第二章《特殊三角形》单元自测卷2026-2027学年浙教版八年级数学上册

第二章《特殊三角形》单元自浏卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。） 1.若一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5，则这个等腰三角形的腰长为() A.5 B.2 C.2或5 D.3 2.直角三角形两条直角边长分别为9cm和12cm,则斜边上的中线长为( A.9cm B.12cm C.15cm 15 D.cm 3.如图所示是4个相同的小正方形，则图中∠1+∠2+∠3的度数是() 2 3 A.130° B.145° C.135° D.150° 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是AB的中点，点D是AC边上一点，且DE⊥AB,连 接DB.若AC=6,BC=3,则CD的长为( ) B R多 c号 D.3 5.如图，山坡AB的高BC=8m,水平距离AC=15m,若在山坡上每隔0.85m栽一棵茶树，则 从上到下共可栽茶树() A A.17 B.18 C.20 D.21 6.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm,内壁高12cm.若这支 铅笔长为20Cm,则这支铅笔在笔筒外面部分长度的最小值为(). A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm 7.已知△AEC≌△ADB.若∠A=50°，∠ABD=45°，则∠1的度数为() D A.40° B.25° C.20° D.15° 8.如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中 确定格点C,连接AC和BC,使得△ABC是等腰三角形.则满足条件的格点C的个数有 ()个. B A.4 B.5 C.6 D.7 9.如图，在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D,E为BC上的两点，∠DAE=45°，F 为△ABC外一点，且FB⊥BC,FA⊥AE.有下列结论：①CE=BF;②S△ADE=2AD·EF;③ BD2=DE2-CE2:④CE2+BE=AE,其中正确的结论有（) E A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 10.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=125°，∠D=∠B=90°，点M、N分别是CD,BC上 两个动点.当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为() D A M A.130° B.110° C.100o D.90° 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.如图，△ABC与△A,BC1关于直线l对称，连接AA1交直线l于点D,连接CC1交直线l于 点E,若AD=CE=3,AC=5.5,则四边形ACC1A1的周长为 E 12.如图，点E、F在线段BC上，BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,连接AB、CD,若要根据 “HL”直接证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还需要添加的一个条件是」 D E A B 13.如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿AB折叠，已知∠2=134°，则∠1的度数是 14.如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、D、E 的面积依次是7、3、12，则正方形B的面积是 D A E B 15.某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点 p处先往西走13m,又往北走4m'遇到障碍后又往东走6m'再转向北走8m后往西拐.走了 2m就到达点Q,则p、Q两点之间的距离为m· 8m 6m 4m 13m 16.如图，在第一个△ABA1中∠B=20°，AB=A1B,在A1B上取-点C,延长AA1到A2,使 得A1A2=AC,得到第二个△A1A2C;在A2C上取一点D,延长A1A2到A3,使得A2A3=A2D; ·,按此做法进行下去，则以点A为顶点的等腰三角形的底角的度数为 A3 As An 三、解答题（本题共8小题，第17-第22题每小题8分，第23-第24题每小题12分，共72 分.) 17.如图，某自动感应门的正上方A处安装着一个感应器，离地AB=26m,当人体进入感应 器的感应范围时，感应门就会自动打开.一个身高1.7m的学生CD面对着自动感应门，缓慢 走到离门1.2m的地方时(BC=1.2m),感应门自动打开，求感应器A到学生头顶D的距离. 感应器 18.如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O,且AB=DC,BE=CF. 求证：∠B=∠C. D 19.如图，一架长为2.5米的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处， 底端位于地面的点C处，点C到墙面的距离CB为0.7米，如果梯子的顶端下滑了0.4米，那么梯 子的底端在水平方向滑动了几米？ A B C 20.如图，在三角形支架中，AD1BC,AB=2m,AC=1.5m,DC=0.9m (1)求BD的长； (2)判断支架外框△ABC的形状，并说明理由. 21.如图，等边三角形ABC的边长为6，求： D (1)高AD: (2)等边三角形ABC的面积. 22.【问题背景】勾股定理是数学中最重要的定理之一，它首次将代数与几何紧密联系，其 证明过程培养了演绎推理能力，为后续几何学发展奠定基础. B 图1 图2 图3 【初步感知】(1)勾股定理的证明方法非常丰富.如图1，四个全等的直角三角形（阴 影部分)围成一个大正方形，中间空白部分是一个小正方形.设直角三角形的两条直角 边长分别为a,ba<b,斜边长为c.请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积，并由 此推导出勾股定理； 【问题解决】(2)如图2，已知∠B=∠ACD=90°，AB=4,BC=CD=3,求AD的长度； 【拓展延伸】(3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水 点A,B,其中AB=AC,由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取 水，决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在同一条直线上)，并新修一条路CH,已 知CH⊥AB.测得CH=2.4km,HB=1.8km,求新路CH比原路CA短多少千米？ 23.综合与实践 【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对 应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型. 图1 图2 图3 (1)如图1，在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,图中构成了 “手拉手”模型，则有：△ABD≌ 线段BD和CE的数量关系是 【探究】 (2)如图2，△ABC与△ADE均为等边三角形，且点D在BC边上，求证： ①BD=CE ②∠DCE=120°； 【拓展】 (3)如图3，在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE=90°，若 BC=6,AD=5,连接BD,CE,BE,当B,C,D在同一条直线上，直接写出△BDE的面 积； 24.已知：△ABC是等边三角形. E B D 图1 图2 图3 (1)如图1，点D是边BC上一动点，连接AD,以AD为边作等边三角形ADF,点F在AD 的右侧，连接CF,求证：△ABD≌△ACF; (2)如图2，在(1)的条件下，点E在边AC上且△CDE是等边三角形，DF与边AC交于 点M,BC=8,CF=4,求CM的长度； (3)如图3，当点D是△ABC内任意一点，连接AD,以AD为边作等边△ADF,点F在AD 的右侧，连接BD并延长交射线CF于点E(点E与点F不重合)，请直接写出∠AFE与 ∠ADE之间的数量关系. 参考答案 一、单项选择题 1.A 解：当腰长为2时，三边长为2,2,5， .2+2<5, 不能构成三角形，舍去； 当腰长为5时，三边长为5,5,2， .2+5>5, 能构成三角形 2.D 解：，直角三角形两直角边长分别为9cm和12cm. 由勾股定理得斜边：c=V92+12=81+144=/225=15cm, ,·直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， “斜边上中线长=×15- 2cm. 3.C 解：如图： D 2 C 3 4 E B 在△AED和△CBA中， AE=CB ∠AED=∠CBA ED=BA .△AED≌△CBA|SAS, .∠1=∠4 .∠ABC=90, .∠3+∠4=90°， .∠3+∠1=90°， ..BA=BF, .∴.∠2=∠BAF=45°， ∴∠1+∠2+∠3=135°. 4.A 解：点E是AB的中点，DE⊥AB,DE垂直平分AB, .BD=AD 设CD=x, ∴.BD=AD=AC-CD=6-X, 在Rt△BCD中，BD=CD+BC2, .6-x=x2+32, 解得x=9 4 ..CD=9 4 5.D 解：，山坡AB的高BC=8m,水平距离AC=15m, .AB=V82+152=17m :每隔0.85m栽-棵茶树， …17÷0.85=20棵， .从上到下共21棵. 6.B 解：如图所示：铅笔斜放在圆柱形笔筒内的时候，铅笔在笔筒外面的长度最小， D ------B AB=9?BC=12'∠ABC=90, 由勾股定理得：AC2=AB+BC2=92+12=225=152, AC=15（负值已舍去)， .CD=20-15=5' 答：铅笔在笔筒外面部分长度的最小值是5cm. 7.C 解：.△AEC≌△ADB, ∴.AB=AC, :∠ABC=∠ACB=2180-∠A=号180-50=65， .∠ABD=45°， ∴.∠1=∠ABC-∠ABD=65°-45°=20° 8.C 解：如图所示， 当点C在C1或C2或C3或C4的位置上时，AC=BC, 当点C在C5或C6位置上时，AB=BC, .满足条件的格点C的个数有6个. 9.B 解：①∠BAC=90°，FA⊥AE,∠DAE=45°， ∴.∠CAE=90°-∠DAE-∠BAD=45·-∠BAD, ∠FAB=90°-∠DAE-∠BAD=45°-∠BAD' ∴.∠FAB=∠EAC, AB=AC,∠BAC=90°， ∴.∠ABC=∠ACB=45°， .FB⊥BC, ∴.∠FBA=45=∠C, .△AFB≌△AEC(ASA,' .CE=BF,故①正确， ②如图，设AD与EF的交点为G, .∠FAB=∠CAE, ∴.∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=90°-45°=45°， ∴.∠FAD=∠EAD=45°， .△AFB≌△AEC(ASA), ∴.AF=AE, .AD⊥EF,EF=2EG, 5aAe=号ADEG=号AD×号EF=4AD~ER,故②不正确， ③连接FD, 由①中证明△AFB≌△AEC, ∴.AF=AE, ,∠DAE=45°，FA⊥AE, .∠FAD=∠DAE=45°， .AD=AD, ∴.△AFD≌△AED(SAS), ..FD=DE, .FB⊥BC, ∴.FB+BD=FD2 .FB=CE, .FB+BD=BD+CE2=FD=DE2,即BD=DE2-CE,故③正确， ④FB+BE2=EF2,CE=BF, .'.CE2+BE2=EF2, 在Rt△AEF中，AF=AE, ..AF2+AE2=EE2, .EF2=2AE2, .CE2+BE2=2AE,故④不正确. 10.B 解：作点A关于BC的对称点A,关于CD的对称点A,连接AA,与BC、CD分别交于点 N、M,此时△AMN的周长最小， D M B .:点A关于BC的对称点是A,关于CD的对称点是A, .AN=AN,AM=AM,∠NAB=∠NAB,∠MAD=∠MAD, .∠ABC=∠ADC=90°， .A、B、A三点共线，A、D、A三点共线， 在△AAA中，∠AAA=∠DAB=125°， .∠A+∠A=180°-∠AAA=180°-125°=55°， .∠ANM是△AAN的外角，∠AMN是△AAM的外角， ∴.∠ANM=∠A+∠NAB=2∠A,∠AMN=∠A+∠MAD=2∠A, .∠AMN+∠ANM=2∠A+2∠A=2∠A+∠A=2×55°=110°. 二、填空题 11.23 解：△ABC与△A1BC1关于直线1对称，AD=CE=3,AC=5.5, ..AD=A D=3.CE=C E=3 AC=A C=5.5 ∴.四边形ACC1A1的周长为：AD+A,D+AC+A,C1+CE+C1E=23」 12.AB=CD 解：.AE⊥BC,DF⊥BC, ∴.∠AEB=∠DFC=90°， ..△ABE和△DCF都是直角三角形， ,BE=CF,且BE、CF是Rt△ABE和Rt△DCF的一组对应直角边， 根据“HL”定理，在已知一组直角边相等的情况下，还需要两个直角三角形的斜边对应 相等， ,在Rt△ABE中，AB是斜边，在Rt△DCF中，CD是斜边， .需要添加的一个条件是AB=CD. 13.67 解：如图， AC‖BD, ∴.∠DAC=∠2=134°， ·将一个宽度相等的纸条按如图所示沿AB折叠， ∠1=∠BAC=∠DAC=×134=670. 2 14.2 解：，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， ∴.S正方形C=SE方形E-S正方形D,S正方形c=SE方形A+S正方形B, :正方形A、D、E的面积依次是7、3、12， ∴.SE方形c=12-3=9,，SE方形c=7+SE方形B, .7+S正方形B=9, ∴.S正E方形B=2」 15.15 解：如图，作QT⊥AP于点T, 8m 6m 4m T 13m 则PT=13-6-2=9m,QT=8+4=12m, 在Rt△PQT中，由勾股定理可得PQ=PT+QT2=15m. 0° 16.、 n-1 解：在△ABA1中，∠B=20°，AB=AB, .∠BA,A=∠A=180∠B=80, 2 A1A2=A1C,∠BA1A是△A1A2C的外角， ∠CA,A=∠A,CA=∠BA,A=号×80： 22 同可将上=号m-所 ×80°， RA,A日DAA号**n- 2 ×80, 80° ∴.点An为顶点的等腰三角形的底角的度数为 2n-1. 三、解答题 17.解：如图，过点D作DE⊥AB于点E, 感应器 E 由题意可得DCBE为长方形， .AB=2.6m'BE=CD=1.7m'ED=BC=1.2m' ∴.AE=AB-BE=2.6-1.7=0.9m' 在Rt△ADE中，由勾股定理得： AD=AE2+DE2=V0.92+1.2=1.5m 18.证明：，BE=CF, BE+EF=CF+EF'BF=CE' 在Rt△ABF和Rt△DCE中， AB=DC BF=CE .'.Rt△ABF≌Rt△DCE HL .∠B=∠C 19.解：：△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AC=2.5米，BC=0.7米， .AB=AC2-BC2-2.52-0.7=2.4(米)， AA=0.4米， ∴.AB=AB-AA=2米， .AC=AC=2.5米， ∴.BC=AC2-AB=2.52-2=1.5(米)， .CC=BC-BC=1.5-0.7=0.8(米). 故梯子的底端在水平方向滑动了0.8米. 20.(1)解：.AD⊥BC, ∴.∠ADC=∠ADB=90°， 在Rt△ADC中，AC=1.5m,DC=0.9m, ∴.AD=VAC2-CD2=1.52-0.92=1.2m 在Rt△ADB中，AB=2m,AD=1.2m .BD=AB2-AD2=V22-1.22=1.6m .BD的长为1.6m; (2)△ABC为直角三角形，理由如下： 由(1)知，BD=1.6m, .BC=BD+DC=1.6+0.9=2.5m, .AB=2m,AC=1.5m, ∴.AB2+AC2=22+1.52=6.25,BC2=2.52=6.25, ..AB+AC2=BC2, .∴.∠BAC=90 ∴，△ABC是直角三角形. 21.(1)解：：△ABC是等边三角形，AD是高线， ·D为BC的中点，BD=CD=BC=3,AD1BC .在Rt△ABD中，AD=VAB-BD2=V6-32=33 (2)解：由(1)可知，AD=33,BC=6, :等边三角形ABC的面积5c×BC×AD×6x33=93, 22.解：(1)方法-：a+bP=a+2ab+b2: 方法二：4×b+c2-2ab+2:整理，得d2+2ab+b2=2ab+,所以d2+62= (2)因为∠B=∠ACD=90°，AB=4,BC=CD=3, 在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2,即42+3=AC2,所以AC=5 在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2,即52+3=AD2,AD=V34: (3)设AC=AB=xkm,则AH=x-1.8km, 在Rt△ACH中，由勾股定理得x2=2.42+x-1.8,解得x=2.5,即CA=2.5km, ∴.CA-CH=2.5-2.4=0.1km ∴.新路CH比原路CA短0.1千米. 23.(1)解：.∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ∴.∠BAD=∠CAE .AB=AC,AD=AE ∴.△ABD≌△ACESAS ..BD=CE; (2)证明：△ABC,△ADE都是等边三角形， .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠ABC=∠ACB=60° ∴.∠BAD=∠CAE .△ABD≌△ACESAS ∴.BD=CE,∠ACE=∠ABD=60° .∴.∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°： (3)解：，AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE=90° ∴.∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED=45°，∠BAD=∠CAE ∴.△BAD≌△CAESAS ∴.∠ACE=∠ABD=45°，BD=CE, ∴.∠ACB+∠ACE=90°=∠ECB 过点A作AF L BC于点F,则△ABF、△ACF均是等腰直角三角形， ∴.BF=CF=AF=BC=3, AD=5, ..DF=AD2-AF2=4 当点D在点C右侧时， 此时CE=BD=BF+DF=3+4=7 S,mB0×CE- 2 当点D在点B左侧时， D B 此时CE=BD=DF-BF=4-3=1 5Ame-=号BD×CE=7 综上：ABDE的面积为号或号 2 24.(1)证明：，'△ABC与△ADF是等边三角形 .∴.AB=AC,AD=AF,∠BAC=∠DAF .∴.∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC ∴.∠BAD=∠CAF ∴.△ABD≌△ACF (2)解：由(1)知△ABD≌△ACF, ∴.BD=CF=4, .∴.CD=BC-BD=4, ∴.CD=CF, 又：AD=AF, ∴.AC垂直平分DF, △CDE是等边三角形， ∴.CE=CD=4, DF⊥AC, :CM-jCE-2; (3)解：同(1)法可得△ABD≌△ACF: ∴.∠ADB=∠AFC, ①当点E在线段CF上时，如图， B △ADF为等边三角形， ∴.∠ADF=60°， ∴.∠ADB+∠FDE=180°-∠ADF=120°， .∴.∠AFE+∠FDE=120°. ∴.∠AFE+∠ADE=∠AFE+∠FDE+∠ADF=120°+60°=180°； ②当点E在线段CF的延长线上时，如图： D B .∠ADB=∠AFC, ∴.180-∠ADB=180-∠AFC, ∴.∠ADE=∠AFE.