4.1 立体图形与平面图形 课时作业 2026-2027学年湘教版数学 七年级上册

湘教版七年级数学上册　第4章　图形的认识　4.1　立体图形与平面图形 第4章　图形的认识 4.1　立体图形与平面图形　课时作业 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________ 一、学习目标 1．能从实物中抽象出几何图形，认识立体图形和平面图形，会识别长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等常见几何体。 2．了解点、线、面、体之间的关系，理解“点动成线、线动成面、面动成体”。 3．能从正面、左面、上面观察简单几何体，画出看到的平面图形；能由平面图形想象几何体的形状。 4．认识常见几何体的展开图，会判断一个图形能否折叠成正方体，会找正方体展开图中的相对面。 二、知识梳理 知识点1　立体图形与平面图形 从实物中抽象出来的各种图形统称为几何图形。几何图形分为立体图形和平面图形。 （1）立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等（如图1）。 图1　常见的立体图形 （2）平面图形：图形的各部分都在同一平面内，如线段、角、三角形、长方形、圆等。 分类 几何体 特征 柱体 圆柱 两个底面是大小相同的圆，侧面是曲面 柱体 棱柱（长方体、正方体都是四棱柱） 两个底面是形状、大小相同的多边形，侧面都是长方形（直棱柱） 锥体 圆锥 一个底面是圆，侧面是曲面，有一个顶点 锥体 棱锥 一个底面是多边形，侧面都是三角形 球体 球 由一个曲面围成 棱柱的特征：棱柱底面是几边形，就叫几棱柱。n棱柱有2n个顶点，3n条棱，(n+2)个面（2个底面，n个侧面）。 知识点2　点、线、面、体 （1）几何体简称体；包围着体的是面，面有平面和曲面两种；面和面相交的地方形成线，线有直线和曲线两种；线和线相交的地方是点。 （2）点动成线（如流星划过夜空）；线动成面（如汽车雨刷扫过挡风玻璃形成扇形）；面动成体（如长方形绕一边旋转形成圆柱，如图2）。 图2　平面图形旋转形成立体图形 知识点3　从不同方向看立体图形 从不同方向观察同一个物体，看到的平面图形可能不同。通常从正面、左面、上面三个方向观察。 画法要点：①从正面看，看到的是物体的长和高；②从左面看，看到的是物体的宽和高（物体前面的部分画在右侧）；③从上面看，看到的是物体的长和宽。如图3是由5个相同的小正方体搭成的几何体，以及从三个方向看到的形状图。 图3 由形状图确定小正方体的个数：先由“从上面看”确定底层的个数和位置，再结合“从正面看”“从左面看”确定每个位置上叠放的个数。 知识点4　立体图形的展开图 有些立体图形是由平面图形围成的，把它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。 （1）圆柱的展开图是两个圆和一个长方形；圆锥的展开图是一个扇形和一个圆（如图4）。 图4 （2）正方体的展开图共有11种，可以分为四类：“1-4-1”型（6种）、“2-3-1”型（3种）、“2-2-2”型（1种）、“3-3”型（1种）。如图5是其中的几种。 图5　正方体的几种展开图 判断口诀：“一线不过四，田凹应弃之”，即一行（列）不能超过4个正方形，展开图中不能出现“田”字形和“凹”字形。 （3）找正方体展开图中的相对面：同一行（或列）中，相隔一个正方形的两个面是相对面；“Z”字形两端的两个面是相对面。相对的两个面没有公共边。 易错提醒 ① 圆、三角形、长方形是平面图形，球、圆柱、长方体是立体图形，不要把“圆”和“球”混淆。 ② 长方体、正方体都是四棱柱，圆柱不是棱柱。 ③ 从左面看时，几何体前面的部分在所画图形的右侧，后面的部分在左侧，要注意位置关系。 ④ 正方体展开图中不能出现“田”字形，一行（列）中不能超过4个正方形。 ⑤ n棱柱有2n个顶点、3n条棱、(n+2)个面，不要与n棱锥混淆（n棱锥有(n+1)个顶点、2n条棱、(n+1)个面）。 知识结构 内容 要点 几何图形 立体图形（柱、锥、球）；平面图形 点线面体 点动成线，线动成面，面动成体 从不同方向看 正面、左面、上面 展开图 圆柱、圆锥的展开图；正方体的11种展开图；相对面 棱柱 n棱柱：2n个顶点，3n条棱，(n+2)个面 三、典型例题精析 【例1】下列几何体中，属于柱体的有（　　） ①长方体；②圆锥；③圆柱；④球；⑤三棱柱；⑥四棱锥。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解析】柱体包括圆柱和棱柱，①长方体是四棱柱，③是圆柱，⑤是三棱柱，都是柱体；②⑥是锥体，④是球体。所以柱体有3个。 【答案】B 【例2】如图2，把一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，得到的几何体是________，这说明了________。 【解析】直角三角形绕直角边旋转一周形成圆锥，体现了“面动成体”。 【答案】圆锥；面动成体 【例3】如图6是由6个相同的小正方体搭成的几何体，从正面看到的形状图是（　　） 图6 【解析】从正面看，能看到三列：左列1个，中间列2个（上面还有1个），右列1个，形状类似“凸”字。 【答案】D 【例4】如图7是一个正方体的展开图，每个面上都写有一个汉字，那么在原正方体中，与“数”字所在面相对的面上的汉字是（　　） 图7 A．我 B．爱 C．学 D．课 【解析】在“1-4-1”型展开图中，中间一行的四个面中“爱”与“学”相隔一个面，是相对面，“数”与“课”相隔一个面，是相对面；上下两个面“我”与“堂”是相对面。 【答案】D 【例5】一个直棱柱共有18条棱，它是几棱柱？有多少个顶点？多少个面？ 【解析】设它是n棱柱，则3n=18，n=6，所以它是六棱柱（如图8）。 图8 六棱柱有2×6=12个顶点，6+2=8个面。 【答案】六棱柱；12个顶点；8个面。 【例6】如图9是一个长方体，它的长、宽、高分别是4 cm，3 cm，2 cm。把它的表面展开成平面图形，这个展开图的面积是多少？ 图9 【解析】展开图的面积就是长方体的表面积。长方体有6个面，相对的面面积相等。 面积为2×(4×3+4×2+3×2)=2×(12+8+6)=52（cm²）。 【答案】52 cm² 四、课时作业 A组　基础巩固 一、选择题 1．下列图形中，属于平面图形的是（　　） A．正方体 B．圆柱 C．三角形 D．球 2．在长方体、圆柱、三棱柱、圆锥、球中，柱体的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．用笔尖在纸上写字，说明了（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 4．汽车的雨刷器把玻璃上的雨水刷干净，所用的数学原理是（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交得到线 5．下列图形中，能折叠成正方体的是（　　） A．A B．B C．C D．D 6．一个几何体从正面看、从左面看得到的形状图都是长方形，从上面看得到的形状图是圆，这个几何体是（　　） A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．长方体 7．五棱柱的面数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．10 8．如图10是一个正方体的展开图，在原正方体中，与“1”所在面相对的面上的数字是（　　） 图10 A．3 B．4 C．5 D．6 9．圆锥的侧面展开图是（　　） A．三角形 B．长方形 C．扇形 D．圆 10．下列说法中，正确的是（　　） A．长方体不是棱柱 B．棱柱的侧面可能是三角形 C．圆柱的两个底面是大小相同的圆 D．球是由平面围成的 二、填空题 11．正方体有________个面，________条棱，________个顶点。 12．如图8，六棱柱有________个顶点，________条棱，________个面。 13．把一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是________，这说明了________。 14．在图10中，与“2”所在面相对的面上的数字是________，与“3”所在面相对的面上的数字是________。 15．一个直棱柱有15条棱，那么它是________棱柱，它有________个顶点。 16．一个几何体从正面看是三角形，从上面看是圆（含圆心），这个几何体是________。 17．如图6，搭成这个几何体共用了________个小正方体。 18．一个正方体的棱长为3 cm，它的展开图的面积是________cm²。 B组　能力提升 三、解答题 19．画出图6中的几何体从正面、左面、上面看到的形状图。 20．如图11是一个正方体的展开图，若原正方体中相对两个面上的数互为相反数，求x+y+z的值。 图11 21．用若干个相同的小正方体搭一个几何体，从正面和从上面看到的形状图如图12所示。搭成这个几何体最少需要多少个小正方体？最多需要多少个小正方体？ 图12 22．一个直棱柱有12个顶点，所有侧棱长都是5 cm，底面的每条边长都是3 cm。 （1）这是几棱柱？它有多少个面？ （2）这个棱柱所有棱长的和是多少？ （3）这个棱柱的侧面积是多少？ 23．一个长方形的长为4 cm，宽为3 cm。分别绕它的长和宽所在的直线旋转一周，得到两个不同的圆柱。哪个圆柱的体积大？请通过计算说明（结果保留π）。 C组　拓展创新 24．把一个棱长为3 cm的正方体的表面涂上红色，然后把它切成27个棱长为1 cm的小正方体。在这些小正方体中，三面涂色、两面涂色、一面涂色、没有涂色的各有多少个？ 25．如图13是由5个相同的正方形组成的图形，再添加1个相同的正方形，使它能折叠成一个正方体，共有几种不同的添法？ 图13 26．如图14是由若干个相同的小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数（前面一行在下方）。 图14 （1）搭成这个几何体共用了多少个小正方体？ （2）画出这个几何体从正面、左面看到的形状图。 五、参考答案与解析 A组　基础巩固 1．C 2．C　解析：长方体、圆柱、三棱柱是柱体。 3．A 4．B 5．C　解析：A中一行有5个正方形；B，D中含有“田”字形，都不能折叠成正方体；C是“2-3-1”型，能折叠成正方体。 6．B 7．C　解析：五棱柱有2个底面和5个侧面，共7个面。 8．D　解析：中间一行“2，3，4，5”中，2与4相对，3与5相对，所以1与6相对。 9．C 10．C 11．6；12；8 12．12；18；8 13．圆柱；面动成体 14．4；5 15．五；10　解析：3n=15，n=5，五棱柱有10个顶点。 16．圆锥 17．6 18．54　解析：6×3×3=54（cm²）。 B组　能力提升 19．解：如图15所示。 图15 20．解：在“1-4-1”型展开图中，“2”与“z”相对，“y”与“−3”相对，“x”与“5”相对。 ∵相对两个面上的数互为相反数，∴z=−2，y=3，x=−5。 ∴x+y+z=−5+3+(−2)=−4。 21．解：由从上面看的形状图可知，底层有4个小正方体，前排3个，后排左边1个。 由从正面看的形状图可知，左边一列最高有2层，中间一列和右边一列都只有1层。 所以中间和右边的位置各有1个小正方体；左边一列的前、后两个位置中，至少有一个位置上有2个小正方体。 最少需要：1+1+2+1=5（个）；最多需要：1+1+2+2=6（个）。 22．解：（1）设它是n棱柱，则2n=12，n=6，是六棱柱，有6+2=8个面。 （2）六棱柱有6条侧棱和12条底面上的棱，所有棱长的和为6×5+12×3=30+36=66（cm）。 （3）侧面是6个完全相同的长方形，侧面积为6×3×5=90（cm²）。 23．解：绕长所在的直线旋转，得到的圆柱底面半径为3 cm，高为4 cm，体积为π×3²×4=36π（cm³）； 绕宽所在的直线旋转，得到的圆柱底面半径为4 cm，高为3 cm，体积为π×4²×3=48π（cm³）。 ∵48π>36π，∴绕宽所在的直线旋转得到的圆柱体积大。 C组　拓展创新 24．解：三面涂色的小正方体在大正方体的8个顶点处，有8个； 两面涂色的小正方体在大正方体每条棱的中间，12条棱各有1个，有12个； 一面涂色的小正方体在大正方体每个面的中心，6个面各有1个，有6个； 没有涂色的小正方体在大正方体的正中心，有1个。 检验：8+12+6+1=27。 25．解：共有4种添法。 图中上面一行有4个正方形，下面有1个正方形连在第2个正方形下方。要折叠成正方体，新添的正方形只能添在上面一行4个正方形中任意一个的上方，构成“1-4-1”型展开图，共4种。 若添在其他位置，会出现“田”字形、“凹”字形或一行有5个正方形，都不能折叠成正方体。 26．解：（1）2+1+3+1+2=9（个）。 （2）从正面看有3列，每列的层数分别为该列中最大的数：左列2层，中列1层，右列3层；从左面看有2列，前排（在图的右侧）最大数为3，后排（在图的左侧）最大数为2。形状图如图16所示。 图16 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $