精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市剑桥•世宙中学2026---2027学年第一学期八年级学科素养统计 数学

剑桥•世宙中学2026-2027学年第一学期 初二年级学科素养统计（数学） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，2，4 B. 5，6，12 C. 5，7，2 D. 6，8，9 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为2，2，4的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为5，6，12的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为5，7，2的三条线段不能组成三角形，不符合题意； D、∵， ∴长为6，8，9的三条线段能组成三角形，符合题意； 故选：D． 2. 已知下图是两个全等三角形，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得到与第一个三角形度数未知的第三个内角相等，再根据三角形内角和定理得到． 【详解】解：∵这两个三角形全等， ∴与第一个三角形度数未知的第三个内角相等，即边之间的夹角， 即． 3. 如图，两根钢条、的中点O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具，的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（ ） A. 边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 角角边 【答案】A 【解析】 【分析】由是、的中点， 可得：，，再由，可以根据全等三角形的判定方法，判定． 【详解】解：∵是 、的中点， ∴，， 在和 中， ， ∴． 4. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、不是边上的高，故此选项不符合题意； C、是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项符合题意． 5. 如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ） A. AB=CD B. EC=BF C. ∠A=∠D D. AB=BC 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵AE∥DF， ∴∠A=∠D， ∵AE=DF， ∴要使△EAC≌△FDB，还需要AC=BD， ∴当AB=CD时，可得AB+BC=BC+CD，即AC=BD， 故选A． 6. 如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（ ）    A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三角形外角的性质及角平分线的定义，起吊物体前，设，根据题意可得，则，物体被吊起后，可得，增大了，由即可解答． 【详解】解：起吊物体前，设， ，支撑臂为的平分线， ， ； 物体被吊起后， 机械臂的位置不变，，， ， 增大了， ， ， ， 的变化情况为增大． 故选：C． 7. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，则和的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形高的定义可得，即可求得，再根据三角形角平分线的定义可得，，即可求得． 【详解】解：是高， ， ， ， ， ， ，是角平分线， ，， ． 8. 如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和．通过等腰三角形的性质得到，利用角度的转换即可得到，故①正确；当时，可证明，即可得到，故②正确；当时，可得，利用等腰三角形三线合一的性质可得D为中点，故③正确；根据三角形外角的性质，可得，则可得到或，即可求出的度数为或，故可得④不正确． 【详解】解：∵， ， ，， ，故①正确； 若， 由①得， ， ，故②正确； 若，则可得， ∵， D为中点，故③正确； 根据三角形外角的性质，可得， 故， 当时， ； 当， ，故④不正确， 所以正确的为①②③， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9. 如图，小明的父亲在院子的门板上钉了一个加固板，从数学角度看，这样做的原因是______． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】此题根据题目的意思，钉了一个加固板，即分割成了三角形，故利用了三角形的稳定性． 【详解】解：这样做的原因是：利用三角形的稳定性使门板不变形， 故答案为：三角形的稳定性． 【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用，解题的关键是掌握三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 10. 如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是4，则的面积是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的面积公式：底高．依据三角形的面积公式及点D、E、F分别为边、、的中点，推出，从而求得的面积． 【详解】解：设以为底边的高为， 则， 点D、E、F分别为边、、的中点， ， 同理可得，，，， ， ． 故答案为：1． 11. 如图，，分别是的高，，，，______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵，分别是的高， ∴， ∵，，， ∴． 12. 下列四个条件： ①在中，都是锐角； ②的三个内角的度数之比是； ③在中，； ④的三个外角的度数之比是． 其中能确定是直角三角形的是______（只填序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的分类，三角形的内角和定理的应用，判断每个条件是否能确定为直角三角形，逐一分析后即可得出答案． 【详解】解：①∵，都是锐角； ∴不一定为， ∴不一定为直角三角形；不符合题意； ②∵的三个内角的度数之比是， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴为直角三角形；符合题意； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴，符合题意； ④∵的三个外角的度数之比是． 设的外角为，则的外角为，的外角为， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴该三角形的一个内角为， ∴为直角三角形；符合题意； 能确定为直角三角形的有：②③④． 故答案为：②③④． 三、解答题（64分） 13. 如图，在中，是的角平分线，，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴． 14. 如图是三个岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向． （1）从岛看两岛的视角是多少度？ （2）从岛看两岛的视角是多少度？ 【答案】（1）度 （2）度 【解析】 【分析】（）由题意可得，进而根据平行线的性质得到，再根据角的和差关系即可求解； （）由题意可得，再根据三角形的内角和定理即可求解； 本题考查了方位角，平行线的性质，三角形内角和定理，掌握方向角的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：从岛看两岛的视角是度； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 答：从岛看两岛的视角是度． 15. 如图，，，求证：平分． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键；由题意得，利用即可证明，得，即可得平分． 【详解】略 16. 如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，再根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 由（1)可知：， ， ， ， ． 17. 已知，如图，中，，，l是过A的一条直线，于E，于D． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ 在与中， ， ∴， ∴． （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握运用判定三角形全等是解题的关键． （1）由得出，再根据可知，即，再运用定理可得出，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据（1）中可得，然后根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 18. 【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作 垂足为C，延长交于点B， 可根据 证明，则， (即点C为的中点)． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于E，若，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）； （2）； （3），证明如下： 延长、交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义构造全等三角形是解题的关键． （1）根据题意可得，，，据此根据全等三角形的性质与判定定理可得答案； （2）延长交于点，同理可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由此即可求解； （3）延长、交于点，可证，得到，同理可证明得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）延长交于点，如图 同理可证明， ∴， ∵， ∴； （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 剑桥•世宙中学2026-2027学年第一学期 初二年级学科素养统计（数学） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，2，4 B. 5，6，12 C. 5，7，2 D. 6，8，9 2. 已知下图是两个全等三角形，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，两根钢条、的中点O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具，的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（ ） A. 边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 角角边 4. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ） A. AB=CD B. EC=BF C. ∠A=∠D D. AB=BC 6. 如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（ ）    A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 7. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，则和的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共12分） 9. 如图，小明的父亲在院子的门板上钉了一个加固板，从数学角度看，这样做的原因是______． 10. 如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是4，则的面积是______． 11. 如图，，分别是的高，，，，______． 12. 下列四个条件： ①在中，都是锐角； ②的三个内角的度数之比是； ③在中，； ④的三个外角的度数之比是． 其中能确定是直角三角形的是______（只填序号）． 三、解答题（64分） 13. 如图，在中，是的角平分线，，． （1）求的度数； （2）求的度数． 14. 如图是三个岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向． （1）从岛看两岛的视角是多少度？ （2）从岛看两岛的视角是多少度？ 15. 如图，，，求证：平分． 16. 如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 17. 已知，如图，中，，，l是过A的一条直线，于E，于D． （1）求证：； （2）若，，求的长． 18. 【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作 垂足为C，延长交于点B， 可根据 证明，则， (即点C为的中点)． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于E，若，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $