第二章 特殊三角形【单元进阶卷】2026-2027学年浙教版八年级上册数学（浙江专用）

第二章 特殊三角形【单元进阶卷】 2026-2027学年浙教版八年级上册数学（浙江专用） —— 参考答案与解析 —— （满分 100 分，考试时间 90 分钟） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母填在题后括号内） 1．【答案】D 【解析】等边三角形有 3 条对称轴，圆有无数条对称轴，正方形有 4 条对称轴，它们都是轴对称图形；而一般的梯形（非等腰梯形）找不到一条直线，使图形沿它折叠后两旁的部分能够互相重合，所以一般梯形不是轴对称图形。故选 D。 2．【答案】C 【解析】设 Rt△ABC 的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c。由勾股定理得 a²＋b²＝c²，即两个较小正方形的面积之和等于最大正方形的面积，所以最大正方形的面积为 9＋16＝25。故选 C。 3．【答案】B 【解析】由绝对值和平方的非负性得 m－3＝0 且 n－7＝0，所以 m＝3，n＝7。分两种情况讨论：①若腰长为 3，则三边为 3、3、7，因为 3＋3＝6＜7，不能构成三角形，舍去；②若腰长为 7，则三边为 3、7、7，因为 7＋7＞3，可以构成三角形，此时周长为 3＋7＋7＝17。故选 B。 4．【答案】A 【解析】逐项分析：A 项正确，任何命题都可以写出它的逆命题，而只有逆命题为真的定理才叫做原定理的逆定理，例如「对顶角相等」的逆命题「相等的两个角是对顶角」是假命题，它不是逆定理；B 项错误，如「全等三角形的面积相等」是真命题，但它的逆命题「面积相等的两个三角形全等」是假命题；C 项错误，如「若 a²＝1，则 a＝1」是假命题，但它的逆命题「若 a＝1，则 a²＝1」是真命题；D 项错误，任何命题都有逆命题，它的逆命题是「同旁内角互补，两直线平行」。故选 A。 5．【答案】C 【解析】由轴对称的性质得 OP1＝OP＝OP2，且 OB 垂直平分 PP1，OA 垂直平分 PP2。因为 M 在 OB 上、N 在 OA 上，所以 MP＝MP1，NP＝NP2。 在等腰三角形 PMP1 中，∠PMP1＝180°－2∠MP1P；又 P1、M、N、P2 在同一条直线上，所以 ∠PMN＝180°－∠PMP1＝2∠MP1P。同理 ∠PNM＝2∠NP2P。 在 △PMN 中，∠MPN＝180°－∠PMN－∠PNM＝180°－2(∠MP1P＋∠NP2P)。由轴对称还可得到 ∠MP1P＝∠POA，∠NP2P＝∠POB，所以 ∠MP1P＋∠NP2P＝∠POA＋∠POB＝∠AOB＝35°。 因此 ∠MPN＝180°－2×35°＝110°。故选 C。 6．【答案】D 【解析】A 项：由 AB＝AC 及「等边对等角」得 ∠B＝∠C，成立；B 项：由等腰三角形「三线合一」，底边上的中线也是底边上的高，所以 AD⊥BC，成立；C 项：由「三线合一」得 AD 平分 ∠BAC，又 DE⊥AB，DF⊥AC，所以 DE 与 DF 分别是点 D 到 ∠BAC 两边的距离，由角平分线的性质得 DE＝DF，成立；D 项：DE 与 AB 之间没有固定的数量关系。例如取 AB＝AC＝5，BC＝6，作 BC 边上的高得 S△ABC＝12，由 D 是 BC 的中点得 S△ABD＝6，又 S△ABD＝×AB×DE，所以 DE＝＝2.4≠AB＝2.5，D 项不一定成立。故选 D。 7．【答案】C 【解析】设斜边 AB 上的中线为 CD。由「直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半」得 AB＝2CD＝13。 在 Rt△ABC 中，BC＝＝＝12。故选 C。 8．【答案】A 【解析】大正方形的面积为 25，所以它的边长为 5。 四个直角三角形的面积之和为 4×6＝24，所以中间小正方形的面积为 25－24＝1，它的边长为 ＝1。故选 A。 9．【答案】C 【解析】两个直角三角形已有一对直角对应相等。 A 项是「斜边、直角边」公理，即 HL，能判定全等； B 项符合「边角边」（SAS），能判定全等； D 项已知斜边和一个锐角，斜边恰好是这个锐角的对边，符合「角角边」（AAS），能判定全等； C 项只有两个锐角对应相等，再加上直角，只是三个角对应相等，两三角形形状相同但大小可以不同，例如边长为 3、4、5 与 6、8、10 的两个直角三角形两锐角对应相等但并不全等。故选 C。 10．【答案】D 【解析】A 项：由勾股定理得 AB＝＝＝10，正确； B 项：CD 是斜边 AB 上的中线，所以 CD＝AB＝5，正确； C 项：由面积关系得 ×AC×BC＝×AB×CE，即 ×6×8＝×10×CE，解得 CE＝4.8，正确； D 项：由射影定理（或 Rt△ACE 中勾股定理）得 AE＝＝＝3.6，所以 DE＝AD－AE＝5－3.6＝1.4，于是 △CDE 的三边为 CD＝5、CE＝4.8、DE＝1.4，三边两两不相等，△CDE 不是等腰三角形，D 项错误。故选 D。 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．【答案】65° 或 25° 【解析】分两种情况讨论（设顶角为 ∠A）。 ①当顶角 ∠A 是锐角时，一腰上的高在三角形内部，它与另一腰的夹角为 90°－∠A，所以 90°－∠A＝40°，解得 ∠A＝50°，底角为 ＝65°； ②当顶角 ∠A 是钝角时，一腰上的高落在三角形外部，它与另一腰的夹角为 ∠A－90°，所以 ∠A－90°＝40°，解得 ∠A＝130°，底角为 ＝25°。 所以底角的度数为 65° 或 25°。 12．【答案】如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形；真 【解析】把原命题的条件与结论互换，得逆命题：如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形（即这两条边相等）。 证明：设 △ABC 中 AB 边上的高为 CD，AC 边上的高为 BE，且 CD＝BE。由三角形的面积公式得 ×AB×CD＝×AC×BE。因为 CD＝BE，所以 AB＝AC，即 △ABC 是等腰三角形。 所以这个逆命题是真命题。 13．【答案】9.6（即 ） 【解析】作底边上的高 AD。由等腰三角形「三线合一」，AD 也是底边上的中线，所以 BD＝×12＝6。 在 Rt△ABD 中，AD＝＝＝8，所以这个等腰三角形的面积为 ×12×8＝48。 再用等面积法求腰上的高：设腰上的高为 h，则 ×10×h＝48，解得 h＝9.6。 所以它腰上的高为 9.6。 14．【答案】24 【解析】设两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c。 由「直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半」得 c＝2×5＝10。 由周长得 a＋b＝24－10＝14，由勾股定理得 a²＋b²＝c²＝100。 因为 (a＋b)²＝a²＋b²＋2ab，所以 14²＝100＋2ab，解得 ab＝48。 所以这个直角三角形的面积为 ab＝24。 15．【答案】30 【解析】由勾股定理可知，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积，等于以两条直角边为边的两个正方形的面积之和。 逐层使用这一结论可得 S_E＝S_A＋S_B＋S_C＋S_D＝2²＋4²＋3²＋1²＝4＋16＋9＋1＝30。 所以最大的正方形 E 的面积为 30。 16．【答案】12 【解析】在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，因为 BD＝CD（斜边对应相等），BE＝CF（直角边对应相等），所以 Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），得 DE＝DF。 因为 DE⊥AB，DF⊥AC，所以点 D 在 ∠BAC 的平分线上，即 AD 平分 ∠BAC。 在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中，因为 AD＝AD，DE＝DF，所以 Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），得 AE＝AF。 又 AF＝AC－CF＝15－3＝12，所以 AE＝12。 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分。解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17．【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝9 【解析】（1）证明：因为 BD⊥l，CE⊥l，所以 ∠ADB＝∠CEA＝90°。 在 Rt△ABD 和 Rt△CAE 中，因为 AB＝CA（斜边对应相等），BD＝AE（直角边对应相等），所以 Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）。 （2）由（1）知 Rt△ABD≌Rt△CAE，所以 AD＝CE，AE＝BD。 因为 BD＝3，CE＝6，所以 AE＝3，AD＝6。 又点 D、A、E 在同一条直线上，所以 DE＝AD＋AE＝6＋3＝9。 【给分点】（1）∠ADB＝∠CEA＝90° 得 1 分，说明 AB＝CA、BD＝AE 并用 HL 判定得 1 分，结论 1 分；（2）由全等得 AD＝CE＝6、AE＝BD＝3 各 1 分，D、A、E 共线得 DE＝AD＋AE＝9 得 1 分。 18．【答案】（1）已知：△ABC 中 AB＝AC，CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E。求证：CD＝BE。（2）证明见解析 【解析】（1）已知：△ABC 中，AB＝AC，CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E。 求证：CD＝BE。 （2）证明：因为 CD⊥AB，BE⊥AC，所以 ∠ADC＝∠AEB＝90°。 在 △ADC 和 △AEB 中， 因为 ∠ADC＝∠AEB，∠A＝∠A（公共角），AC＝AB， 所以 △ADC≌△AEB（AAS），所以 CD＝BE。 即等腰三角形两腰上的高相等。 【给分点】（1）正确写出已知（含图形中的垂直条件）得 1 分，正确写出求证得 1 分；（2）得 ∠ADC＝∠AEB＝90° 得 1 分，指出公共角 ∠A、AC＝AB 并用 AAS 判定得 1 分，结论 1 分。 19．【答案】（1）AD＝8；（2）△BEC 的面积为 12；（3）AP＝8＋6 【解析】（1）因为 AB＝AC，AD⊥BC，所以由等腰三角形「三线合一」得 BD＝CD＝×12＝6。 在 Rt△ABD 中，AD＝＝＝8。 （2）因为 AE＝3DE 且 AE＋DE＝AD＝8，所以 4DE＝8，DE＝2。 因为 AD⊥BC，点 E 在 AD 上，所以 DE⊥BC，DE 就是 △BEC 中 BC 边上的高。 所以 S△BEC＝×BC×DE＝×12×2＝12。 （3）因为直线 AD 是 BC 的垂直平分线，所以射线 AD 上任意一点 P 都满足 PB＝PC。 若 △BPC 是等边三角形，则还需 PB＝BC＝12。 在 Rt△PBD 中，PB²＝BD²＋PD²，即 12²＝6²＋PD²，所以 PD²＝108，PD＝6。 因为 PD＞AD，所以点 P 在点 D 远离点 A 的一侧，AP＝AD＋PD＝8＋6。 【给分点】（1）由三线合一得 BD＝CD＝6 得 1 分，勾股定理求得 AD＝8 得 1 分；（2）由 AE＝3DE 求得 DE＝2 得 1 分，说明 DE 是 BC 边上的高并算得面积 12 得 1 分；（3）说明 PB＝BC＝12 得 1 分，求得 PD＝6 并得出 AP＝8＋6 得 1 分。 20．【答案】（1）证明见解析；（2）EF＝5；（3）S△PAB＝24 【解析】（1）证明：因为 DE⊥AC，DF⊥BC，所以 ∠CED＝∠CFD＝90°。 又 ∠ACB＝90°，所以四边形 CEDF 的三个角都是直角，四边形 CEDF 是矩形。 （2）由（1）知四边形 CEDF 是矩形，所以它的两条对角线相等，即 EF＝CD。 在 Rt△ABC 中，AB＝＝10，因为 CD 是斜边 AB 上的中线，所以 CD＝AB＝5，从而 EF＝5。 （3）由（2）得 CD＝5。因为 CP＝AB＝10，所以 CD＝DP＝5，即 D 是 CP 的中点。 又 D 是 AB 的中点，所以四边形 ACBP 的对角线 AB 与 CP 互相平分，从而四边形 ACBP 是平行四边形。 因为 ∠ACB＝90°，所以 S四边形 ACBP＝AC×BC＝8×6＝48。 因为 △PAB 与四边形 ACBP 有公共的边 PA、PB，所以 S△PAB＝S四边形 ACBP＝24。 【给分点】（1）指出三个直角、判定矩形得 2 分；（2）由矩形对角线相等得 EF＝CD 得 1 分，求 AB＝10、CD＝5 得 1 分；（3）说明 D 是 CP 的中点、判定四边形 ACBP 是平行四边形得 1 分，求 S四边形 ACBP＝48 并得出 S△PAB＝24 得 1 分。 21．【答案】（1）推导见解析；（2）a＋b＝8 【解析】（1）因为大正方形的边长就是直角三角形的斜边 c，所以大正方形的面积为 c²。 另一方面，大正方形由四个全等的直角三角形和一个边长为 b－a 的小正方形组成，所以它的面积又等于 4×ab＋(b－a)²。 因此 c²＝4×ab＋(b－a)²＝2ab＋b²－2ab＋a²＝a²＋b²，即 a²＋b²＝c²。 （2）由（1）得 a²＋b²＝c²＝34。 因为 (b－a)²＝4，所以 (a＋b)²＝2(a²＋b²)－(a－b)²＝2×34－4＝64。 因为 a＞0，b＞0，所以 a＋b＝8。 【给分点】（1）指出大正方形面积为 c² 得 1 分，用 4×ab＋(b－a)² 表示同一面积得 1 分，化简得 a²＋b²＝c² 得 1 分；（2）由面积得 a²＋b²＝34、得 (b－a)²＝4 各 1 分，用 (a＋b)²＝2(a²＋b²)－(a－b)² 求得 a＋b＝8 得 2 分。 22．【答案】（1）作图见解析；（2）最小周长为 8 【解析】（1）分别作点 A、B、C 关于直线 l 的对称点 A′、B′、C′，依次连结 A′B′、B′C′、C′A′，所得 △A′B′C′ 即为所求。（作图略，对应点的连线都被直线 l 垂直平分。） （2）因为 B、C 两点在直线 l 的同侧，所以作点 B 关于直线 l 的对称点 B′，连结 B′C 交直线 l 于点 P，则点 P 就是使 △PBC 周长最小的点。 理由：由轴对称得 PB＝PB′，所以 PB＋PC＝PB′＋PC，而两点之间线段最短，当 B′、P、C 三点共线时 PB′＋PC 最小。 在网格中，B′C 恰好是以两条直角边为 4 和 3 的直角三角形的斜边，所以 PB＋PC 的最小值＝B′C＝＝5。 又 BC 是网格中长为 3 的线段，所以 △PBC 的最小周长＝5＋3＝8。 【给分点】（1）正确作出 A′、B′、C′ 并连线成图得 3 分（每点 1 分）；（2）作点 B 关于 l 的对称点 B′、连 B′C 交 l 于 P 得 2 分，求出 PB＋PC 的最小值为 5 得 1 分，加上 BC＝3 得最小周长 8 得 1 分。 23．【答案】（1）CD＝16.5 m；（2）此时风筝离地面的竖直高度为 26.5 m 【解析】（1）设风筝所在位置为 C，过 C 作水平线的垂线，垂足为 D。 在 Rt△ACD 中，AC＝39 m，AD＝36 m，所以 CD＝＝＝＝15（m）。 又手离地面的高度 AB＝1.5 m，所以风筝离地面的竖直高度为 15＋1.5＝16.5（m）。 （2）设回收风筝线后风筝所在位置为 C′。因为风筝线与水平方向的夹角为 45°，所以此竖直高度与水平距离相等。设竖直高度为 h m，则水平距离也为 h m，由勾股定理得 h²＋h²＝(25)²，即 2h²＝1250，h²＝625，h＝25。 所以风筝离地面的竖直高度为 25＋1.5＝26.5（m）。 【给分点】（1）构造直角三角形并用勾股定理求得 CD＝15 m 得 3 分，加上手高 1.5 m 得 16.5 m 得 1 分；（2）指出 45° 时竖直高度与水平距离相等得 2 分，列式求得竖直高度 25 m 得 1 分，得出离地 26.5 m 得 1 分。 24．【答案】（1）∠A＝100°；（2）∠AED＝110°；（3）能，∠DAC 为 30° 或 60° 【解析】（1）因为 AB＝AC，所以 ∠C＝∠B＝40°，由三角形内角和定理得 ∠A＝180°－40°－40°＝100°。 （2）因为 ∠DAC＝30°，∠C＝40°，所以 ∠ADC＝180°－∠C－∠DAC＝180°－40°－30°＝110°。 又 ∠ADE＝∠B＝40°，所以 ∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝110°－40°＝70°。 在 △CDE 中，∠CED＝180°－∠C－∠EDC＝180°－40°－70°＝70°，所以 ∠AED＝180°－∠CED＝110°。 （3）能。设 ∠DAC＝x（0°＜x＜100°），则 ∠ADC＝180°－∠C－∠DAC＝140°－x， ∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝(140°－x)－40°＝100°－x， ∠CED＝180°－∠C－∠EDC＝180°－40°－(100°－x)＝40°＋x。 若 △CDE 是等腰三角形，分三种情况讨论： ①若 CE＝DE，则 ∠EDC＝∠C，即 100°－x＝40°，解得 x＝60°； ②若 CD＝CE，则 ∠CED＝∠EDC，即 40°＋x＝100°－x，解得 x＝30°； ③若 CD＝DE，则 ∠CED＝∠C，即 40°＋x＝40°，解得 x＝0°，此时点 D 与点 C 重合，不合题意，舍去。 所以当 ∠DAC＝60° 或 30° 时，△CDE 是等腰三角形。 【给分点】（1）由 AB＝AC 得 ∠C＝40° 并求得 ∠A＝100° 得 2 分；（2）求得 ∠ADC＝110° 得 1 分，求得 ∠EDC＝70°、∠CED＝70° 得 1 分，得出 ∠AED＝110° 得 1 分；（3）用 x 表示 ∠EDC＝100°－x、∠CED＝40°＋x 得 1 分，三种等腰情形分别求出x＝60°、30° 并舍去 x＝0° 得 2 分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 特殊三角形【单元进阶卷】 2026-2027学年浙教版八年级上册数学（浙江专用） （满分 100 分，考试时间 90 分钟） 班级：＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母填在题后括号内） 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A．等边三角形　　B．圆　　C．正方形　　D．一般的梯形 2．如图，以 Rt△ABC 的三条边为边分别向外作正方形。若其中两个较小正方形的面积分别为 9 和 16，则最大正方形的面积为（　　） A．5　　B．7　　C．25　　D．49 3．已知一个等腰三角形的两条边长分别为 m 和 n，且满足 |m－3|＋(n－7)²＝0，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．13　　B．17 C．13 或 17　　D．无法确定 4．下列说法中正确的是（　　） A．每个命题都有逆命题，但每个定理不一定都有逆定理 B．真命题的逆命题一定是真命题 C．假命题的逆命题一定是假命题 D．「两直线平行，同旁内角互补」没有逆命题 5．如图，点 P 是 ∠AOB 内一点，分别作点 P 关于 OB、OA 的对称点 P1、P2，连结 P1P2，分别交 OB 于点 M、交 OA 于点 N。若 ∠AOB＝35°，则 ∠MPN 的度数是（　　） A．90°　　B．100°　　C．110°　　D．125° 6．如图，在 △ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F。下列结论中不一定成立的是（　　） A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．DE＝DF D．DE＝AB 7．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，斜边 AB 上的中线长为 6.5，一条直角边 AC＝5，则另一条直角边 BC 的长为（　　） A．10　　B．11　　C．12　　D．13 8．「赵爽弦图」是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的图形，它由四个全等的直角三角形和一个中间的小正方形拼成一个大正方形。若大正方形的面积为 25，每个直角三角形的面积为 6，则中间小正方形的边长为（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 9．下列条件中，不一定能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．斜边和一条直角边分别对应相等 B．两条直角边分别对应相等 C．两个锐角分别对应相等 D．斜边和一个锐角分别对应相等 10．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D 是斜边 AB 的中点，CE⊥AB 于点 E。下列结论中错误的是（　　） A．AB＝10　　B．CD＝5 C．CE＝4.8　　D．△CDE 是等腰三角形 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40°，则这个等腰三角形的底角的度数为＿＿＿＿＿＿。 12．命题「等腰三角形两腰上的高相等」的逆命题是＿＿＿＿＿＿，它是一个＿＿＿＿命题（填「真」或「假」）。 13．已知等腰三角形的腰长为 10，底边长为 12，则它腰上的高为＿＿＿＿＿＿。 14．已知一个直角三角形的周长为 24，斜边上的中线长为 5，则这个直角三角形的面积为＿＿＿＿＿＿。 15．如图是一株美丽的「勾股树」，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。若正方形 A、B、C、D 的边长分别为 2、4、3、1，则最大的正方形 E 的面积为＿＿＿＿＿＿。 16．如图，在 △ABC 中，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 BD＝CD，BE＝CF。若 AC＝15，BE＝3，则 AE＝＿＿＿＿＿＿。 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分。解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17．（5分）如图，点 D、A、E 在同一条直线 l 上，AB＝AC，BD⊥l 于点 D，CE⊥l 于点 E，且 BD＝AE。 （1）求证：△ABD≌△CAE； （2）若 BD＝3，CE＝6，求 DE 的长。 18．（5分）求证：等腰三角形两腰上的高相等。 （1）请根据图形写出「已知」和「求证」； （2）完成证明。 19．（6分）如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC 于点 D，点 E 在 AD 上，且 AE＝3DE，连结 BE、CE。 （1）求 AD 的长； （2）求 △BEC 的面积； （3）若点 P 是射线 AD 上一点，且 △BPC 是等边三角形，求 AP 的长。 20．（6分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD 是斜边 AB 上的中线，DE⊥AC 于点 E，DF⊥BC 于点 F。 （1）求证：四边形 CEDF 是矩形； （2）求 EF 的长； （3）若点 P 在射线 CD 上，且 CP＝AB，求 △PAB 的面积。 21．（7分）「赵爽弦图」是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的图形，它由四个全等的直角三角形和一个中间的小正方形拼成一个大正方形。 （1）设直角三角形的两条直角边长分别为 a、b（a＞b），斜边长为 c，请利用图中的面积关系推导勾股定理； （2）若大正方形的面积为 34，中间小正方形的面积为 4，求 a＋b 的值。 22．（7分）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点都在格点上，直线 l 是网格中经过格点的一条直线。 （1）画出 △ABC 关于直线 l 成轴对称的 △A′B′C′； （2）在直线 l 上找一点 P，使 △PBC 的周长最小，求这个最小周长。 23．（8分）为了测量风筝离地面的竖直高度，小明和同学进行了如下操作：如图，已知牵风筝线的手离地面的高度 AB＝1.5 m，此时松开的风筝线长 AC＝39 m，手与风筝之间的水平距离为 36 m。 （1）求风筝离地面的竖直高度 CD； （2）小明回收一部分风筝线后，测得风筝线与水平方向的夹角为 45°，此时剩余风筝线的长为 25 m，手的位置不变，求此时风筝离地面的竖直高度。 24．（8分）如图，在 △ABC 中，AB＝AC，∠B＝40°，点 D 是边 BC 上一点（不与 B、C 重合），连结 AD。作 ∠ADE＝∠B，DE 交 AC 于点 E。 （1）求 ∠A 的度数； （2）当 ∠DAC＝30° 时，求 ∠AED 的度数； （3）在点 D 运动的过程中，△CDE 能否是等腰三角形？若能，求出所有满足条件的∠DAC 的度数；若不能，请说明理由。 说明：本卷 24 道试题均经改编整合，答案、评分标准与各题给分点见配套答案解析。 学科网（北京）股份有限公司 $