精品解析：湖南省长沙市望城区第二中学2026-2027学年高一上学期9月阶段检测数学试题

望城二中2026级高一第一次单元检测 数学试题 考试范围：必修一1-2章；考试时间：120分钟，满分150分. 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题(共8小题，共40分) 1. 命题“”的否定是（    ） A. B. C. D. 2. 若不等式，，则的取值范围是 A. B. C. D. 3. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知命题；命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 6. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 某班学生进行了三次数学测试，第一次有8名学生得满分，第二次有10名学生得满分，第三次有12名学生得满分，已知前两次均为满分的学生有5名，三次测试中至少有一次得满分的学生有15名.若后两次均为满分的学生至多有名，则的值为 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 已知x，y，z为正实数，则的最大值为 A. 1 B. 2 C. D. 二、多选题(共3小题，共18分) 9. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 且是的充分条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“，”的否定是“，” D. 的充要条件是 10. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 三、填空题(共3小题，共15分) 12. 已知集合，集合.若，则实数______. 13. 已知，，若，则实数的取值范围为__________． 14. 设，对任意，恒成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题(共5小题，共77分) 15. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 16. （1）若，求的最大值． （2）已知，求的最大值． 17. 某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是3万件.已知生产该产品的固定投入为9万元，每生产1万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本（此处每件产品年平均成本按元来计算）的1.5倍. （1）将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； （2）该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为. （1）若，求的值； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 19. 设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集： ①； ②，若，则； ③，若，则． （1）当时，判断是否为U的子集，说明理由； （2）当时，若A为U的子集，求证：； （3）当时，若A为U的子集，求集合A． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 望城二中2026级高一第一次单元检测 数学试题 考试范围：必修一1-2章；考试时间：120分钟，满分150分. 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题(共8小题，共40分) 1. 命题“”的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：A 2. 若不等式，，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：用变量替换，再得出解集 详解： 点睛：不等式只能线性运算,． 3. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式性质进行分析求解. 【详解】由题干可知，对于选项A，两边同时乘，当时，所以.选项A错误. 由题干可知，对于选项B，两边同时乘，当时，所以.选项B错误. 由题干，选项C，两边同时乘，则可知成立，选项C正确. 由题干可知，当，，，则，选项D错误. 故选：C. 5. 已知命题；命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】结合余弦函数、指数函数的性质判断存在量词命题、全称题词命题的真假. 【详解】由于，则命题是假命题，是真命题； 命题是真命题，是假命题， 故选：B 6. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出命题为真命题时a的值，再结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】若命题“”为真命题， 则，恒成立. 令，则函数在上单调递增，所以在当时，取得最大值4， 可得， 所以各选项中只有是的真子集， 即是“”为真命题的一个充分不必要条件. 故选：B 7. 某班学生进行了三次数学测试，第一次有8名学生得满分，第二次有10名学生得满分，第三次有12名学生得满分，已知前两次均为满分的学生有5名，三次测试中至少有一次得满分的学生有15名.若后两次均为满分的学生至多有名，则的值为 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】当三次都满分的学生最多时，后两次均为满分的学生最少，再结合韦恩图即可得到的最小值. 【详解】 当三次都满分的学生最多时，后两次均为满分的学生最少，由第三次有12名学生得满分，三次测试中至少有一次得满分的学生有15名，可得满足条件的学生用韦恩图表示如上： 故后两次均为满分的学生至少有10名. 故选：D. 8. 已知x，y，z为正实数，则的最大值为 A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以的最大值为，选C. 二、多选题(共3小题，共18分) 9. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 且是的充分条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“，”的否定是“，” D. 的充要条件是 【答案】AB 【解析】 【分析】根据不等式性质可依次判断选项AB中的充分性和必要性是否成立，知AB正误；根据全称命题的否定知C错误；通过反例可知充分性不成立，知D错误. 【详解】对于A，当，时，，充分性成立，A正确； 对于B，当时，，充分性成立；当时，或，必要性不成立，则“”是“”的充分不必要条件，B正确； 对于C，由全称命题的否定知原命题的否定为：，，C错误； 对于D，当，时，，此时无意义，充分性不成立，D错误. 故选：AB. 10. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】 求出集合、，判断、的包含关系，进而可得出结论. 【详解】，， 所以，，则，. 故AB选项正确，CD选项错误. 故选：AB. 【点睛】本题考查与集合命题真假的判断，求出两个集合并判断两个集合的包含关系是解题的关键，考查计算能力与推理能力，属于基础题. 11. 已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】依题意可得和为关于的方程的两根且，利用韦达定理得到，即可得到，从而判断A；再利用基本不等式判断B、C、D. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以和为关于的方程的两根且， 所以，所以，所以，故A正确； 又，所以，解得，当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为，故B正确； ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C正确； 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC 三、填空题(共3小题，共15分) 12. 已知集合，集合.若，则实数______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据集合子集的概念求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 此时，满足题意. 故答案为：1 13. 已知，，若，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】两集合的交集为空集，则两个集合没有公共部分，可以得到两个集合的端点的关系，从而解得实数的取值范围. 【详解】当集合为时，，解得. 当集合不为，即时，有如下两种情况： 集合中的元素都比集合中元素小，，结合解得； 集合中的元素都比集合中元素大，，结合解得. 综上所述，的取值范围为或. 故答案为. 【点睛】本题考查利用集合的关系求参数的值，解题时也可借助数轴来分析. 14. 设，对任意，恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】或 【解析】 【分析】利用不等式恒成立，分离变量，构造函数，利用二次函数的性质求解最值即可． 【详解】由可得在上恒成立， 整理得在上恒成立， 所以， 令， 因为，所以， 所以当时，函数得最大值，所以，解得或. 故答案为：或. 四、解答题(共5小题，共77分) 15. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若为真命题，即对于，即可. （2）若为真命题，即转化为对于，即可求出的范围，再分类讨论的真假即可解出. 【小问1详解】 若为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于,，则. 【小问2详解】 若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可. 由于，，，解得 p、q有且只有一个是真命题，则或， 解得. 16. （1）若，求的最大值． （2）已知，求的最大值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合基本不等式求出的最小值即可得的最大值. （2）先用配凑法将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以，即最大值为. （2）因为， 所以，则， 所以， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最大值是． 17. 某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是3万件.已知生产该产品的固定投入为9万元，每生产1万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本（此处每件产品年平均成本按元来计算）的1.5倍. （1）将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； （2）该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）该厂家2025年的促销费用投入2万元时，厂家的利润最大，为35.5万元. 【解析】 【分析】（1）根据，求出，从而可求出，再根据利润公式求函数关系式即可； （2）利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 由题意知，当时，， 则，解得， 所以. 因为每件产品的销售价格为元， 所以2025年该产品的利润 , 即. 【小问2详解】 因为当时，. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故该厂家2025年的促销费用投入2万元时，厂家的利润最大，最大为万元. 18. 已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为. （1）若，求的值； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将分式不等式转化为二次不等式，根据不等式的解集，结合二次方程根与系数关系可得； （2）分别确定集合与，根据命题的充分必要性可的，进而可得的取值范围. 【小问1详解】 由不等式得，即， 由于其解集是， 所以，是一元二次不等式的两个实数根， 所以，解得； 【小问2详解】 由得，所以， 若“”是“”的充分不必要条件，则， 当时，，满足题意； 当时，，所以，所以； 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 综上所述，实数的取值范围是. 19. 设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集： ①； ②，若，则； ③，若，则． （1）当时，判断是否为U的子集，说明理由； （2）当时，若A为U的子集，求证：； （3）当时，若A为U的子集，求集合A． 【答案】（1） 当时，，，， 取，则，但，不满足性质②， 所以不是U的子集. （2） 当时，A为U的子集， 则； 假设，设，即 取，则，但，不满足性质②， 所以，； 假设， 取，，且，则， 再取，，则， 再取，，且， 但与性质①矛盾， 所以. （3）集合. 【解析】 【分析】（1）取，由不满足性质②可得不是U的子集； （2）通过反证法，分别假设，的情况，由不满足子集的性质，可证明出； （3）由（2）得，，，，再分别假设，，，四种情况，由不满足子集的性质，可得出，再根据性质②和性质③，依次凑出8~23每个数值是否满足条件即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得，当时，若A为U的子集，，，， 所以当时，， 若A为U的子集，，，； 若，取，，则，， 再取，，则，与矛盾， 则，； 若，取，，则，与矛盾，则，； 若，取，，则，与矛盾，则，； 若，取，，则，与矛盾，则，； 取，，则，； 取，，则； 取，，则，； 取，，则； 取，，则，； 综上所述，集合. 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $