精品解析：福建省泉州第一中学2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

泉州一中第四届“守仁杯”学科素养大赛初中理科素养卷 （9年级数学） 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 关于的方程是一元二次方程，则（ ） A. 2或 B. 2 C. D. 0 2. 已知，那么的值是（ ） A. B. C. 1 D. 3. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. B. 5 C. D. 8 4. 如果点是的重心，是边的中点，那么的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图的提琴模型中，点是的黄金分割点，即满足，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“三贯二百一五十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱五文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为3250文．如果每株椽的运费是5文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意，设这批椽的数量为x，列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，O是三条角平分线的交点，过点O作，分别交于D，E两点，设则关于x的方程的说法正确的是（ ） A. 一定有两个相等实数根 B. 一定有两个不相等实数根 C. 有两个实数根 D. 无实数根 9. 如图，中，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，且则线段的长为（　　） A. B. C. D. 10. 关于x的方程，有两个不相等的实数根，且，那么实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 现有四条线段是成比例线段，长度按从长到短的顺序分别为，则的值为_______________． 12. 如图，四边形四边形，若 ，则____度． 13. 如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是______． 14. 若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值是_____． 15. 如图，在宽为、长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分铺上草坪．要使草坪的面积为，则道路的宽为_____m． 16. 如图，四边形是正方形，连接，点是上一点，连接交于点，连接，过点作于点，连接．若，则的值为_______________． 三、解答题：（本题共8小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：； 18. 解方程： 19. 如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，．以原点O为位似中心将向右侧放大两倍得到． （1）在图中画出； （2）若内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是_____． 21. 如图，已知，，与分别是与的中线，与分别是与的角平分线，，，求，的长． 22. 如图，是的中线，点E是线段上的一点，延长，交于点F．若，，求出的长度． 23. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 24. 【综合与实践】 在复习一元二次方程时，张明同学整理、总结了3张资料卡片： [卡片1]根的判别式：． [卡片2]求根公式：． [卡片3]一元二次方程有两个相等的实数根，有时也可以理解为：只存在未知数的一个值满足方程． （1）结合[卡片1][卡片2]的内容，完成[任务1]： 设，是方程的两个实数根． 求证：，； （2）利用[任务1]中的结论，完成[任务2]： 设，是方程的两个实数根． ①若，则________；②若，则________； （3）根据以上内容，完成[任务3]： 有三个实数，，都满足关于x的方程，其中a，b为常数，且，．求证：，，中必有一个值为2． 25. 如图1，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边，于、两点（、不与重合），沿着将矩形折叠使、两点重合． （1）____________（用含有的代数式表示）； （2）如图2，当点恰好落在矩形的对角线上时，求的长度； （3）若折叠后，是等腰三角形，请直接写出此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州一中第四届“守仁杯”学科素养大赛初中理科素养卷 （9年级数学） 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 关于的方程是一元二次方程，则（ ） A. 2或 B. 2 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 根据一元二次方程的定义直接解答即可． 【详解】解：∵ 方程是一元二次方程， ∴ ． 当时，方程为，符合定义． 故选：B． 2. 已知，那么的值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．根据已知比例关系，设参数表示a和b，代入所求表达式直接计算，即可作答． 【详解】∵ ， ∴设， ∴． 故选：B． 3. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. B. 5 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．先根据平行线分线段成比例定理可得的长，再根据求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4. 如果点是的重心，是边的中点，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长至点，使得，连接，连接并延长交于点，证明，得出，，从而可得，再证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，连接并延长交于点， ∵点是的重心， ∴为的中点， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，无法得到，故本选项符合题意； 6. 如图的提琴模型中，点是的黄金分割点，即满足，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算．根据黄金比的值为求解即可． 【详解】解：∵点P是的黄金分割点，即点P满足， ∴为较长线段，则． ， ． 故选：D． 7. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“三贯二百一五十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱五文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为3250文．如果每株椽的运费是5文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意，设这批椽的数量为x，列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程，关键是理解“剩下的运费等于一株椽的价钱”这一等量关系． 根据题意，少拿一株椽后，剩下的运费等于一株椽的价钱，可求出一株椽的价钱，再结合总价钱列方程，即可作答． 【详解】解：∵少拿一株椽后， ∴剩下的椽数量为株， ∵每株运费为5文， ∴ 剩下的运费为 文 又∵剩下的运费等于一株椽的价钱， ∴一株椽的价钱为文， ∵总价钱为3250文，等于椽的数量乘以每株价钱， 即， 故选：A． 8. 如图，O是三条角平分线的交点，过点O作，分别交于D，E两点，设则关于x的方程的说法正确的是（ ） A. 一定有两个相等实数根 B. 一定有两个不相等实数根 C. 有两个实数根 D. 无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得，再结合平行线的性质，以及角的等量代换，得，则，然后整理，即可作答． 【详解】解：∵O是三条角平分线的交点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 则， 即， ∵， ∴ ， ∴关于x的方程有两个实数根， 故选：C． 9. 如图，中，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，且则线段的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，由折叠可得， ，，，，，即得，得到是等腰直角三角形，进而得，又得，，，利用得，最后根据即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知，， ，，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10. 关于x的方程，有两个不相等的实数根，且，那么实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．又存在，即，，利用根与系数的关系，从而最后确定的取值范围． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， 则且， 由， 解得， ，， 又， ，， 那么， ， 即， 解得， 最后的取值范围为：． 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，关键是得到． 二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 现有四条线段是成比例线段，长度按从长到短的顺序分别为，则的值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】四条线段已按从长到短排序，根据成比例线段的定义列比例式求解即可． 【详解】解：∵四条线段长度按从长到短的顺序分别为，且这四条线段是成比例线段， ∴，根据比例的基本性质，可得， ∴计算得，解得． 12. 如图，四边形四边形，若 ，则____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应角相等是解题的关键．根据相似多边形的对应角相等，以及四边形内角和为度求解即可． 【详解】解：四边形四边形， 又，，， ， 故答案为：． 13. 如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是找准对应线段； 由平行可得比例线段，即可求得的长． 【详解】解：∵ ∴ 又 ∴， ∴， 故答案为：8． 14. 若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，以及整体的思想，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解本题的关键．先根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴ ∴ ∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 故答案为：． 15. 如图，在宽为、长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分铺上草坪．要使草坪的面积为，则道路的宽为_____m． 【答案】2 【解析】 【分析】设道路的宽为，则把纵向路平移到最左侧、横向路平移到最下方后， 整个草坪可看作一个长为、宽为的矩形． 再利用长和宽得到面积的表达式，求出x的长度. 【详解】解：设道路的宽为, 由题意得:． 整理，得，解得，（舍去）． 故道路的宽为． 故答案为:2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用长度和面积的关系列出表达式是解题的关键. 16. 如图，四边形是正方形，连接，点是上一点，连接交于点，连接，过点作于点，连接．若，则的值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形边长为，，则，由得到，从而，再根据，利用平行线分线段成比例得到；在中借助面积法与勾股定理求出与，计算得到，联立建立方程求解出，再代入化简求出即可． 【详解】解：设正方形边长为，，则， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 三、解答题：（本题共8小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】分别化简二次根式、去绝对值、计算零次幂，再合并同类二次根式得到结果． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程： 【答案】x1=4，x2=-1 【解析】 【分析】运用因式分解法可得． 【详解】解： ∴x-4=0或x+1=0 ∴x1=4，x2=-1 【点睛】考核知识点：解一元二次方程．运用因式分解法解方程是关键． 19. 如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【答案】 证明：，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，．以原点O为位似中心将向右侧放大两倍得到． （1）在图中画出； （2）若内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是_____． 【答案】（1）画图如下：则即为所求 （2） 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中位似图形的画图，位似点的坐标计算，熟练掌握作图，坐标计算方法是解题的关键． (1)根据位似中心，结合位似比，画图即可． (2)根据位似坐标计算方法即起始点坐标的位似比倍或位似比的相反数倍计算即可． 【小问1详解】 根据题意，．以原点O为位似中心将向右侧放大两倍得到， 则． 【小问2详解】 内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是， 故答案为：． 21. 如图，已知，，与分别是与的中线，与分别是与的角平分线，，，求，的长． 【答案】， 【解析】 【分析】由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴与的相似比为， ∵与分别是与的中线，与分别是与的角平分线， ∴，， ∵，， ∴，． 22. 如图，是的中线，点E是线段上的一点，延长，交于点F．若，，求出的长度． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 过A作，交的延长线于点G，根据平行线的性质证得和，再根据相似三角形的性质证得和，进而求出的长度即可． 【详解】解：如图所示，过A作，交的延长线于点G， ， 、 又是的中线 、 ． 23. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）3元 （3）售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. 【小问3详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 24. 【综合与实践】 在复习一元二次方程时，张明同学整理、总结了3张资料卡片： [卡片1]根的判别式：． [卡片2]求根公式：． [卡片3]一元二次方程有两个相等的实数根，有时也可以理解为：只存在未知数的一个值满足方程． （1）结合[卡片1][卡片2]的内容，完成[任务1]： 设，是方程的两个实数根． 求证：，； （2）利用[任务1]中的结论，完成[任务2]： 设，是方程的两个实数根． ①若，则________；②若，则________； （3）根据以上内容，完成[任务3]： 有三个实数，，都满足关于x的方程，其中a，b为常数，且，．求证：，，中必有一个值为2． 【答案】（1）证明：对于方程， 由求根公式，得，， ， ． （2）① ②12 （3）证明：由原方程得：①，②， 两个方程的判别式分别为：，， ∵有三个不相等实数，，都满足关于的方程， ∴方程①，②中一定是：一个方程有两个不等实数根，另一个方程有两个相等实数根， 即，中必有一个大于0，一个等于0，比较，，显然， ，，即， ． 把分别代入方程①，②中， 得③，，即④， 设方程③的两根为，，方程④的根为，则 ，．（∵方程④的两根均为） 又， ，解得， ， 故，，中必有一个值为2． 【解析】 【分析】（1）依托求根公式写出方程两根表达式，通过整式相加、平方差分别计算两根和与两根积，完成韦达定理证明． （2）先用韦达定理表示两根和、两根积；① 对分式通分变形为，整体代值计算；② 将代入两根和关系式，先求单根，再利用两根之积求出． （3）去掉绝对值拆为两个一元二次方程，写出各自判别式； 由三不等实根推出：一方程、一方程，结合判定，用表示； 然后代入原方程配方得到重根表达式，结合韦达与三根之和列等式，算出重根等于2，完成求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是一元二次方程的两个实数根， 由（1）韦达定理可得：． ① 若： ② 若： ，代入， ，解得，， ． 【小问3详解】 略 25. 如图1，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边，于、两点（、不与重合），沿着将矩形折叠使、两点重合． （1）____________（用含有的代数式表示）； （2）如图2，当点恰好落在矩形的对角线上时，求的长度； （3）若折叠后，是等腰三角形，请直接写出此时点的坐标． 【答案】（1）；（2）2；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据点A的坐标可得点E的纵坐标为3，所以得CE=，从而得AE的长； （2）如图2中，连接AD交EF于M，想办法证明△AEF∽△ACB，推出EF∥BC，再利用平行线的性质和等腰三角形的判定证明AE=EC=2即可； （3）分三种情况讨论：①AD=BD，②AD=AB，③AB=BD，分别计算DN和BN的长确定点D的坐标即可解答． 【详解】解：（1）∵四边形ABOC是矩形，且A（4，3）， ∴AC=4，OC=3， ∵点E在反比例函数y=上， ∴E（，3）， ∴CE=， ∴AE=4-； 故答案为：4-； （2）如图2，∵A（4，3）， ∴AC=4，AB=3， ∴， ∴点F在y=上， ∴F（4，）， ∴， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△AEF∽△ACB， ∴∠AEF=∠ACB， ∴EF∥BC， ∴∠FED=∠CDE， 连接AD交EF于M点， ∴△AEF≌△DEF， ∴∠AEM=∠DEM，AE=DE， ∴∠FED=∠CDE=∠AEF=∠ACB， ∴CE=DE=AE=AC=2； （3）过D点作DN⊥AB， ∵AE=2，AF=， ∴EF=， ①当BD=AD时，如图3，有∠AND=90°，AN=BN=AB=， ∴∠DAN+∠ADN=90°， ∵∠DAN+∠AFM=90°， ∴∠ADN=∠AFM， ∴tan∠ADN=tan∠AFM=， ∴， ∵AN=， ∴DN=， ∴D（4-，），即D（，）； ②当AB=AD=3时，如图4， 在Rt△ADN中，sin∠ADN=sin∠AFM=， ∴， ∴AN=AD=×3=， ∴BN=3-AN=3-=， ∵DN=AN=×=， ∴D（4-，），即D（，）； ③当AB=BD时，△AEF≌△DEF， ∴DF=AF， ∴DF+BF=AF+BF，即DF+BF=AB， ∴DF+BF=BD， 此时D、F、B三点共线且F点与B点重合，不符合题意舍去， ∴AB≠BD， 综上所述，所求D点坐标为（，）或（，）． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $