4.3 角 课时作业 2026-2027学年湘教版数学七年级上册

湘教版七年级数学上册　第4章　图形的认识　4.3　角 第4章　图形的认识 4.3　角　课时作业 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________ 一、学习目标 1．理解角的两种定义，会用不同的方法表示角，认识平角、周角，能对角进行分类。 2．会用量角器度量角，掌握度、分、秒的换算，会进行角度的简单计算。 3．会比较角的大小，理解角的和、差及角平分线的意义，会进行有关角的计算。 4．理解余角、补角的概念和性质，能用它们解决问题；会用方位角描述物体的方向。 二、知识梳理 知识点1　角的概念与表示 （1）静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点叫作角的顶点，这两条射线叫作角的边（如图1）。 图1 （2）动态定义：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。射线旋转到与起始位置成一条直线时，所成的角叫作平角；射线旋转一周回到起始位置时，所成的角叫作周角。 （3）角的表示方法： 　　　　　　　　 图2　甲　　　　　　　　乙　　　　　　　　丙 表示方法 举例 注意事项 用三个大写字母表示 ∠AOB（图2甲） 顶点字母写在中间 用一个大写字母表示 ∠O（图2甲） 只有以该点为顶点的角只有一个时才能使用 用一个数字表示 ∠1（图2甲） 在角的内部靠近顶点处画弧线，标上数字 用一个希腊字母表示 ∠α（图2乙） 在角的内部靠近顶点处画弧线，标上字母 如图2丙，以O为顶点的角有∠AOB，∠BOC，∠AOC，这时不能用∠O表示其中任何一个角。 知识点2　角的度量 （1）角的度量单位：度、分、秒。1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°；1°=60′，1′=60″。 （2）用量角器量角：“对中心，重合边，看另一边读数”（如图3，∠AOB=65°）。 图3 （3）度、分、秒的换算：大单位化小单位乘以60，小单位化大单位除以60。例如：36.24°=36°+0.24×60′=36°14.4′=36°14′+0.4×60″=36°14′24″；25°12′36″=25°+12.6′=25°+(12.6÷60)°=25.21°。 （4）角的分类：0°<锐角<90°；直角=90°；90°<钝角<180°；平角=180°；周角=360°。 知识点3　角的比较与运算 （1）比较角的大小：①度量法：用量角器量出度数再比较；②叠合法：把两个角的顶点和一边重合，另一边落在重合边的同侧，比较另一边的位置。 （2）角的和差：如图2丙，∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠AOB=∠AOC−∠BOC。 （3）角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线。如图4，OC平分∠AOB，则∠1=∠2=∠AOB，∠AOB=2∠1=2∠2。 　　　　 图4　　　　　　　　　　　　图5 （4）用一副三角板（含30°，45°，60°，90°的角）可以画出15°的整数倍的角（小于或等于180°），如75°=45°+30°（图5），15°=45°−30°，105°=60°+45°，135°=90°+45°等。 知识点4　余角和补角 （1）如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角（简称互余）；如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角（简称互补）。 　　　　 图6　∠1与∠2互余　　　　　　图7　∠1与∠2互补 （2）∠α的余角为90°−∠α（∠α为锐角）；∠α的补角为180°−∠α。 （3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。 几何语言：∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3（同角的余角相等）。 注意：互余、互补是指两个角的数量关系，与它们的位置无关。 知识点5　方位角 以正北或正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫作方位角。表示方法：先写“北”或“南”，再写“偏东”或“偏西”，最后写角度。 图8 如图8，射线OA表示北偏东30°，射线OB表示北偏西60°，射线OC表示南偏西50°，射线OD表示南偏东45°（也叫东南方向）。 知识点6　钟面上的角 钟面被分成12个大格，每个大格是30°，每个小格是6°。分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°。如图9，3时30分时，分针指向6，时针在3与4的正中间，两针夹角为30°×2.5=75°。 　　　　 图9　3时30分　　　　　图10　9时整 易错提醒 ① 平角的两边在同一条直线上，但不能说“平角是一条直线”；同样不能说“周角是一条射线”。 ② 角的大小与边的长短无关，只与两边张开的程度有关。 ③ 度、分、秒是60进制，计算时要注意“满60进1”“借1当60”。 ④ 余角、补角是对两个角而言的，一个锐角的补角比它的余角大90°。 ⑤ 方位角是以正北或正南为基准的，不能写成“东偏北30°”。 知识结构 内容 要点 角的表示 三个大写字母、一个大写字母、数字、希腊字母 角的度量 1°=60′，1′=60″；平角180°，周角360° 角的运算 和、差、倍、分；角平分线 余角补角 和为90°互余，和为180°互补；同角（等角）的余角（补角）相等 应用 方位角；钟面角；三角板拼角 三、典型例题精析 【例1】如图11，∠AOB是小于平角的角，OC，OD是∠AOB内部的两条射线，图中小于平角的角共有几个？请用字母把它们表示出来。 图11 【解析】以O为端点的射线有OA，OC，OD，OB共4条，每两条射线组成一个角。 分别为∠AOC，∠AOD，∠AOB，∠COD，∠COB，∠DOB，共6个。 【答案】6个 【例2】（1）把36.24°化成度、分、秒的形式；（2）把25°12′36″化成度的形式。 【解析】（1）0.24°=0.24×60′=14.4′，0.4′=0.4×60″=24″，所以36.24°=36°14′24″。 （2）36″=(36÷60)′=0.6′，12.6′=(12.6÷60)°=0.21°，所以25°12′36″=25.21°。 【例3】计算：（1）180°−48°37′；（2）23°45′×3；（3）55°36′÷4。 【解析】（1）180°−48°37′=179°60′−48°37′=131°23′。 （2）23°45′×3=69°135′=71°15′。 （3）55°36′÷4=(52°+3°36′)÷4=13°+216′÷4=13°+54′=13°54′。 【例4】如图11，∠AOB=120°，∠AOC=40°，OD平分∠BOC，求∠AOD的度数。 【解析】∠BOC=∠AOB−∠AOC=120°−40°=80°。 ∵OD平分∠BOC，∴∠COD=∠BOC=40°。 ∴∠AOD=∠AOC+∠COD=40°+40°=80°。 【答案】80° 【例5】一个角的补角比它的余角的3倍少10°，求这个角的度数。 【解析】设这个角为x°，则它的补角为(180−x)°，余角为(90−x)°。 根据题意，得180−x=3(90−x)−10，解得x=40。 【答案】40° 【例6】如图8，求∠AOB和∠COD的度数。 【解析】∠AOB=30°+60°=90°；∠COD=50°+45°=95°。 【例7】时钟在3时30分时，时针与分针所成的角是多少度？ 【解析】钟面上每一大格是30°。3时30分时，分针指向6，时针从3转过了30×0.5°=15°。 分针与12的夹角为180°，时针与12的夹角为90°+15°=105°，所以两针夹角为180°−105°=75°。 【答案】75° 四、课时作业 A组　基础巩固 一、选择题 1．下列说法中，正确的是（　　） A．平角是一条直线 B．周角是一条射线 C．角的大小与边的长短无关 D．两条射线组成的图形叫作角 2．下列换算中，正确的是（　　） A．1°=100′ B．0.5°=30′ C．1′=100″ D．1°=360″ 3．已知∠α=35°，则∠α的余角为（　　） A．35° B．55° C．65° D．145° 4．已知∠α=120°15′，则∠α的补角为（　　） A．59°45′ B．60°45′ C．59°85′ D．69°45′ 5．用一副三角板可以画出的角是（　　） A．55° B．65° C．75° D．85° 6．如图10，时钟在9时整时，时针与分针所成的角为（　　） A．60° B．90° C．120° D．270° 7．如图8，射线OA表示的方向是（　　） A．北偏东60° B．北偏东30° C．东偏北30° D．南偏东30° 8．若∠1与∠2互补，且∠1是锐角，则∠2是（　　） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．平角 9．如图6，∠AOB=90°，若∠1=35°，则∠2的度数为（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 10．若∠A=40°20′，∠B=40.2°，则（　　） A．∠A>∠B B．∠A<∠B C．∠A=∠B D．无法比较 二、填空题 11．45.3°=________°________′；12°6′=________°。 12．如图4，OC平分∠AOB，∠AOB=64°，则∠1=________。 13．一个角的余角为25°，则这个角为________，它的补角为________。 14．如图7，A，O，B三点在同一条直线上，∠1=58°，则∠2=________。 15．已知∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，则∠2________∠3，依据是________________。 16．时钟在2时整时，时针与分针所成的角为________；在6时30分时，时针与分针所成的角为________。 17．用一副三角板可以画出的小于180°的角共有________种（包括三角板上原有的角）。 18．小明从O点出发向北偏东40°方向走了50米到达A点，则从A点看O点的方向是________。 B组　能力提升 三、解答题 19．计算： （1）32°45′+47°26′；　　（2）90°−36°27′；　　（3）18°24′×5；　　（4）83°26′÷2。 20．如图12，A，O，B三点在同一条直线上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC。 图12 （1）若∠BOC=70°，求∠DOE的度数； （2）若∠BOC的度数改变，∠DOE的度数是否改变？请说明理由。 21．如图13，∠AOB=∠COD=90°。 图13 （1）∠AOC与∠BOD有什么数量关系？请说明理由； （2）若∠BOC=50°，求∠AOD的度数。 22．一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的度数。 23．一艘轮船在O处，测得灯塔A在它的北偏东30°方向，小岛B在它的南偏东50°方向。 （1）画出表示灯塔A、小岛B方向的射线OA，OB； （2）求∠AOB的度数。 C组　拓展创新 24．从2时整开始，经过多少分钟，时针与分针第一次重合？ 25．将一副三角板的两个直角顶点重合在一起，放置成如图13所示的位置。求证：∠AOD+∠BOC=180°。 26．已知∠AOB=α，射线OC在∠AOB的外部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC（射线OB在∠AOC的内部）。 （1）若∠AOB=80°，∠BOC=30°，求∠MON的度数； （2）猜想∠MON与α的数量关系，并说明理由； （3）若射线OC在∠AOB的内部，其他条件不变，（2）中的结论是否仍然成立？ 五、参考答案与解析 A组　基础巩固 1．C　解析：平角、周角都是角，只是它们的边分别在一条直线上、重合，不能说成是直线、射线；有公共端点的两条射线组成的图形才是角。 2．B 3．B 4．A　解析：180°−120°15′=179°60′−120°15′=59°45′。 5．C　解析：75°=45°+30°。 6．B　解析：9时整时，时针指向9，分针指向12，相隔3个大格，3×30°=90°。 7．B 8．C　解析：∠2=180°−∠1，∠1是锐角，所以∠2是钝角。 9．C　解析：∠2=90°−35°=55°。 10．A　解析：40.2°=40°12′<40°20′。 11．45；18；12.1 12．32° 13．65°；115° 14．122° 15．=；同角的补角相等 16．60°；15°　解析：6时30分时，分针指向6，时针在6与7的中间，夹角为15°。 17．11　解析：15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°，共11种。 18．南偏西40° B组　能力提升 19．解：（1）32°45′+47°26′=79°71′=80°11′。 （2）90°−36°27′=89°60′−36°27′=53°33′。 （3）18°24′×5=90°120′=92°。 （4）83°26′÷2=(82°+1°26′)÷2=41°+86′÷2=41°43′。 20．解：（1）∵∠BOC=70°，∴∠AOC=180°−70°=110°。 ∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠COD=∠AOC=55°，∠COE=∠BOC=35°。 ∴∠DOE=∠COD+∠COE=55°+35°=90°。 （2）不改变。理由：∠DOE=∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=×180°=90°。 21．解：（1）∠AOC=∠BOD。理由：∵∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，∴∠AOC=∠BOD（同角的余角相等）。 （2）∠AOC=90°−∠BOC=40°，∠AOD=∠AOC+∠COD=40°+90°=130°。 22．解：设这个角为x°，则180−x=4(90−x)，解得x=60。 答：这个角为60°。 23．解：（1）以O为顶点，从正北方向向东旋转30°画出射线OA；从正南方向向东旋转50°画出射线OB（图略，可参照图8画出）。 （2）∠AOB=180°−30°−50°=100°。 C组　拓展创新 24．解：2时整时，分针指向12，时针指向2，两针夹角为60°。 分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，设经过t分钟两针第一次重合。 根据题意，得6t−0.5t=60，解得t==10。 答：经过10分钟，时针与分针第一次重合。 25．证明：∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+∠BOD，∠BOC=∠COD−∠BOD=90°−∠BOD。 ∴∠AOD+∠BOC=(90°+∠BOD)+(90°−∠BOD)=180°。 26．解：（1）∠AOC=∠AOB+∠BOC=80°+30°=110°。 ∵OM平分∠AOC，∴∠COM=∠AOC=55°；∵ON平分∠BOC，∴∠CON=∠BOC=15°。 ∴∠MON=∠COM−∠CON=55°−15°=40°。 （2）∠MON=α。理由：设∠BOC=β，则∠AOC=α+β，∠MON=∠COM−∠CON=(α+β)−β=α。 （3）仍然成立。当射线OC在∠AOB内部时，∠MON=∠MOC+∠CON=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=α。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $