精品解析：山东淄博市张店区淄博张店东方双语学校2026-2027学年八年级上学期数学阶段性测试 （2026.9）

初三阶段性测试（2026.9） 一、选择题 1. 在式子，，，，，中，分式的个数是（        ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 下列从左边到右边的变形是因式分解的是（        ） A. B. C. D. 3. 若分式的值为0，则代数式的值为（        ） A. 0 B. 12 C. 0或12 D. 无法确定 4. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在化学实验课上，配制糖水时，糖的质量为x，水的质量为y．若把糖和水的质量同时扩大为原来的2倍，下列分式中，糖水浓度保持不变的是（        ） A. B. C. D. 6. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 7. 淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，…，若将第2024次显示结果记为M，2025次显示结果记为N，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的值是（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 9. 观察下列方程： ，变形为：，其解为或； ，变形为：，其解为或； ，变形为：，其解为或；…，根据以上阅读，若为正整数，关于的方程的较小解是，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 已知整式，其中n，为自然数，，…，为正整数，且…①满足条件的所有整式M中有且仅有2个单项式；②当时，满足条件的所有整式M的和为；③满足条件的所有二次三项式中，使能在实数范围内因式分解的整式M共3个．其中正确的个数是( ) A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二．填空题 11. 将下列四个图形拼成一个大长方形，据此写出一个将多项式因式分解的等式为______． 12. 已知，，，则的值是________． 13. 若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值为_______． 14. 无论取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为______． 15. 干支纪年是中国古代的一种纪年法，分别排出十天干与十二地支如下： 天干：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸 地支：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥 把天干和地支按以下方法配对：如第一个甲子，第二个乙丑…．．第十一个甲戌，第十三个丙子，即第一行10个天干用完后又重新从甲开始，而第二行12个地支用完后又从子开始，循环往复，已知去年（2025）是乙巳年，今年（2026）是丙午年，则从今年算起，年后是________年． 提示：． 三、解答题 16. 分解因式： （1）； （2）． 17. 计算 （1）已知，则________． （2）化简求值：，从范围内选取一个满足条件的x的整数值． 18. 两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式． 19. 阅读材料： 在小学数学中我们知道，假分数可以化成带分数，例如：； 类似的，在分式中也可以将一些分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式，我们称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是和谐分式． 请根据以上阅读，解答下列问题： （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； ① ② ③ ④ （2）分别将下列分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式： ① ②； （3）若为整数，求使分式的值为整数的的值． 20. 【阅读材料】 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．如图1-1，边长为的大正方形切去一个边长为的小正方形，剩余部分的面积为，如图1-2，把剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方形（或正方形），则甲的面积为，乙的面积为，丙的面积为，所以， 【尝试应用】 （1）利用材料中得到的等式计算：________； （2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2-1，棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体，剩余部分的体积按如图2-2所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，类比第（1）题，求可得到的因式分解等式为_____； 【拓广探索】 （3）若，，且，，求的值． 21. 阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式：． 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为m，偶次项系数之和为n，若，则，若，则．中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出p、q的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． （1）上述式子中_______，_______； （2）对于一元多项式，必定有； （3）请你用“试根法”分解因式：． （4）若整式是的因式，求的值． 22. 配方法是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．例如，把二次三项式进行配方 解： 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）所以M也是“雅美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“雅美数”有_______； ①10 ②28 ③45 ④39 （2）若二次三项式（x是整数）是“雅美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为_______； （3）探究问题：已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值； （4）问题拓展：已知整数M，N是“雅美数”，求证：是“雅美数”． （5）应用拓展：已知实数x，y满足，直接写出的最小值． 23. 知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式 解：将“”看成一个整体，令 原式 例2：已知，求的值． 解： 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： （1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； （2）计算：______ （3）①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三阶段性测试（2026.9） 一、选择题 1. 在式子，，，，，中，分式的个数是（        ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】解：的分母含字母，是分式． 的分母是常数，、的分母均为常数，三者均为整式． 的分母含字母，是分式． 的分母含字母，是分式． 综上，分式共有3个． 2. 下列从左边到右边的变形是因式分解的是（        ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，即可判断． 【详解】解：A、，右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故选项不符合题意； B、，右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故选项不符合题意； C、，符合因式分解的定义，是因式分解，故选项符合题意； D、，右边分母中含有字母，不是整式的积的形式，不是因式分解，故选项不符合题意． 3. 若分式的值为0，则代数式的值为（        ） A. 0 B. 12 C. 0或12 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， 对分子因式分解，得， 解得或， 由，得， ∴， 将代入，得． 4. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可． 本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：，则A不符合题意； 无法进行约分，则B不符合题意； ，则C不符合题意； ，则D符合题意； 故选：D． 5. 在化学实验课上，配制糖水时，糖的质量为x，水的质量为y．若把糖和水的质量同时扩大为原来的2倍，下列分式中，糖水浓度保持不变的是（        ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵糖水浓度为糖的质量与糖水总质量的比， ∴原糖水浓度为， ∵糖和水质量同时扩大为原来的2倍， ∴此时糖的质量为，水的质量为，浓度为，与原浓度相等． 6. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把第二个分式变形后根据同分母分式的加减法法则计算． 【详解】解：原式= = = =． 故选C． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减．分式运算的结果要化为最简分式或者整式． 7. 淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，…，若将第2024次显示结果记为M，2025次显示结果记为N，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了程序流程图、分式的混合运算，能通过计算发现从第1次显示的结果开始按循环是解题的关键．根据题意，依次求出每次显示的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，因为最初输入， 所以第1次显示结果为； 第2次显示结果为； 第3次显示结果为； 第4次显示结果为； ， 由此可见，从第1次显示的结果开始按循环． 又因为，， 所以，， 则． 故选：B． 8. 已知，则的值是（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由已知方程变形得到，再利用完全平方公式求解即可，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9. 观察下列方程： ，变形为：，其解为或； ，变形为：，其解为或； ，变形为：，其解为或；…，根据以上阅读，若为正整数，关于的方程的较小解是，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据分式方程解的情况求值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 通过变量替换将原方程化为类似题干中示例的形式，利用示例中的规律(即若，则或)，结合较小解为的条件，建立方程求解，并验证是否符合较小解为． 【详解】解：设， 则原方程化为：， ∵根据示例规律，若，则或， ∴设，． 又∵较小解，即较小， ∴设（），则． 代入：， 整理得：， 解得：， 即或． 当时，方程解为或，较小解为，不符合； 当时，方程解为或，较小解为，符合． ∴， 故选：A． 10. 已知整式，其中n，为自然数，，…，为正整数，且…①满足条件的所有整式M中有且仅有2个单项式；②当时，满足条件的所有整式M的和为；③满足条件的所有二次三项式中，使能在实数范围内因式分解的整式M共3个．其中正确的个数是( ) A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】本题综合考查了整式与因式分解，一元二次方程根的判别式的意义，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． 【详解】，为自然数，，，为正整数，且， 且，故，即，，，． 对于：，为单项式． 对于：，．当时，，为单项式；其他为二项式． 对于：，所有为三项式，无单项式． 对于：，所有为四项式，无单项式． ∴满足条件的M中仅有和两个单项式，故①正确． 当时，有种：， 当时，， 则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，， 当时，， 则故会有一种情况，对应的整式M为， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 满足条件的所有整式M的和为，故②正确； 二次三项式即， ， ，满足， ，可因式分解需判别式． ∵，∴． 当时，，舍去 当时，，舍去 当时，，舍去 当时，，舍去 当时，，舍去 当时，，舍去 当时，，舍去 当时，，符合题意， 当时，（舍去，不是二次三项） 当时，（舍去，不是二次三项） ∴使能在实数范围内因式分解的整式M共1个，故③不正确． 综上所述，正确的有①②． 故选：B． 二．填空题 11. 将下列四个图形拼成一个大长方形，据此写出一个将多项式因式分解的等式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解与图形的面积问题． 画出拼接的长方形，进而根据面积的两种表达方式列等式即可． 【详解】解：拼接如图： 长方形的面积为，还可以表示面积为：． 故答案为：． 12. 已知，，，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】观察的结构，先计算两两的差，对所求多项式变形配方，即可求出定值． 【详解】解：∵，，， ∴，， 对所求多项式变形得： 则原式． 13. 若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查因式分解—公式法，利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．解题的关键是掌握完全平方公式：． 【详解】解：∵多项式能用完全平方公式进行因式分解， ∴， 解得：或， ∴的值为或． 故答案为：或． 14. 无论取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】分式值恒为常数，可设该值为常数，整理等式后利用多项式对任意恒成立时对应系数相等求解即可. 【详解】解：∵无论取何值，分式的值始终保持不变， ∴设（为常数）， 等式两边同乘，得 ， 整理得 ， ∵该等式对任意恒成立， ∴多项式对应系数相等，即， 且 15. 干支纪年是中国古代的一种纪年法，分别排出十天干与十二地支如下： 天干：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸 地支：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥 把天干和地支按以下方法配对：如第一个甲子，第二个乙丑…．．第十一个甲戌，第十三个丙子，即第一行10个天干用完后又重新从甲开始，而第二行12个地支用完后又从子开始，循环往复，已知去年（2025）是乙巳年，今年（2026）是丙午年，则从今年算起，年后是________年． 提示：． 【答案】丁未 【解析】 【分析】天干以10为周期循环，地支以12为周期循环，只需计算即可得到对应干支． 【详解】解：， 因为天干有10个，地支有12个， ，， 这意味着经过28561年后，天干循环了2856次还多1个，地支循环了2380次还多1个， 已知今年(2026年)是丙午年，天干多1个，丙往后推1个是丁；地支多1个，午往后推1个是未， 所以年后是丁未年． 三、解答题 16. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，然后利用平方差公式进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 计算 （1）已知，则________． （2）化简求值：，从范围内选取一个满足条件的x的整数值． 【答案】（1） （2）化简结果为，选取时，值为，选取时，值为（任一正确结果均可） 【解析】 【分析】（1）先将转化为，再代入中，即可求解； （2）先根据分式混合运算法则化简，然后取分式有意义的x的值，代入即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：原式 ， 由题意得，， ∵，且x是整数， ∴或2， 当时，原式； 当时，原式；（任一正确结果均可） 18. 两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式． 【答案】 解：设原多项式为（其中、、均为常数，且≠0）． ∵， ∴＝2，＝18； 又∵， ∴＝－12． ∴原多项式为，将它分解因式，得 ． 【解析】 【分析】设原多项式为（其中、、均为常数，且≠0），然后分别把两位同学因式分解的结果化为多项式，即可求出a、b、c的值，从而得到原多项式为，然后进行分解因式即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握多项式乘以多项式和因式分解的方法． 19. 阅读材料： 在小学数学中我们知道，假分数可以化成带分数，例如：； 类似的，在分式中也可以将一些分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式，我们称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是和谐分式． 请根据以上阅读，解答下列问题： （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； ① ② ③ ④ （2）分别将下列分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式： ① ②； （3）若为整数，求使分式的值为整数的的值． 【答案】（1）①③④ （2）①② （3）0，2，3 【解析】 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值，分式化简求值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据“和谐分式”定义，对所给的式子，逐一分析，再作判断； （2）①根据“和谐分式”定义求解； ②根据“和谐分式”定义求解； （3）先根据“和谐分式”定义求解，化为整式与分子为有理数的分式的和的形式，再根据化的结果，分情况讨论，分别求出相应的的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴属于“和谐分式”， 故①符合； 不属于“和谐分式”， 故②不符合； ∵， ∴属于“和谐分式”， 故③符合； ∵， ∴属于“和谐分式”， 故④符合； 综上所述，①③④属于“和谐分式”， 故答案为：①③④； 【小问2详解】 ① ； ② ； 【小问3详解】 ∵， ∴，解得：且， ∵为整数，分式的值为整数， ∴的值为整数， 当时， ， 此时，符合； 当时， ， 此时，符合； 当时， ， 此时，符合； 当时， ，原分式的分母为0，无意义，不符合， 综上所述，使分式的值为整数的的值为0，2，3． 20. 【阅读材料】 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．如图1-1，边长为的大正方形切去一个边长为的小正方形，剩余部分的面积为，如图1-2，把剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方形（或正方形），则甲的面积为，乙的面积为，丙的面积为，所以， 【尝试应用】 （1）利用材料中得到的等式计算：________； （2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2-1，棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体，剩余部分的体积按如图2-2所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，类比第（1）题，求可得到的因式分解等式为_____； 【拓广探索】 （3）若，，且，，求的值． 【答案】（1）9800 （2） （3）的值为 【解析】 【分析】（1）根据材料提示得到，由此即可求解； （2）根据立体图形体积的计算方法，分别算出甲、乙、丙的体积，再根据整式的混合运算计算即可求解； （3）运用完全平方公式变形得到，，结合（2）的计算方法得到原式，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体，剩余部分的体积， 甲的体积为：， 乙的体积为：， 丙的体积为：， ∴剩余部分的体积为甲、乙、丙的体积之和，即， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 根据（2）的计算得到， 同理，， ∴． 21. 阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式：． 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为m，偶次项系数之和为n，若，则，若，则．中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出p、q的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． （1）上述式子中_______，_______； （2）对于一元多项式，必定有； （3）请你用“试根法”分解因式：． （4）若整式是的因式，求的值． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等，得到对应项的系数相同，进行求解即可； （2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可； （3）利用试根法，进行因式分解； （4）由题知，再利用待定系数法求出即可． 【小问1详解】 解： ， ， ； 【小问2详解】 解：多项式，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． 根据题意若，则； 【小问3详解】 解：由（2）可知因式分解后必有因式， 设， 等式右边， ∴， ， ； 【小问4详解】 解：由题知 ， ， 解得， 则． 22. 配方法是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．例如，把二次三项式进行配方 解： 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）所以M也是“雅美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“雅美数”有_______； ①10 ②28 ③45 ④39 （2）若二次三项式（x是整数）是“雅美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为_______； （3）探究问题：已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值； （4）问题拓展：已知整数M，N是“雅美数”，求证：是“雅美数”． （5）应用拓展：已知实数x，y满足，直接写出的最小值． 【答案】（1）①③ （2）9 （3） （4）证明：设，，其中，，，均为整数， ∴， ， ∵，，，均为整数， 和均为整数， 是“雅美数”； （5）3 【解析】 【分析】（1）根据“雅美数”的定义求解； （2）首先将配方成，求出，，然后代入求解； （3）首先将S配方成，然后根据“雅美数”的定义得到，然后求解即可； （4）设，，其中，，，均为整数，表示出，然后展开后配方即可证明； （5）首先表示出，然后配方后利用平方的非负性求解． 【小问1详解】 解：∵① ∴10是“雅美数”； ∵②， ∴28不能表示成（a，b是整数）的形式， ∴28不是“雅美数”； ∵③ ∴45是“雅美数”； ∵④， ∴39不能表示成（a，b是整数）的形式， ∴39不是“雅美数”； 综上所述，“雅美数”有①③； 【小问2详解】 解： ∴，， ∴； 【小问3详解】 解： ∵S为“雅美数”， ∴， ∴； 【小问4详解】 略 【小问5详解】 解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴的最小值为3． 23. 知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式 解：将“”看成一个整体，令 原式 例2：已知，求的值． 解： 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： （1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； （2）计算：______ （3）①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）； （3）①1，②5． 【解析】 【分析】（1）将看成一个整体，令，代入计算即可； （2）将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，代入计算即可； （3）①将代入求解即可；②将，代入中得到原式，再将代入，进一步得到原式，计算即可． 【小问1详解】 解：将看成一个整体，令， 则原式． 【小问2详解】 解：将看成一个整体，令，将看成一个整体，令， 则原式 ． 【小问3详解】 解：①∵， ∴ ． ②∵， ∴ ． 【点睛】本题考查整体思想，完全平方公式，整式的运算，分式运算法则，解题的关键是掌握整体思想，看懂例题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $