精品解析：内蒙古呼和浩特市内蒙古师范大学附属中学2023-2024学年八年级上学期10月月考试数学试题

2023-2024学年内蒙古师大附中八年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将答案涂到答题纸上） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 1，3，5 D. 5，6，10 2. 如图，在四边形中，，连接，为上一点，连接，过点作交于点，则图中的全等三角形共有（ ） A. 4对 B. 3对 C. 2对 D. 1对 3. 若，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 或 4. 如图，已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 一块多边形木板截去一个三角形（截线不经过顶点），得到的新多边形内角和为，则原多边形的边数为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 6. 下列说法中，正确的结论有（ ） ①在Rt△ABC中，两个锐角互余；②在两个全等三角形中，对应边相等，对应角相等；③形状相同的两个三角形全等；④三角形的重心是三条角平分线的交点 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，在中，画出边上的高，正确的图形是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图在中，，分别平分，，交于O，为外角的平分线，的延长线交于点E，记，，则以下结论①，②，③，④正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①④ D. ①②④ 10. 如图，已知平分，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将答案写到答题纸上） 11. 九边形从一个顶点出发的对角线有______条． 12. 十边形的内角和是外角和的_______倍？ 13. 如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形边长为1，点O、A、B在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点C，使△ABC的面积为3，则这样的点C共有个_____个． 14. 如图，在中，将按如图所示的方式折叠，点B、C均落于边上的点Q处，为折痕，若，则__． 15. 如图，已知，平分，，则的度数为______． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是_____． 17. 如图，中，，，是的平分线，于，若，则的周长等于______． 18. 如图，在中，平分，平分的邻补角，交的延长线于E，若，，则的度数为__________． 三、解答题（写出解题过程，本大题8小题，共46分） 19. 已知△ABC的三边是a，b，c，化简的值． 20. 如图，在中，于点E，于点D．求证： （1）； （2） 21. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O． （1）若，，求的度数． （2）若，，则的值．（用含α、β的式子表示） 22. 如图，O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处． （1）当三角尺一边在的内部（图①），且恰好平分，此时直线是否平分？请说明理由； （2）当三角尺一边在的内部（图②），求的值． 23. 如图，，，．，与交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 24. 如图，为的中线． （1）求证：； （2）若，求的取值范围． 25. （1）如图1，在四边形中，，分别平分和，试探究与的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在六边形中，，分别平分和，请直接写出与的数量关系为__________． 26. 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． （1）已知：如图，在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为．求证：． （2）如图，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图，将（1）中的条件改为：三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年内蒙古师大附中八年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将答案涂到答题纸上） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 1，3，5 D. 5，6，10 【答案】D 【解析】 【分析】根据围成三角形的条件逐个分析求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴3，4，8不能围成三角形，不符合题意； B、∵， ∴5，6，11不能围成三角形，不符合题意； C、∵， ∴1，3，5不能围成三角形，不符合题意； D、∵， ∴5，6，10能围成三角形，符合题意， 故选：D． 【点睛】此题考查了围成三角形的条件，解题的关键是熟练掌握围成三角形的条件．围成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边只差小于第三边． 2. 如图，在四边形中，，连接，为上一点，连接，过点作交于点，则图中的全等三角形共有（ ） A. 4对 B. 3对 C. 2对 D. 1对 【答案】B 【解析】 【分析】先利用AAS证△ABF≌△CDE，利用全等性质得出AF=EC，推出AE=FC，再利用SAS证△ADE≌△CBF,利用SSS证△ABC≌△CDA,． 【详解】解：∵在四边形中， ∴四边形是平行四边形 ∴AB=CD ∠BAF=∠ECD ∵ ∴∠DEF=∠BFE ∴在△ABF与△CDE ∴△ABF≌△CDE（AAS） ∴AF=EC,AB=CD ∴AF-EF=EC-EF即AE=FC ∵ ∴∠DAE=∠FCB ∴在△ADE与△CBF 则△ADE≌△CBF（SAS） 在△ABC与△CDA ∴△ABC≌△CDA（SSS） 图中全等三角形有△ABF≌△CDE, △ADE≌△CBF, △ABC≌△CDA,共3对． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等． 3. 若，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、三角形内角和定理，能熟记全等三角形的对应角相等是解题的关键． 4. 如图，已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理求出，进而求出，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和为是解题的关键． 5. 一块多边形木板截去一个三角形（截线不经过顶点），得到的新多边形内角和为，则原多边形的边数为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出内角和为2340°的多边形的边数，而根据题意可得原多边形比新多边形的边数少1，据此进一步求解即可. 【详解】设内角和为2340°的多边形边数为， 则：， 解得：， 则原多边形边数=， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式的运用，熟练掌握相关公式是解题关键. 6. 下列说法中，正确的结论有（ ） ①在Rt△ABC中，两个锐角互余；②在两个全等三角形中，对应边相等，对应角相等；③形状相同的两个三角形全等；④三角形的重心是三条角平分线的交点 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形、全等三角形的性质及重心的定义进行判断，即可得出结论． 【详解】解：①直角三角形的两个锐角互余；故①正确； ②全等三角形的对应边相等，对应角相等；故②正确； ③形状相同、大小相等的两个三角形是全等三角形，故③错误； ④三角形的重心是三条中线的交点，故④错误； 所以，正确的结论有2个； 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的定义与性质以及重心的定义，熟练掌握相关知识点并能准确判断是解题的关键． 7. 如图，在中，画出边上的高，正确的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角形的高．根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点向作垂线，垂足为，纵观各图形，A、B、C都不符合题意，D符合高线的定义， 故选：D． 8. 如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 通过全等三角形的性质，得，，推得，，利用平行线的性质，得，推得，整理后即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 整理得：． 故选：D． 9. 如图在中，，分别平分，，交于O，为外角的平分线，的延长线交于点E，记，，则以下结论①，②，③，④正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质，先利用角平分线的定义得到，，，再利用三角形的外角的性质转化各角之间的关系即可求解． 【详解】解：∵平分， 为外角的平分线， ∴，， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵不一定是，故②不正确； 由于， ∴，故③不正确； 综上：正确的有①④； 故选：C． 10. 如图，已知平分，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，再求出，然后利用全等三角形的性质求即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将答案写到答题纸上） 11. 九边形从一个顶点出发的对角线有______条． 【答案】6 【解析】 【分析】从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，据此作答即可． 【详解】九边形从一个顶点出发的对角线有条， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握n边形从一个顶点出发，可以引条对角线是解题的关键． 12. 十边形的内角和是外角和的_______倍？ 【答案】 【解析】 【分析】根据边形内角和度数为，外角和为，求解即可． 【详解】解：十边形的内角和为，外角和为， ∴ 即十边形的内角和是外角和的倍． 故答案为：4 【点睛】此题考查了多边形内角和和外角和的性质，解题的关键是熟练掌握多边形内角和公式和外角和． 13. 如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形边长为1，点O、A、B在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点C，使△ABC的面积为3，则这样的点C共有个_____个． 【答案】3 【解析】 【分析】求得AB的长，根据三角形的面积公式即可确定C所在直线，从而确定C的位置． 【详解】AB=3，设C到AB的距离是a，则×3a=3， 解得a=2， 则C在到AB的距离是2，且与AB平行是直线上，则在第四象限满足条件的格点有3个． 故答案为：3 【点睛】本题考查了三角形的面积，确定C所在的直线是解题关键． 14. 如图，在中，将按如图所示的方式折叠，点B、C均落于边上的点Q处，为折痕，若，则__． 【答案】##82度 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解题的关键是利用整体思想得到的度数． 由折叠的性质可知：，根据三角形的内角和为，可求出的度数，进而得到的度数，问题得解． 【详解】解：∵线段、为折痕， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，已知，平分，，则的度数为______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和定理，首先由邻补角得，再由三角形内角和定理可得的值，进而由角平分线的性质得的大小，即可得的大小． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是_____． 【答案】15 【解析】 【分析】作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得． 【详解】解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q， 由作图知CP是∠ACB的平分线， ∵∠B=90°，BD=3， ∴DB=DQ=3， ∵AC=10， ∴S△ACD=•AC•DQ=×10×3=15， 故答案为15． 【点睛】本题主要考查作图-基本作图，三角形面积，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质． 17. 如图，中，，，是的平分线，于，若，则的周长等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：平分，，， ， ∵ ∴ ∴ ， ， 的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 18. 如图，在中，平分，平分的邻补角，交的延长线于E，若，，则的度数为__________． 【答案】##114度 【解析】 【分析】根据角平分线可得到，，然后根据外角关系得到和相关的等式，求出度数，然后利用三角形的外角性质即可求出的度数． 【详解】∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴即， ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，根据外角平分线求出的度数是解题的关键，是解题的关键． 三、解答题（写出解题过程，本大题8小题，共46分） 19. 已知△ABC的三边是a，b，c，化简的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边， 得，，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系、绝对值及整式的加减，注意三角形的三边关系和绝对值的性质的综合运用． 20. 如图，在中，于点E，于点D．求证： （1）； （2） 【答案】（1） 证明∶∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 在与中， ， ∴．． （2） 解：∵， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用证明三角形全等是解题的关键． （1）根据已知条件可得、以及，运用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，然后运用等量代换即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O． （1）若，，求的度数． （2）若，，则的值．（用含α、β的式子表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，再由是角平分线，求出，由是高，求出，最后即可求出； （2）根据三角形内角和定理求出，再由AE是角平分线，求出，由是高，求出，最后即可求出． 【小问1详解】 ，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 22. 如图，O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处． （1）当三角尺一边在的内部（图①），且恰好平分，此时直线是否平分？请说明理由； （2）当三角尺一边在的内部（图②），求的值． 【答案】（1） 直线平分，理由如下： 设的反向延长线为， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， （2） 【解析】 【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解； （2）根据已知条件，，即可得到、，然后作差即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴、， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键． 23. 如图，，，．，与交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴∠ACB=∠ECD=90° ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE 即∠ACE=∠BCD 又． ∴△ACE≌△BCD ∴ （2）90° 【解析】 【分析】（1）根据题意证明△ACE≌△BCD即可求解； （2）根据三角形的内角和及全等三角形的性质即可得到的度数． 【详解】（1）略 （2）∵△ACE≌△BCD ∴∠A=∠B 设AE与BC交于O点, ∴∠AOC=∠BOF ∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180° ∴∠BFO=∠ACO=90° 故=180°-∠BFO=90°． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 24. 如图，为的中线． （1）求证：； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：延长到点，使，连接． 为的中线， 在和中， ） 在中，根据三角形的三边关系，得，即 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，解题的关键是通过倍长中线法构造全等三角形，将线段进行转化，把分散的线段集中到同一个三角形中利用三边关系解决问题． （1）倍长中线至使，连接，利用证明，得到，再在中运用三角形三边关系推导出； （2）由（1）的全等结论得，结合三角形三边关系，代入及边长数值，计算得出的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知： 所以，即． 25. （1）如图1，在四边形中，，分别平分和，试探究与的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在六边形中，，分别平分和，请直接写出与的数量关系为__________． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）分别用和借助三角形内角和和四边形内角和表示出和，然后等量代换即可． （2）分别用和借助三角形内角和和四边形内角和表示出和，然后等量代换即可． 【详解】解：（1）∵，分别平分和， ∴，， 在中有：， ∴ 在四边形有：， ∴， ∴； （2）∵，分别平分和， ∴，， 在中有：， ∴ 在六边形中有：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，多边形的内角和，角平分线的性质，利用多边形的内角和表示角的数量关系是本题的关键． 26. 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． （1）已知：如图，在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为．求证：． （2）如图，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图，将（1）中的条件改为：三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1） 证明：直线直线， ． ． ， ． ． 在和中， ． ． （2） 成立． 证明：， 在和中， ． ． ． （3） 不成立． 理由：， ． ， ． 在和中， ． ． ． 【解析】 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，，即可得结论； （2）证明，由全等三角形的性质得出，，即可得结论； （3）证明，由全等三角形的性质得出，，进而可以解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质的综合应用，证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $