第二章 实数 基础过关自测卷 -2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 第二章实数基础过关自测卷，60分钟100分，适用于单元复习，通过基础巩固与能力提升梯度设计，覆盖实数核心知识点，培养抽象能力、运算能力及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|最简二次根式、算术平方根、二次根式运算|基础题为主，如第2题考查算术平方根，第4题结合估值培养数感| |填空题|4/12|二次根式化简、比较大小、复合二次根式|第14题引入复合二次根式化简，渗透推理意识| |解答题|7/58|实数运算、方程求解、几何应用、阅读材料题|第18题结合面积问题考查应用意识，第21题通过阅读材料发展创新意识，体现真题命题趋势|

第二章 实数基础过关自测卷 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．2的算术平方根是（     ） A．2 B． C． D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．估计的值在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间D．7和8之间 5．如果最简二次根式能与合并，那么的值为（     ） A．1 B．2 C．6 D．10 6．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 7．观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 8．要画一个面积为50的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 9．将1、、、按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第数，则与表示的两数之积是（     ） A． B． C． D． 10．如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（     ）． A．50 B．55 C．60 D．65 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．________． 12．计算：______． 13．比较大小：__________ 7．（填“”、“”、“”） 14．，像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如   ，用上述方法可以将复合二次根式化简为________． 三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．计算： (1)； (2)． 16．求下列各式中的的值： (1)； (2)． 17．已知一个正数的两个平方根分别是和，的立方根是． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 18．综合实践课上，爱动手的小聪同学想把两个面积为的小正方形分别沿一条对角线裁剪开后拼成一个如图所示的大正方形，并沿大正方形的四边镶上一根铁丝将其固定． (1)求这根铁丝长度最少为多少厘米？ (2)现有一个长、宽之比为，且面积为的长方形，在（1）的条件下，用这根铁丝沿长方形的边去围这个长方形，这根铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 19．阅读材料：因为，， 所以，，即，， 所以，的整数部分是2，小数部分为． 解答问题： (1)请你模仿材料中的解答过程，求的整数部分和小数部分； (2)已知a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分．求的值． 20．阅读与思考 【阅读理解】数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例题： 【解决问题】 (1)仿照例题补充完整： ___________________________=_________=_________; (2)根据上述思路，试将下列各式化简： ①； ②． 21．【发现问题】进行二次根式的计算时，有时会遇到这种分母中含有无理数的式子． 【分析问题】对形如这类式子可以用课本所学知识直接进行计算，但是这类式子无法直接计算，我们可以用之前所学乘法公式来解决． 【解决问题】经过探索、同学们发现可以用下面的方法进行计算： 请你认真阅读同学们的解题方法、并解决下列问题： (1)计算：___________． (2)计算：； (3)求：的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数基础过关自测卷 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可． 【详解】解：A、的被开方数是小数，可化简，，不是最简二次根式； B、的被开方数中含有能开得出来的因数，可化简，，不是最简二次根式； C、的被开方数中含有分母，可化简，，不是最简二次根式； D、的被开方数中既没有分母，也不含能开得出来的因数，是最简二次根式，故符合题意． 2．2的算术平方根是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ，且， ∴ 2的算术平方根是． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘法、减法、加法、除法法则逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，该选项计算正确，符合题意； B、和不能直接合并，该选项计算错误，不符合题意； C、和不能直接合并，该选项计算错误，不符合题意； D、，该选项计算错误，不符合题意． 4．估计的值在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴估计的值在6和7之间． 5．如果最简二次根式能与合并，那么的值为（     ） A．1 B．2 C．6 D．10 【答案】A 【分析】先将化为最简二次根式，根据可合并的最简二次根式被开方数相同列方程求解． 【详解】解：∵， 且最简二次根式能与合并， ∴ ， 解得． 6．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 7．观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方与开平方的互逆关系，结合表格中给出的的值验证各选项． 【详解】解：由表格可知：，，，， ，，， A、C、D选项错误； ， ，故B选项正确． 8．要画一个面积为50的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知中长与宽的比例关系设未知数，再利用长方形的面积公式列式求解即可． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，， 由题意得，， 整理得，， 解得， ∴，， 即该长方形的宽为． 9．将1、、、按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第n个数，则与表示的两数之积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图中的规律找到与表示的两数，再根据二次根式的乘法法则计算出两数之积． 【详解】解：表示第排第个数， 由图中规律可知前排有个数， 到第排第个数共有个数， ， 表示的数是， 表示第排第个数， 前排有个数， 到第排第个数共有个数， ， 表示的数是， 与表示的两数之积是. 10．如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（     ）． A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】C 【分析】依据题意，大正方形的边长为两个小正方形的边长之和，则剩下的面积用大正方形的面积减去和的和即可． 【详解】解：由图知，大正方形的边长为两个小正方形的边长之和， 即， 则大正方形的面积为：， 故剩下部分的面积． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．________． 【答案】3 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ． 12．计算：______． 【答案】 【分析】先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式得到结果． 【详解】解：根据题意，得 故． 13．比较大小：__________ 7．（填“”、“”、“”） 【答案】 【分析】先求出两个数的平方，根据两个正数，平方大的这个数也比较大，进行比较大小即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 14．，像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如   ，用上述方法可以将复合二次根式化简为________． 【答案】 【分析】观察题目给出的复合二次根式，构造完全平方的方法化简即可． 【详解】解：． 三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，然后合并同类项即可． （2）直接运用平方差公式即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 16．求下列各式中的的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 整理得， 因此； （2）解：， 开立方得， 解得． 17．已知一个正数的两个平方根分别是和，的立方根是． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，求出，根据立方根的定义求出即可； （2）由（1）求出的值，进而求出代数式的值，根据平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，解得，， ，解得，； （2）解：由（1）得，， ， 的平方根为． 18．综合实践课上，爱动手的小聪同学想把两个面积为的小正方形分别沿一条对角线裁剪开后拼成一个如图所示的大正方形，并沿大正方形的四边镶上一根铁丝将其固定． (1)求这根铁丝长度最少为多少厘米？ (2)现有一个长、宽之比为，且面积为的长方形，在（1）的条件下，用这根铁丝沿长方形的边去围这个长方形，这根铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】(1)80 (2)铁丝够用． 理由：设长方形纸片的长为，宽为，长方形的周长为． 依题意得：， 解得：， ， ， 长方形的周长为， ， ， 用这根的铁丝沿长方形的边去围这个长方形，铁丝够用． 【分析】本题考查了图形的剪拼、正方形的面积、算术平方根的实际应用等知识． （1）根据题意得到大正方形面积，然后求出边长即可解决问题； （2）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积为可得，则长方形的周长为，再根据可得，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得大正方形的面积为， 设大正方形的边长为， 则， ∴（舍去负值）， ∴大正方形的边长为． ∴这根铁丝长度最少为． （2）略 19．阅读材料：因为，， 所以，，即，， 所以，的整数部分是2，小数部分为． 解答问题： (1)请你模仿材料中的解答过程，求的整数部分和小数部分； (2)已知a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分．求的值． 【答案】(1)的整数部分是3，小数部分为 (2)6 【分析】本题考查了估算无理数的大小估算，立方根，平方根的含义，求代数式的值． （1）根据题干中的方法即可求出结果； （2）根据题意可得，，，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∴的整数部分是3，小数部分为． （2）解：∵a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分， ∴，，， ∴. 20．阅读与思考 【阅读理解】数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例题： 【解决问题】 (1)仿照例题补充完整： ___________________________=_________=_________; (2)根据上述思路，试将下列各式化简： ①； ②． 【答案】(1)，, (2)①；② 【分析】主要利用完全平方公式将被开方数变形，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）略 （2）解：①原式 ； ②原式 ． 21．【发现问题】进行二次根式的计算时，有时会遇到这种分母中含有无理数的式子． 【分析问题】对形如这类式子可以用课本所学知识直接进行计算，但是这类式子无法直接计算，我们可以用之前所学乘法公式来解决． 【解决问题】经过探索、同学们发现可以用下面的方法进行计算： 请你认真阅读同学们的解题方法、并解决下列问题： (1)计算：___________． (2)计算：； (3)求：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对原式进行分母有理化，分子分母同乘即可得到结果； （2）分子分母同乘，利用平方差公式化简即可得到结果； （3）先对原式每一项进行分母有理化，再抵消中间项计算最终结果； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：对任意正整数，对分母有理化得， 因此， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $