精品解析：福建厦门市莲花中学2026-2027学年九年级上学期阶段性练习数学试题

2026-2027学年厦门市莲花中学九年级（上）阶段性练习 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题有且只有一个选项正确） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将方程化成一元二次方程的一般形式，若二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是（　　） A. 2，5 B. 2， C. ，5 D. ， 3. 一元二次方程 的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 若方程的两根为，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的图象的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数（为常数）的图象经过点，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 当时， C. 当时，的值随值的增大而增大 D. 函数图象的顶点在第二象限 10. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 抛物线的开口向______（填“上”或“下”），与轴交点是______． 12. 已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）三点都在二次函数y＝2（x+2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 ___________． 13. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的x，y的部分对应值如下表： x －1 0 1 2 3 y 5 1 －1 －1 1 则该二次函数图像的对称轴为直线________． 14. 一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度h（单位：米）与经过的时问t（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面时最后一秒降落的高度是______米． 15. 已知：m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝_____． 16. 如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 三、解答题（共8题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3） （4） 18. 已知二次函数． （1）请把下面的表格补充完整： x … 0 1 2 3 … … ____ 2 ___ 2 … （2）根据上表，在图中画出这个二次函数的图像． （3）根据图像，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②当时，的取值范围是________． 19. 如图，已知二次函数的图象经过A（2,0）. （1）求的值. （2）若二次函数于轴相交于的点，且该二次函数的对称轴与轴交于点，连结，求的面积. 20. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为S． （1）求S与x之间的函数表达式； （2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值． 21. 某超市的某种商品进价为每件元，当售价为每件元时，每天可售出件．市场调查反映：如有降价活动，每降价元，该商品每天可多售出件． （1）降价活动期间，设降价数额为元（为非负整数）， ①用含的式子表示该商品降价后每天多售出的件数是 件； ②设该超市出售该商品每天所得利润为元，请求出关于的函数解析式； （2）该超市的员工说：“只要降价后售价高于进价，每天降价促销的利润都会比不降价的时候更大．”就该商品而言，你认为这名员工的说法是否正确？请说明理由． 22. 定义：对任意一个三位数k，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为“欢乐数”．例如，，因为，所以432是“欢乐数”． （1）直接写出最小的“欢乐数”是______； （2）若一个“欢乐数”（，a，b，c为自然数），且是方程的一个根，写出所有满足条件的“欢乐数”； （3）若一个“欢乐数”（，a，b，c为自然数），且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且，求出“欢乐数”k的值． 23. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 24. 如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． （1）试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由： （2）如图，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②如图，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网组卷网 2026-2027学年厦门市莲花中学九年级（上)阶段性练习 数学 (试卷满分：150分考试时间：120分钟) 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题有且只有一个选项正确) 1.下列函数是二次函数的是（) A.y=3x+1 B.y=3x C.y=3x2 【答案】C 【解析】 【分折】利用二次函数的一般形式为：)=ar+br+(a、6C是带数，a≠0)，进而判断得出即可. 本题考查了二次函数的定义.判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍 能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件， 【详解】解：A、少=3x+1 是一次函数，不是二次函数，故本选项不正确； B、3x 是正比例函数，不是二次函数，故本选项不正确： C、y=3x2 符合二次函数的定义，故本选项正确： D. x是反比例函数，故本选项不正确. 故选：C 3x2+2x=5 2.将方程 化成一元二次方程的一般形式，若二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是 () A.2,5 B.2,-5 C.-2,5 D.-2,-5 【答案】B 第1页/共27页 6学科网命组卷网 【解析】 【分析】将3r2+2x=5 化为一般形式进行判断即可. 【详解】解：3r+2x=5化为一元二次方程的一般形式3+2x-5=0 ·一次项系数、常数项分别是2，-5， 故选B, 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般形式是：+6r+c=0a≠0)，a b,C是常数，在一般形式中 叫二次项， bx叫一次项，c是常数项。其中a,b,c分别叫二次项系数， 一次项系数，常数项，解题的关键是正确进行变形. 3.一元二次方程+x+1=0 的根的情况为() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出△，然后根据△的值即可判断方程根的情况. 【详解】解：x+x+1=0 .A=12-4=-3<0 一元二次方程 +x+1=0没有实数根。 故选D, 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是由根的判别式的正负判断一元二次方程根的情况. 4若方程r-4红-2=0的两根为，，则的值为《) A.-2 B.2 C.-4 D.4 【答案】A 第2页/共27页 6学科网6组卷网 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系直接计算两根之积即可. 【详解1解：方程心-4x-2=0中，a=1,c=-2, 六由根与系数的关系得5=2 a 5.将二次函数y=r-1 的图象向上平移3个单位长度，得到的图象的函数表达式为( ) A.y=x2+3 B.y=x2-3 C.y=x2+2 D.y=x2-2 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象上下平移的规律计算新函数表达式. 【详解】解将次两数=-的图象向1平移3个年位长度。得=了-1+3=+2 6.抛物线少=(x-3)2-4 的顶点坐标是() A.（-3,4) B.（-3,-4) c(3,4) D.(3,-4) 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数y=(x-)'+k的图象和性质，二次函数y=(x-h}+k图象的顶点坐标 为（伍） 由此可解. 【详解】解：抛物线'=(-3)- 的顶点坐标是34) 故选D 7.己知二次函数y=+x+C的图象如图所示，则一次函数y=+C的图象可能是《) 第3页/共27页 6学科网组卷网 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数的图象得出a<0,C>0,进而可得出一次函数y=+C的图象过一，二，四象限， 进而可得出答案。 【详解】解：根据二次函数的图象可知：a<0,c>0, 故一次函数y=心+C的图象过一，二，四象限， 则只有选项D符合 8.《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户 斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短.将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿比门 高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等.问门高、宽、对角线长分别是多少.若设门对角线长为x 尺，则可列方程为() A.(x-2+(x-4)2=2x2 B.(x-2)}2+42=x c.(x-4)+(x-2)2=x2 D.(x-4)}2+x2=(x-2)月 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关 键.由题意可知：竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，然后运用勾股定理 列方程即可. 第4页/共27页 学科网组卷网 【详解】解：设门对角线长为x尺，则竿的长度为x尺，门宽为x-4)尺，高为(x-2)尺， 根据勾股定理可得：(x-4+(x-2)}2=x2 故选：C 9.已知二次函数y=-2m-5(a为常数a≠0)的图象经过点(3，-1川），则下列关于该函数的结论 正确的是() A.图象的开口向上 B当x=l时，y>0 C.当x<-1时，y的值随x值的增大而增大 D.函数图象的顶点在第二象限 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知点坐标求出参数Q的值，再结合二次函数的图象与性质逐一判断选项即可. 【详解】解：：二次函数y=-2x-5的图象经过点(3，-10) =3,y=-1 将 代入解析式得.-1=a-32-2a-3-5 整理得：3a-5=-11,解得：a=-2, ,a=-2<0, ,抛物线图象开口向下，选项A错误。 将x=1代入解析式得y=(-2)×1P-2×(-2)x1-5=-3<0 选项B错误： x=- b-2a=1 二次函数对称轴为2a2a .a<0,开口向下， .当x<1时，y随x的增大而增大， 第5页/共27页 学科网 命组卷网 又，x<-1满足x<1, ∴.当x<一1时，y的值随x值的增大而增大，选项C正确： 顶点坐标为山，-3)， 横坐标为正纵坐标为负，顶点位于第四象限，选项D错误. 10、对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法.以方程+8x=48 为例，赵爽的《勾股圆方 图注中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为×的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面 2x 48+4×22=64 ，则该方程的正数解为 -2×2=4 积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为 小美尝试用此方法解关于无的方程t+12x+c=0 构造如图2所示的图形.若图2中大正方形的面积为 100 则方程r+12x+c=0 的正数解是() 2x 2x 2 2x 图1 图2 A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】A 【解析】 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为3江的矩形，得出四个小正方 3x 3 00 10 形的边长为，根据大正方形的面积为 得出大正方形的边长为0，进而求出方程+12x+c=0 的正 数解即可. 3x 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的 矩形， 第6页/共27页 6学科网 命组卷网 四个小正方形的边长为3， ,大正方形的面积为100 ·大正方形的边长为V100=10 2+12x+c=0 方程 的正数解是10-2×3=4 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 1.抛物线y=(x-3)°+5的开口向 一（填“上”或“下”），与y轴交点是 【答案】 ①.上 ®.(014) 【解析】 【分析】由二次项系数的符号可判断开口方向，把x=0代入解析式求出y的值可求出抛物线与y轴的交 点坐标. 【详解】解：a=1>0, ∴.抛物线开口向上， 令x=0,得y=(0-3)+5=9+5=14 抛物线与y轴的交点坐标为(0,14) 12.已知A(-4,y1),B(-1,2),C(2,)三点都在二次函数y=2(+2)2+C的图象上，则y1, 2,的大小关系为 【答案】2<h<为 【解析】 【分析】先确定抛物线的对称轴，根据二次函数的性质，然后利用抛物线开口向上时，离对称轴越远，函 数值越大求解。 【详解】解：y=2(+2)2+c, ∴抛物线的对称轴为直线=2，开口向上， 而点B(-1,)离对称轴最近，点C(2,3)离对称轴最远； 第7页/共27页 6学科网命组卷网 ∴.V2<1<3， 故答案为2<1<. 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数y=(x)+k的性质是解答本题的关键.对于 二次函数y=(x-)+k(a,b,c为常数，0)，当心0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大 而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当心0时，抛物线开口向下，在对称 轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值. 13.已知二次函数y=ax+bx+c的x,y的部分对应值如下表： 2 y 则该二次函数图像的对称轴为直线 【答案】x=1.5 【解析】 【分析】在表格中寻找y值相等的一对坐标，其横坐标之和的一半即为对称轴 0+3=1.5 【详解】解：观察表格可知(0,1)和(3,1)为关于对称轴对称的一对坐标，故对称轴为2 故答案为x=1.5 【点睛】观察表格数据，寻找关于对称对称的坐标点是解题关键 14.一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（单位：米）与经过的时问t(单位：秒)满足函数 h=-5t2+15t 关系式 那么球弹起后又回到地面时最后一秒降落的高度是 米 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，先求得球弹起后又回到地面时的所用时间为3秒，进而将=2代入解 析式中求得h值即可. 【详解】解：令h=0,由0=-51+151得4=0.4=3 故球弹起后又回到地面时的所用时间为3秒， 第8页/共27页 6学科网命组卷网 当1=2时，h=-5x22+15x2=10, 故球弹起后又回到地面时最后一秒降落的高度是10米， 故答案为：10， 15.已知：m、n是方程x2+2x-1=0的两根，则(m2+3+3)(+3+3)=一 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意得到+=-2，=-1,2+2=1，n+21=1,再将(2+3+3)(+3+3)变形为 (m2+2++3)(2+21+t3),进而得到(+4)(+4)，进而得到+4(+n)+16,问题得解. 【详解】解：，m、n是方程x2+2x-1=0的两根， ∴.2+2L-1=0,2+2n-1=0,m+1=-2,w2=-1, ∴.1m2+2=1,n2+21=1, .(m2+3+3)(2+3什3) =(2+2m+叶3)(n2+2n+什3) =(1++3)(1++3) =(+4)(+4) =mW+47m+4+16 =W+4(W+n)+16 =-1+4×(-2)+16 =7. 故答案为：7 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系，熟知一元二次方程根的定义，根与系数的 关系，并根据题意将所求代数式变形是解题关键， 16如图，关于x的=次函数y=r-2mx+m2+1。 的图像为抛物线C,直线y=0与抛物线C交于A, B M N 两点，过抛物线C的顶点作”轴的平行线，过，B分别作的垂线，垂足为M,N.若四边形 ABNM 为正方形，则4= 第9页/共27页 命学科网命组卷网 y=a M O 【答案】5 【解析】 B mia-1 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出( 2, 然后代入抛 物线的表达式解方程即可. 【详解】解：y=x-2mc+m+1=(x-m+1, 六顶点为m) ,四边形ABWM为正方形，过抛物线C的顶点作x轴的平行线I,过A,B分别作I的垂线，垂足为M, N 4B-NB-a-1 4,B 于抛物线的对称轴对称， 整理得，a2-6a+5=0, 解得4=542=1 (舍)， :0s5 三、解答题（共8题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 第10页/共27页 6学科网列组卷网 17.解下列方程： 4)(x-1)2-25=0 （2)3r2=4x+1 3)2-4x+3=0 (4)(x-l)2+2x(x-1)=0 【答案】(1)=6，龙=-4 2)52+5 2-7 3= 3 (3)=1,2=3 44=16号 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程： (1)先移项，然后直接开平方法解方程，即可求解： (2)公式法解方程，即可求解； (3)因式分解法化为-(x-3)=0 即可求解： (4)因式分解法化为(x-1)(3x+1)=0 即可求解。 【小问1详解】 解：(x-1-25=0 :.(x-1)}=25 .x-1=±5， 第11页/共27页 命学科网命组卷网 解得： X=6,x2=-4 【小问2详解】 解：3=4x+1,即3x-4x-1=0 a=3,b=-4,c=-1 .△=16+12=28 =4426 2×3, 角深一2,2=今 3: 【小问3详解】 解：2-4x+3=0 :(x-(x-3)=0 ∴.x-1=0或x-3=0, 解得： 七=1，x2=3 【小问4详解】 解：（x-+2x(x-1)=0 .(x-10(x-1+2x)=0 即(x-03x+1)=0 .x-1=0或3x+1=0, 第12页/供27页 6学科网 组卷网 解得： x=1,x2=2 3 18己知二次函数y=-r+2x+2 (1)请把下面的表格补充完整： -1 0 1 y=-x2 -1 (2)根据上表，在图中画出这个二次函数的图像 6 5 3 -6-5-4-3-2-1, O123456x 2 3 4 5 (3)根据图像，回答下列问题： ①当x>1时，y随x的增大而 ②当0<x<3时，y的取值范围是 【答案】(1) 补全表格如下： -1 0 1 3 y=-x2+2x -1 2 3 2 -1 (2)画出二次函数的图像如下： 第13页/供27页 6学科网命组卷网 6 4 3 456X (3)减小， -1<y≤3 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的函数值，画二次函数的图像，二次函数的图像和性质，正确的画出函数图 像是解题的关键。 (1)把自变量的值代入函数解析式进行求解即可： (2)描点，连线，作图即可； (3)直接根据图像作答即可， 【小问1详解】 解：当x=-1时，y=-（+2×(-1)+2=-1, 当x=1时，y=-+2×1+2=3 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①观察图像可知，当x>1时，y随x的增大而减小： 故答案为：减小： 0<x<3 -1<y≤3 ②观察图像可知，当 时，的取值范围是 -1<y≤3 故答案为： 第14页/供27页 6学科网 命组卷网 1 19如图，已知二次函数少= 二x2+4x+c 2 的图象经过A(2,0) (1)求C的值. (2)若二次函数于y轴相交于的B点，且该二次函数的对称轴与x轴交于点C,连结BA、BC,求 △ABC 的面积 B 【答案】(1)-6：(2)6. 【解析】 【分析】(1)将已知点的坐标代入到二次函数的解析式即可求得C值： (2)首先求得对称轴，然后求得点C的坐标，从而求得线段AC的长，最后求得三角形ABC的面积即可. 【详解】解：(1)把A(2,0)代入y= x+4x+6 2 得c=-6 (2)由(1)得B的坐标为(0，-6) .OB=6 X=一 抛物线对称轴为： 2× 2 第15页/共27页 6学科网组卷网 ..C 4,0) 点坐标为 ∴.AC=OC-OA=4-2=2 1 xACXOB-1x2x6-6 ∴.△ABC的面积为：2 2 【点睛】本题考查了二次函数的性质及图象上点的坐标，属于二次函数的基础知识，应重点掌握. 20.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成 一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边)，设AB=xm,花园的面积为S. (1)求S与x之间的函数表达式： (2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑 树的粗细)，求花园面积的最大值. 【答案】(1)S--x2+28x(0<x<28);(2)195m2. 【解析】 【分析】(1)根据长方形的面积公式可得S关于x的函数解析式： (2)由树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m求出x的取值范围，再结合二次函数的性质可得答案. 【详解】解：(1)，AB=xm, .BC=(28-x)m 则S=AB.BC=x(28-x)=-x2+28x. 即S=-x2+28x(0<x<28). ( x≥6 (2)由题意可知， 28-x≥15， 解得6≤x≤13 由(1)知，S=-x2+28x=-(x-14)2+196. ,当6≤x≤13时，S随x的增大而增大， 第16页/供27页 6学科网列组卷网 ∴.当x=13时，S最大值=195， 即花园面积的最大值为195m2, 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键 21.某超市的某种商品进价为每件50元，当售价为每件80元时，每天可售出40件.市场调查反映：如有 降价活动，每降价1元，该商品每天可多售出8件， (1)降价活动期间，设降价数额为x元(x为非负整数)， ①用含x的式子表示该商品降价后每天多售出的件数是 件： ②设该超市出售该商品每天所得利润为W元，请求出W关于x的函数解析式； (2)该超市的员工说：“只要降价后售价高于进价，每天降价促销的利润都会比不降价的时候更大.” 就该商品而言，你认为这名员工的说法是否正确？请说明理由， 【答案】G4)08x,②w=-8r+200x+12000≤x≤30，￥为整数) (2) 解：这名员工的说法不正确.理由如下： Wo 设降价后的销售利润与降价前的销售利润的差为 %=w-(80-50)×40 =-8x2+200x+1200-1200 =-8x2+200x 令%÷0 ,得-8r2+200x=0 解得=0，=25 a=-8<0 ·当25<x≤30时，%<0 即当25<x≤30时，每天降价促销的利润都会比不降价的时候小. 第17页/供27页 6学科网列组卷网 ·这名员工的说法不正确 【解析】 【分析】本题主要考查列代数式和整式的加减，读懂题意是解答本题的关键 (1)根据题意列出代数式即可； (2)设降价后的销售利润与降价前的销售利润的差为%，先得到%的关系式，算出%=0时，X的取 值，再根据二次函数的性质判断即可. 【小问1详解】 解：(1)①降价活动期间，降价数额x元，则该商品每天多售出的件数为8x件， ②设该超市出售该商品每天所得利润为w元， w=(80-50-x)(40+8x) =-8x2+200x+12000≤x≤30，x为整数) 【小问2详解】 略 22.定义：对任意一个三位数k,如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字 3=4+2 与个位上的数字的平均数，那么称这个数为“欢乐数”.例如，k=432,因为2，所以432是 “欢乐数”. (1)直接写出最小的“欢乐数”是一； (2)若-个“欢乐数"k=100a+10h+c1≤a,b,c≤9 a,b,c为自然数)，且x=-1 是方程 3x2+bx+c=0 的一个根，写出所有满足条件的“欢乐数”： (3)若-个“欢乐数k=100a+10b+c1≤a,bc≤9 a,b,c为自然数)，且关于x的一元二次 方程+2br+c=0 10≤a+b+c≤15 有两个相等的实数根，且 ,求出“欢乐数”k的值. 第18页/共27页 学科网命组卷网 【答案】(1)111 (2)741,852,963(3)444或555 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式.理解题意，熟练掌握一元二次方程 根的判别式是解题的关键. (1)根据“欢乐数”的定义求解即可； a,b,c (2)根据“欢乐数”的定义以及一元二次方程的解可得到三者的关系，然后再根据“欢乐数”的定 义得到C的取值范围，进而可求解： (3)由关于x的一元二次方程a2+2bx+c=0有两个相等的实数根，可得△=(2b)}'-4ac=0,即 B=ac,进而可求a=b=C,由10≤a+b+c≤15,1≤a、么、c≤9，a么c为自然数，可求 a=b=c=4.a=b=c=5 或 ,然后作答即可. 【小问1详解】 解：，各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，各个数 位上的数字最小为1， .最小的“欢乐数”是111。 【小问2详解】 :k=100a+10b+c是“欢乐数”， .2b=a+c, 是方程3r+x+c=0 .x=- 的一个根， :3-b+c=0.月b2-12c≥0 .b=3+C, ∴.6+2c=a+c,即a=6+c, ,各个数位上的数字都不为零， 第19页/供27页 命学科网命组卷网 a,b,c 三个数都大于等于1且小于等于9， 1≤3+c≤9,1≤6+c≤9 .1≤c≤3， .C的值可以为：1,2,3： 0=1.b=4a=7.符合心-12c20,时发平签”为， 时， ,符合 当0=2所，6=5a=8,有含-12c20,时“效乐数”为s2 时， ,符合 当C=3 时， b=6,a=9符含b2-12c≥0，此时“欢乐数”为963， ,符合 【小问3详解】 解：：关于x的一元二次方程+26x+c=0有两个相等的实数根， .△=(2b)-4ac=0,即b=ac, ..a+c=2b b2=ac :(a-c2-(a+c)}2-4ac=4h2,4b2=0 解得，a=C, .a=b=c 10≤a+b+cs15 :10≤3as15 :1sa、6cs9 a、b、c为自然数， ∴.a=b=c=4或a=b=c=5, ∴.k的值为444或555. 第20页/共27页 6学科网6组卷网 23.综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计 出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合， 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60Cm,起跳 点与落地点的距离为l60cm. 青蛙的运动路线 仿青蛙机器人 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N,对称轴为直线1，仿青蛙机器人 在水平地面上的起跳点为O,落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平 地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系. y/cm M cm 图1 图2 (1)请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式： 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变. 0,75) (2)如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q,点P的坐标为 ,点Q在x 0 轴的正半轴上.求起跳点P与落地点Q的水平距离 之的长： (3)实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于 3cm ABCD ,才能安全通过.如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形 ,其中 ∠ABC=∠BCD=90°AB=57cm,BC=40cm,CD=48cm 仿青蛙机器人从距离AB 80cm处 左 第21页/供27页 命学科网命组卷网 的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起 跳，则刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青 蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内)· 【答案】(1)(80,60)，y=320 &-80+60,2迷有2与落地点0的水平距离00的长为 200cm 6cm (3) 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： (1)根据起跳点与落地点的距离为160cm,得到对称轴为直线x=80,根据运动路线的最高点距地面 60cm,得到顶点纵坐标为60，写出顶点坐标，列出顶点式，把(0,0)代入，求出函数解析式即可： (2)根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的西数解斩式，令)=0， ,求出的值，进而求出 02 的长即可： 3206x-80y2+60+k 3 (3)设该平台的高度为kcm,根据题意，得到新的抛物线的解析式为： 根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点（120,5) 代入求解即可： 【详解】解：(1)由题意，得：抛物线的对称轴为直线x=80,顶点纵坐标为60， 顶点坐标为 80,60) 设抛物线的函数解析式为：y=a(x-80)+60 图象过原点， 3 Q=- :.a(0-80)2+60=0,解：-320， 第22页/供27页 6学科网命组卷网 .:s 3 (x-80)2+60 320 (0,75) (2),抛物线的形状不变，点 故第二次的函数图象可以看作由(1)的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， 日新的抛物线的解机式为：Y2动-80+60+万三 3（x-802+135 32 (x-80)2+135=0 当y=0时，320 解得：x=200七=-40 舍去)； 09 200cm 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为 )设该平台的高度为kCm,由题意，设新的函数解析式为：卫三-。Cx-80+60+ 320 .B=57cm,BC=40cm,CD=48cm ，仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm多 “处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过CD正上方3cm处，即抛物线经过点(80+40,48+3)，即：(120,5列）， ÷把(120,51）代入y=-320 3-80P+60+k.得.51=2020-80+60+ ,解得：k=6: 故设该平台的高度为6cm, 24.如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”， 第23页/供27页 6学科网列组卷网 6 B2 图1 图2 （1)试判断y=?-4红+4与y=-?+2x是否互为“件随对称抛物线”，并说明理由： (2)如图1，若C:y=a(x-h广+k与C:y=4(x-h广+k互为“件随对称抛物线”，顶点分 别为4,4，记G,C组成的图形为C. ①试猜想4与”的数量关系，并证明； ②如图2，若G:y=,%>0,BB分别为G,C上的点，且四边形484B,为正方形，求 (,-2-1+的值。 【答案】（山解：y=Y-4x+4与'=-+2x互为“件随对称抛物线”，理由如下： y=x2-4x+4=(x-2}2, ∴抛物线少=r2-4x+ 的项点坐标为2,0) 将x=2代入y=-+2x.得y=-2+2x2=0 :抛物线y=-+2x经过点2,0) y=-x2+2x=-(x-1)2+1 :抛物线y=-X+2x的顶点坐标为， 第24页/供27页 命学科网命组卷网 把x=1代入y=-4x+4,得y=-4x1+4=1 :抛物线y=r-4x+4经过点 :.y=X-4x+4与y=-术+2x互为“件随对称抛物线”： (2)解：04+4=0 ,证明如下： G:y=a(x-h+k,C:y=4(x-+k,顶点分别为A,4, :A(h,k).4(么，k) 又G与C互为“件随对称抛物线”， :k=4(h-h)+k,飞=a(h-h)+k, 两式相加，得（4+4)么-h)2=0 :么≠乃 :么-乃≠0 :%+4=0 ②4 【解析】 【分析】（山分别求出）=式-4红+4与=一r+2x的顶点坐标，再根据“件随对称抛物线”的定义 解答即可； (2)①先求出4（伍，k),4(伍，），根据“件随对称抛物线”的定义得k=4(么-h+k, 店=4（么-h)广+(，两式相加即可解答：②由愿意可得4=-4=-1，则C,:y=-(x-h)广+k, 第25页/供27页 6学科网6组卷网 设4A,与B,B,相交于点P,根据正方形的性质得气2'2，过点P作直线1⊥y轴，垂足为M,过点 B作BNII,垂足为N,可证△PB,N≌△APM(AAS),得到PN=AM,BN=PM,设 B(x,),则2 2, 2,进而根据飞2=公，点B 在G上，可得兮-2-么=2，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 ②G:y=x2.a+a,=0 :4=1.4=-4=-1 .C2:y=-(x-h)'+k2, A(0,0),4(h,k).店=G 如图，设44与BB相交于点P, B B2 :四边形4B4B为正方形 第26页/供27页 命学科网命组卷网 :P为C的对称中心， AA⊥BB2BP=AP ）. 过点P作直线山y轴，垂足为M,过点B作BN11,垂足为N,则∠BWP=∠4MP, ∠B,PN=∠MAP=90°-∠MPA ..BP=4P :△PB,N≌aAPM(AAS) PN=AM BN=PM 也-x 设B(x,),则2 2, 2, :无=吲 2, 2, :点B在9上. 整理得公-2好-，=2 :.(h-2)-1(h+1)=(h-2)(3-1=-2-h2+2=2+2=4 第27页/供27页