专题3.2 确定圆的条件（4大知识点+7大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题3.2 确定圆的条件 知识点1 :确定圆的条件 　　1. 由圆的概念可知，确定一个圆的基本条件是确定圆心和半径，所以作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小。 　　2. 经过一点作圆：过一点可以作无数个圆。 　　3. 经过两点作圆：过两点可以作无数个圆，圆心在线段AB的垂直平分线上。 　　4. 经过三点作圆：不在同一条直线上的三点确定一个圆（有且只有一个）；在同一条直线上的三点不能确定一个圆。 　　5. 作圆步骤（过不共线三点A、B、C）：连接AB、BC；分别作AB、BC的垂直平分线交于点O；以O为圆心，OA长为半径作圆，即为所求。 知识点2 :三角形的外接圆与外心 　　1. 外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 　　2. 外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点。 　　3. 外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径。 　　4. 外心的位置 三角形类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 外心位置 在三角形内部 是斜边的中点 在三角形外部 知识点3 :多边形的外接圆 　　1. 定义：如果多边形的顶点都在同一个圆上，这个圆叫做多边形的外接圆，这个多边形叫做圆的内接多边形。 　　2. 三角形一定有外接圆且唯一；圆有无数个内接三角形。 知识点4: 最小覆盖圆 　　1. 定义：能完全覆盖某平面图形（图形上所有点都在圆内或圆上）的最小的圆，叫做该平面图形的最小覆盖圆。 　　2. 线段的最小覆盖圆：以线段为直径的圆。 　　3. 三角形的最小覆盖圆：锐角三角形为外接圆；直角三角形和钝角三角形为以最长边为直径的圆。 　　4. 矩形的最小覆盖圆：以对角线为直径的圆。 【基础必考题型】 【题型1】过点作圆与确定圆的个数 1.核心知识点 　　过若干点作圆的个数；由三点是否共线确定。 2.解题方法技巧 　　①过不共线三点能作唯一一个圆； 　　②四个点中选三个点作圆，分情况讨论共线与不共线； ③按三点组合逐一判断能否作圆。 【例题1】.（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【变式题1-2】.（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【题型2】三角形的外接圆与外心概念辨析 1.核心知识点 　　外接圆、外心的定义；外心是三边垂直平分线的交点。 2.解题方法技巧 　　①外心到三顶点距离相等，等于外接圆半径； 　　②外心是三边垂直平分线交点，不是角平分线、中线、高线交点； ③直角三角形的外心是斜边中点。 【例题2】.（26-27九年级上·北京·课后作业）对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 【变式题2-1】.（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 【变式题2-2】.（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 【变式题2-3】.（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（网格线的交点）上，点是（   ） A．的外心 B．的外心 C．的内心 D．的内心 【题型3】外心位置的判断 1.核心知识点 　　外心在锐角、直角、钝角三角形中的位置。 2.解题方法技巧 　　①锐角三角形外心在内部； 　　②直角三角形外心是斜边中点； ③钝角三角形外心在外部。 【例题3】.（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式题3-2】.（2025九年级·全国·专题练习）已知点O是外接圆的圆心，若点O在外，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能 【变式题3-3】.（25-26九年级上·天津南开·阶段检测）已知锐角中，是的中点，甲、乙二人想在上找一点，使得的外心为点，其做法如图．对于甲、乙二人的做法，正确的是（    ） 甲的作法 过点作与垂直的直线，交于点，则即为所求． 乙的作法 以为圆心，长为半径画弧，交于点，则即为所求． A．两人都正确 B．只有甲正确 C．只有乙正确 D．两人都不正确 由作法知：， 【培优高频题型】 【题型4】尺规作图确定已知弧（或圆）的圆心 1.核心知识点 　　由弧或残缺圆确定圆心；两条不平行的弦的垂直平分线交点。 2.解题方法技巧 　　①在弧上任取两条不平行的弦； 　　②作这两条弦的垂直平分线，交点即圆心； ③结合实际问题（残片、拱桥等）应用。 【例题4】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在某居民小区的一片空地上有三棵古树，现准备在这片空地上建一个圆形广场．为保护古树，设计时要求古树恰好都在圆形广场的边缘外处．如果由你来设计这个圆形广场，你会怎样确定这个圆形广场的圆心呢？ 【变式题4-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）有一个残破的圆形轮子如图所示．现在要浇铸一个和它半径一样的轮子，需要确定它的圆心．请在图中用尺规作出它的圆心． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）张华不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，为了定制一块同样大小的玻璃镜，需要确定原玻璃镜的半径．工人师傅在如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点，给出，你能找到这块圆形玻璃镜的半径吗？作图说明． 【变式题4-3】.（25-26九年级下·全国·课后作业）试用多种方法找出如图所示的破残轮片的圆心位置． 【题型5】求三角形外接圆的半径 1.核心知识点 　　利用外心到顶点距离相等、勾股定理等求外接圆半径。 2.解题方法技巧 　　①直角三角形外接圆半径等于斜边一半； 　　②作外心到弦的垂线，构造直角三角形用勾股定理； ③等腰、等边三角形利用对称性求半径。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，求这个直角三角形的外接圆半径． 【变式题5-1】.（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【变式题5-2】.（2026·河南三门峡·一模）如图，在中，．观察图中尺规作图的痕迹，则的半径是（   ） A． B．5 C．6 D．10 【变式题5-3】.（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）中，，，则的外接圆的半径为______． 【题型6】求外接圆的圆心坐标 1.核心知识点 　　在平面直角坐标系中，利用垂直平分线求外心坐标。 2.解题方法技巧 　　①作两条线段的垂直平分线，交点即外心； 　　②利用坐标与垂直平分线性质列方程； ③验证外心到三顶点距离相等。 【例题6】.（25-26九年级上·江苏泰州·期末）在正方形网格中建立如图所示平面直角坐标系经过网格点．仅利用无刻度直尺作图： (1)在网格中作出该圆圆心的位置，点坐标为_________； (2)过点做的切线，与轴交于点，点坐标为___________ 【变式题6-1】.（25-26九年级上·北京大兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    【变式题6-2】.（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 【变式题6-3】.（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图三个顶点的坐标分别是，，，将绕C逆时针旋转，得到； (1)请在网格图中画出． (2)在（1）的条件下，则点B的路径的长为_____． (3)若是的外接圆，直接写出点M的坐标_______． 【题型7】最小覆盖圆问题 1.核心知识点 　　最小覆盖圆定义；三角形、矩形等图形最小覆盖圆的确定。 2.解题方法技巧 　　①锐角三角形最小覆盖圆是外接圆； 　　②直角三角形、钝角三角形最小覆盖圆以最长边为直径； 　　③矩形、正方形最小覆盖圆以对角线为直径。 【例题7】.（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________． 【变式题7-1】.（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)将绕点O逆时针旋转后对应得到，请写出点，，的坐标； (2)结合图形，请写出外接圆坐标，并求能够完全覆盖这个三角形的最小圆面积（结果保留）． 【变式题7-2】.（2026·甘肃平凉·一模）定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·山东潍坊·期中）【给出定义】 若一个平面图形的所有点都位于某圆的内部或圆周上，则称该圆为该平面图形的覆盖圆．在所有覆盖圆中，直径最小的一个圆，称为该平面图形的最小覆盖圆． 【观察发现】 如图，小莹同学发现：“任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖”．从而，得出“三角形的外接圆就是覆盖该三角形的最小覆盖圆”的结论． 【问题解决】 （1）你同意小莹的观点吗？若不同意，请你写出一条自己的发现； （2）在矩形中，，，则该矩形的最小覆盖圆的直径为______； （3）如图4，在平面直角坐标系中，已知点，，点C是y轴正半轴上的一个点，且． ①求的最小覆盖圆的半径； ②求点C的坐标． 【综合应用】 （4）如图5，在四边形中，，，，且，，．若点E是四边形最小覆盖圆圆周上一点，则DE的最小值为．（注：直接写出答案即可） 易错点 　　1、误认为“三点确定一个圆”，忽略“不在同一条直线上”这一前提。 　　2、混淆外心与内心、重心，外心是三边垂直平分线的交点。 　　3、外心位置判断错误，钝角三角形外心在三角形外部。 　　4、过两点作圆时，误认为只能作一个，实际有无数个。 　　5、求外接圆半径时，未正确构造直角三角形或忽视分类讨论。 　　6、确定已知弧的圆心时，只作一条弦的垂直平分线致误。 重点 　　1、掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”。 　　2、理解三角形外接圆、外心的概念及外心的性质。 　　3、会尺规作三角形的外接圆。 　　4、能求三角形外接圆的半径、外心坐标。 难点 　　1、外心位置随三角形形状变化，分类讨论。 　　2、确定已知弧（残缺圆）的圆心。 　　3、最小覆盖圆问题及与情境、探究的综合应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 2．三角形有“四心”——内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交点）．任意一个三角形的________心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有（     ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，填空： （1）是的______________三角形． （2）是的______________圆． （3）圆心O是的______________的交点． 5．在中，的重心与外心的距离是__________． 6．定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为10的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为______． 三、解答题 7．如图，弧是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 8．请分别画出下面三个三角形的外接圆，并说明外心的位置与三角形的形状之间有什么关系． 9．如图， 是圆内接三角形，为圆的直径． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (2)过点的直线交的延长线于点，为边的中点，连接，，．若，求证：四边形是平行四边形． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 确定圆的条件 知识点1 :确定圆的条件 　　1. 由圆的概念可知，确定一个圆的基本条件是确定圆心和半径，所以作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小。 　　2. 经过一点作圆：过一点可以作无数个圆。 　　3. 经过两点作圆：过两点可以作无数个圆，圆心在线段AB的垂直平分线上。 　　4. 经过三点作圆：不在同一条直线上的三点确定一个圆（有且只有一个）；在同一条直线上的三点不能确定一个圆。 　　5. 作圆步骤（过不共线三点A、B、C）：连接AB、BC；分别作AB、BC的垂直平分线交于点O；以O为圆心，OA长为半径作圆，即为所求。 知识点2 :三角形的外接圆与外心 　　1. 外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 　　2. 外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点。 　　3. 外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径。 　　4. 外心的位置 三角形类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 外心位置 在三角形内部 是斜边的中点 在三角形外部 知识点3 :多边形的外接圆 　　1. 定义：如果多边形的顶点都在同一个圆上，这个圆叫做多边形的外接圆，这个多边形叫做圆的内接多边形。 　　2. 三角形一定有外接圆且唯一；圆有无数个内接三角形。 知识点4: 最小覆盖圆 　　1. 定义：能完全覆盖某平面图形（图形上所有点都在圆内或圆上）的最小的圆，叫做该平面图形的最小覆盖圆。 　　2. 线段的最小覆盖圆：以线段为直径的圆。 　　3. 三角形的最小覆盖圆：锐角三角形为外接圆；直角三角形和钝角三角形为以最长边为直径的圆。 　　4. 矩形的最小覆盖圆：以对角线为直径的圆。 【基础必考题型】 【题型1】过点作圆与确定圆的个数 1.核心知识点 　　过若干点作圆的个数；由三点是否共线确定。 2.解题方法技巧 　　①过不共线三点能作唯一一个圆； 　　②四个点中选三个点作圆，分情况讨论共线与不共线； ③按三点组合逐一判断能否作圆。 【例题1】.（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据题意分两种情况讨论（）有三点共线；（）任意三点不共线，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆． 【详解】解：∵四点不在同一直线上， ∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆； （）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆； ∴确定圆的个数为、或，不可能为， 故选：． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图、确定圆的条件，熟练掌握与圆有关的性质是解答本题的关键．连接，作线段的垂直平分线，以点（或）为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点，分别以为圆心，线段的长为半径画圆即可． 【详解】解：如图，满足题意． 这样的圆可以作2个． 故选：B． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 【答案】个 【分析】本题考查了圆的性质、确定圆心的方法，关键是找到满足题意的圆心的位置； 圆心在线段的垂直平分线上，且与的距离为，根据勾股定理求出圆心到中点的距离，就可得到圆心的个数． 【详解】解：设的中点为，圆心为， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在线段的垂直平分线上到的距离等于的点有两个， 故答案为：个． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记圆心的确定方法是解题的关键． 经过两点、的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到、的距离等于半径，利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆． 【详解】解：如图， 分别以、为圆心、5为半径作圆，两圆相交于点C、D， 然后分别以C、D为圆心，5为半径作圆，则和为所求． 故选：C． 【题型2】三角形的外接圆与外心概念辨析 1.核心知识点 　　外接圆、外心的定义；外心是三边垂直平分线的交点。 2.解题方法技巧 　　①外心到三顶点距离相等，等于外接圆半径； 　　②外心是三边垂直平分线交点，不是角平分线、中线、高线交点； ③直角三角形的外心是斜边中点。 【例题2】.（26-27九年级上·北京·课后作业）对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 【答案】B 【分析】根据三角形外心的定义和其性质逐一判断即可． 【详解】解：A、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以外心到三角形三个顶点的距离相等，故选项A正确，该选项不符合题意； B、到三角形三个顶点的连线平分三内角的是内心，不是外心，故选项B错误，该选项符合题意； C、三角形的外心即外接圆的圆心，三角形三个顶点都在外接圆上，所以外心到任一顶点的距离等于这个三角形的外接圆的半径，故选项C正确，该选项不符合题意； D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，所以它到三角形三个顶点的距离相等，则以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点，故选项D正确，该选项不符合题意． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外心，勾股定理， 根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， 所以点是△的外心， 故选：A． 【变式题2-2】.（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外心的定义．根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，据此即可求得答案． 【详解】解：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，故A、B错误；D正确；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部，故C错误． 故选：D． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（网格线的交点）上，点是（   ） A．的外心 B．的外心 C．的内心 D．的内心 【答案】B 【分析】本题考查了网格与勾股定理，外接圆，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合网格与勾股定理得出，即可得出是的外接圆． 【详解】解：观察网格，得 即， ∴是的外接圆， ∴点是的外心， 故选：B． 【题型3】外心位置的判断 1.核心知识点 　　外心在锐角、直角、钝角三角形中的位置。 2.解题方法技巧 　　①锐角三角形外心在内部； 　　②直角三角形外心是斜边中点； ③钝角三角形外心在外部。 【例题3】.（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外心，掌握相关知识是解题的关键．根据锐角三角形的外心在三角形内部，如果一个三角形的外心在它的一边的中点上，则该三角形是直角三角形，如果一个三角形的外心在它的外部，则该三角形是钝角三角形，即可判断． 【详解】解：因为钝角三角形的外心在它的外部， 由题意得知，只有D选项为钝角， 故选：D． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的外心，关键是熟练掌握三角形的外心的概念．根据三角形的外心是三边的垂直平分线的交点，再结合图形进行判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三边的垂直平分线的交点， 三角形的外心到三个顶点的距离相等． 由图可知，设网格中每个小正方形的边长为， 则点到三个顶点的距离均为， 即点到三个顶点的距离相等， 的外心是点． 故选：C． 【变式题3-2】.（2025九年级·全国·专题练习）已知点O是外接圆的圆心，若点O在外，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，解题的关键是判断外接圆的圆心所在的位置． 外心的位置与三角形类型有关：①锐角三角形的外心在三角形内部；②直角三角形的外心在斜边中点处；③钝角三角形的外心在三角形外部．因此，若外心在三角形外部，则三角形必为钝角三角形． 【详解】解：∵ 点是的外心，且点在外， ∴ 是钝角三角形．（注：仅钝角三角形的外心在三角形外部．） 故选：A． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·天津南开·阶段检测）已知锐角中，是的中点，甲、乙二人想在上找一点，使得的外心为点，其做法如图．对于甲、乙二人的做法，正确的是（    ） 甲的作法 过点作与垂直的直线，交于点，则即为所求． 乙的作法 以为圆心，长为半径画弧，交于点，则即为所求． A．两人都正确 B．只有甲正确 C．只有乙正确 D．两人都不正确 【答案】A 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形斜边中线的性质，由三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即可判断． 【详解】解：甲的作法， ， ， ∵O是中点， ， ， ∴O是的外心， ∴甲的作法正确． 乙的作法， 由作法知：， ∴O是的外心， ∴乙的作法正确． 故选：A． 【培优高频题型】 【题型4】尺规作图确定已知弧（或圆）的圆心 1.核心知识点 　　由弧或残缺圆确定圆心；两条不平行的弦的垂直平分线交点。 2.解题方法技巧 　　①在弧上任取两条不平行的弦； 　　②作这两条弦的垂直平分线，交点即圆心； ③结合实际问题（残片、拱桥等）应用。 【例题4】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在某居民小区的一片空地上有三棵古树，现准备在这片空地上建一个圆形广场．为保护古树，设计时要求古树恰好都在圆形广场的边缘外处．如果由你来设计这个圆形广场，你会怎样确定这个圆形广场的圆心呢？ 【答案】如图，点O即为圆形广场的圆心 【分析】根据垂径定理，垂直平分弦的直线一定过圆心，所以作出两弦的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：将三棵古树看作三个点，分别连接其中两棵古树得到两条线段，作出这两条线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为经过三棵古树的圆的圆心，该点就是所求圆形广场的圆心，以该点为圆心，以到古树的距离减去为半径作圆，即可满足古树都在圆形广场边缘外处的要求． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）有一个残破的圆形轮子如图所示．现在要浇铸一个和它半径一样的轮子，需要确定它的圆心．请在图中用尺规作出它的圆心． 【答案】如图，点O为所求圆心． 【分析】在圆上取两条弦，根据垂径定理，垂直平分弦的直线一定过圆心，所以作出两弦的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】略 【变式题4-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）张华不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，为了定制一块同样大小的玻璃镜，需要确定原玻璃镜的半径．工人师傅在如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点，给出，你能找到这块圆形玻璃镜的半径吗？作图说明． 【答案】如图所示，即为所求半径， 【分析】根据不在同一直线上的三个点确定一个圆，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，三角形三边垂直平分线的交点就是外接圆的圆心，圆心到顶点的距离就是半径，作的垂直平分线，它们的交点就是圆心，圆心到点任意一点的距离就是半径． 【详解】解：分别作线段和的垂直平分线，两条垂直平分线交于一点，记为点，以点为圆心，连接就是原玻璃镜的半径． 【变式题4-3】.（25-26九年级下·全国·课后作业）试用多种方法找出如图所示的破残轮片的圆心位置． 【答案】方法1：如图所示：点为破残轮片的圆心． 方法2：如图：点为破残轮片的圆心． 【分析】方法1：先从圆上找出任意的三点，连接，作线段的垂直平分线，交点即是破残轮片的圆心；方法2：作的圆周角：，直径交于点，点即为破残轮片的圆心． 【详解】解：略． 【题型5】求三角形外接圆的半径 1.核心知识点 　　利用外心到顶点距离相等、勾股定理等求外接圆半径。 2.解题方法技巧 　　①直角三角形外接圆半径等于斜边一半； 　　②作外心到弦的垂线，构造直角三角形用勾股定理； ③等腰、等边三角形利用对称性求半径。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，求这个直角三角形的外接圆半径． 【答案】这个直角三角形的外接圆半径为 【分析】先由勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形的外接圆直径等于斜边长即可求出答案． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为和， ∴这个直角三角形的斜边长为， ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴这个直角三角形的外接圆半径为． 【变式题5-1】.（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【答案】 【分析】在 中， ， ，过点 作 于点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，利用三角形外接圆圆心在各边的垂直平分线上，可知圆心在底边的高所在直线上，设半径后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 【变式题5-2】.（2026·河南三门峡·一模）如图，在中，．观察图中尺规作图的痕迹，则的半径是（   ） A． B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】由作法得：点O为的三边垂直平分线的交点，则为的外接圆，连接，由圆周角定理可得，可得为等边三角形，即可求解． 【详解】解：由作法得：点O为的三边垂直平分线的交点，则为的外接圆， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 即的半径是5． 【变式题5-3】.（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）中，，，则的外接圆的半径为______． 【答案】5 【分析】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长是圆的直径．已知中，，，斜边是外接圆的直径，因而外接圆的半径等于5． 【详解】解：，， 外接圆的半径等于5． 故答案为5. 【题型6】求外接圆的圆心坐标 1.核心知识点 　　在平面直角坐标系中，利用垂直平分线求外心坐标。 2.解题方法技巧 　　①作两条线段的垂直平分线，交点即外心； 　　②利用坐标与垂直平分线性质列方程； ③验证外心到三顶点距离相等。 【例题6】.（25-26九年级上·江苏泰州·期末）在正方形网格中建立如图所示平面直角坐标系经过网格点．仅利用无刻度直尺作图： (1)在网格中作出该圆圆心的位置，点坐标为_________； (2)过点做的切线，与轴交于点，点坐标为___________ 【答案】(1) 解：如图所示，点M即为所求，则点M的坐标为； (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，坐标与图形，确定三角形外接圆的圆心，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用网格画出线段和线段的垂直平分线，二者的交点即为点M，据此求解即可； （2）连接，过点C作轴于点T，由切线的性质可得，证明，得到，根据点M和点C的坐标可求出的长，进而可得点D的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接，过点C作轴于点T， 由切线的性质可得， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·北京大兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    【答案】 【分析】本题主要考查三角形外接圆的相关知识点，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；因此此题可分别作出线段的垂直平分线，然后问题可求解． 【详解】解：分别作线段的垂直平分线，如图所示：      ∴由坐标系可知：的外接圆的圆心坐标为； 故答案为． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点，然后根据两点之间的距离公式可知每段线段的大小，根据线段的等量关系求解． 本题考查了三角形的外接圆，平面直角坐标系以及两点之间的距离公式，知道三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点是解题关键． 【详解】 解： 设外接圆的圆心为点, 外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， 由题可知，,, 则作的中垂线交于, 作的中垂线交于, , 设点的坐标为， , ， ， ， 则点的坐标为． 故选: ． 【变式题6-3】.（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图三个顶点的坐标分别是，，，将绕C逆时针旋转，得到； (1)请在网格图中画出． (2)在（1）的条件下，则点B的路径的长为_____． (3)若是的外接圆，直接写出点M的坐标_______． 【答案】(1) 如图所示，即为所求. (2) (3) 【分析】本题主要考查了作旋转图形、求弧长、求三角形的外接圆的圆心等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键. （1）利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点，然后再顺次连接即可解答； （2）先根据勾股定理求得的长，进而利用弧长公式求解即可； （3）根据网格特点作出的垂直平分线的交点M，再结合坐标系即可解答． 【详解】（1）解：略． （2）解：∵ ∴点B的路径的长为． （3）解：如图所示，． 【题型7】最小覆盖圆问题 1.核心知识点 　　最小覆盖圆定义；三角形、矩形等图形最小覆盖圆的确定。 2.解题方法技巧 　　①锐角三角形最小覆盖圆是外接圆； 　　②直角三角形、钝角三角形最小覆盖圆以最长边为直径； 　　③矩形、正方形最小覆盖圆以对角线为直径。 【例题7】.（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．求出的外接圆半径即可． 【详解】解：作于D，如图， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴的外心O在上， 连接，设的外接圆的半径为r，则 在中，，解得， ∵能够完全覆盖这个三角形的最小圆为的外接圆， ∴能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径为． 故答案为：． 【变式题7-1】.（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)将绕点O逆时针旋转后对应得到，请写出点，，的坐标； (2)结合图形，请写出外接圆坐标，并求能够完全覆盖这个三角形的最小圆面积（结果保留）． 【答案】(1) 如图，即为所求，，，； (2)， 【分析】本题考查的知识点是平面直角坐标系中的图形旋转、三角形外接圆的性质及圆的面积计算；解题的关键是掌握点绕原点逆时针旋转的坐标变换规律，以及利用垂直平分线确定三角形外接圆圆心的方法． （1）利用平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转的坐标变换规则，即点旋转后变为，分别对A、B、C三点进行变换，得到、、的坐标； （2）先通过求两条边的垂直平分线，找到它们的交点，即外接圆的圆心的坐标；再计算圆心到三角形顶点的距离得到半径，最后根据圆的面积公式求出能够完全覆盖该三角形的最小圆面积． 【详解】（1） 略 （2）由图形可得，外接圆坐标为， 半径为： 则能够完全覆盖的最小圆面积 ． 【变式题7-2】.（2026·甘肃平凉·一模）定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 【答案】(1) 解：如图，即所求． (2)不是， 【分析】（1）作线段，的垂直平分线交于点O，连接以O为圆心，为半径作即可； （2）的外接圆不是它的最小覆盖圆，以为直径的圆是最小覆盖圆． 【详解】（1）略 （2）解：的外接圆不是它的最小覆盖圆．以为直径的是的最小覆盖圆． 如图，过点作交的延长线于点． ， ， ， ，， ， ， 的最小覆盖圆的直径为． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·山东潍坊·期中）【给出定义】 若一个平面图形的所有点都位于某圆的内部或圆周上，则称该圆为该平面图形的覆盖圆．在所有覆盖圆中，直径最小的一个圆，称为该平面图形的最小覆盖圆． 【观察发现】 如图，小莹同学发现：“任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖”．从而，得出“三角形的外接圆就是覆盖该三角形的最小覆盖圆”的结论． 【问题解决】 （1）你同意小莹的观点吗？若不同意，请你写出一条自己的发现； （2）在矩形中，，，则该矩形的最小覆盖圆的直径为______； （3）如图4，在平面直角坐标系中，已知点，，点C是y轴正半轴上的一个点，且． ①求的最小覆盖圆的半径； ②求点C的坐标． 【综合应用】 （4）如图5，在四边形中，，，，且，，．若点E是四边形最小覆盖圆圆周上一点，则DE的最小值为．（注：直接写出答案即可） 【答案】（1）不同意小莹的观点，发现一：锐角三角形、直角三角形的外接圆是覆盖三角形的最小覆盖圆，钝角三角形的外接圆不是覆盖三角形的最小覆盖圆；发现二：钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆； （2）； （3）①的最小覆盖圆的半径为；②点C的坐标是； （4） 【分析】（1）根据外接圆的性质，分别证明即可； （2）连接，交于点，由矩形的性质得到四边形是矩形，点、、、四点共圆，由勾股定理求出即可； （3）①取外接圆的圆心，连接，，根据圆周角定理和勾股定理求解； ②过点作轴，轴，则四边形是矩形，由等腰直角三角形的性质和勾股定理求出，即可得到点C的坐标； （4）四边形的最小覆盖圆是以为直径的圆，最小的点需在连线上，过点作于点，由勾股定理求解作差即可． 【详解】解：（1）不同意小莹的观点，在图1中设锐角外接圆圆心为点， 连接，，， 锐角的外接圆是该三角形的最小覆盖圆， 如图，设直角外接圆圆心为点，连接， 则，且为外接圆的直径， 直角的外接圆是该三角形的最小覆盖圆， 在图3中设钝角中， 作以最长边为直径的圆，则由下图可知，点在此圆内， 故钝角三角形的外接圆不是覆盖该三角形的最小覆盖圆，以最长边为直径的圆是钝角三角形的最小覆盖圆； 综上所述，若三角形是锐角三角形或直角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆，若钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边为直径的圆，故小莹的说法不正确． （2）如图所示，连接，交于点， 四边形是矩形， ，， 点、、、四点共圆， ， 该矩形的最小覆盖圆的直径为； （3）①取外接圆的圆心，连接，， ，， ， ， ， ， 的最小覆盖圆的半径是； ②过点作轴，轴， 则四边形是矩形， 由①知是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， （4）由（1）知，钝角三角形的最小覆盖圆是以三角形最长边为直径的圆， ， 故四边形的最小覆盖圆是以为直径的圆，如图所示，即， 此时，点在圆内，要使最小，点需在连线上，即延长线与圆周的交点， 由于，，， 根据勾股定理求得， 则， 过点作于点， ，， ， ， 则， 【点睛】此题考查了外接圆的性质，勾股定理，圆周角定理，矩形的性质，点与圆的位置关系，解题的关键在于理解题中新定义． 易错点 　　1、误认为“三点确定一个圆”，忽略“不在同一条直线上”这一前提。 　　2、混淆外心与内心、重心，外心是三边垂直平分线的交点。 　　3、外心位置判断错误，钝角三角形外心在三角形外部。 　　4、过两点作圆时，误认为只能作一个，实际有无数个。 　　5、求外接圆半径时，未正确构造直角三角形或忽视分类讨论。 　　6、确定已知弧的圆心时，只作一条弦的垂直平分线致误。 重点 　　1、掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”。 　　2、理解三角形外接圆、外心的概念及外心的性质。 　　3、会尺规作三角形的外接圆。 　　4、能求三角形外接圆的半径、外心坐标。 难点 　　1、外心位置随三角形形状变化，分类讨论。 　　2、确定已知弧（残缺圆）的圆心。 　　3、最小覆盖圆问题及与情境、探究的综合应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 【答案】C 【分析】可通过外心位置与三角形形状的对应关系判断错误选项． 【详解】解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点， 故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误． D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确． 2．三角形有“四心”——内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交点）．任意一个三角形的________心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有（     ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别判断三角形四心在任意三角形中的位置，统计满足“任意三角形中都在内部”的心的个数即可得到答案． 【详解】解：内心是三角形内角平分线的交点，任意三角形的内心都在三角形内部； 重心是三角形中线的交点，任意三角形的重心都在三角形内部； 外心是三角形三边垂直平分线的交点，钝角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心在斜边中点，因此外心不满足条件； 垂心是三角形高线所在直线的交点，钝角三角形的垂心在三角形外部，直角三角形的垂心在直角顶点，因此垂心不满足条件． 综上所述，满足条件的心共有种． 3．如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据得出，即可求出，利用三角形外角的性质即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是的外接圆圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 4．如图，填空： （1）是的______________三角形． （2）是的______________圆． （3）圆心O是的______________的交点． 【答案】 内接 外接 三边垂直平分线 【分析】直接根据三角形的外接圆与外心相关概念分别分析得出即可． 【详解】解：（1）由题意得，是的内接三角形； （2）由题意得，是的外接圆； （3）∵是的外接圆， ∴圆心O是的三边垂直平分线的交点． 5．在中，的重心与外心的距离是__________． 【答案】/ 【分析】先由勾股定理求出，再确定重心与外心的位置，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及重心的性质求解． 【详解】∵在中，， ∴， 如图，的外心为的中点，记为点D，三角形的重心G在线段上， ∵，， ∴， ∴， 即的重心与外心的距离是． 【点睛】重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 6．定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为10的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为______． 【答案】 【分析】根据题意画出相应的图形，利用圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图所示： 如图，与等腰直角的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等， ∵同一个圆中，弦相等则弦心距相等， ∴等弦圆的圆心到等腰直角三条边的距离相等，故圆心就是等腰直角的内心， ∴当过时，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，即，此时最大， 过点分别作弦的垂线，垂足分别为，连接， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， 即， 在中，， ∴． 三、解答题 7．如图，弧是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】在弧上任取一点C（不与A，B重合），连接弦、弦；再分别作线段的垂直平分线、线段的垂直平分线；两条垂直平分线的交点即为圆心O． 【详解】略 8．请分别画出下面三个三角形的外接圆，并说明外心的位置与三角形的形状之间有什么关系． 【答案】如图， 锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形外心是斜边的中点，钝角三角形外心在三角形外部． 【详解】略 9．如图， 是圆内接三角形，为圆的直径． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (2)过点的直线交的延长线于点，为边的中点，连接，，．若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)解：点即为所求， (2)证明：如图，过点的直线交的延长线于点，为边的中点，连接，，．并作， 是直径， ， 是的中点， ，即， ， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 【分析】（1）因为是直径，所以找到的中点即是圆心； （2）根据题干画出图形，同时根据圆的圆周角性质和垂径定理及推论可以得出四边形是矩形，若，则，平行且等于，所以四边形是平行四边形． 【详解】（1）略 （2）略 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $