第2章 特殊三角形 培优检测卷 2026--2027学年浙教版八年级上册数学-

第2章 特殊三角形培优检测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下面图形中是轴对称图形的是（　） 2．若等腰三角形的顶角为100°，则底角的大小为（　） A. 40° B. 100° C. 50° D. 80° 3．在△ ABC中，∠ A：∠ B：∠ C＝3：2：1，则这个三角形是（　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 4．下列命题中，逆命题是真命题的是（　） A. 两直线平行，内错角相等 B. 若a＝b，则＝ C. 对顶角相等 D. 若a＝b，则|a|＝|b| 5．如图，△ ABC中，AB＝AC，∠ BAC＝100°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，则∠ ADE的大小为（　） A. 40° B. 30° C. 20° D. 10° 6．如图，△ ABC中，D为BC上一点，E，F分别是AC，BD的中点。若AB＝AD，EF＝3，则AC的长是（　） A. 5 B. 6 C. 3 D. 4 7．如图，△ ABC的面积为，BP平分∠ ABC，AP⊥ BP于点P，连结PC，则△ PBC的面积为（　） A. B. C. D. 8．如图，在△ ABC中，∠ ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AD为∠ BAC的平分线，将△ ADC沿直线AD翻折得△ ADE，则DE的长为（　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9．如图，在△ ABC中，AB＝AC，∠ B＝36°，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于D，E两点。作直线DE分别交AC，BC于点F，G。以点G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H，连结AG，AH。下列说法：①GA＝GC；②∠ B＝2∠ HAB；③AC＝BG。则正确的是（　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 10．如图，O是等边三角形ABC对称轴的交点，D，E分别在边AC，BC上，连结DE，∠ ADE的平分线过点O交AB于点F，连结EF。若要知道△ ABC的周长，则只需要知道下列某个三角形的周长就可以。该三角形是（　） A. △ CDE B. △ ADF C. △ BEF D. △ DEF 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是＿＿＿。 12．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC。工程人员这种操作方法的依据是＿＿＿。 第12题图 13．如图，∠ AOB＝70°，C是边OB上的一个定点，点P在角的另一边OA上运动，当△ COP是等腰三角形，∠ OCP＝＿＿＿。 第13题图 14．如图，已知△ ABC和△ ABD，∠ ACB＝∠ ADB＝90°，E是AB的中点，连结CE，DE，CD，设∠ DAB＝α。则当∠ ABC＝＿＿＿时，△ DCE为等边三角形。（用含α的代数式表示） 15．如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交BC于点M。若AH＝HE，则CM的长为＿＿＿。 第15题图 16．如图，在△ ABC中，∠ ACB＝90°，点D在边AB上，将△ BCD沿CD翻折至△ ECD，连结AE，若AC平分∠ EAB，AB＝5，BC＝3，则AE＝＿＿＿。 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．(8分)△ ABC的位置如图所示，按要求解下列问题： (1)画出点C关于x轴的对称点C′。 (2)判断△ ABC′的形状并说明理由。 18．(8分)如果我们称正方形网格中的交点为格点。如图，已知A，B两个格点。 (1)在图1中找出两个格点C，使得△ ABC是以AB为腰的等腰三角形，并画出点C。 (2)在图2中找到一个格点D，并画出△ ABD，使得△ ABD是等腰直角三角形，若每个小正方形的边长为1，求△ ABD的面积。 19．(8分)如图，在△ ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥ BC于点F，BE⊥ AC于点E，D为AB的中点，M为EF的中点，求DM的长。 第19题图 20．(8分)如图，AD是△ ABC的高线，E为AB上一点，连结CE，交AD于点F，BE＝CE。 (1)求证：△ AEF是等腰三角形。 (2)若F是CE的中点，CE＝26，CD＝12，求AF的长。 第20题图 21．(8分)如图，在△ ABC中，AB＝AC，∠ BAC为锐角，作AD⊥ AB交BC的延长线于点D。 (1)若∠ D＝20°，求∠ BAC的度数。 (2)求证：∠ BAC＝2∠ D。 (3)已知∠ D＝22.5°，AC＝，求的值。 22．(10分)综合与实践 学习了三角形全等的判定与性质后，我们得到角平分线的性质定理及其逆定理。 【理解定理】 (1)如图1，已知AD平分∠ CAB，DC⊥ AC于点C，DB⊥ AB于点B，若CD＝1，则DB＝＿＿＿。 【问题解决】 (2)如图2，点B，D，C分别是AF，AG和AE上的一点，且满足BD＝CD，∠ ABD＋∠ ACD＝180°。求证：AD平分∠ BAC。 【变式应用】 (3)如图3，在△ ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，E，F分别为AB，AC上一点，且∠ BED＝∠ AFD。求△ BDE和△ CDF的面积和。 23．(10分)如图，在△ ABC中，∠ C＝90°，60°＜∠ ABC＜90°。点E在边AB上，点D在CB延长线上，且满足BD＝BE。连结DE，AD。已知∠ CAD＝∠ BED。 (1)若∠ BED＝40°，求∠ BAD的度数。 (2)小真通过画图和测量得到以下近似数据： 猜想：AE与BC之间的等量关系，并给出证明。 (3)探究AD，AB，BD三者之间的等量关系，并给出证明。 24．(12分)如图，在△ ABC中，AB＝AC，D为BC上任意一点（不与点B，点C重合），连结AD。将AD绕点A逆时针旋转至AE，AD＝AE且∠ BAD＝∠ CAE，连结EC，ED，ED与AC相交于点O。 (1)求证：△ ABD≌△ ACE。 (2)若AB＝13，BC＝10，求四边形ADCE的周长的最小值。 (3)若∠ BAC＝90°，且BC＝2，当△ ADO为等腰三角形时，求BD的长。 参考答案 1．D　2．A　3．B　4．A　5．C 6．B　7．C　8．B　9．D　10．A 11．有两个锐角互余的三角形是直角三角形 12．等腰三角形三线合一 13．40°或70°或55° 14．60°-α 15． 16． 17．(1)如图 (2)由网格,勾股定理可得=+=10,=+=50,=+=40,所以+=,所以△ABC'是直角三角形。 18．(1)如图1,点C和C'即为所求作(答案不唯一)。 (2)如图2,△ABD和△ABD'均满足题意。 由勾股定理得,AB=BD==,AD'=BD'==,所以△ABD的面积为AB·BD=××=5,△ABD'的面积为AD'·BD'=××=。所以△ABD的面积为5或。 19．如图,连结DF,DE。因为AB=AC,AF⊥BC,所以F是BC中点。因为BE⊥AC,所以∠BEC=90°,所以EF=BC=×12=6。同理可得FD=AB=×16=8,DE=AB=×16=8,所以DF=DE。因为M为EF的中点,所以DM⊥EF,FM=EF=3,所以DM===。 20．(1)因为BE=CE,所以∠B=∠BCE。因为AD是△ABC的高线,所以∠ADB=∠ADC=90°,所以∠B+∠BAD=90°,∠BCE+∠CFD=90°,所以∠BAD=∠CFD,因为∠AFE=∠CFD,所以∠BAD=∠AFE,所以△AEF是等腰三角形。 (2)如图,过点E作EG⊥AF于点G,所以∠EGF=90°,因为F是CE的中点,CE=26,所以CF=EF=13。因为∠ADC=90°,CD=12,所以DF===5,因为∠EFG=∠CFD,∠EGF=∠CDF,EF=CF,所以△EFG≌△CFD(AAS),所以FG=DF=5。因为△AEF是等腰三角形,EG⊥AF,所以AF=2FG=2×5=10。 21．(1)因为AD⊥AB,所以∠B+∠D=90°。因为∠D=20°,所以∠B=90°-20°=70°。因为AB=AC,所以∠ACB=∠B=70°,所以∠BAC=180°-2×70°=40°。 (2)证明:因为AD⊥AB,所以∠B+∠D=90°,即∠B=90°-∠D。因为AB=AC,所以∠B=∠ACB,所以∠BAC=180°-2∠B,即∠B=90°-∠BAC,所以90°-∠D=90°-∠BAC,所以∠BAC=2∠D。 (3)如图,过点C作AB的垂线,垂足为M,因为∠D=22.5°,所以∠BAC=2×22.5°=45°,所以△AMC是等腰直角三角形。因为AC=,所以AM=MC=1。因为AB=AC=,所以BM=-1。在Rt△BCM中,=+=(-+=4-2。 22．(1)1 (2)如图1,过点D作DM⊥AE,DN⊥AF,所以∠DMC=∠DNB=90°,因为∠ABD+∠ACD=180°,∠MCD+∠ACD=180°,所以∠ABD=∠MCD,在△CDM和△BDN中,因为所以△CDM≌△BDN(AAS),所以DM=DN。因为DM=DN,DM⊥AE,DN⊥AF,所以AD平分∠BAC。 (3)如图2,连结AD,过点D作DM⊥AE,DN⊥AF,易得DM=DN=,BM=,由(2)知,易证△EDM≌△FDN(AAS),所以=。在Rt△BDM和Rt△CDN中,因为所以Rt△BDM≌Rt△CDN(HL),所以=,所以+==2×××=。 23．(1)因为BD=BE,所以∠BED=∠BDE=40°,所以∠ABC=2∠BED=80°,因为∠C=90°,所以∠CAB=10°,因为∠CAD=∠BED=40°,所以∠BAD=30°。 (2)猜想:AE=2BC。证明:如图,延长BC至点P,使得BC=CP,连结AP,设∠BED=x,因为BD=BE,所以∠BED=∠BDE=x。所以∠ABC=2x。因为BC=CP,BP⊥AC,所以AP=AB,所以∠P=∠ABC=2x,因为∠CAD=∠BED=x,所以∠ADC=90°-x,易得∠BAD=∠ADC=90°-x,所以AP=PD,所以PD=AB。因为BD=BE,所以AE=BP,所以AE=2BC。 (-=AB·BD。由勾股定理,可得-=+--,化简,得-=-=(CD+BC)(CD-BC),化简,得-=PD·BD,由(2)可知PD=AB。所以-=AB·BD。 24．(1)证明:因为∠BAD=∠CAE,AB=AC,AD=AE,所以△ABD≌△ACE(SAS)。 (2)由(1)得BD=CE。四边形ADCE的周长=AD+DC+CE+AE=AD+DC+BD+AD=2AD+BC=2AD+10,所以当AD最小时,周长最小,即当AD⊥BC时,周长最小,由AB=13,BC=10,易得AD=12时,四边形ADCE周长的最小值是2×12+10=34。 (3)易得∠DAE=∠BAC=90°,因为BC=2,所以∠ADE=45°,AB=2,当△ADO为等腰三角形,分三种情况讨论:当DA=AO时,∠ADE=45°,所以∠DAO=90°,点D不存在;当AO=DO时,∠ADE=45°,∠DAO=45°,∠AOD=90°,所以D为BC的中点,所以BD=;当DA=DO时,∠B=∠ADE=∠ACB=45°,所以∠BAD=∠ODC,所以△BAD≌△CDO(AAS),所以AB=DC=2,所以BD=2-2。综上所述,当△ADO为等腰三角形时,BD的长为或2-2。(根号没有化简不扣分) 第页 共页 学科网（北京）股份有限公司 $