结果严格等于1，完全符合这个规律的结果才是正确的倒数。 二、高频易错点 1、概念表述错误：忽略倒数的“互为”双向属性，单独说某一个数是倒数，比如直接说“是倒数”，完全违背倒数的依存关系，这是本单元最高频的错题类型。 2、特殊数判定错误：错误认为0的倒数是0，或者认为所有数都有倒数，完全忽略0乘任何数都无法得到1的核心属性，得到倒数判定完全错误的结果。 3、数的类型转换失误：求小数的倒数时，没有先把小数转化为最简分数，直接把小数的数字顺序颠倒，比如把0.25的倒数错写成52.0，得到完全错误的结果。 4、大小关系混淆错误：错误认为所有数的倒数都比原数大，忽略假分数的倒数小于或等于1、1的倒数等于它本身的规则，得到倒数和原数的大小关系判定完全错误的结果。 5、带分数求倒数失误：求带分数的倒数时，没有先把带分数转化为假分数，直接把带分数的分数部分的分子分母颠倒，得到完全错误的倒数结果。 6、特殊场景失误：遇到“倒数是它本身的数是哪些”的题型时，漏掉1这个唯一符合条件的数，或者错误把0也纳入其中，得到完全不符合倒数定义的错误结果。 三、高频易错题 一、选择题 1．下面各组数中，互为倒数的是（    ）。 A．和9 B．8和0.125 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，计算每组数的乘积是否为1即可判断。 【解答】A．，，不符合题意； B．，符合题意； C．，不符合题意； D．，不符合题意。 2．如果a和b互为倒数，那么的计算结果是（    ）。 A．ab B．28 C． D． 【答案】C 【分析】互为倒数的两个数乘积是1，也就是ab＝1，先按分数乘法的计算规则化简算式，再代入ab＝1计算即可。 【解答】 因为a和b互为倒数，所以ab＝1，代入得：。 3．如果和互为倒数，那么的计算结果是（    ）。 A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两个数乘积是1，可得，，代入原式化简即可。 【解答】 4．图中m点表示一个数，它的倒数与1相比，下列选项正确的是（    ）。 A．大于1 B．小于1 C．等于1 D．无法确定 【答案】A 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，真分数的倒数大于1，据此解答。 【解答】m在0与1之间是真分数，在图中表示，真分数倒数大于1，的倒数是，，所以m的倒数大于1。 5．已知m和n互为倒数，的商是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】互为倒数的两个数乘积是，即。分数除法的计算法则是除以一个不为的数，等于乘这个数的倒数。据此将除法算式转化为乘法算式，整理后代入数值计算即可。 【解答】因为和互为倒数，所以。 因为，所以原式。 6．如果（、、均不为0），那么（    ）。 A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a 【答案】C 【分析】题干给出三个乘法算式的积均为1，且未知数均不为0。利用乘法与除法的互逆关系，分别求出、、的具体数值，然后比较这三个数的大小，最后对照选项得出答案。 【解答】根据题意，三个算式的结果都等于1， ，得 ，得 ，得 因为， 所以。 7．17的倒数与17的和是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一个数的倒数与这个数的乘积是1，据此17的倒数是，那么再根据分数运算法则，即可求出。 【解答】17的倒数是 17＋＝＝ 故答案为：D 【点睛】本题考查倒数的意义是解决此题的关键。 8．两个自然数的倒数之和是，这两个自然数是（    ）。 A．1和2 B．2和6 C．3和9 D．4和12 【答案】D 【分析】如果两个数的乘积为1，我们就说这两个数互为倒数，或者说一个数是另一个数的倒数，先求出选项中各数的倒数，再求出它们倒数的和，最后找出正确的选项，据此解答。 【解答】A．1的倒数是1，2的倒数是，1＋＝； B．2的倒数是，6的倒数是，＋＝； C．3的倒数是，9的倒数是，＋＝； D．4的倒数是，12的倒数是，＋＝。 故答案为：D 【点睛】掌握倒数的意义和异分母分数加法的计算方法是解答题目的关键。 9．已知a的倒数是，b的倒数是，那么＝（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相乘等于1的两个数，互为倒数，由此可求出a和b的值。再根据除以一个数等于乘它的倒数，将a和b的值代入所求式子，即可求得结果。 【解答】因为a的倒数是，b的倒数是，所以a＝，b＝，所以。 故答案为：D 10．除以它的倒数，结果是（    ）。 A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】分数除法的规则是除以一个分数等于乘它的倒数。乘积为1的两个数互为倒数，对于分数的倒数，交换分子与分母的位置后得到的数就是该分数的倒数。 【解答】的倒数是。 ÷ ＝× ＝ 所以除以它的倒数，结果是。 故答案为：A 二、填空题 11．（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）。 【答案】6 2 【分析】乘积是1的两个数互为倒数；找分数的倒数可以直接把分子、分母交换位置，整数先看作分母是1的分数再交换；减法用被减数减去1得到减数；最后一空填一组互为倒数的数（答案不唯一）。 【解答】的倒数是6，的倒数是 －1＝ 所以×6＝×＝－＝2×＝1。（最后两空答案不唯一） 12．已知a和b互为倒数，则的倒数为（ ），若a的倒数是a，则的倒数为（ ）。 【答案】 【分析】第一个空的突破口是倒数的定义，因为互为倒数的两个数乘积为1，所以先代入ab＝1计算ab＋3的值，再求该值的倒数。 第二个空的突破口是“a的倒数是a”这一条件，因为倒数等于自身的数只有1，且a和b互为倒数，所以先确定a的取值，再对应得到b的取值，分别代入分式计算结果后再求倒数。 【解答】已知a和b互为倒数，那么ab＝1，那么＝1＋3＝4，则的倒数为1÷4＝； 根据a的倒数是a，可知a＝1，b＝1÷a＝1÷1＝1，则，则的倒数为1÷＝1×＝。 13．有三个数，它们分别是最小的奇数，最小的质数和最小的合数，这三个数的倒数的乘积是（ ）。 【答案】 【分析】奇数：不能被2整除的整数；最小的奇数是1； 质数：大于1，只有1和它本身两个因数；最小质数2； 合数：大于1，除1和本身还有别的因数；最小合数4； 倒数：乘积为1的两个数互为倒数；整数a的倒数是； 分数连乘法则：分子乘分子，分母乘分母，最后约分。 【解答】最小奇数：1，倒数：1 最小质数：2，倒数： 最小合数：4，倒数： 1××＝ 所以，这三个数的倒数的乘积是。 14．已知（A、B、C均不为0），把A、B、C按从大到小的顺序排列：（ ）＞（ ）＞（ ）。 【答案】 【分析】设三个相等的乘积为定值1，因为乘积为1时两个数互为倒数，所以可分别求出A、B、C对应的值；也可根据“乘积相等时，一个因数越大，另一个因数越小”的规律，先比较三个已知分数​、、的大小，再对应推导A、B、C的大小关系。 【解答】令 所以 15．如果和两个数互为倒数，那么（ ），（ ）。 【答案】 6 【分析】根据相乘等于1的两个数，互为倒数，由此可知xy＝1。根据分数乘分数等于两个分数的分子相乘为结果的分子，分母乘分母为结果的分母，将xy＝1，代入计算结果即可。除以一个数，等于乘它的倒数，再根据分数乘分数，计算出结果后，将xy＝1，代入计算结果即可。 【解答】因为和两个数互为倒数，所以xy＝1， 所以，。 16．一个自然数与它的倒数的和是10.1。这个自然数的倒数是（ ）。 【答案】0.1/ 【分析】自然数的倒数除了1以外，都是小于1的小数。已知这个自然数与它的倒数的和是10.1，可以拆分为整数部分10和小数部分0.1，一位小数转化为10的分数，乘积是1的两个数互为倒数，找到自然数判断对应的倒数。 【解答】10.1分成10和0.1。 0.1＝。 10＋＝10.1。 因此，自然数是10。 10的倒数是或0.1。 17．两个自然数的和是5，它们的倒数和是，这两个自然数分别是（ ）和（ ）。 【答案】2 3 【分析】首先，找出和为5的自然数组合，可能的组合有1和4、2和3。然后分别计算每组的倒数和：1和4的倒数和是，不符合题目中倒数和为的条件；2和3的倒数和是，符合题目要求。 【解答】两个自然数的和是5，它们的倒数和是，这两个自然数分别是（2）和（3）。 18．有两个数a和b，如果a的倒数是它本身，b没有倒数，则2025－5ab＝（ ）；如果a、b互为倒数，则2025－5ab＝（ ）。 【答案】2025 2020 【分析】a的倒数是它本身，那么a是1，b没有倒数，b是0，代入数据计算；若a、b互为倒数，那么ab＝1，据此计算解答。 【解答】2025－5ab＝2025－5×1×0＝2025－0＝2025 2025－5ab＝2025－5×1＝2025－5＝2020 有两个数a和b，如果a的倒数是它本身，b没有倒数，则2025－5ab＝2025；如果a、b互为倒数，则2025－5ab＝2020。 19．已知甲数是，乙数是甲数倒数的，求乙数是（ ）。 【答案】 【分析】倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数；求一个数的几分之几是多少，用乘法。 【解答】 20．看图填一填。 （1）小华在一个正方体的六个面上各写一个数，并使每相对两个面上的数互为倒数，图中是正方体展开图，他在A面写的数是（ ）。 （2）抛起这个正方体，落下后整数朝上的可能性比分数朝上的可能性（ ）。（填“大”或“小”） 【答案】（1） （2）大 【分析】（1）观察展开图，折成正方体后，A面与3面相对，然后根据倒数的定义确定具体的数。 （2）可能性大小与数量多少有关，数量越多，朝上的可能性越大；先确定整数面和分数面的数量，然后据此确定可能性的大小。 【解答】（1）3×＝1，所以3的倒数是，即A面写的数是。 （2）B面与2面相对，2×＝1，所以B面写的数是。C面与1相对，1×1＝1，所以C面写的数是1。由此可知整数面有：1、1、2、3共4个；分数面有：、共2个。4＞2，所以落下后整数朝上的可能性比分数朝上的可能性大。 三、判断题 21．的倒数是。（ ） 【答案】√ 【分析】乘积为1的两个数互为倒数，计算两个数的乘积即可判断说法是否正确。 【解答】因此的倒数是，原说法正确。 故答案为：√ 22．2.5×0.2×2＝1，所以2.5、0.2、2互为倒数。（ ） 【答案】× 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，倒数仅表示两个数之间的关系。 【解答】根据倒数的定义，只有乘积是1的两个数才能互为倒数。本题是2.5、0.2、2三个数相乘的结果为1，不符合倒数的定义，因此该说法错误。 故答案为：×。 23．一个数的倒数不可能和这个数相等。（ ） 【答案】× 【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数，1的倒数是1，大于1的自然数的倒数都小于1，由此解答。 【解答】乘积是1的两个数互为倒数，，因此1的倒数是1，和它本身相等。 故答案为× 24．8除以它的倒数的商是。（ ） 【答案】× 【分析】先找到8的倒数，再根据“除以一个不为0的数等于乘它的倒数”计算商，最后判断题干说法是否正确。 【解答】求8的倒数：根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，所以8的倒数是。 计算商：＝8×8＝64，因此8除以它的倒数的商是64，而题干说商是，说法错误。 故答案为：× 四、计算题 25．直接写出下面各数的倒数。 25             【答案】；；；100 五、解答题 26．如果、互为倒数，即，则？请写出推算过程。 【答案】1； ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1 【分析】把中的1全部转化为，再把分母转化为和，然后约分，最后计算同分母分数加法求出结果。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1 答：。 【点睛】分析题意把算式中的1转化为，根据算式的特点进行约分计算是解答题目的关键。 27．已知两个质数的倒数和是，求这两个质数是多少？ 【答案】5和7 【分析】质数是大于1的自然数，除了1和它本身之外，没有其他因数。已知两个质数的倒数和是，首先要明确：两个质数的倒数相加时，通分后的分母是这两个质数的乘积，分子是这两个质数的和。因此我们可以先对分母35分解质因数，再验证分子是否符合两个质数的和的条件。 【解答】分解分母的质因数： 35＝5×7 验证分子是否匹配： 5＋7＝12，与倒数和的分子12一致。 验证5和7的倒数和： 结果与题目中两个质数的倒数和是一致。 答：这两个质数是5和7。 【点睛】“已知两个质数的倒数和求这两个质数”的问题，关键在于抓住分数加法的通分规律：两个质数的倒数相加，分母是两个质数的积，分子是两质数的和。解题时先对倒数和的分母分解质因数，再验证分解后的质数之和是否等于分子，即可快速确定答案。 28．下图所示的是一个正方体的平面展开图，已知两个相对面上的数互为倒数，①②③的值分别是多少？ 【答案】；； 【分析】根据正方体展开图的类型，图中的正方体属于2-3-1型，①代表的数字与0.75相对应，②代表的数字与5相对应，③代表的数字与相对应，已知相对的面上的数互为倒数，互为倒数的两个数乘积为1，分别用1除以0.75、 5、，即可求出①、②、③所代表的数字。 【解答】①代表的数值： ②代表的数值： ③代表的数值： 29．两个连续奇数的倒数差是，这两个连续奇数是多少？提示：如果a＋2＝b（a不为0），那么。 【答案】13和15 【分析】不能被2整除的数叫做奇数；相邻的两个奇数之间相差2；两个连续奇数一定是互质数，把195分解质因数就求出这两个数，也就是这两个连续的奇数，据此解答。 【解答】因为195＝13×15 － ＝－ ＝ 所以这两个奇数是13和15。 答：这两个连续奇数是13和15。 学科网（北京）股份有限公司 $