专题3.5 点与圆、直线与圆的位置重难点题型专训（5个知识点+11大题型+3大提高题型+自我检测）讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题3.5 点与圆、直线与圆的位置重难点题型专训 （5个知识点+11大题型+3大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 判断点与圆的位置关】 9 【基础题型二 点与圆上一点的最值问题】 10 【基础题型三 判断直线和圆的位置关系】 15 【基础题型四 证明某直线是圆的切线】 23 【基础题型五 切线的性质定理】 29 【基础题型六 切线的性质和判定的综合应用】 36 【基础题型七 应用切线长定理求解与求证】 43 【基础题型八 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 49 【基础题型九 三角形内心有关应用】 55 【基础题型十 圆与三角形的综合(圆的综合问题)】 62 【基础题型十一 圆与四边形的综合(圆的综合问题)】 68 第二部分·练提高题型 【提高题型一 直线与圆的位置关系的判断及证明】 87 【提高题型二 解决圆的切线相关问题】 90 【提高题型三 圆与其他图形的综合应用】 94 第三部分・自我检测 知识点01 点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 【即时训练】 1．（25-26九年级上·山东潍坊·期末）在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到两个圆心的距离和对应圆的半径，即可判断点A的位置，点与圆的位置关系为：设圆半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆外，时点在圆内． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆外部， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆内部． 2．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）已知的半径为2，点P为外一点，则的长可以为______（写出一个即可）． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围． 根据题意可以求得的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：∵的半径为2，点在外， ∴， ∴的长可以是4． 故答案为：4（答案不唯一）． 知识点02 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 d与r关系 d＜r d＝r d＞r 公共点名称 割点 切点 直线名称 割线 切线 【即时训练】 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是_______． 【答案】相交 【详解】解：的直径为， 的半径， 圆心与直线的距离， ， 直线与的位置关系是相交． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知的斜边，直角边． （1）以C为圆心，长为半径的圆和的位置关系是_________； （2）以C为圆心，长为半径的圆和的位置关系是_________； （3）如果以C为圆心的圆和相切，则半径长为_________． 【答案】 相离 相交 【分析】设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么直线与⊙O相交；直线与⊙O相切；直线与⊙O相离．先求出另一条直角边和斜边上的高，可得答案． 【详解】解：如图，， ∵的斜边，直角边 ∴， 所以，斜边上的高， （1）因为， 所以，以C为圆心，长为半径的圆和的位置关系是相离； （2）因为， 所以，以C为圆心，长为半径的圆和的位置关系是相交； （3）如果以C为圆心的圆和相切，则半径长为． 知识点03 切线的判定与性质 1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2. 切线的判定定理的推论 （1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 3. 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径． 4. 证明直线是圆的切线的方法 一看 利用交点个数：直线与圆有唯一的公共点 二算 利用数量关系：圆心到直线的距离等于圆的半径 三说明 利用切线的判定定理：直线经过半径的外端并且垂直于这条半径 【即时训练】 1．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，是的弦，点C在过点B的切线上，，交于点P．若，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角，切点的定义，直角三角形两锐角互余，根据，得到，，可得，结合进而得出最后的结论．正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点C在过点B的切线上， ∴， ∴． 故选C． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，圆O是的外接圆，，过点C作圆O的切线，交的延长线于点D，则的度数是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，90度的圆周角所对的弦是直径，根据可得是的直径，则由圆周角定理可得，由切线的性质推出，据此根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，圆O是的外接圆， ∴是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∴， 故答案为：． 知识点04 切线长及切线长定理 1. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 【即时训练】 1．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质和切线长的性质定理，根据切线的性质和切线长的性质定理，得出，即可求解． 【详解】，是的切线，是的直径， ，， ， ， ， ． 故选B． 2．（2025九年级上 江苏）如图，是的直径，和是它的两条切线，切于点，交于点，交于点，求证：． 【答案】 证明：连接交于，连接，如图， 和为的切线， ， ， 垂直平分， 是的直径， ， ， ． 【分析】本题考查了切线长定理，圆周角定理，垂直平分线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．连接、，如图，先根据切线长定理得到，再判断垂直平分，接着根据圆周角定理得到，然后根据平行线的判定方法得到结论． 知识点05 三角形的内切圆 1. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形． 2. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点． 3. 三角形的内心与外心的区别 内心 外心 内心到三角形三边的距离相等 外心到三角形的三个顶点的距离相等 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 过三角形三边中点和外心的直线垂直平分三角形的边 所有三角形的内心均在三角形内部 三角形的外心不一定在三角形内部 【即时训练】 1．（26-27九年级上·北京·随堂练习）已知为的内切圆，则点O是的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【详解】解：∵是的内切圆， ∴点O是的内心，即三条角平分线的交点． 2．（2023九年级上·江苏宿迁·阶段测试）如图，的周长为，点为的内心，连接、，于点．若，则的面积是________． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，于点，由内心的定义和角平分线的性质可得，根据，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，于点， 点为内心， ，，分别平分，，， ，，， ， ． 【基础题型一 判断点与圆的位置关】 【例1】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 【例2】（23-24九年级上·江苏淮安·期末）点为外一点，它到最大距离与最小距离为18、8，与相切于点，则 （1）的半径为 _____； （2）切线长为 _______． 【答案】 5 12 【分析】本题考查点与圆的位置关系，切线的性质，勾股定理等知识． （1）设的半径为，根据圆外一点与圆的关系建立方程求解即可得出答案； （2）连接，由切线的性质可得，运用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：（1）设的半径为， 由题意得：， 解得：， 故答案为：5； （2）如图，连接， 与相切于点， ，，， ． 故答案为：12． 1．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【答案】B 【分析】根据点P在内或外分类讨论，由最长最短距离与圆直径的关系计算半径即可． 【详解】当点P在外时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴ 的直径为 ，半径为 ． 当点P在内时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴的直径为 ，半径为 ． 因此的半径为或． 2．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）已知点A是数轴上一定点，点B是数轴上一动点，点A表示的实数为，点B所表示的实数为b，作以A为圆心，2为半径的，若点B在外，则b的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据点与圆位置关系得到，结合数轴距离写出，解不等式得到的取值区间，估算值后求解即可． 【详解】解：∵点B在外， ∴． ∵点A、B在数轴上，分别表示和， ∴． ∴． ∴或． ∵， ∴，， ∴的值可能是． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）的半径为10，根据下列点P到圆心O的距离，判断点P和的位置关系： (1)8； (2)10； (3)12． 【答案】(1) 点在内 (2) 点在上 (3) 点在外 【分析】 比较点到圆心的距离与半径的大小，即可判定点与圆的位置关系． 【详解】（1）解：∵的半径为10，点P到圆心O的距离为8，且， ∴点在内； （2）解：∵的半径为10，点P到圆心O的距离为10， ∴点在上； （3）解：∵的半径为10，点P到圆心O的距离为12，且， ∴点在外． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）体育课上，李明和王芳的铅球成绩分别是和，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？ 【答案】李明投出的铅球落在到之间的区域；王芳投出的铅球落在到之间的区域． 【分析】根据李明和王芳的铅球成绩分别是和，找到其所在的范围，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴李明投出的铅球落在到之间的区域， 王芳投出的铅球落在到之间的区域． 【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，关键是根据和分别求出其所在的范围． 【基础题型二 点与圆上一点的最值问题】 【例1】（2023九年级上·江苏徐州·阶段测试）如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则 的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的中点为O，连接，，先根据直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理得到，，进而推导出，根据三线合一得到，则点M在以为直径的圆上运动，设圆心为，连接，当M在线段上即点处时，最小，过作于H，证明是等边三角形得，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，设的中点为O，连接，， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是以斜边为直径的半圆上一动点， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 则点M在以为直径的圆上运动，设圆心为，连接，当M在线段上（即点处）时，最小， 过作于H，则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【例2】（26-27九年级上·江苏扬州·课后练习）在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】连接，得出，点D在以为直径的圆上运动，当点D在与的交点处时，最短，求出，进而求出结论． 【详解】解：连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∴点D在以为直径的上运动，当点D在与的交点处时，最短，如图所示， ， ， ， ， ， ∴的最小值为2． 1．（2023九年级上·江苏镇江·单元测试）如图，以为直径的半圆，是弧的中点，是弧上任意一点，，交于点．若，则长的最小值为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】设以为直径的半圆的圆心为点O，连接，可求出，则，进而可证明；作的外接圆，其圆心为点，在优弧上取一点G，连接，可证明，证明，得到，则，根据，可得当三点共线时，有最小值，最小值为的值，即为． 【详解】解：如图所示，设以为直径的半圆的圆心为点O，连接， ∵是弧的中点，是半圆的直径， ∴， ∴， ∵，即， ∴； 如图所示，作的外接圆，其圆心为点，在优弧上取一点G，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的值，即为． 2．（2026九年级上·江苏扬州·阶段测试）如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值，根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值； 矩形中，，，的半径为2，的半径为1， ，，，， ， ， ． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，并带动磨盘绕点O转动， ．在磨盘转动过程中，的最大值为______．最小值为______． 【答案】 12 【分析】先根据当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最远，再根据勾股定理解答；然后结合当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最近，最后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最远， 在中，， ∴； 当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最近， 在中，， ∴． 4．（2023九年级上·江苏镇江·阶段测试）已知：点O是正方形对角线的交点，P是平面内一点（不与点D重合），连接，将以D为中心，逆时针旋转90度，得到线段，连接，．E、F分别是，的中点，连接，． (1)在图1中补全图形； (2)直接写出图1中； (3)当点P在正方形外，时，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明； (4)如图2，若,，点M是中点，点N是线段上的一个动点，在点P绕点D旋转的过程中，线段长度的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】(1) (2)45 (3)不变；理由： 如图1，连接、、、，设交于点R，交于点S， 四边形为正方形， 、、， 由旋转的性质得：、， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 在中，， 在中，， ， ， ， 点F是的中点，点O是的中点， 是的中位线， 、， 点E是的中点，点O是的中点， 是的中位线， 、， 、， 、， 为等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ， 的值不变； (4)，5 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）根据正方形的性质和旋转的性质证明，进而得到、，根据三角形内角和定理得到，再利用三角形中位线定理求出是等腰直角三角形，从而求出的度数； （3）同（2）证明是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，从而求出的值； （4）过点D作于点H，以点D为圆心，分别以、为半径作圆，则点N在图示的圆环部分，根据旋转的性质得到是等腰直角三角形，根据勾股定理求出长，根据直角三角形斜边中线的性质求出长，从而求出的最大值和最小值． 【详解】（1）略； （2）解：如图1，连接、、、，设交于点R，交于点S， 四边形为正方形， 、、， 由旋转的性质得：、， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 在中，， 在中，， ， ， ， 点F是的中点，点O是的中点， 是的中位线， 、， 点E是的中点，点O是的中点， 是的中位线， 、， 、， 、， 为等腰直角三角形， ； （3）略； （4）解：如图2，过点D作于点H， 以点D为圆心，分别以、为半径作圆，则点N在图示的圆环部分， 四边形是正方形， ， 点是的中点， ， 由旋转的性质得：、， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ， 点为的中点， ， 的最小值为，的最大值为． 【点睛】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握相关性质定理，数形结合的运用是解题的关键． 【基础题型三 判断直线和圆的位置关系】 【例1】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则    （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆有公共点确定直线与圆为相交或相切的位置关系，以此推导与的大小关系． 【详解】解：∵直线与有公共点， ∴直线与圆相交或相切． ∵直线与圆相交时，相切时， ∴． 【例2】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】直线与圆有公共点，考虑临界情况即直线与圆相切. 由直线解析式可知直线与轴夹角为，结合圆的半径构造等腰直角三角形求解的长，从而确定的取值范围． 【详解】解：直线的解析式为， 直线与轴正半轴的夹角为， 当直线与相切时，圆心到直线的距离等于半径， 设切点为，连接， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得， 当直线与轴正半轴相交且相切时，，即， 同理，当直线与轴负半轴相交且相切时，，即， 直线与有公共点， 点在轴上介于两切点之间，则的取值范围是． 1．（2023九年级上·江苏南通·阶段测试）以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当直线与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图： 在中，令时，，则与y轴的交点是， 当时，，则与x轴的交点是， 则，即是等腰直角三角形， 在中，， 连接圆心O和切点C，则， ， ∴， 则； 同理，当直线与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，； 则若直线与⊙O相交，则b的取值范围是． 2．（26-27九年级上·北京·课前预习）如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分两种情况考虑即可． 【详解】解：如图，过点P作于点C，则， 即当时，此时与射线只有一个公共点； 如图，当时，则与射线只有一个公共点，此时; 综上，当或时，与射线只有一个公共点． 3．（25-26九年级上·江苏常州·课后练习）已知在平面直角坐标系中的第一象限有一点，其中实数，满足，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】点的轨迹是圆心为、半径为的圆.设，可得，将问题转化为直线与圆有公共点时求的最大值.当直线与圆相切时取得最大值，利用一元二次方程根的判别式求解即可. 【详解】解：设，则， 将代入，得 ， 展开整理得 ， 当取最大值时，直线与圆相切， ∴， 整理得 解得 因此的最大值为. 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，．以边的中点D为圆心，以r为半径作．若，分别判断，与的位置关系． 【答案】与相离，与相切 【分析】过圆心D分别作的垂线，垂足分别为，则的长分别为圆心D到的距离，然后根据三角形中位线定理求出圆心到直线的距离，再与半径比较即可． 【详解】解：如图，过圆心D分别作的垂线，垂足分别为， 则的长分别为圆心D到的距离， 连接， ∵D为的中点， ∴， ∴E，F分别为的中点 ∴ ∵, ∴ ∴与相离，与相切． 【基础题型四 证明某直线是圆的切线】 【例1】（26-27九年级上·江苏徐州·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，过格点作一圆弧，将点B与下列格点分别连线，当连线与圆弧相切时，该格点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，作，的垂直平分线，交格点于点，则点为所在圆的圆心，可得三点所在圆的圆心为，连接，取格点，对各选项进行判断即可． 【详解】解：如图，连接，作，的垂直平分线，交格点于点，则点为所在圆的圆心， ∴三点所在圆的圆心为，由图可得， 连接，取格点， A、如图，设，取格点，由图可知，， ∵，，，，， ∴，，， ∴， ∴与不全等， ∴， ∴，即， ∴不与圆相切，故选项不符合题意； B、如图，设，取格点，由图可知，， ∵，，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴与圆相切，故选项符合题意； C、如图，设，取格点，由图可知，， ∵，，，，， ∴，，， ∴， ∴与不全等， ∴， ∴，即， ∴不与圆相切，故选项不符合题意； D、如图，设，取格点，由图可知，， ∵，，，，， ∴，，， ∴， ∴与不全等， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴不与圆相切，故选项不符合题意； 【例2】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 【答案】 证明：是的直径， ， ∵ ， ， ， 即：， 是的切线； 【分析】本题主要考查了切线的判定定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由直径所对的圆周角是直角可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，即，然后根据切线的判定定理即可得出结论； 【详解】略 1．（25-26九年级上·江苏南通·期末）已知点是外一点，甲、乙两位同学用尺规过点作的切线，如图所示，下列关于两位同学作图判断正确的是（    ） A．甲对，乙错 B．乙对，甲错 C．甲乙都对 D．甲乙都不对 【答案】C 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质．甲中，由圆周角定理得到，可判定是的切线；乙中，由作图知，证明，得到，可判定是的切线． 【详解】解：甲中，由作图知是的直径， ∴， ∴是的切线； 乙中，由作图知，，，即， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； 综上，甲乙都对． 故选：C． 2．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，是的直径，交于点，于点，要使是的切线，还需补充一个条件嘉嘉说：“这个条件可以是”；淇淇说：“满足条件也可以判定是的切线”；对于他们的说法，下列判断正确的是（    ）    A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．他们都正确 D．他们都错误 【答案】C 【分析】本题考查的是切线的判定；根据，连接，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点是的中点，是的中位线，，然后由，得到，可以证明是的切线．根据，，得到，可以证明是的切线． 【详解】解：当时，如图：连接，   是的直径， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， 是的切线． 当时，，． 是的切线． 故选：C． 3．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，以为直径作交BC于点D．过点D作，垂足为E，且交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接，， ∵是的直径， ∴． ∴ ． ∴ ∵， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴ ∴是的切线； (2)5 【分析】（1）通过连接，证明，结合得出，从而证明是的切线； （2）先判断为等边三角形，再利用等边三角形三线合一的性质和直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中， ， ∴长为5． 4．（2023九年级上·江苏盐城·单元测试）如图，是以为直径的的内接三角形，与相切于点B，与的延长线交于点D，E是的中点，延长，交的延长线于点F． (1)与有怎样的位置关系并说明理由； (2)若，，求的长和的半径． 【答案】(1)解：与相切．理由如下： 如图，连接， ∵与相切于点B，， ∴，即， ∵为的直径， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； (2)，的半径为 【分析】（1）连接，证明，可得证； （2）根据题意，求得，，设，则，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 由（1）得， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为． 【基础题型五 切线的性质定理】 【例1】（2023九年级上 江苏无锡·阶段测试）如图，是的切线，B为切点，与交于点D，．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，根据得到，根据是的切线得到，即可得到，结合等腰三角形性质求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【例2】（2024九年级上·江苏常州·阶段测试）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数（，）的图像上，分别以点A、B为圆心，2为半径作圆，与y轴相切、与x轴相切，连接，若，则________． 【答案】12 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，切线的性质，勾股定理，依据题意，可得，，再由，从而，进而得解．根据题意得到关于的方程是解题的关键． 【详解】解：依题意，A的横坐标为2，B的纵坐标为2，得，， ， 或12 又， ． 故答案为：12． 1．（2023九年级上 江苏泰州·单元测试）点P的坐标为，点是垂直于y轴的直线l上的一点，经过点P，且与直线l相切于点A，则点M的纵坐标为（　　） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据切线的性质得到，求得点的横坐标为，设，过作轴于，连接，，则，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵直线是的切线， ∴， ∵轴， ∴轴， ∵点， ∴点的横坐标为， 设， 过作轴于，连接，， 则，，， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴点M的纵坐标为． 故选：A．    【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 2．（2023九年级上 江苏南京·单元测试）如图，，是的切线，，为切点，过点作交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 连接，根据切线的性质得出，根据四边形内角和为，求得，根据圆周角定理得出，然后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 3．（2026九年级上·江苏徐州·阶段测试）如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上，已知，则的度数是________． 【答案】/50度 【分析】连接，由圆周角定理可得的度数，由切线的性质得到，再由直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵与相切于点B， ∴， ∴ ． 4．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知为的直径，点D在上，弦交于点E（不与点O、B重合），F为延长线上一点，给出下列信息：①；②；③为的切线 (1)请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，B为的中点，求的半径． 【答案】(1)条件①②结论③ 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴为的切线； 条件①③结论② 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵为的切线， ∴． ∴，即， ∵， ∴． ∴． ∴ ∵， ∴． ∴； 条件②③结论① 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵为的切线， ∴． ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∴； (2)3 【分析】（1）选择条件①②，证明结论③，连接，根据半径相等得出，根据得出，等量代换后得出，根据垂直定义得出，进而得出，即可得证； 选择条件①③，证明结论②，连接，根据半径相等得出，根据切线的性质得出，进而得出，根据垂直定义得出，进而得出，根据余角的性质和对顶角的性质即可得证； 选择条件②③，证明结论①，连接，根据半径相等得出，根据得出，等量代换后得出，根据切线的性质得出，进而得出，进而得出，即可得证； （2）设，则，，由（1）知：，，在中，根据勾股定理构建关于x的方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ∵B为的中点， ∴， 由（1）知：，， ∴在中，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴的半径为． 【基础题型六 切线的性质和判定的综合应用】 【例1】（23-24九年级上·江苏常州·阶段检测）以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、圆的切线的判定与性质、切线长定理等知识，根据切线长定理及正方形的性质求出正方形的边长是解题的关键． 设正方形的边长为，，则，证明是的切线，因为与相切于点，所以，，即可由的周长为12列方程，得，即可求得正方形周长为16． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， 设正方形的边长为，，则， ∵经过的半径的外端，且， ∴是的切线， ∵与相切于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形周长为16， 故选：C． 【例2】（26-27九年级上·江苏常州·课后练习）如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 【答案】/42度 【分析】根据切线及，得到，根据切线长定理得到，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是的切线，A为切点，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，为切点， ∴， ∴， ∴． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，分别与相切于A，B两点，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，由切线的性质可得，求出，再由圆周角定理即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵，分别与相切于A，B两点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·课后练习）如图，是的直径，、是上的点，过点作的切线交的延长线于点，，则等于(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，根据切线的性质可得，结合已知可得，进而根据圆周角定理求得，是的直径，可得，进而求得． 【详解】解：连接，， 是的切线， ， ， ， ， ∵是的直径， ∴ ． 3．（2026九年级上·北京·阶段测试）如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______． 【答案】/30度 【分析】连接，由题意易得，，则有，然后可得是等边三角形，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵过点B作的切线交的延长线于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 4．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，是的内接三角形，是的直径，是的切线，的平分线交于点，连接． (1)判断与的数量关系并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1) ．理由如下： 是的直径， ． ． 是的切线， ． ． ． ． 又， ． ． (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟记圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键. （1）根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，由互余关系得，根据圆周角定理，即可得出结论； （2）连接，根据圆周角定理及等腰直角三角形的性质、勾股定理计算即可； 【详解】（1）略 （2）解：连接． 平分， ． ． ， ． ． 【基础题型七 应用切线长定理求解与求证】 【例1】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，中，，，，则的内切圆半径r为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先求出的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示和，而它们的和等于，得到关于的方程，即可求出． 【详解】解：如图，设的内切圆与各边相切于，，，连接，，， 则，，， 设半径为，则， ，，， ， ，， ， ． 的内切圆的半径为2． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键． 【例2】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是三角形纸片的内切圆，在的右侧沿着相切的直线剪下．若的周长为，，则剪下的的周长为________． 【答案】 【分析】根据切线长定理求得，，即可求解． 【详解】解：∵是三角形纸片的内切圆，与相切， ∴，， 即剪下的的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键． 1．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，正方形的边长为4，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用切线长定理得出，．由于与圆切于点，根据切线长定理有，；设．则，，然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，解方程即可求出，然后就可以求出的面积． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ，是圆的切线， 与圆切于点， 根据切线长定理有，， 设， 则，， 四边形是正方形， ， 三角形是直角三角形， 在三角形中由勾股定理得： ， ， ， ， ． 2．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据切线长定理得到，，再根据的周长为12得到，即可求出的长． 【详解】解；∵分别和切于两点， ∴， ∵过C作的切线分别交于． ∴， ∴， ∴的周长为12， ∴， ∴ 3．（26-27九年级上·北京·课后作业）为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为的三角尺和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若三角尺与铁环相切，且测得，则铁环的半径为________． 【答案】 【分析】过作于，连接、，由切线长定理可得为的平分线，即，从而有，再由直角三角形性质可得，最后通过勾股定理即可求出铁环的半径． 【详解】解：过作于，连接、，如图， ∵为的切线，为的切线， ∴为的平分线，即， 又∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴，即铁环的半径为． 4．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图1，中，为上一点，平分，以为圆心，为半径的圆，与相切于点 (1)求证：与相切 (2)如图2，若与相切于点，，，且，求弧、线段和组成的图形面积． 【答案】(1) 证明∶过点O作于点F， ∵与相切， ∴， ∵平分， ∴， ∵为半径， ∴与相切； (2) 【分析】（1）过点O作于点F，根据切线的性质可得，再由角平分线的性质可得，即可； （2）设的半径为r，则，根据平行四边形的性质可得，，，再由平分，可得，从而得到，根据，，可得，再由切线长定理可得，从而得到，再由勾股定理求出r的长，然后根据弧、线段和组成的图形面积，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解∶设的半径为r，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵与相切，与相切， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，解得：或3， 当时，，当时，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴弧、线段和组成的图形面积 ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，切线长定理，求扇形面积，平行四边形的性质等知识，熟练掌握切线的判定和性质，切线长定理，扇形面积公式，平行四边形的性质是解题的关键． 【基础题型八 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 【例1】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，的内切圆与斜边相切于点D，，，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由切线长定理得出，，，根据勾股定理，得．整理得，再由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：设， 根据切线长定理，得，，， 根据勾股定理，得， 整理，得， ∴， 则的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆、切线长定理、勾股定理以及三角形面积公式等知识；熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键． 【例2】（23-24九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，若△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分的周长是 _____． 【答案】8 【分析】利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠A＝90°，根据切线的性质，可得四边形OFAE为正方形，设OE＝r，继而根据切线长定理求得，根据正方形的性质即可求解． 【详解】∵AB＝5，BC＝13，CA＝12， ∴， ∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°， ∵AB、AC与⊙O分别相切于点E、F， ∴OF⊥AB，OE⊥AC， ∴四边形OFAE为矩形， ∵OE=OF ∴四边形OFAE为正方形， 设OE＝r， 则AE＝AF＝r， ∵△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F， ∴BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r， ∴5﹣r+12﹣r＝13， ∴r＝2， ∴阴影部分（即四边形AEOF）的面积是2×4＝8． 故阴影部分的周长是：8． 【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质，切线长定理，勾股定理的逆定理，正方形的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 1．（25-26九年级上·江苏常州·期中）《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（   ） A．4步 B．5步 C．6步 D．7步 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形的内切圆、等面积法等知识点，灵活运用等面积法求线段的长是解题的关键． 先根据勾股定理求得步，如图：过O作，则半径为，再运用等面积法求得，进而求得的直径． 【详解】解：∵在中，，步，步， ∴步， 如图：过O作，则半径为，连接， ∵， ∴， 解得：， ∴的直径为步． 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）勾股容圆记载于《九章算术》，是关于直角三角形的三边与其内切圆的直径的数量关系的研究．刘徽用出入相补原理证明了勾股容圆公式，其方法是将4个如图1所示的全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）沿其内内切圆心与顶点、切点的连线裁开，拼成如图2所示的矩形（无缝隙、不重叠），再根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径d（用含a，b，c的式子表示）为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内切圆半径求法，根据矩形面积不同的表示表示方法得出等式即可求解． 【详解】解：设由图可知：如图1所示的直角三角形面积为， 图2所示的矩形面积为：，而图2所示的矩形面积为如图1所示的面积的4倍 ∴， ∴ 故选：A． 3．（23-24九年级上·江苏苏州·课后练习）一直角三角形的斜边长为c，它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的比是_____． 【答案】 【分析】设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：，根据切线长定理可得：，即有，问题随之得解． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：， 又∵根据切线长定理可得：， ∴， ∴． 又∵内切圆的面积是， ∴它们的比是． 故答案是：． 【点睛】本题考查了切线长定理、内切圆的性质等知识，根据内切圆得出，是解答本题关键． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在正方形网格中，点，点，以坐标原点O为圆心，为半径作，点．请用无刻度直尺完成下列画图： (1)画的平分线交于点； (2)将弦绕点顺时针旋转，画出旋转后的线段； (3)画的内心，并直接写出内切圆半径的长． 【答案】(1) (2) 如图所示，线段即为所求， (3) 【分析】（1）找到点，根据坐标系可得，继而根据等弧所对的圆周角相等即可求解； （2）根据旋转的性质作出旋转后的线段即可求解； （3）根据垂径定理作的垂线交于点，则是的角平分线，结合（1）的结论得出内心，根据面积法和直角三角形的内切圆半径的定义，直接求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为的平分线； ∵ ∴即为的平分线； （2）略． （3）如图所示，找到格点，连接并延长，交于点，交于点，连接交于点，点即为所求； 理由如下，如图， ∵,， ∴， 则， ∴ ∴， ∴， 即是的角平分线， ∵是的角平分线， ∴是的内心， ∵点，点，点， ∴,,， ∵是的直径， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，找三角形内切圆的圆心，勾股定理，垂径定理，求直角三角形的内切圆的半径，掌握以上知识是解题的关键． 【基础题型九 三角形内心有关应用】 【例1】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，点是边长为的等边的内心，将绕点逆时针旋转得到，交于点，交于点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作于点，则，由旋转性质可得，又点是边长为的等边的内心，则，，然后通过勾股定理得，再证明四边形是菱形，所以，则，再由直角三角形性质可得，则有． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵点是边长为的等边的内心， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【例2】（23-24九年级上·江苏淮安·课后练习）如图，是等边的内切圆，分别切于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（　 　）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先连接，再根据切线的性质得，然后根据等边三角形的性质得，接下来根据四边形内角和定理求出，最后根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的内切圆， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 1．（2023九年级上·江苏南通·阶段测试）下列命题是假命题的是（     ） A．三角形的内心到三角形三边的距离相等 B．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．两角和夹边对应相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】从正方形的判定条件入手判断假命题． 【详解】解：A、B、D均为真命题． C为假命题，对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，还需满足对角线互相平分． 2．（2023九年级上·江苏徐州·阶段测试）下列命题中原命题和逆命题都正确的个数是（    ） ①圆内接四边形对角互补； ②三角形的内心到三边的距离相等； ③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等； ④线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等； ⑤角平分线上的点到角两边的距离相等 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：①原命题：圆内接四边形对角互补，正确．逆命题：对角互补的四边形是圆内接四边形，正确； ②原命题：三角形的内心到三边的距离相等，正确．逆命题：到三角形三边距离相等的点是三角形的内心，当该点在三角形内部时是三角形的内心，当该点在三角形的外部时不是三角形的内心，故逆命题错误； ③原命题：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，正确．逆命题：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心，正确； ④原命题：线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，正确．逆命题：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，正确； ⑤原命题：角平分线上的点到角两边的距离相等，正确．逆命题：到角两边距离相等的点在角的平分线上，当该点在角内部时在角的平分线上，当该点在角外部时不在角的平分线上，故逆命题错误； 综上，原命题和逆命题都正确的有①③④，共3个． 3．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段检测）尺规作图：已知，如图： (1)求作：的内切圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，，则的内切圆的半径为________． 【答案】(1) 作图如下： (2)1 【分析】本题考查了内切圆的基本作图，内切圆半径的计算，解题关键是熟练掌握三角形内切圆的性质． （1）利用角的平分线的交点是内切圆的圆心，作图即可． （2）利用切线长定理，正方形的判定和性质计算即可． 【详解】（1）根据角的平分线的交点是内切圆的圆心， 则即为所求． （2）如上图，设与，，的切点分别是F，E，D，设的半径为r， 连接，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 即的半径为1． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的内切圆，切点为．若，，，求的面积． 【答案】的面积 【分析】利用切线长定理求出三角形的三边长，再用勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，进而求得三角形的面积． 【详解】解：是的内切圆，切点为， ， ， ， ， ， ． 【基础题型十 圆与三角形的综合(圆的综合问题)】 【例1】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，在⊙中弦弦于，延长、交于点，连接、、、平分，⊙的半径为，，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交与点交于点，连接、．先证再证明，依据平行线分线段成比例定理可知，在中由勾股定理可得到，，从而可求得，在中，由勾股定理得可求得的长，于是得到的长． 【详解】解：延长交与点交于点，连接、． ∵平分， ∴， ∵弦弦 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∵的半径为，， ∴， 设，． 在中，由勾股定理可知∶． 解得∶（负值已舍去）． ∴，． ∴． 在中，由勾股定理得∶． ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、平行线分线段成比例定理，勾股定理的应用、直角三角形的性质及判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A为上一动点，D为圆外一点，AD交于点B，OD交于点C，延长DO交于点E． (1)若，B恰为AD的中点，则OD的长为________． (2)若，则的度数为________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边中线定理，三角形外角和及圆内三角形的综合运用等，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边中线定理可求的长，根据半径相等求得，进而根据勾股定理即可求解； （2）根据等腰三角形的性质可得，设未知数x表示，根据三角形外角和定理可得从而求解。 【详解】（1）解：如图①，连接OB． ，B为AD的中点， ．又． 在中，由勾股定理，得． 故答案为：． （2）如图②，连接OB． ， 和均为等腰三角形．设，则，， 解得，即． 故答案为：． 1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，C为半圆弧的中点，P为弧上任意一点，，且与交于点D，连接．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得到点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的圆弧，利用和是定值，即可求得的最小值 【详解】如图所示，以为斜边作等腰直角三角形，则，连接，，， ∵的直径为，C为半圆弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的圆弧， ∵，C为半圆弧的中点， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴中，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴的最小值为： 故选：A 【点睛】本题是圆与三角形的综合题，考查了圆的性质和勾股定理，难度较大，解决问题的关键是动点的轨迹. 2．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，已经知为圆的直径，为半圆上一点，为半圆的中点，，垂足为，平分，交于，若，，则长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于K，由直径所对的圆周角是直角得，结合同弧所对的圆周角相等及圆周角定理得，由直角三角形的特征得，即可求解． 【详解】解：延长交于K， 是直径， ， ， ， ， ， ，， ， 平分， ，， ∴点M就是圆心， ， ， ，， ， ， ， ． 3．（2023 九年级上 江苏·课后练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点在格点上，为小正方形边的中点，以直径的半圆经过点，且为的中点．      （）的大小等于___________（度）； （）是上的动点，过点作直线的垂线，交的延长线于点；点在上，且满足，连接．当取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）___________． 【答案】 45 如图，取格点， 连接相交于点；取格点，连接与相交于点；连接，与半圆相交于点，则点即为所求．      【分析】（）连接证明是等腰直角三角形即可， （）如图，取格点，连接相交于点；取格点，连接与相交于点；连接，与半圆相交于点，则点即为所求． 【详解】（）连接     为圆的直径， ， 为的中点， ， ，即是等腰直角三角形， ； （）略 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型． 4．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）问题背景：在中，，，由勾股定理可知：．    (1)问题探究：如图①，是的直径，点在上，，为弧上一动点（不与，重合），求证：．请你根据图中所给的辅助线，写出具体作法并完成证明过程． (2)类比迁移：如图②，的半径为4，点，在上，为内一点，，，垂足为，求的最小值． 【答案】(1) 将绕点A顺时针旋转到的位置， 证明：∵是直径， ∴， ∵， ∴， 由旋转可得，，， ∵， ∴， ∴Q，B，P三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）将绕点A顺时针旋转到的位置，由旋转的性质可得：，，，根据圆的内接四边形的性质可证点Q，点B，点P共线，根据勾股定理可证； （2）连接，将绕点A顺时针旋转至，连接，，则可得，，，根据勾股定理可求，根据三角形三边关系可得（当点B在上时，取等号），即可求的最小值． 【详解】（1）略 （2）如图②：连接，将绕点A顺时针旋转至，连接，，    ∵， ∴， 由旋转可得：，，， ∴， ∴在中，， ∵（当点B在上时，取等号）， ∴OC最小值是． 【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理．三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 【基础题型十一 圆与四边形的综合(圆的综合问题)】 【例1】（23-24九年级上·湖北孝感·阶段检测）如图，在正方形中，，以边为直径作半圆O，E是半圆O上的动点，于点F，于点P，设，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，四边形为矩形，，所以当最小时，即三点共线时，最小，利用勾股定理进行计算，即可得解． 【详解】解：连接 ∵四边形为正方形，，为圆O直径， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵ ∴当三点共线时，最小， 则：， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查圆上的动点问题．熟练掌握圆外一点与圆心和圆上一点三点共线时，圆外一点到圆上一点的距离最大或最小是解题的关键．同时考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，是一道综合题． 【例2】（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，矩形对角线交于点O，，点P为内的一个动点，且，于点E，于点F，则的最小值为_______． 【答案】/ 【分析】以为边向右作等边，取其“三线合一”的交点为Q，结合题意即可求出，．根据点P为内的一个动点，且，即说明点P的运动路径为以Q为圆心，半径为长的圆弧，即，延长，交延长线于点M．易求出，即得出，，从而得出，即说明当最小时，最小．作交于点，作于点，易证四边形为正方形，且此时为的切线，即此时最大．再求出的长，即可求出的长，进而即可得出的最小值． 【详解】如图，以为边向右作等边，取其“三线合一”的交点为Q， ∴． ∵， ∴． ∵点P为内的一个动点，且， ∴点P的运动路径为以Q为圆心，半径为长的圆弧，即，如图． 延长，交延长线于点M． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，最小． 如图，作交于点，作于点， ∴此时四边形为正方形，且此时为的切线，即此时最大． ∵， ∴此时最小，此时的位置即为最小时点P的位置． ∵四边形为正方形， ∴． ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆的综合问题，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，是填空题中的压轴题．熟练掌握上述知识，并正确的作出辅助线是解题关键． 1．（2023九年级上·江苏南通·阶段测试）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=4，点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC=90°，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为_____． 【答案】 【分析】延长AE交BD 于点F，连接BE，根据平行四边形的性质可得，可得，可以证明，可得∠AEB = 135°，点E的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点E所在圆的圆心为M，连接MB、MA、MC，MC与圆M交于点 ，则根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得： 即为CE的最小值，利用勾股定理可得CM的值，进而可得CE的最小值． 【详解】 如图，延长AE交BD 于点F，连接BE， 四边形ACDE是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， 点E的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点E所在圆的圆心为M， 连接MB、MA、MC，MC与圆M交于点， 则根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得： 即为CE的最小值， ， ， ， ， 在 中，， ， 即CE 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、最短路径问题、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 2．（2023九年级上·江苏南通·课后练习）如图，四边形中，，，，，若能将四边形覆盖（即四边形的四个顶点在圆上或圆内）则的半径最小值为_________． 【答案】 【分析】如图所示过点D作DE⊥BC于E，过点A作AF⊥BD交BD于F，先求出BF，AF的长，然后设，则，根据勾股定理得到，，则，由此求出CE=1，，然后解直角三角形求出∠DBE=45°，∠DCE=60°，从而推出A、B、C、D四点共圆，BE=DE，连接AE，设A、B、C、D所在圆的圆心为O1，连接O1B，圆O1的半径为r，证明A、E、F三点共线，且点O1在AE上，然后在Rt△O1BF中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示过点D作DE⊥BC于E，过点A作AF⊥BD交BD于F， ∵AB=AD，∠BAD=120°， ∴∠ABD=∠ADB=30°，， ∴，， ∴， 设，则， 在Rt△BDE中，， 在Rt△CDE中，， ∴， 解得， ∴CE=1，， ∴，， ∴∠DBE=45°，∠DCE=60°， ∴∠BAD+∠BCD=180°，∠BDE=45°=∠DBE， ∴A、B、C、D四点共圆，BE=DE， 连接AE，设A、B、C、D所在圆的圆心为O1，连接O1B，圆O1的半径为r， ∵AB=AD，BE=DE， ∴AE垂直平分BD， ∴A、E、F三点共线， ∴点O1在AE上， 在Rt△O1BF中，， ∴， 解得， ∴的半径最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形，圆内接四边形，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知四边形内接于，、的角平分线分别交于点、，连接．求证：为的直径． 【答案】证明：平分， ， 、都是的圆周角， 且对，对， ， 同理，平分， ， ， ， 且，， ， 即， 为，即、为的一条直径的两个端点， 为的直径． 【分析】根据圆内接四边形性质得到，结合角平分线得到两组相等圆周角，进而推出，，再求出的度数为，证明是直径． 【详解】证明过程见答案处． 4．（2023 九年级上江苏盐城·单元测试）已知：四边形内接于，点E在弧上，连接，，． (1)如图1，求证：； (2)若经过圆心O，如图2，求证：； (3)在（2）的条件下，点G在弧上，连接、，的延长线与交于点H，，连接、，当，，时，如图3，求长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可得，则，结合，进而得出，即可求证； （2）根据是的直径，得出，根据，，得出，则，即可求证； （3）先证明，连接，得出，连接、，延长交于点N，证明，再根据平行线分线段成比例可得，延长交于点M，连接、，推出，连接交于点K，证明四边形是矩形，则，设，则，，，得出，则，，，在中，根据勾股定理列出方程求出，进而得出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，最后根据． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）证明：是的直径， ， ， ，， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 连接、，延长交于点N， ，， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 延长交于点M，连接、， ，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， ， 连接交于点K， 是直径， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 设， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 在中， ， ， ， ，， ，， ， 在中， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，解题的关键是正确画出辅助线，熟练掌握圆周角定理，勾股定理，三角形全等的判定和性质． 【提高题型一 直线与圆的位置关系的判断及证明】 【例1】（2026九年级上·江苏扬州·课后练习）如图，正方形的边长为4，点E和正方形在同一平面内，连接，点F是上一点，已知，连接，，，下列结论正确的是（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为5 【答案】D 【分析】先由、得，确定E在以B为圆心4为半径、F在以B为圆心1为半径的圆上；分别用圆上点到定点距离最值判断A、B、C选项均错；取小圆与交点G，由证明得，转化为，根据两点之间线段最短，D、E、G共线时取最小值斜边，故D正确． 【详解】解：点E和正方形在同一平面内，， 点E在以B为圆心，为半径的圆上，点F在以B为圆心，为半径的圆上， 如图1， ，， 当D，E，B三点共线时，取得最小值， 在中，， 的最小值为，故A错误； ，，， 当A，F，B三点共线时，取得最小值， 的最小值为，故B错误； 由题意可知， 当取得最大值时，即可取得最大值， 如图2， 当D，E，B三点共线时，取得最大值，最大值为， 的最大值为，故C错误； 如图3，点F所在的圆与交于点G，连接， ， 在与中， ， ， ， ， ， 当D，E，G三点共线时，有最小值，最小值为的长， 在中，， 的最小值为5，故D正确． 【例2】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，已知，为边上一点，以为圆心、为半径作．点在射线上运动，当时，与直线的位置关系是______． 【答案】 相切 【分析】先作，再根据直角三角形的性质得出，然后根据的半径是可得答案． 【详解】解：过点作，交于点， 在中，，， ∴． ∵的半径是，点到直线的距离是， ∴与直线的位置关系是相切． 1．（2023九年级上·江苏镇江·阶段测试）若直线l与半径为5的相离，则圆心O与直线l的距离d为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一条直线与一个圆相离，那么该圆的圆心到该直线的距离大于该圆的半径，据此可得答案． 【详解】解：∵直线与半径为5的相离， ∴圆心与直线的距离． 2．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段检测）欣赏著名作家巴金在他的作品《海上日出》中对日出状况的描写：“果然，过了一会儿，那里出现了太阳的小半边脸，红是红得很，却没有亮光．”这段文字中，给我们呈现了直线与圆的哪一种位置关系（    ） A．相切 B．相离 C．外切 D．相交 【答案】D 【详解】题目中描述的日出情景是太阳“小半边脸”显现，红而无亮光，将太阳视为圆，地平线视为直线， 当太阳的小部分露出地平线时，说明直线（地平线）穿过圆（太阳），形成两个交点，属于相交关系． 3．（26-27九年级上·北京·课后作业）设的半径为，圆心到直线的距离为，若，是方程的两根，则直线与相切时，的值为______；当时，直线与______． 【答案】 相交或相离 【分析】直线和圆相切时满足，结合方程根的性质可求出的值；时，判断方程根的情况，结合，的正负性，分析与的大小关系，得到直线与圆的位置关系． 【详解】解：∵直线与相切， ∴， ∵，是方程的两根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，解得； 当时，方程为，此时， 由根与系数的关系可得，两根之和，两根之积， ∴方程有两个不相等的正实数根，即， 分两种情况：若，直线与圆相离；若，直线与圆相交； 因此直线与相交或相离． 4．（2026九年级上·江苏·阶段测试）设边长为的正方形的中心在直线上，它的一组对边垂直于直线，半径为的的圆心在直线上运动，点、间距离为．如图1，当时，在运动过程中，通过观察，由与、之间关系，可得与正方形的公共点个数如下： 、、之间关系 公共点的个数 0 1 2 1 0 则与正方形的公共点个数可能是：、、 (1)如图2，当时，根据与、之间关系，将与正方形的公共点个数填入下表： 、、之间关系 公共点的个数 (2)如图3，当与正方形有5个公共点时，请说明； (3)当时，请根据与、之间关系，直接写出与正方形的公共点可能的个数． 【答案】(1)0，1，2，4 (2)解：连接，由题得，，， ，化简得． (3)0个、1个、2个、3个、4个、6个、8个 【分析】（1）当时，的直径等于正方形的边长，此时会出现与正方形相离，与正方形一边相切，相交，与正方形四边相切，四种情况，故可确定与正方形的交点个数； （2）如图③，当与正方形有5个公共点时，连接，用a、r表示的各边长，在中，由勾股定理求a、r的关系； （3）结合（2）中结论，画出与正方形的大致位置关系，进而可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，填表如下： 、、之间关系 公共点的个数 0 1 2 4 （2）略 （3）解：当时，如图，与正方形的位置关系大致有： 故与正方形的公共点可能的个数有0个、1个、2个、3个、4个、6个、8个． 【提高题型二 解决圆的切线相关问题】 【例1】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知：的半径为，圆心到直线l的距离为，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与相切，则平移的距离是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：如图，当l经过点B时，，则； 当l移动到时，则； 即平移的距离是或． 【例2】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图所示，线段是的一条直径，，过点作的切线交的延长线于点，则等于______． 【答案】/50度 【分析】连接，先利用切线的性质得，再根据圆周角定理得，然后利用互余计算的度数． 【详解】解：连接，如图所示， 为的切线， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，比连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，也考查了圆周角定理． 1．（26-27九年级上·北京·课后作业）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫作整点．如图，过整点，，有一条圆弧，如果一条直线与这条圆弧相切于点B，则这条直线经过（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理的性质作出圆心所在位置，再根据切线的判定方法作出切线，利用三角形全等的判定和性质求出点E的坐标，利用待定系数法确定直线的解析式，再将各选项代入解析式判断直线是否经过点． 【详解】 解：如图，连接、，作、的垂直平分线交于点， 则点就是所在圆的圆心， ∴点，，组成的圆的圆心为， 过点作于点，交直线于点， 此时与圆相切于点， 则 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴设直线：, 则， 解得, ∴直线：， ∴点在此直线上， 当时，，点不在此直线上，故选项不符合题意； 当时，，点不在此直线上，故选项不符合题意； 当时，，点不在此直线上，故选项不符合题意． 【点睛】此题主要考查了切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、垂径定理、用待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是能熟练掌握这些性质坐标与图形的性质． 2．（2023九年级上·四川泸州·阶段测试）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、、，交于，作交BC于点G，利用 ，求出，进一步可得，求出，设⊙的半径为，利用，求出，求出，进一求出，再证明OB垂直平分，利用面积法可得，求得HE长即可求得答案． 【详解】解：连接、、，交于，作交BC于点G，如图， ∵AB＝6，AC＝5，BC＝7， ∴，即，解得：， ∴， ∴， 设内切圆的半径为r， 则，解得：， 的内切圆⊙与，，分别相切于点，，， ∴∠ODB=∠OEB=90°， 又∵OD=OE， OB=OB， ∴， ∴BD=BE， 同理， CE=CF，AD=AF， ∵BE+CE=BC=7， ∴BD+BE+CE+CF=14， ∴2AD=(6+5+7)-14=4，即AD=2， ∴， ∴， ，， 垂直平分， ，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，面积法等，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键． 3．（2026九年级上·四川宜宾·阶段测试）如图，已知中，，，，点在边上运动，连接．当和的内切圆半径相等时，设，则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点，则可设，，根据，得到，同理可得，则，而，即可得到，即可求解． 【详解】解：设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点， ∵为的内切圆， ∴ 设， ∵ ∵，，，， ∴ ∴， ∵和的内切圆半径相等 ∴同理可得， ∴ 又∵ ∴ 解得，即． 4．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图1，在矩形中，边长，，其中分别是方程的两个根，连接．点从点出发，沿向点运动（到达点停止运动），速度为1个单位每秒，设运动时间为秒． (1)______． (2)如图2，在运动过程中，以为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点，当为______时，点运动到的角平分线上，此时，半圆与有怎样的位置关系，并加以说明． (3)如图3，在运动过程中，连接，将沿折叠，得到，连接，当取最小值时，为______，此时，的值为______． (4)如图4，当半圆与的边有两个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)5 (2) (3)， (4)或 【分析】（1）先解一元二次方程，得到，根据矩形的性质，得到，利用勾股定理即可求解； （2）运用角一部分线性质定理得，可得是圆的切线，根据面积可求出，即可得到的值； （3）由折叠的性质得到，即，，当点O在运动过程中，的长度和的长度是固定不变的，由此可以得到当点B、P、D三点共线时，的长度最短，即有最小值，最小值为，此时，求出，，再利用勾股定理即可求的值； （4）根据题意，分为当半圆O与有2个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；三种情况讨论，分别求出半径的范围，即可得到t的取值范围． 【详解】（1）解：，即， 解得：， ∵边长，，其中分别是方程的两个根， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴, 故答案为：5； （2）解：如图，过点作垂足为点, ∵是的平分线， 又在矩形中， ， ∴ ∴ ∴是的切线，即与相切； 又， ∴， ∴，即 ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由折叠的性质得：， ∴， 点O在运动过程中， ∵的长度和的长度是固定不变的，如图， ∵， ∴当点B、P、D三点共线时，的长度最短，即有最小值，最小值为，此时，， 过点P作垂足为F点，于点T，如图， 所以，四边形是矩形， ∴ 由（1）知， 由（2）知， ∴， ∴，， 又 ∴ ∴, ∴； 在中，， ∴， 在中，． 故答案为：，； （4）解：如图，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有1个交点，即为切点，设切点为H，连接， 由（2）知，； 如图，当点Q与点B重合时，此时半圆O与的边有2个交点， 此时，为半圆O的直径， ∴， ∴， ∴当时，半圆O与有2个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 如图，此时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 如图，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有3个交点，设与半圆O的切点为M，连接， ∵， ∴， ∴当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 如图，当半圆O与经过点A时，此时半圆O与的边有3个交点；连接， 设，由勾股定理得： ， 解得：， ∴， ∴， 如图，当点O与点B重合时，此时点O停止运动， ∴， ∴， ∴当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 综上，半圆O与的边有两个交点时，或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系，切线的判定，矩形判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是画出图形，分类讨论． 【提高题型三 圆与其他图形的综合应用】 【例1】（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）对于题目“已知及外一点，如何过点作的切线？”甲、乙两位同学的作法如下： 甲的作法：连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，作直线，，直线，即为所求．    乙的作法：连接并延长，交于两点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接，，作直线，，直线，即为所求．    下列说法正确的是（    ）． A．乙的作法正确，甲的作法错误． B．甲和乙的作法都错误． C．甲的作法正确，乙的作法错误． D．甲和乙的作法都正确． 【答案】D 【分析】要判断甲、乙作法是否正确，证明所作直线是否满足切线判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．即需证明． 【详解】解：分析甲的作法： 连接、， 由作法知：是的中点，， ，， ， ，即 ， 是半径， 是的切线， 同理可证， 直线，即为切线，因此甲的作法正确； 分析乙的作法 由作法知：，，是的直径， ， ， 又 ，在上， 根据等腰三角形性质可得，即， 是半径， 是的切线， 同理可证 是的切线，因此乙的作法正确． 综上，甲和乙的作法正确． 【例2】（25-26九年级上·浙江湖州·期末）⊙为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点，重合），连结，，．则四边形的面积关于线段的长的函数解析式是_____． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得到，，推出点，点，点三点共线，得到是等边三角形，即可得到结论． 【详解】如图，将绕点逆时针旋转，得到， ∴，， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴点，点，点三点共线， ∴是等边三角形， ∵四边形的面积 ， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了圆的有关知识，三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 1．（25-26九年级上·湖北鄂州·期末）正三角形的边长为，是边上一动点，两点关于直线对称，连接并延长交直线于，连接，在点运动过程中，的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示（见详解），先证明四点共圆，将绕点顺时针旋转，可知，，，是等边三角形，则的最大值转换为的最大值，作的外接圆，过点作于点，的最大值为，由此即可求解． 【详解】解：∵ 两点关于直线对称， ∴， ∵ ∴四点共圆， ∴， 如图所示，在上截取， ∵是等边三角形，即， ∴绕点顺时针旋转后，点与点重合， ∴，，， ∴是等边三角形，即， ∴ ∴共线，     ∴，的最大值，即的最大值， 如图所示，作的外接圆，过点作于点， ∵， ∴的最大值为， ∵ ∴ ∴的最大值是， 故选：． 【点睛】本题主要考查动点与等边三角形的问题，三角形外接圆的性质，掌握等边三角形的性质，旋转的性质，构造等边三角形，直角三角形，运用勾股定理是解题的关键． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知的三边长a，b，c满足，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】因为一个数的平方、算术平方根、绝对值是非负数，所以可求、、的值，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，用面积法可求内切圆半径． 【详解】解：， ，，． ， ， 是直角三角形． 设内切圆的半径为． 根据题意，得，即， 解得 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理的逆定理，利用三角形的面积公式求内切圆半径是解答本题的关键． 3．（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，矩形中，，，连接，和分别是和的内切圆，则的长是___________． 【答案】 【分析】利用矩形的性质得到，全等的两个三角形内切圆的半径相等；利用勾股定理求出的长度，再计算出内切圆的半径；构造直角三角形求解． 【详解】解：四边形是矩形 ，， 又， ， 和的半径相等， 在中，，， ， 的半径 ； 连接P、Q，过点Q作，过点P作交于点E，则，如下图所示： 在 中， ， ， ． 【点睛】掌握“直角三角形内切圆的半径两条直角边的和减去斜边．”是解题的关键． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形的各边与分别相切于点．求证：． 【答案】证明：∵四边形的各边与分别相切于点， 根据切线长定理：， ∴ ， ∴． 【分析】利用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．把四边形四条边拆成多组相等的线段，再进行等量代换，即可证明等式． 【详解】略 1．（2024九年级上·湖北·阶段测试）如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【答案】D 【分析】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”逐项进行判断即可． 【详解】解：是的直径，且是的切线 又 直线与相切 故选项A、B可以判定，不符合题意； C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意； D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意； 故选：D． 2．（23-24九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，⊙O是的内切圆，D，E，F分别为切点，且．已知，，则四边形OFCE的面积为（    ） A．1 B．15 C． D．4 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出的长，再连接，设半径为，再根据切线长定理，，，，得到关于的方程，解方程，即可求出四边形的面积． 【详解】解：如图，连接，设半径为，则，，，， ∵，，， ∴, ∴，， ∴， ∴， ∵，分别为切点，且，， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积为． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理及切线长定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）如图，已知等腰，，以为直径的圆交于点D，过点D的的切线交于点E，若，则的半径是（    ） A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】由题意可得DE⊥EC，由勾股定理可得DE＝4 ，根据锐角三角函数可求DB的长，再根据勾股定理可求AB的长，即可求的半径． 【详解】解：如图，连接OD，BD， ∵DE是切线， ∴OD⊥DE， ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°，且AB=BC， ∴AD=CD＝，且AO＝OB， ∴DO∥BC，且DE⊥OD， ∴DE⊥EC， ∴DE=， ∵tanC= ， ∴BD＝， ∴AB=， ∴OA=5 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 4．（25-26九年级上·江苏常州·课后练习）如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，延长，交于，连接，根据圆周角定理得出，，进而求出，根据切线的性质及切线长定理得出，，进而求出，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长，交于，连接，则为的直径， ∵为的直径， ∴， ∵和都是所对的圆周角，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，是切点， ∴，， ∴，， ∴． 5．（2026 九年级上·江苏常州·单元测试）如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（    ） A．55° B．65° C．70° D．78° 【答案】C 【分析】连接，则，而，求得，由切线长定理得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴． ∵， ． ，是⊙O的切线， ， ， ． 故选：C． 6．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，点是半径为的外一点，，分别切于，点，若是边长为的等边三角形，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连结、，，根据切线的定理得，，再根据直角三角形的性质可知，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：连结、、，则， ∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∵，分别切于，点， ∴，， ∴，平分， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 故选：．    【点睛】本题考查了等边三角形的性质，切线的性质定理，切线长定理，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 7．（25-26九年级上·江苏·课后练习）如图所示，是的直径，切于点，线段交于点，连接，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据切线的性质可得，利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据圆周角定理即可求出的度数. 【详解】解：切于点， ， ， ， ， 与分别是所对的圆周角和圆心角， ． 8．（2023九年级上·江苏徐州·阶段测试）如图，直线与相切于点，线段，是的两条弦，且；若的半径为，，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点，连接，根据切线的性质和平行线的性质可知，由垂径定理可知，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于点，连接， 直线与相切于点， ， ， ， ， ， 的半径为， ， ， ， ． 9．（2023九年级上·江苏镇江·阶段测试）如图，在菱形中，E为上一点，以为直径的与相切于点E，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质将设出来，并将表示出来，根据圆的切点性质，得出，利用勾股定理求解． 【详解】解：设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∵以为直径的与相切于点， ∴， 在中，， ∴，解得． 10．（2023九年级上·江苏连云港·阶段测试）如图，正方形的边长为8，若经过C，D两点的与直线相切，与相交于点E，则为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接，由圆周角定理可知是的直径．设与边的切点为F，连接并延长交于G点，由切线的性质可知，进而可得，由垂径定理可得．设的半径为r，在中，根据勾股定理列方程可求得，则可得，再根据勾股定理可求得，则可得，进而即可得解． 【详解】解：∵四边形是边长为8的正方形， ∴，， 连接， ∵， ∴是的直径， ∴O点是的中点， ∵与直线相切， 设与边的切点为F，连接并延长，交于G点， 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，且， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ ∴． 11．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，，，则的面积是________；若经过点且与边相切的动圆与，分别相交于点，，则线段长度的最小值是________． 【答案】 【分析】先求出为直角三角形，且，由圆周角定理可得是圆的直径，设的中点为，圆与边的切点为，连接、、，则，、为圆的半径，从而得出，由，并结合垂线段最短可得，当时，的值最小，最后利用三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴是圆的直径，， 设的中点为，圆与边的切点为，连接、、， 则，、为圆的半径， ∴， ∵， ∴由垂线段最短可得，当时，的值最小， ∵， ∴， ∴线段长度的最小值是． 12．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，以为圆心为半径作交轴于为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为_____． 【答案】98 【分析】如图，连接，取的中点，连接，利用三角形中位线定理求出，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，则，求出的最大值，即可得到结论． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则， ∵， ∴最大时，的值最大， ∵， ∴的最大值为45， ∴的最大值为， 故答案为：98． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用参数解决问题． 13．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）已知是半径为1的⊙O的一条弦，且 ，以为一边在⊙O 内作等边三角形，点D为⊙O上不同于点A的一点，且 ，的延长线交⊙O于点E，连接，则的长为__________． 【答案】1 【分析】由等边 和圆的内接四边形可推导，然后通过得出，最后证明和全等即可得出结果． 【详解】解：如图所示，连接、、 是等边三角形 ， 即： 为等腰三角形 为等腰三角形 在 和中， （AAS） 故答案为：1． 【点睛】此题考查了圆的内接四边形、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理；其中熟练运用圆的内接四边形对角互补来倒角，是解决此题的关键． 14．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在直径为的半圆中，为半圆弧上的一点，连接，将劣弧沿弦折叠交直径于点，取劣弧的中点为，连接．已知，则点与圆心距离的最小值为___________． 【答案】 【分析】把弧的圆补全为，可知点与点关于对称，得，即得，即可得，进而由垂径定理得，再根据勾股定理得，最后根据解答即可求解． 【详解】解：把弧的圆补全为，可知点与点关于对称，半径为1， ， ， ， ， ， 是弧的中点， ， ， ， ， ， 的最小值为． 15．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，，．以为弦的圆分别交于E、F两点．点G在边上，且满足．若，则的面积的最小值是_____． 【答案】 【分析】如图所示，连接，先求出，再根据圆内接四边形对角互补求出，进而证明，则，进而推出，则要使最小，即要使最小，即最小（高一定），作的外接圆，圆心为O，连接，过点O作于H，证明当D、O、H三点共线时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴，即， ∵A、E、D、F四点共圆， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴要使最小，即要使最小，即最小（高一定）， 作的外接圆，圆心为O，连接，过点O作于H， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当最小时，有最小值， ∴当D、O、H三点共线，且时，有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合，含30度角的直角三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质等等，证明，得到是解题的关键． 16．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别为各边的中点．求证：E，F，G，H四点在同一个圆上． 【答案】证明：∵四边形是菱形， ∴，即，． ∵是的中点， ∴． 同理可得：，，． ∴． ∴，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上， 即，，，四点在同一个圆上． 【分析】先根据菱形的性质，结合直角三角形斜边上中线的性质证得，同理可证得，，，再根据点与圆的位置关系求解． 【详解】略 17．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的弦，是的切线，．求证：是的切线． 【答案】证明：连接，如图： ∵是的切线， ∴， 在中，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． 【分析】连接，根据切线的性质可得，再通过证明，可得，即可证明． 【详解】略 18．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长和的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，点在上， ∴， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）连接，由知，由可证，根据得，即可得证； （2）设，在中由勾股定理求得，即，再根据三角形的面积公式得解． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵是的切线， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得：， 即， ∴， ∵的面积为． 【点睛】本题主要考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定：连接半径，证明半径与直线垂直． 19．（2023九年级上·江苏苏州·阶段测试）如图，是的内接三角形，是的直径，点为的中点．请仅用无刻度的直尺按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作出的平分线； (2)在图2中，作出的内心． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，点即为所求； 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，根据中位线定理可得，进而得，由得，代换得，故即为所求； （2）连接、交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接交于点，由、是的中线可得也是的中线，同（1）可证平分，故点即为所求． 【详解】（1）解：如图，连接并延长交于点，连接，即为所求； ∵点是的中点，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴平分； （2）解：如图，在（1）的基础上，连接、交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接交于点，点即为所求． ∵点是的中点，是中点，即、是的中线， ∴是的中线，即点是中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴平分， 又∵平分，交于点， ∴点是的内心． 20．（2026九年级上·江苏苏州·阶段测试）如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)证明：如图所示，连接， ， ， ． ， ． ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再根据等弧所对的圆周角相等得到，据此可求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，据此可得答案； （2）连接，根据（1）所求可得的度数，则可求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数，再由切线的判定定理可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ，， ； ， ． 是的直径， ， ； （2）略 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5 点与圆、直线与圆的位置重难点题型专训 （5个知识点+11大题型+3大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 判断点与圆的位置关】 5 【基础题型二 点与圆上一点的最值问题】 5 【基础题型三 判断直线和圆的位置关系】 7 【基础题型四 证明某直线是圆的切线】 9 【基础题型五 切线的性质定理】 10 【基础题型六 切线的性质和判定的综合应用】 12 【基础题型七 应用切线长定理求解与求证】 14 【基础题型八 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 16 【基础题型九 三角形内心有关应用】 18 【基础题型十 圆与三角形的综合(圆的综合问题)】 20 【基础题型十一 圆与四边形的综合(圆的综合问题)】 22 第二部分·练提高题型 【提高题型一 直线与圆的位置关系的判断及证明】 25 【提高题型二 解决圆的切线相关问题】 26 【提高题型三 圆与其他图形的综合应用】 28 第三部分・自我检测 知识点01 点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 【即时训练】 1．（25-26九年级上·山东潍坊·期末）在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 2．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）已知的半径为2，点P为外一点，则的长可以为______（写出一个即可）． 知识点02 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 d与r关系 d＜r d＝r d＞r 公共点名称 割点 切点 直线名称 割线 切线 【即时训练】 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是_______． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知的斜边，直角边． （1）以C为圆心，长为半径的圆和的位置关系是_________； （2）以C为圆心，长为半径的圆和的位置关系是_________； （3）如果以C为圆心的圆和相切，则半径长为_________． 知识点03 切线的判定与性质 1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2. 切线的判定定理的推论 （1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 3. 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径． 4. 证明直线是圆的切线的方法 一看 利用交点个数：直线与圆有唯一的公共点 二算 利用数量关系：圆心到直线的距离等于圆的半径 三说明 利用切线的判定定理：直线经过半径的外端并且垂直于这条半径 【即时训练】 1．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，是的弦，点C在过点B的切线上，，交于点P．若，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，圆O是的外接圆，，过点C作圆O的切线，交的延长线于点D，则的度数是_______． 知识点04 切线长及切线长定理 1. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 【即时训练】 1．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025九年级上 江苏）如图，是的直径，和是它的两条切线，切于点，交于点，交于点，求证：． 知识点05 三角形的内切圆 1. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形． 2. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点． 3. 三角形的内心与外心的区别 内心 外心 内心到三角形三边的距离相等 外心到三角形的三个顶点的距离相等 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 过三角形三边中点和外心的直线垂直平分三角形的边 所有三角形的内心均在三角形内部 三角形的外心不一定在三角形内部 【即时训练】 1．（26-27九年级上·北京·随堂练习）已知为的内切圆，则点O是的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 2．（2023九年级上·江苏宿迁·阶段测试）如图，的周长为，点为的内心，连接、，于点．若，则的面积是________． 【基础题型一 判断点与圆的位置关】 【例1】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【例2】（23-24九年级上·江苏淮安·期末）点为外一点，它到最大距离与最小距离为18、8，与相切于点，则 （1）的半径为 _____； （2）切线长为 _______． 1．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 2．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）已知点A是数轴上一定点，点B是数轴上一动点，点A表示的实数为，点B所表示的实数为b，作以A为圆心，2为半径的，若点B在外，则b的值可能是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）的半径为10，根据下列点P到圆心O的距离，判断点P和的位置关系： (1)8； (2)10； (3)12． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）体育课上，李明和王芳的铅球成绩分别是和，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？ 【基础题型二 点与圆上一点的最值问题】 【例1】（2023九年级上·江苏徐州·阶段测试）如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则 的最小值为（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27九年级上·江苏扬州·课后练习）在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为_____________． 1．（2023九年级上·江苏镇江·单元测试）如图，以为直径的半圆，是弧的中点，是弧上任意一点，，交于点．若，则长的最小值为（     ） A．4 B． C． D． 2．（2026九年级上·江苏扬州·阶段测试）如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，并带动磨盘绕点O转动， ．在磨盘转动过程中，的最大值为______．最小值为______． 4．（2023九年级上·江苏镇江·阶段测试）已知：点O是正方形对角线的交点，P是平面内一点（不与点D重合），连接，将以D为中心，逆时针旋转90度，得到线段，连接，．E、F分别是，的中点，连接，． (1)在图1中补全图形； (2)直接写出图1中； (3)当点P在正方形外，时，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明； (4)如图2，若,，点M是中点，点N是线段上的一个动点，在点P绕点D旋转的过程中，线段长度的最小值为 ，最大值为 ． 【基础题型三 判断直线和圆的位置关系】 【例1】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则    （     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 1．（2023九年级上·江苏南通·阶段测试）以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·北京·课前预习）如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 3．（25-26九年级上·江苏常州·课后练习）已知在平面直角坐标系中的第一象限有一点，其中实数，满足，则的最大值为___________． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，．以边的中点D为圆心，以r为半径作．若，分别判断，与的位置关系． 【基础题型四 证明某直线是圆的切线】 【例1】（26-27九年级上·江苏徐州·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，过格点作一圆弧，将点B与下列格点分别连线，当连线与圆弧相切时，该格点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 1．（25-26九年级上·江苏南通·期末）已知点是外一点，甲、乙两位同学用尺规过点作的切线，如图所示，下列关于两位同学作图判断正确的是（    ） A．甲对，乙错 B．乙对，甲错 C．甲乙都对 D．甲乙都不对 2．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，是的直径，交于点，于点，要使是的切线，还需补充一个条件嘉嘉说：“这个条件可以是”；淇淇说：“满足条件也可以判定是的切线”；对于他们的说法，下列判断正确的是（    ）    A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．他们都正确 D．他们都错误 3．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，以为直径作交BC于点D．过点D作，垂足为E，且交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 4．（2023九年级上·江苏盐城·单元测试）如图，是以为直径的的内接三角形，与相切于点B，与的延长线交于点D，E是的中点，延长，交的延长线于点F． (1)与有怎样的位置关系并说明理由； (2)若，，求的长和的半径． 【基础题型五 切线的性质定理】 【例1】（2023九年级上 江苏无锡·阶段测试）如图，是的切线，B为切点，与交于点D，．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024九年级上·江苏常州·阶段测试）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数（，）的图像上，分别以点A、B为圆心，2为半径作圆，与y轴相切、与x轴相切，连接，若，则________． 1．（2023九年级上 江苏泰州·单元测试）点P的坐标为，点是垂直于y轴的直线l上的一点，经过点P，且与直线l相切于点A，则点M的纵坐标为（　　） A． B．1 C．2 D．4 2．（2023九年级上 江苏南京·单元测试）如图，，是的切线，，为切点，过点作交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2026九年级上·江苏徐州·阶段测试）如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上，已知，则的度数是________． 4．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知为的直径，点D在上，弦交于点E（不与点O、B重合），F为延长线上一点，给出下列信息：①；②；③为的切线 (1)请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，B为的中点，求的半径． 【基础题型六 切线的性质和判定的综合应用】 【例1】（23-24九年级上·江苏常州·阶段检测）以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【例2】（26-27九年级上·江苏常州·课后练习）如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，分别与相切于A，B两点，，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·课后练习）如图，是的直径，、是上的点，过点作的切线交的延长线于点，，则等于(     ) A． B． C． D． 3．（2026九年级上·北京·阶段测试）如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______． 4．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，是的内接三角形，是的直径，是的切线，的平分线交于点，连接． (1)判断与的数量关系并说明理由； (2)若，求的长． 【基础题型七 应用切线长定理求解与求证】 【例1】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，中，，，，则的内切圆半径r为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是三角形纸片的内切圆，在的右侧沿着相切的直线剪下．若的周长为，，则剪下的的周长为________． 1．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，正方形的边长为4，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 3．（26-27九年级上·北京·课后作业）为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为的三角尺和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若三角尺与铁环相切，且测得，则铁环的半径为________． 4．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图1，中，为上一点，平分，以为圆心，为半径的圆，与相切于点 (1)求证：与相切 (2)如图2，若与相切于点，，，且，求弧、线段和组成的图形面积． 【基础题型八 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 【例1】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，的内切圆与斜边相切于点D，，，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，若△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分的周长是 _____． 1．（25-26九年级上·江苏常州·期中）《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（   ） A．4步 B．5步 C．6步 D．7步 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）勾股容圆记载于《九章算术》，是关于直角三角形的三边与其内切圆的直径的数量关系的研究．刘徽用出入相补原理证明了勾股容圆公式，其方法是将4个如图1所示的全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）沿其内内切圆心与顶点、切点的连线裁开，拼成如图2所示的矩形（无缝隙、不重叠），再根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径d（用含a，b，c的式子表示）为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏苏州·课后练习）一直角三角形的斜边长为c，它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的比是_____． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在正方形网格中，点，点，以坐标原点O为圆心，为半径作，点．请用无刻度直尺完成下列画图： (1)画的平分线交于点； (2)将弦绕点顺时针旋转，画出旋转后的线段； (3)画的内心，并直接写出内切圆半径的长． 【基础题型九 三角形内心有关应用】 【例1】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，点是边长为的等边的内心，将绕点逆时针旋转得到，交于点，交于点，则（     ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·江苏淮安·课后练习）如图，是等边的内切圆，分别切于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（　 　）      A． B． C． D． 1．（2023九年级上·江苏南通·阶段测试）下列命题是假命题的是（     ） A．三角形的内心到三角形三边的距离相等 B．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．两角和夹边对应相等的两个三角形全等 2．（2023九年级上·江苏徐州·阶段测试）下列命题中原命题和逆命题都正确的个数是（    ） ①圆内接四边形对角互补； ②三角形的内心到三边的距离相等； ③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等； ④线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等； ⑤角平分线上的点到角两边的距离相等 A．5 B．4 C．3 D．2 3．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段检测）尺规作图：已知，如图： (1)求作：的内切圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，，则的内切圆的半径为________． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的内切圆，切点为．若，，，求的面积． 【基础题型十 圆与三角形的综合(圆的综合问题)】 【例1】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，在⊙中弦弦于，延长、交于点，连接、、、平分，⊙的半径为，，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A为上一动点，D为圆外一点，AD交于点B，OD交于点C，延长DO交于点E． (1)若，B恰为AD的中点，则OD的长为________． (2)若，则的度数为________． 1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，C为半圆弧的中点，P为弧上任意一点，，且与交于点D，连接．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，已经知为圆的直径，为半圆上一点，为半圆的中点，，垂足为，平分，交于，若，，则长为（    ）． A． B． C． D． 3．（2023 九年级上 江苏·课后练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点在格点上，为小正方形边的中点，以直径的半圆经过点，且为的中点．      （）的大小等于___________（度）； （）是上的动点，过点作直线的垂线，交的延长线于点；点在上，且满足，连接．当取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）___________． 4．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）问题背景：在中，，，由勾股定理可知：．    (1)问题探究：如图①，是的直径，点在上，，为弧上一动点（不与，重合），求证：．请你根据图中所给的辅助线，写出具体作法并完成证明过程． (2)类比迁移：如图②，的半径为4，点，在上，为内一点，，，垂足为，求的最小值． 【基础题型十一 圆与四边形的综合(圆的综合问题)】 【例1】（23-24九年级上·湖北孝感·阶段检测）如图，在正方形中，，以边为直径作半圆O，E是半圆O上的动点，于点F，于点P，设，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，矩形对角线交于点O，，点P为内的一个动点，且，于点E，于点F，则的最小值为_______． 1．（2023九年级上·江苏南通·阶段测试）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=4，点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC=90°，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为_____． 2．（2023九年级上·江苏南通·课后练习）如图，四边形中，，，，，若能将四边形覆盖（即四边形的四个顶点在圆上或圆内）则的半径最小值为_________． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知四边形内接于，、的角平分线分别交于点、，连接．求证：为的直径． 4．（2023 九年级上江苏盐城·单元测试）已知：四边形内接于，点E在弧上，连接，，． (1)如图1，求证：； (2)若经过圆心O，如图2，求证：； (3)在（2）的条件下，点G在弧上，连接、，的延长线与交于点H，，连接、，当，，时，如图3，求长． 【提高题型一 直线与圆的位置关系的判断及证明】 【例1】（2026九年级上·江苏扬州·课后练习）如图，正方形的边长为4，点E和正方形在同一平面内，连接，点F是上一点，已知，连接，，，下列结论正确的是（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为5 【例2】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，已知，为边上一点，以为圆心、为半径作．点在射线上运动，当时，与直线的位置关系是______． 1．（2023九年级上·江苏镇江·阶段测试）若直线l与半径为5的相离，则圆心O与直线l的距离d为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段检测）欣赏著名作家巴金在他的作品《海上日出》中对日出状况的描写：“果然，过了一会儿，那里出现了太阳的小半边脸，红是红得很，却没有亮光．”这段文字中，给我们呈现了直线与圆的哪一种位置关系（    ） A．相切 B．相离 C．外切 D．相交 3．（26-27九年级上·北京·课后作业）设的半径为，圆心到直线的距离为，若，是方程的两根，则直线与相切时，的值为______；当时，直线与______． 4．（2026九年级上·江苏·阶段测试）设边长为的正方形的中心在直线上，它的一组对边垂直于直线，半径为的的圆心在直线上运动，点、间距离为．如图1，当时，在运动过程中，通过观察，由与、之间关系，可得与正方形的公共点个数如下： 、、之间关系 公共点的个数 0 1 2 1 0 则与正方形的公共点个数可能是：、、 (1)如图2，当时，根据与、之间关系，将与正方形的公共点个数填入下表： 、、之间关系 公共点的个数 (2)如图3，当与正方形有5个公共点时，请说明； (3)当时，请根据与、之间关系，直接写出与正方形的公共点可能的个数． 【提高题型二 解决圆的切线相关问题】 【例1】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知：的半径为，圆心到直线l的距离为，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与相切，则平移的距离是（　　） A． B． C． D．或 【例2】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图所示，线段是的一条直径，，过点作的切线交的延长线于点，则等于______． 1．（26-27九年级上·北京·课后作业）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫作整点．如图，过整点，，有一条圆弧，如果一条直线与这条圆弧相切于点B，则这条直线经过（     ） A． B． C． D． 2．（2023九年级上·四川泸州·阶段测试）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（    ） A． B． C． D． 3．（2026九年级上·四川宜宾·阶段测试）如图，已知中，，，，点在边上运动，连接．当和的内切圆半径相等时，设，则________（用含的代数式表示）． 4．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图1，在矩形中，边长，，其中分别是方程的两个根，连接．点从点出发，沿向点运动（到达点停止运动），速度为1个单位每秒，设运动时间为秒． (1)______． (2)如图2，在运动过程中，以为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点，当为______时，点运动到的角平分线上，此时，半圆与有怎样的位置关系，并加以说明． (3)如图3，在运动过程中，连接，将沿折叠，得到，连接，当取最小值时，为______，此时，的值为______． (4)如图4，当半圆与的边有两个交点时，直接写出的取值范围． 【提高题型三 圆与其他图形的综合应用】 【例1】（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）对于题目“已知及外一点，如何过点作的切线？”甲、乙两位同学的作法如下： 甲的作法：连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，作直线，，直线，即为所求．    乙的作法：连接并延长，交于两点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接，，作直线，，直线，即为所求．    下列说法正确的是（    ）． A．乙的作法正确，甲的作法错误． B．甲和乙的作法都错误． C．甲的作法正确，乙的作法错误． D．甲和乙的作法都正确． 【例2】（25-26九年级上·浙江湖州·期末）⊙为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点，重合），连结，，．则四边形的面积关于线段的长的函数解析式是_____． 1．（25-26九年级上·湖北鄂州·期末）正三角形的边长为，是边上一动点，两点关于直线对称，连接并延长交直线于，连接，在点运动过程中，的最大值是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知的三边长a，b，c满足，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，矩形中，，，连接，和分别是和的内切圆，则的长是___________． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形的各边与分别相切于点．求证：． 1．（2024九年级上·湖北·阶段测试）如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 2．（23-24九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，⊙O是的内切圆，D，E，F分别为切点，且．已知，，则四边形OFCE的面积为（    ） A．1 B．15 C． D．4 3．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）如图，已知等腰，，以为直径的圆交于点D，过点D的的切线交于点E，若，则的半径是（    ） A． B．5 C．6 D． 4．（25-26九年级上·江苏常州·课后练习）如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 5．（2026 九年级上·江苏常州·单元测试）如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（    ） A．55° B．65° C．70° D．78° 6．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，点是半径为的外一点，，分别切于，点，若是边长为的等边三角形，则（  ）    A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·江苏·课后练习）如图所示，是的直径，切于点，线段交于点，连接，若，则等于（     ） A． B． C． D． 8．（2023九年级上·江苏徐州·阶段测试）如图，直线与相切于点，线段，是的两条弦，且；若的半径为，，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 9．（2023九年级上·江苏镇江·阶段测试）如图，在菱形中，E为上一点，以为直径的与相切于点E，若，则等于（     ） A． B． C． D． 10．（2023九年级上·江苏连云港·阶段测试）如图，正方形的边长为8，若经过C，D两点的与直线相切，与相交于点E，则为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，，，则的面积是________；若经过点且与边相切的动圆与，分别相交于点，，则线段长度的最小值是________． 12．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，以为圆心为半径作交轴于为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为_____． 13．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）已知是半径为1的⊙O的一条弦，且 ，以为一边在⊙O 内作等边三角形，点D为⊙O上不同于点A的一点，且 ，的延长线交⊙O于点E，连接，则的长为__________． 14．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在直径为的半圆中，为半圆弧上的一点，连接，将劣弧沿弦折叠交直径于点，取劣弧的中点为，连接．已知，则点与圆心距离的最小值为___________． 15．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，，．以为弦的圆分别交于E、F两点．点G在边上，且满足．若，则的面积的最小值是_____． 16．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别为各边的中点．求证：E，F，G，H四点在同一个圆上． 17．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的弦，是的切线，．求证：是的切线． 18．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长和的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 19．（2023九年级上·江苏苏州·阶段测试）如图，是的内接三角形，是的直径，点为的中点．请仅用无刻度的直尺按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作出的平分线； (2)在图2中，作出的内心． 20．（2026九年级上·江苏苏州·阶段测试）如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 1 学科网（北京）股份有限公司 $