精品解析：广西壮族自治区崇左市江洲区新和镇中学2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

2026年秋季学期九年级上册9月月考试题数学科 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 1，2 B. 1，3 C. 1， D. 1， 3. 关于x的一元二次方程中，则该一元二次方程根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 4. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ） A. 3 B. 0 C. D. 5. 若方程是关于的一元二次方程，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 10. 毕业前夕，九年级（11）班的同学每人将一份礼物与其他每一位同学互赠，作为珍贵的纪念，全班共赠出1980件礼物，那么这个班级共有学生（ ） A. 40人 B. 42人 C. 44人 D. 45人 11. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 12. 如图，在等腰中，，，动点P从点A出发沿向点B移动，作，，当的面积为面积的一半时，点P移动的路程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是________． 14. 一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是_____． 15. 关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是______． 16. 一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为_____________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 选用适当方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若，该方程的两个实数根分别为，求的值． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）证明：该方程总有实数根； （2）当m为何值时，方程的两个根互为相反数？ 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）若两个实数根和满足，求的值． 21. 如图，某体育学校修建一个长方形运动员候场区，候场区一面靠墙，墙长26米，另外三边用48米隔栏围成，为了方便运动员进出，在两边各空出一个宽为1米的出入口（出入口不用隔栏），设修建的长方形运动员候场区的宽为米． （1）修建的长方形运动员候场区的长为_______米；（用含的代数式表示） （2）若修建的长方形运动员候场区的面积为300平方米，求的长． 22. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1400元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于998元．已知市政府向该公司支付货款20万元，求购买的这种健身器材的套数． 23. 五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 问题解决： （1）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． （2）若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ （3）若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期九年级上册9月月考试题数学科 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程）逐项判断即可得． 【详解】解：A、中含有两个未知数，则此项不是一元二次方程，不符合题意； B、不是一元二次方程，不符合题意； C、，时不是一元二次方程，不符合题意； D、，即方是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 2. 一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 1，2 B. 1，3 C. 1， D. 1， 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式是，它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0．其中是二次项，a是二次项系数；是一次项，b是一次项系数；c是常数项，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴二次项系数是1，一次项系数是， 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，要注意任何一个一元二次方程经过整理都能化成一般形式，在判断一个方程是不是一元二次方程时，要先化成一般形式，再判断． 3. 关于x的一元二次方程中，则该一元二次方程根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算判别式的值，再利用根据判别式的意义进行判断即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ） A. 3 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把代入，转化为m的方程求解即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】把代入， 得， 解得， 故选A． 5. 若方程是关于的一元二次方程，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程需要同时满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列等式和不等式即可求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得，， 解得，， 综上所述：． 6. 已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】方程有两个实数根，说明方程为一元二次方程，因此二次项系数不为0，同时根据一元二次方程根的判别式非负列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，， ∴的取值范围是且． 7. 已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，结合三角形三边关系排除不符合的边长，再计算周长得到结果． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得，， ∵三角形边长为正数， ∴舍去负根，得第三边长为， ∵，符合三角形三边关系， ∴三角形周长为． 8. 为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单循环比赛的规则，计算总比赛场数列方程，用到的是计数去重的思路，即可得到符合题意的方程． 【详解】解：依题意，共有个队参赛，每两支队伍之间赛一场，每支队伍需要和除自身外的支队伍比赛， 又∵ 两队之间进行一场比赛， ∴ 实际总比赛场数为， 已知总比赛为36场， 因此列方程得，符合题意的为选项A. 9. 已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 10. 毕业前夕，九年级（11）班的同学每人将一份礼物与其他每一位同学互赠，作为珍贵的纪念，全班共赠出1980件礼物，那么这个班级共有学生（ ） A. 40人 B. 42人 C. 44人 D. 45人 【答案】D 【解析】 【分析】设九年级（11）班有x人，根据每个同学都向其他同学赠送纪念品一件，全班共送出纪念品1980件，可列方程求解． 【详解】解：设有x人，则 x（x-1）=1980 x=45或x=-44（舍去）． 即全班共有45人． 故选：D． 【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是知道每人送出（x-1）件礼物，从而可得解． 11. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求． 由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出，解这两个不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题可得：， 解得：且； 故选：B． 12. 如图，在等腰中，，，动点P从点A出发沿向点B移动，作，，当的面积为面积的一半时，点P移动的路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设AP＝xcm，则PB＝（8−x）cm，求出∠A＝45°，∠APR＝90°，得到PR＝PA＝xcm，然后根据▱PQCR的面积为△ABC面积的一半列方程求解即可． 【详解】解：设AP＝xcm，则PB＝（8−x）cm， ∵∠B＝90°，AB＝BC＝8cm， ∴∠A＝45°， ∵PRBC， ∴∠APR＝90°， ∴PR＝PA＝xcm， ∵▱PQCR的面积为△ABC面积的一半， ∴， 解得：， ∴点P移动的路程为4cm． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，一元二次方程的应用，根据几何图形的性质得出方程是解题的关键． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需将方程化为二次项系数为正的一般形式后确定常数项． 【详解】解：展开方程，得． 由于二次项系数为负，方程两边乘以，得． 因此常数项为． 故答案为：． 14. 一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到二次项系数不为，再结合方程有两个实数根可得根的判别式大于等于，求解两个不等式的公共部分即可得到的取值范围． 【详解】解：∵原方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 解得， 对于一元二次方程，根的判别式为： ∵方程有两个实数根， ∴ ∴ ∴且 15. 关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，利用换元思想对比已知方程与待求方程的结构，根据已知方程的解即可得到待求方程的解． 【详解】解：将已知方程整理得 ，其解为． 将待求解方程 变形为 令，则方程变为 ，可得， 即或， 解得． 16. 一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为_____________． 【答案】##8平方厘米 【解析】 【分析】设矩形的长为，宽为，根据图①和图②的阴影面积列出方程组，求出的值，再求图③的面积求解即可． 【详解】解：设矩形的长为，宽为，由题意，得： ， 整理，得：， 把②代入①得：③， 把③代入①得：， 整理，得：， 解得：， 当时，， 当时，（不合题意，舍去）； ∴长方形的长为cm，宽为cm， ∴图③中的阴影面积为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．正确的识图，找准等量关系，列出方程，是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 选用适当方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）用直接开平方法求解即可； （2）用配方法求解即可； （3）用公式法求解即可； （4）移项后用因式分解法求解即可. 【小问1详解】 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 ∵ ∴ ∴ ∴ 【小问4详解】 ∵ ∴ ∴ ∴或 ∴ 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若，该方程的两个实数根分别为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握它们的性质是解本题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可； （2）利用根与系数的关系得出，代入得，根据即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意得：， ， ， ． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）证明：该方程总有实数根； （2）当m为何值时，方程的两个根互为相反数？ 【答案】（1） 证明：∵关于x的一元二次方程， ∴，且， ∴该方程总有实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据关于x的一元二次方程，则，且，即可作答； （2）利用因式分解法解方程得到，，结合方程的两个根互为相反数，列出关于的方程，即可求出的值． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得，， ∵方程的两个根互为相反数， ∴， 解得． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）若两个实数根和满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和韦达定理，熟练掌握根的判别式的意义和韦达定理的内容是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，当时方程有两个实数根，据此列不等式求的取值范围； （2）利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），求出和的值，代入已知等式求解，再结合（1）中的范围确定最终值． 【小问1详解】 解：∵ 方程是一元二次方程，且有两个实数根， ∴ ， ， ， ； 【小问2详解】 解：∵ 对于方程，根据韦达定理，，， 又∵ ， ∴ ， 解得， ∵ ，符合（1）中的取值范围， ∴ ． 21. 如图，某体育学校修建一个长方形运动员候场区，候场区一面靠墙，墙长26米，另外三边用48米隔栏围成，为了方便运动员进出，在两边各空出一个宽为1米的出入口（出入口不用隔栏），设修建的长方形运动员候场区的宽为米． （1）修建的长方形运动员候场区的长为_______米；（用含的代数式表示） （2）若修建的长方形运动员候场区的面积为300平方米，求的长． 【答案】（1） （2）长为20米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、正确表示出长方形的长和宽、列出一元二次方程是解答本题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据长方形运动员候场区的面积为300平方米列一元二次方程即可解答． 【小问1详解】 解：修建的长方形运动员候场区的长为： 米； 【小问2详解】 解：设修建的长方形运动员候场区的宽为米，长为米， 由题意得：， 整理，得， 解得，， 当时，，不合题意，应舍去； 当时，，符合题意． 答：长方形候场区的边为15米，为20米． 22. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1400元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于998元．已知市政府向该公司支付货款20万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1） （2）套 【解析】 【分析】（1）本题为增长率问题，设年均增长率为，利用两年后人数等于初始人数乘以增长率的平方列一元二次方程，舍去不符合题意的负根即可得到结果． （2）先判断购买套数超过100套，再根据优惠规则表示出每套售价，结合总货款列一元二次方程，求解后根据最低售价要求舍去不符合题意的解，即可得到最终结果． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，由题意得， 解得，(不符合题意，舍去)， 答∶该市参加健身运动人数的年均增长率为． 【小问2详解】 解∶(元)， 购买的健身器材套数大于100套， 设购买的健身器材套数为套， 根据题意，每套售价为， 列方程得， 整理得， 解得， 当时，每套售价为元，，符合题意， 当时，每套售价为元，，不符合题意，舍去， 若每套售价最低为998元，购买总套数不是正整数，不符合实际，该情况不存在， 综上所述，购买的这种健身器材的套数为200套， 答∶购买的这种健身器材的套数为200套． 23. 五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 问题解决： （1）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． （2）若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ （3）若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 【答案】（1）路面设置的宽度符合要求 （2）从购买草莓客户的角度应该降价元 （3）该合作社不能实现每月60万元的预期目标 【解析】 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照的取值范围，即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润=销售利润−承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． （3）假设该专业合作社能实现每月总利润60万元的预期目标，根据（2）的总利润方程式得到，解方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， 整理得， 解得， 当时，（不符合题意，舍去）， 故 ， 路面设置的宽度符合要求； 【小问2详解】 解：设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得， 整理得， 解得，， 又 要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． 【小问3详解】 解：根据题意得， 整理得 则 ∴方程在实数范围内无解 该合作社不能实现每月60万元的预期目标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $