精品解析：广西南宁市某校2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学试卷

2025年秋季学期第二次大作业 九年级数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示是年六盘水市马拉松领奖台示意图，则此领奖台的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数经过（ ） A. 一、三象限 B. 二、四象限 C. 二、三象限 D. 三、四象限 4. 如图，已知为的直径，点C在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 6. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 顶点坐标是 C. 图象与轴交点的坐标是 D. 图象在轴上截得的线段长度是4 9. 如图，，，中，，则边的长是（ ） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 3cm 10. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子直径为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 点A（1，-5）关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为______． 14. AI赋能数学课堂是指将人工智能技术融入数学教学过程，提升教学效果和学生学习体验．为了解学生对赋能数学课堂的喜爱程度，在全校进行了随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，估计学生喜爱赋能数学课堂的概率约为________． 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 喜欢赋能数学课堂的学生数与n的比值 0.85 0.90 0.93 0.90 0.89 0.90 0.91 0.91 0.92 0.90 15. 一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算该几何体的全面积为________．（结果保留） 16. 如图，在矩形中，，，以B为圆心，为半径画弧交于点E，连接，作，垂足为F，则的值为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：． （2）解方程：． 18. 如图，在给出的平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，； （1）以点O为位似中心，在第三象限内画出，使与位似，且位似比为． （2）画出绕点A顺时针旋转后得到的；并直接写出、的坐标； （3）当点B旋转到点位置时，经过的路径弧的长度为：________． 19. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）求反比例函数、一次函数的表达式； （2）求的面积． 20. 如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为3，，求的长． 21. 某校数学兴趣小组测量校内旗杆的高度，活动记录如下： 活动任务：测量旗杆的高度 【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出两种测量方案的图形，如图，图． 【步骤二】准备测量工具镜子，皮尺和测倾器，如图．皮尺的功能是直接测量任意可达到的两点间的距离；测倾器（由度盘，铅锤和支杆组成）的功能是测量目标物的仰角或俯角． 【步骤三】实地测量并记录数据 方案一：利用镜子的反射（测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，反射角等于入射角，法线，），如图1． 测量过程： 小明将镜子放在距离旗杆底部的点处，然后看着镜子沿直线来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与点重合，此时小明站在点处，测得，小明的眼睛离地面的高度． 求解过程： 由测量知，，，． ∵法线，， ． ∵①________， ． ，即． ②________（）． 故旗杆的高度为 m． 方案二：如图，小亮在测点D处安置测倾仪，测得旗杆顶端B的仰角，量出测点D到旗杆的距离，量出测倾器的高度． （）补全小明求解过程中①②所缺的内容； （）请你根据方案二求出旗杆的高度（结果精确到）．（参考数据：，，） 22. 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 23. 如图1，，为中点，点在上方，连接，． （1）尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； （2）如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期第二次大作业 九年级数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键．把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， 不是中心对称图形； B、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形； C、图案能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴是中心对称图形； D、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形． 故选：C． 2. 如图所示是年六盘水市马拉松领奖台示意图，则此领奖台的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握三视图的画法．根据俯视图的画法即可解决，注意看得见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线． 【详解】解：由题意可得此领奖台的俯视图是， 故选：B． 3. 反比例函数经过（ ） A. 一、三象限 B. 二、四象限 C. 二、三象限 D. 三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握“当时，反比例函数的图象经过第一、三象限；当时，反比例函数的图象经过第二、四象限”是解题关键． 根据反比例函数的图象与性质作答即可． 【详解】解：， 反比例函数的图象经过第二、四象限， 故选：． 4. 如图，已知为的直径，点C在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由OA=OC，可得∠OAC=∠OCA，根据三角形外角性质∠OCA=即可． 【详解】解：∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵∠BOC=∠BAC+∠ACO，， ∴∠OCA=． 故选择B． 【点睛】本题考查圆的半径相等，等腰三角形性质，三角形外角性质，掌握圆的半径相等，等腰三角形性质，三角形外角性质是关键． 5. 关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 6. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数．根据题意利用锐角三角函数即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 7. 盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，通过列举所有可能的抽取结果，再找出两人抽到卡片图案相同的结果，最后根据概率公式计算出相应概率． 【详解】解：记印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案的卡片分别为a，b，c，d，列表如下： a b c d a b c d 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中他们抽到的卡片图案相同的结果有4种， ∴所求概率为， 故选：D． 8. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 顶点坐标是 C. 图象与轴交点的坐标是 D. 图象在轴上截得的线段长度是4 【答案】D 【解析】 【分析】根据得顶点坐标是， ，判定抛物线开口向下；令，得，图象与轴交点的坐标是；令，得，求得交点坐标，后计算距离解答即可． 本题考查了抛物线的开口，与坐标轴的交点，与x轴相交的两交点间的距离，熟练掌握性质和交点的计算是解题的关键． 【详解】解：根据得顶点坐标是， ， ∴抛物线开口向下； 故A，B错误； 令，得， ∴图象与轴交点的坐标是； 故C错误； 令，得， 解得， ∴， 故D正确， 故选D． 9. 如图，，，中，，则边的长是（ ） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 3cm 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．先证明，得到，即可求出边的长． 【详解】解：， ， ， ，， ， ， 故选：A． 10. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理；设该桨轮船的轮子半径为，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 设该桨轮船的轮子半径为， 在中， 即， 解得：， ∴该桨轮船的轮子直径为 故选：C． 11. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的矩形场地还是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程． 【详解】解：由题意有， 故选：C． 12. 在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例函数，根据相似求出点A的坐标是解题的关键． 过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，证明，根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D， 直角三角板中， ， 轴， ， 直角三角板中， ， ， 又， ， ， 点B坐标为， ，， ，， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图像上， ， 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 点A（1，-5）关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为______． 【答案】（-1，5） 【解析】 【分析】根据若两点关于坐标原点对称，横纵坐标均互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵点A（1，-5）关于原点的对称点为点B， ∴点B的坐标为（-1，5）． 故答案为：（-1，5） 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于原点对称的特征，熟练掌握若两点关于坐标原点对称，横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 14. AI赋能数学课堂是指将人工智能技术融入数学教学过程，提升教学效果和学生学习体验．为了解学生对赋能数学课堂的喜爱程度，在全校进行了随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，估计学生喜爱赋能数学课堂的概率约为________． 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 喜欢赋能数学课堂的学生数与n的比值 0.85 0.90 0.93 0.90 0.89 0.90 0.91 0.91 0.92 0.90 【答案】0.90 【解析】 【分析】此题考查了频率估计概率， 根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在概率附近．观察表格数据可知，随着累计抽测学生数n的不断增大，喜欢AI赋能数学课堂的学生数与n的比值（频率）在0.90附近波动，并趋于稳定，故可以估计学生喜爱AI赋能数学课堂的概率约为0.90． 【详解】由表可知，当抽测学生数时，喜欢赋能数学课堂的学生数与n的比值为0.90，因此估计学生喜爱AI赋能数学课堂的概率约为0.90． 故答案为：0.90． 15. 一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算该几何体的全面积为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，圆锥的计算，根据已知得母线长，再利用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．根据圆锥侧面积公式首先求出圆锥的侧面积，再求出底面圆的面积，相加即可得出该几何体的全面积． 【详解】解：由图示可知，该几何体是圆锥，圆锥的高为，底面圆的直径为， ∴圆锥的母线为：， ∴圆锥的侧面积为：， 底面圆的面积为：， ∴该几何体的全面积为：． 故答案为． 16. 如图，在矩形中，，，以B为圆心，为半径画弧交于点E，连接，作，垂足为F，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，求正切值．连接，由作图可得，从而在中，根据勾股定理求出，得到，又运用勾股定理在中，求出，根据等腰三角形的性质得到，进而求出，从而根据正切的定义即可求解． 【详解】解：连接， 由作图可得， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）（2）， 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用二次根式的性质化简，以及化简特殊角的三角函数值，零次幂，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）∵， 则， 解得，． 18. 如图，在给出的平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，； （1）以点O为位似中心，在第三象限内画出，使与位似，且位似比为． （2）画出绕点A顺时针旋转后得到的；并直接写出、的坐标； （3）当点B旋转到点位置时，经过的路径弧的长度为：________． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示， （3） 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，作位似图形，旋转作图，弧长公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合以点O为位似中心，在第三象限内画出，使与位似，且位似比为，进行作图即可； （2）根据旋转的性质，得出点、，再依次连接，即可作答． （3）理解题意，运用弧长公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：依题意，， ∴， 当点B旋转到点位置时，经过的路径弧的长度为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）求反比例函数、一次函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 （2）8 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法和反比例函数的应用是解题关键． （1）将点代入可得反比例函数的解析式，再求出点的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可得； （2）设一次函数的图象与轴的交点为点，先求出点的坐标，再根据的面积等于与的面积之和即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：将点代入得：， 所以反比例函数的表达式为； 将点代入可得：， ∴， 将点，代入得：，解得， 所以一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，设一次函数的图象与轴的交点为点， 将代入一次函数得：，解得， ∴， ∴， 由（1）已得：，， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∴的面积为． 20. 如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为3，，求的长． 【答案】（1） 解：与相切； 理由如下：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴与相切； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，等边对等角，正切的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角可得，，进而根据，得出，即可得出结论； （2）根据已知可得，进而设，，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如（1）图，， ∵的半径为3， ∴ ∵，， ∴， ∴， 设，， 在中，， ∴ 解得： ∴． 21. 某校数学兴趣小组测量校内旗杆的高度，活动记录如下： 活动任务：测量旗杆的高度 【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出两种测量方案的图形，如图，图． 【步骤二】准备测量工具镜子，皮尺和测倾器，如图．皮尺的功能是直接测量任意可达到的两点间的距离；测倾器（由度盘，铅锤和支杆组成）的功能是测量目标物的仰角或俯角． 【步骤三】实地测量并记录数据 方案一：利用镜子的反射（测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，反射角等于入射角，法线，），如图1． 测量过程： 小明将镜子放在距离旗杆底部的点处，然后看着镜子沿直线来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与点重合，此时小明站在点处，测得，小明的眼睛离地面的高度． 求解过程： 由测量知，，，． ∵法线，， ． ∵①________， ． ，即． ②________（）． 故旗杆的高度为 m． 方案二：如图，小亮在测点D处安置测倾仪，测得旗杆顶端B的仰角，量出测点D到旗杆的距离，量出测倾器的高度． （）补全小明求解过程中①②所缺的内容； （）请你根据方案二求出旗杆的高度（结果精确到）．（参考数据：，，） 【答案】（），， （） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定及解直角三角形， ()根据题意证明，再利用相似三角形对应边成比例，建立等式求解，即可解题． ()根据题意得出，利用，求得，再根据，即可解题． 【详解】（）解：由测量知，， ∵法线，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故旗杆的高度为. 故答案为：；； （）解：由题知，，， ∴， ∵ ， ∴， 即， ∴ . ∴旗杆的高度约为． 22. 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【答案】（1）；；（2）当时，；（3）最少开7条通道 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），与的函数表达式为； （2）根据二次函数的性质可得出结论； （3）运用二次函数的性质解答即可 【详解】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为 （2） 当时， （3）设开了条通道则： 对称轴为 ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少 ，即： 又最多开通9条 为正整数， 最小值为7 ， 最少开7条通道； 23. 如图1，，为中点，点在上方，连接，． （1）尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； （2）如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 解：如图， ∵为中点， ∴， 根据作图可得， ∴四边形为平行四边形， （2）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴且， ∴， ∴， ② 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接并延长，在的延长线上截取，连接，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）①根据得出，，根据已知可得； ②根据，，得出在的外接圆上运动，设的外接圆为，设与交于点，连接，证明得出，当为的直径时，取得最大值为，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②∵，， ∴在的外接圆上运动，设的外接圆为 如图，设与交于点，连接， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ 又，则， ∴ ∴ ∴当为的直径时，取得最大值为 ∴的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $