精品解析：湖南石门县第六中学2024-2025学年上学期高一年级10月份单元检测卷数学科试卷

石门县第六中学2024年下学期高一年级 10月份单元检测卷 数学科试卷 （时量：120分钟 总分：150分） 一、选择题（每题5分，总分40） 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3. 若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 5. 正实数、满足，若不等式对任意正实数、以及任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知不等式组的解集是关于的不等式解集的子集，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分，有错误选项不得分，对部分得3分） 9. 设，若，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 0 10. 某公司一年购买某种货物吨，现分次购买，设每次购买吨，运费为万元/次.已知一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，取得最小值 B. 当时，取得最小值 C. D. 11. 如图为二次函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 方程的解集为 B. 不等式的解集为 C. 不等式解集为 D. 函数的最大值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 如果，那么下列不等式成立的是________． ① ② ③ ④ 13. 已知，，且，则的最小值为______. 14. 已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为___________. 四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分） 15. 解下列关于的不等式： （1）； （2）； （3）解关于的不等式 16. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由. 17. 已知，求证: （1）; （2）. 18. 设函数的图象过点． （1）若，，求的最小值； （2）解关于的不等式. 19. 在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线． （1）求m的值； （2）若点在的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）设的图象与x轴交点为．若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石门县第六中学2024年下学期高一年级 10月份单元检测卷 数学科试卷 （时量：120分钟 总分：150分） 一、选择题（每题5分，总分40） 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式，运用集合的交运算即可求得结果. 【详解】因为或， 所以. 故选：C. 2. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再求出图中阴影部分表示的集合；最后利用集合的子集个数公式即可求解. 【详解】由图可知：阴影部分表示的集合为. 因为集合， 所以， 则， 所以阴影部分表示的集合的子集个数为. 故选：B. 3. 若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，写出全称命题的否定，根据其真假性以及一元二次方程的性质，可得答案. 【详解】易知：是上述原命题的否定形式，故其为真命题， 则方程有实数根，即. 故选：A. 4. 设，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】解绝对值不等式及分式不等式，结合充分条件不必要条件的概念可得到结果． 【详解】若，则，所以， 若，则，所以，所以或， 因为是或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 正实数、满足，若不等式对任意正实数、以及任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由参变量分离法得出，将代数式和相乘，利用基本不等式求出的最小值，并利用配方法求出的最小值，由此可求出实数的取值范围. 【详解】由参变量分离法可得， 由基本不等式得， 当且仅当时等号成立， 又，所以，，则. 因此，实数的取值范围是. 故选C. 【点睛】本题考查利用基本不等式、二次函数的最值求解不等式恒成立问题，解题时可充分利用参变量分离法转化为最值来求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 6. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由结合基本不等式化简即可求解． 【详解】， 两边平方得：， ， ， ， 当且仅当，等号成立，故的最小值为 故选：B 7. 已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据真子集的定义，推断出集合含有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数的取值范围． 【详解】若集合有15个真子集，则中含有4个元素， 结合，可知，即，且区间,中含有4个整数， ①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数； ②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意； ③当时，,的区间长度大于3， 若,的区间长度，即． 若是整数，则区间,中含有4个整数，根据，可知，， 此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意． 若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得； 若时，,,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意； 当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数， 故，即，结合可得． 综上所述，或或，即实数的取值范围是,,． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得，且区间,中含有4个整数，结合区间长度，即可对讨论求解. 8. 已知不等式组的解集是关于的不等式解集的子集，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出一元二次不等式组的解集，再由题意利用二次函数的性质求得实数的取值范围． 【详解】解：不等式组解得，所以不等式组的解集是， 关于的不等式解集包含，令， ，解得， 故选：． 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 二、多选题（每题6分，共18分，有错误选项不得分，对部分得3分） 9. 设，若，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】ABD 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，分别确定集合，即可求出参数的值. 【详解】因为，且， 当时，，符合题意； 当时，，又，所以或，解得或， 综上，或或. 故选：ABD 10. 某公司一年购买某种货物吨，现分次购买，设每次购买吨，运费为万元/次.已知一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，取得最小值 B. 当时，取得最小值 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意列出总存储费用之和的表达式，再利用基本不等式求最值即可判断选项 【详解】一年购买某种货物吨，每次购买吨，则需要购买次，又运费是万元/次，一年的总存储费用为万元， 所以一年的总运费与总存储费用之和万元. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最小值，. 故选：AC. 11. 如图为二次函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 方程的解集为 B. 不等式的解集为 C. 不等式解集为 D. 函数的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数图像可知方程的解为，从而可求得，再根据一元二次方程的解法即可判断A，根据一元二次不等式的解法即可判断BC，根据二次函数的性质即可判断D. 【详解】解：由图可知，方程的解为， 则，即， 对于A，方程即为，解得或， 所以方程的解集为，故A正确； 对于B，不等式即为， 由A选项知，不等式的解集为，故B错误； 对于C，不等式即为，解得， 所以不等式解集为，故C正确； 对于D，， 当时，函数取得最大值，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 如果，那么下列不等式成立的是________． ① ② ③ ④ 【答案】④ 【解析】 【分析】根据题意，结合不等式的基本性质和作差比较法，逐项判定，即可求解. 【详解】由，可得， 对于①中，由，所以，所以①不正确； 对于②中，由，所以，所以②不正确； 对于③中，由，所以，所以③不正确； 对于④中，由，所以，所以④正确. 故答案为：④. 13. 已知，，且，则的最小值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】对进行化简运算，再根据基本不等式的性质即可求出最值. 【详解】由题意得，，，且， 所以 ， 当且仅当且，即时，等号成立. 所以的最小值为4； 故答案为：4. 14. 已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合A，再分类求解不等式化简集合B，并利用集合的包含关系列式求解即得. 【详解】由“”是“”的必要不充分条件，得， 依题意，集合， ， 当，即时，，则，解得； 当，即时，，则，解得， 当，即时，，满足，因此， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分） 15. 解下列关于的不等式： （1）； （2）； （3）解关于的不等式 【答案】（1） （2）或 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解法即可求得结果； （2）利用绝对值不等式解法计算即可； （3）根据参数不等式的解法对参数进行分类讨论即可求出对应不等式的解集. 【小问1详解】 由可得， 方程对应的两根为或； 所以不等式的解集为 【小问2详解】 易知等价于或； 解得或， 因此该不等式的解集为或； 【小问3详解】 易知即为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为 16. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由. 【答案】（1） （2）不可能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据列不等式求解； （2）先得到，再根据包含关系列不等式求解. 【小问1详解】 因为， 所以或或， 解得或或， 所以； 【小问2详解】 若，， 对，都有，则， 所以，该不等式组无解， 故命题：“，都有”为真命题不可能. 17. 已知，求证: （1）; （2）. 【答案】（1）证明：， ， 当且仅当，即时等号成立. （2）证明：， . 当且仅当时，即时等号成立. 【解析】 【分析】（1）作“1”代换，根据基本不等式求解； （2）作“1”代换，根据基本不等式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 设函数的图象过点． （1）若，，求的最小值； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，结合常数代换利用基本不等式求解最值即可. （2）将不等式转化为，然后按照、、、、分类讨论解不等式即可. 【小问1详解】 因为函数的图象过点， 所以，即，由，， 所以， 当且仅当时取等号，即时取得最小值为. 【小问2详解】 因为，所以， 当时，不等式的解为； 当时，得，则不等式的解为； 当时，得，则不等式的解为或； 当时，得，则不等式的解为； 当时，得，则不等式的解为或； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或. 19. 在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线． （1）求m的值； （2）若点在的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）设的图象与x轴交点为．若，求的取值范围． 【答案】（1）1 （2）11 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入解析式，结合二次函数对称轴公式即可求解； （2）将代入二次函数解析式求得，由平移得出新的二次函数，数形结合即可求解； （3）由韦达定理及，结合即可求解． 【小问1详解】 ∵点在二次函数的图象上， ，解得， ∴抛物线为， ∴抛物线的对称轴为直线． 【小问2详解】 ∵点在的图象上， ，解得， ∴抛物线为， 将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：， ， ∴当时，函数有最小值为1，当时，函数有最大值为， ∴当时，新的二次函数的最大值与最小值的和为11． 【小问3详解】 的图象与x轴交点为，， ∴， ， ， ， ，解得， 所以a的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $