期中模拟卷【金考密卷】2026-2027学年九年级数学（人教版）

【金考密卷】2026-2027学年九年级数学期中模拟卷 2027中考新题型结构 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2024九年级第25章~第27章 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断一元二次方程需同时满足三个条件：仅含一个未知数、未知数最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：A选项，仅含未知数，最高次数为2，是整式方程，符合要求． B选项，含有两个未知数，不符合． C选项，含有分式，不是整式方程，不符合． D选项，未明确，当时无二次项，不符合．故答案为A． 2．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴，解得． 3．已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A．2，，1 B．2，3，1 C．1，3，2 D．1，，2 【答案】D 【详解】解：∵二次函数为一般形式， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 4．把二次函数通过配方化成的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将进行配方，然后与对比即可得出答案． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 5．下列各点在反比例函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征逐一验证即可． 【详解】解：反比例函数图象上的点满足， ， 点在函数图象上，故选项A符合题意； ，，，均不等于， 其余选项的点均不在函数图象上． 6．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．2.5 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先根据图象上点的坐标求出反比例函数的比例系数，再利用反比例函数系数k的几何意义求解． 【详解】解：的图象过点， ， 点P是图象上任意一点，轴， ． 7．某班一化学科代表在老师的培训后学会了某个化学实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这个实验．若设每人每次都能教会名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确初始会实验的人数及每轮新增人数的计算方式，结合总人数列方程． 【详解】解：∵初始有1人会做实验，且1人每次教会名同学， ∴第一节课新增名会做实验的同学，此时会做实验的总人数为名， ∴第二节课新增名会做实验的同学， ∵两节课后共有49人会做实验， ∴列方程为． 8．如图，顶点为的抛物线（，，为常数，）与轴相交于点．给出下列四个结论：①；②；③对任意实数，有；④若点，在抛物线上，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则． 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故①错误； 设抛物线的解析式为 ． 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为． 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故②正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故③正确； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等且两点重合，，故④错误． ∴B正确． 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9．已知反比例函数，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，当时，随增大而减小，可得比例系数，据此列不等式求解的范围． 【详解】解：∵反比例函数，当时，随增大而减小， ∴图象分布在一三象限， ∴ 解得． 10．某电器的电阻（单位：）与流经的电流（单位：）之间的函数关系式为，则电流随电阻的增大而__________．（填“增大”或“减小”） 【答案】 减小 【分析】中电阻，根据反比例函数的性质判断增减性即可． 【详解】解：由实际意义可知， 是反比例函数，比例系数． 当反比例函数的比例系数大于，且自变量大于时，函数值随自变量的增大而减小． 因此电流随电阻的增大而减小． 11．将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线是___________． 【答案】 【分析】根据抛物线平移的“左加右减，上加下减”规律，即可求出平移后的新抛物线解析式． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，得到的抛物线解析式为， 再向上平移个单位长度，得到新抛物线解析式为． 12．若是方程的一个根，则此方程的另一个根是_________． 【答案】 【分析】设方程的另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系得到关于的方程，求解即可得到结果. 【详解】解：设该方程的另一个根为，对于方程，二次项系数为，一次项系数为， 根据根与系数的关系可得， 解得，即该方程的另一个根为. 13．某公司工业机器人在今年月产值达到万元，预计月产值将增至万元．设该公司、两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为_______________ 【答案】 【分析】已知5月产值和两个月增长后7月的产值，根据增长率的计算方法表示出7月产值，即可列出方程． 【详解】解：∵5月产值为万元，月均增长率为， ∴6月产值为万元， ∴7月产值为万元， ∵预计7月产值为万元， ∴可列出方程． 14．若函数是关于x的二次函数，则常数m的值是_________． 【答案】 【分析】根据二次函数定义，得到的最高次数为，且二次项系数不为，据此列方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴的最高次数满足，且二次项系数， 整理方程得， 因式分解得， 解得或， ∵， ∴， ∴． 15．若抛物线的顶点在x轴上，则______． 【答案】2 【分析】抛物线为顶点式，可直接得到顶点坐标，根据轴上点的纵坐标为列方程求解． 【详解】解：对于抛物线，可得顶点坐标为， ∵顶点在轴上，轴上点的纵坐标为， ∴ 解得． 16．如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则为________． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数交于、两点，得出两点的坐标关于原点对称，求出，过点作于点，由等腰三角形的性质可得，进而求出k的值． 【详解】解：如图， 根据正比例函数和反比例函数交于、两点， 两点关于原点对称， ∴． ∵，， ， ， ， 是等腰三角形， 过点作于点，根据等腰三角形的三线合一可得， ， ∴， ∵反比例函数的图象位于二、四象限 ． 17．写出一个以、为两根且二次项系数为1的一元二次方程为______． 【答案】 【分析】已知方程的两根和二次项系数，先计算两根之和与两根之积，再利用根与系数的关系构造方程即可． 【详解】解：设两根为，, ∵ 计算两根之和, 计算两根之积, 二次项系数为， 根据根与系数的关系，所求方程为， ∴ 代入得所求方程为． 18．对某一个函数给出如下定义：对于函数，若当，函数值满足，且满足，则称此函数为“型闭函数”，下列结论中，正确的是____________（填序号）． ①一次函数是“型闭函数”； ②若一次函数是“型闭函数”，则； ③反比例函数（，且）是“型闭函数”，且，则； ④二次函数是“型闭函数”．则的取值范围是． 【答案】①③④ 【分析】根据“k型闭函数”的定义，结合一次函数反比例函数二次函数的增减性，逐个计算验证四个结论即可． 【详解】解：①对于一次函数，可知y随x的增大而增大， ∴根据定义，当时，；时，， ∴，故， 故①正确； ②对于一次函数是“1型闭函数”， 故有， 当时，y随x的增大而增大，，得； 当时，y随x的增大而减小，，得， 综上，，故②错误； ③对应反比例函数（，且） 可知y随x的增大而减小， 故，， ∴， 又∵反比例函数（，且）是“型闭函数”， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④二次函数的开口向下，对称轴为直线，且， 由定义可得，故． 当时，最大值在处取得，； 最小值在处取得，， 故， ∴； 当时，最大值在处取得，； 最小值在处取得，， ∴， ∵， ∴， 解得； 当时，最大值在处取得，； 最小值在处取得，， ∴， ∵， ∴， 解得； 当时，最大值在处取得，； 最小值在处取得，， ∴， 解得， 综上，，故④正确， 综上，正确结论为①③④， 三、解答题：本题共9小题，共96分。 19．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 解得，； （2）解： 或 解得，． 20．在学习一元二次方程的解法时，刘老师在黑板上列出了一道方程：．小琪同学的解法如下： 小琪的解法原方程可化为：，……第①步 两边都除以，……第②步 ．……第③步 (1)小琪的解答过程中，从第______步开始出现错误； (2)写出该方程正确的解答过程． 【答案】(1)② (2) 原方程可化为：， 移项，得， 因式分解，得， ． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）小琪第二步忽略了的值可以为0； （2）先把原方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：小琪从第二步开始错误，理由是的值可以为0，方程两边不能直接同时除以； ∴从第②步开始出现错误； 故答案为：②． （2）略 21．二次函数图象与轴交于点，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握解析式的求法、函数的最值及函数图象的交点是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，由，进而结合求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与轴交于点，， ∴把，代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为9； 又当时，； 当时，； 所以，当时，． 22．研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．验光师测得几组关于近视眼镜的度数与镜片焦距的对应数据如下表： 镜片焦距x（米） 近视眼镜的度数（度） (1)根据表格数据，求与的函数关系式； (2)小红原来佩戴度的近视眼镜，经过视力矫正和健康用眼，视力改善后，镜片焦距变为米，求小红的近视眼镜度数降低了多少度？ 【答案】(1) (2)小红的近视眼镜度数降低了度 【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数解析式； （2）把代入，求得（度），再作差即可求解 【详解】（1）解：设与的函数关系式为 当时，，代入： 与的函数关系式为 （2）解：由（1）得与的函数关系式为 当时，（度） （度） 小红的近视眼镜度数降低了度． 23．为了落实国务院的指示精神，安庆地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克元．市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为元． (1)求与之间的函数关系式． (2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当定价为每千克元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【分析】（1）根据销售利润的计算公式列出函数关系式． （2）通过二次函数的性质求出利润的最大值． 【详解】（1）解：由题意可知，则，解得， ∵成本价为每千克元， ∴， ∴， ∴． （2）解：， ∵，且， ∴当时，有最大值为， 即该产品销售价定为每千克元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 24．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，求原方程的解． 【答案】(1)且 (2)， 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题； （2）将代入方程，并对所得方程进行求解即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得且； （2）解：当时，原方程为， 即， ， 或， ，． 25．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】(1)， (2)或 (3)当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 【分析】（1）把点坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）只需要根据函数图像找到一次函数图像在反比例函数图像下方时自变量的取值范围即可； （3）如图：作点B关于x轴的对称点D，连接，则，由轴对称的性质可得；由两点距离计算公式可得，则可推出的周长，根据，可推出当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，利用两点距离计算公式可得，则的周长的最小值为；求出直线解析式为，易得． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，， ∴，解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：由函数图像可知，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或． （3）解；如图：作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为， 则， 解得：， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴． 综上，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 26．如图，矩形中，，，、两点分别从点、点同时出发，点以每秒钟个单位的速度沿运动，点以每秒钟个单位的速度沿运动，（不含起始点）．当点到达点时，点也随之停止运动，设的面积为，、两点的运动时间为． (1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出函数值时，自变量的取值范围．（，，，近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】(1) (2)函数图象如图所示： 性质：当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小； (3) 【分析】（1）分段讨论：当点在上运动时，当点在上运动时，根据三角形面积公式求出函数解析式即可； （2）画出函数图象，写出一条性质即可； （3）根据图象写出自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 当点在上运动时，，即时，， 此时的面积为：， 当点在上运动时，，即时，，， 此时的面积为：， ∴； （2）略 （3）解：当时，令，即，解得； 当时，令，即，解得，（不合题意，故舍去）； 根据图象可知，当函数值时，自变量的取值范围． 27．在平面直角坐标系中，对“郡值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“郡值”．函数图象上所有点的“郡值”中的最大值称为函数的“最优郡值”．例如：点在函数图象上，点的“郡值”为，函数图象上所有点的“郡值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数在时的“最优郡值”为． 根据定义，解答下列问题： (1)①点的“郡值”为__________； ②函数的“最优郡值”为__________； (2)线段的“最优郡值”为，求的值； (3)若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优郡值”为，求的值． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】（1）根据“郡值”的定义，点的“郡值”即为纵坐标与横坐标的差，代入计算即可；函数的“郡值”表达为，所以根据在时随的增大而减小，即可判断当时，取得最大值，故“最优郡值”为； （2）函数的“郡值”表达式为，“最优郡值”为，即的最大值为，那么需要分情况讨论的符号，根据的增减性代入对应区间的端点值计算出最大值，从而解得的值； （3）将二次函数图象的顶点代入直线，得到，然后代回二次函数解析式得，从而求出二次函数“郡值”的表达式为，由于在上的最大值为，因此需要分三种情况讨论对称轴的位置，分别是，和，根据“郡值”表达式的增减性代入对应区间端点计算最大值，从而解得的值． 【详解】（1）解：①点的“郡值”为； ②， ， 在时随的增大而减小， 时，的最大值为， 函数的“最优郡值”为． （2）解：线段， ， 的“最优郡值”为， 需要分和两种情况讨论， 当，即时，随增大而减小， 要取得最大值，则，解得，经检验符合； 当，即时，随增大而增大， 要取得最大值，则，解得，经检验符合， 综上所述，或． （3）解：二次函数图象的顶点在直线上， ， ， 二次函数“郡值”表达式为， 二次函数的“最优郡值”为，即在上的最大值为， 需要分三种情况讨论对称轴的位置． 当对称轴时，即时，在区间上随增大而减小， 当时，取得最大值，代入得，解得或（舍去）； 当对称轴时，在区间上的最大值即为顶点纵坐标，代入得，， 该情况与题意不符； 当对称轴时，在区间上随增大而增大， 当时，取得最大值，代入得，解得（舍去）或． 综上所述，或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 【金考密卷】2026-2027学年九年级数学期中模拟卷 2027中考新题型结构 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2024九年级第25章~第27章 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A．2，，1 B．2，3，1 C．1，3，2 D．1，，2 4．把二次函数通过配方化成的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．下列各点在反比例函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 6．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．2.5 C．3 D．2 7．某班一化学科代表在老师的培训后学会了某个化学实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这个实验．若设每人每次都能教会名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．如图，顶点为的抛物线（，，为常数，）与轴相交于点．给出下列四个结论：①；②；③对任意实数，有；④若点，在抛物线上，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9．已知反比例函数，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 10．某电器的电阻（单位：）与流经的电流（单位：）之间的函数关系式为，则电流随电阻的增大而__________．（填“增大”或“减小”） 11．将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线是___________． 12．若是方程的一个根，则此方程的另一个根是_________． 13．某公司工业机器人在今年月产值达到万元，预计月产值将增至万元．设该公司、两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为_______________ 14．若函数是关于x的二次函数，则常数m的值是_________． 15．若抛物线的顶点在x轴上，则______． 16．如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则为________． 17．写出一个以、为两根且二次项系数为1的一元二次方程为______． 18．对某一个函数给出如下定义：对于函数，若当，函数值满足，且满足，则称此函数为“型闭函数”，下列结论中，正确的是____________（填序号）． ①一次函数是“型闭函数”； ②若一次函数是“型闭函数”，则； ③反比例函数（，且）是“型闭函数”，且，则； ④二次函数是“型闭函数”．则的取值范围是． 三、解答题：本题共9小题，共96分。 19．解方程： (1)； (2)． 20．在学习一元二次方程的解法时，刘老师在黑板上列出了一道方程：．小琪同学的解法如下： 小琪的解法原方程可化为：，……第①步 两边都除以，……第②步 ．……第③步 (1)小琪的解答过程中，从第______步开始出现错误； (2)写出该方程正确的解答过程． 21．二次函数图象与轴交于点，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 22．研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．验光师测得几组关于近视眼镜的度数与镜片焦距的对应数据如下表： 镜片焦距x（米） 近视眼镜的度数（度） (1)根据表格数据，求与的函数关系式； (2)小红原来佩戴度的近视眼镜，经过视力矫正和健康用眼，视力改善后，镜片焦距变为米，求小红的近视眼镜度数降低了多少度？ 23．为了落实国务院的指示精神，安庆地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克元．市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为元． (1)求与之间的函数关系式． (2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 24．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，求原方程的解． 25．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 26．如图，矩形中，，，、两点分别从点、点同时出发，点以每秒钟个单位的速度沿运动，点以每秒钟个单位的速度沿运动，（不含起始点）．当点到达点时，点也随之停止运动，设的面积为，、两点的运动时间为． (1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出函数值时，自变量的取值范围．（，，，近似值保留小数点后一位，误差不超过） 27．在平面直角坐标系中，对“郡值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“郡值”．函数图象上所有点的“郡值”中的最大值称为函数的“最优郡值”．例如：点在函数图象上，点的“郡值”为，函数图象上所有点的“郡值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数在时的“最优郡值”为． 根据定义，解答下列问题： (1)①点的“郡值”为__________； ②函数的“最优郡值”为__________； (2)线段的“最优郡值”为，求的值； (3)若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优郡值”为，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $