精品解析：上海市竹园中学（五四制）2024-2025学年九年级10月练习数学试题

九年级数学练习 一、选择题： 1. 若 ，则下列比例式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】比例式可根据性质转化为等积式 ，将各选项转化为等积式后和已知 对比，即可找出不正确的选项． 【详解】解：选项A：， 交叉相乘得，与已知不相等，不符合条件，故A错误，符合题意； 选项B：， 交叉相乘得 ，符合已知条件，故B正确．不符合题意； 选项C：， 交叉相乘得 ，符合已知条件，故C正确．不符合题意； 选项D：， 交叉相乘得 ，符合已知条件，故D正确．不符合题意； 2. 若 ，则 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对已知比例式变形，推导得到与的关系，即可求出 的值． 【详解】解： ， 根据比例的基本性质交叉相乘得： ， 展开得 ， 移项化简得， 等式两边同时除以得， ． 3. 下列命题中，假命题的是（ ） A. 两个等边三角形一定相似； B. 两个全等三角形一定相似； C. 有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似； D. 有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似． 【答案】D 【解析】 【分析】根据真命题和假命题的定义判断出各题的真假即可． 【详解】解：两个等边三角形，三角相等，一定相似，A是真命题； 有一个锐角相等的两个直角三角形，三角相等，一定相似，B是真命题； 全等三角形是特殊的相似三角形，C是真命题； 有一个锐角相等的两个等腰三角形，其它两角不一定相等，不能判定这两个三角形相似． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．熟练掌握各定理是解题的关键.． 4. 已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（ ） A. 6 B. 8 C. 4 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的基本性质，比例中两个外项的积等于两个内项的积，对各选项逐一验证即可得到答案． 【详解】解：添加6时，所有组合中不存在两个数的积等于另外两个数的积，选项A不符合要求． 添加8时，所有组合中不存在两个数的积等于另外两个数的积，选项B不符合要求． 添加4时，所有组合中不存在两个数的积等于另外两个数的积，选项C不符合要求． 添加12时， ，满足比例的基本性质，可组成比例 ， 选项D符合要求． 5. 如果D，E分别在的两边，上，由下列哪一组条件可以推出 （ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】若能推出，即可证明 ，得到同位角相等，进而推出 ． 【详解】解：A 由可得，结合，得，不能推出 ，A错误； B 仅知道和，无法保证三角形相似，不能推出 ，B错误； C ，，又，， ， ， ， ，C正确； D ，，又，，不能推出 ，D错误； 6. 如图，在 中，点、分别在边、上， 平分，，与一定相似的三角形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求，即可证． 【详解】平分， ， 又 ，且 故选． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定解决问题是本题的关键． 二、填空题： 7. 已知 ，则 _______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵ ， ∴. 8. 如果4是a与8的比例中项，那么a的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】 根据比例中项的意义求解． 【详解】解：由题意可得：8a=42=16， ∴a=2， 故答案为2． 【点睛】本题考查比例中项的应用，熟练掌握比例中项的意义是解题关键． 9. 已知点P在线段AB上，且AP：BP=2：3，那么AB：PB=_____． 【答案】5:3 【解析】 【详解】试题解析：由题意AP：BP=2：3， AB：PB=（AP+PB）：PB=（2+3）：3=5：3. 故答案为5:3. 10. 如果两个相似三角形的周长的比等于1：3，那么它们对应高的比为__________． 【答案】1：3 【解析】 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比，再根据对应高线的比等于相似比可得到答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为1：3， ∴两个相似三角形的相似比为1：3， ∴对应高线的比为：1：3， 故答案为：1：3． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比、对应高线比等于相似比是解题的关键． 11. 点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义求出 的长度，再利用线段的和差关系计算即可． 【详解】解： 点是线段的黄金分割点， ， ， ， ， ． 12. 已知△ABC的三边之比为2∶3∶4，若△DEF与△ABC相似，且△DEF的最大边长为20，则△DEF的周长为__________． 【答案】45 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质可求得△DEF的三边比，再结合条件可分别求得△DEF的三边长，可求得答案． 【详解】解：∵△DEF∽△ABC，△ABC的三边之比为2：3：4， ∴△DEF的三边之比为2：3：4， 又∵△DEF的最大边长为20， ∴△DEF的另外两边分别为10、15， ∴△DEF的周长为10+15+20=45， 故答案为45． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题关键． 13. 如图，平行四边形中，E在边 上，与 交于点F，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．由平行四边形对边平行且相等，可得 ，，进而可得，再证，根据对应边长成比例，可得． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ， ， 即， 故答案为：． 14. 如图，在中，D为边上一点，，，，那么_______． 【答案】6 【解析】 【分析】证明，列出比例式进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴. 15. 如图，在中， 是边上的中线，G是重心，，交于点E，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据重心的概念得到，根据平行线分线段成比例定理解答． 【详解】解：是重心， ， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 16. 如图，在4×3的正方形网格中，△ABC与△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则∠BAC+∠CDE＝___度． 【答案】 【解析】 【分析】连接 、，根据勾股定理以及勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】解：连接 、，如下图： 由勾股定理得，，， ，， ∵，， ∴，， ∴ 为等腰直角三角形， 为直角三角形， ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理． 17. 如图，在 ABC中，点D是边BC的中点，直线DF交边AC于点F，交AB的延长线于点E，如果CF∶CA=a∶b，那么BE∶AE的值为______．（用含a、b的式子表示） 【答案】a:(b-a) 【解析】 【分析】做辅助线构造全等三角形得出BG=CF，再由△BGE∽△AFE得即可． 【详解】解：如图： 过点B作BG∥AC交EF于点G ∴∠1=∠C ∵点D是边BC的中点 ∴BD=CD 在△BDG和△CDF中 ∴△BDG≌△CDF ∴BG=CF 又∵BG∥AC ∴△BGE∽△AFE ∴ = 即BE:AE=a:(b-a) 故答案为：a:(b-a) ． 【点睛】本题主要考查了做辅助线构造全等三角形，利用全等三角形即相似的性质求线段的比；解题关键是做出正确辅助线，熟练掌握全等三角形及相似三角形的判定和性质． 18. 如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形中，， ．点E、F分别是边 、的中点，如果是凸四边形的相似对角线，那么 _______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似对角线的定义得到 ，利用相似三角形的性质求出 的长，再由角相等得到 ，利用等腰三角形三线合一的性质得到 ， ，求出 和的长度，最后利用勾股定理计算的长． 【详解】解：如下图： 是凸四边形的相似对角线， ， ， ， ，即 ，且 , ， , , , ， 是 的中点 , ， , ，即 , 是 的中点 , , 在 中，由勾股定理得 ， 在 中，由勾股定理得 . 三、解答题： 19. 已知a、b、c满足 ．求的值． 【答案】1 【解析】 【分析】设，可得，，，再将其代入式子求解即可． 【详解】解：设， 则，，， 则 ． 20. 如图，中，点D在边上， ，．求证：． 【答案】证明： ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例即可证明． 【详解】略 21. 如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8． （1）求的值； （2）当AD=5，CF=19时，求BE的长． 【答案】（1）；（2）11 【解析】 【分析】（1）根据ADBECF可得，由此计算即可； （2）过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵ADBECF， ∴， ∵AB=6，BC=8， ∴， 故的值为； （2）如图，过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G， ∵AGDF，ADBECF， ∴AD=HE=GF=5， ∵CF=19， ∴CG=CF-GF=14， ∵BECF， ∴， ∴， 解得BH=6， ∴BE=BH+HE=11． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键． 22. 如图：在平行四边形中，E是边 上一点，与 相交于点O，与 的延长线相交于点G，已知，．求的长． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行四边形的性质，根据可得 ， ，证明，从而，代入即可求解，再证明，得到，即可得求出． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴ ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ， ， ， ， ． 23. 如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且 ，． （1）求证： ； （2）如果， ，求的值． 【答案】（1）证明： ， ， ， ， ， 又 ， ∴， ∴ ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）由 可得，再结合已知比例，可得，证明，即可解答； （2）由图可知 与等高，根据等高的两个三角形面积比等于底边的比，再由 ，得出，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ； 与 同高， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 24. 如图，已知 和，点在边上，，边 与相交于点 ． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得到，通过证明△ABC∽△FDA得对应边成比例，化比例式为等积式即可； （2）通过证明△AEF∽△CDF和△ABD∽△EDA,根据相似三角形的性质列两个比例式，用等量代换即可得. 【详解】（1）证明：∵AD=DC, ∴∠DAC=∠C, ∵∠ADE=∠B, ∴△ABC∽△FDA, ∴ , ∴. （2）证明：∵AE∥BC, ∴∠E=∠EDC, ∠EAC=∠C, ∴△AEF∽△CDF, ∴ , ∴, ∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD, ∠ADE=∠B, ∴∠BAD=∠EDC, ∴∠BAD=∠E, ∴△ABD∽△EDA, ∴ , ∴, ∴. 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质的综合应用，借助中间比进行等量代换是解答此题的关键. 25. 如图，在矩形中，，，点在边上（点与端点、不重合），连接 ，过点作，交的延长线于点 ，连接，与对角线、边分别交于点 、 ．设，． （1）求证： ； （2）求 关于的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）连接，当与 相似时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质以及，利用同角的余角相等得到，从而可证明 ； （2）根据得到，从而用， 表示出、 、、，易证，得到，将对应线段长代入整理即可得解； （3）延长交于点，根据，得到，，进而得到，分和两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质，结合正切的定义，分别列出比例式求出的值即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形，，， ，，， ， ，即， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知 ， ， ， ， ，，， 在矩形中， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图所示，延长交于点， ， ， ， ， ， ， 若， ， ，即， 化简得， ， ， 化简得， 解得或（舍去）， 若，则有， ， ， ，即， ， ， ， ， 又， ， ，即， 整理得：， ， ，整理得：， ，（不符合题意，舍去）； 综上，当与 相似时，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，函数关系式，正切的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习 一、选择题： 1. 若 ，则下列比例式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若 ，则 的值是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，假命题的是（ ） A. 两个等边三角形一定相似； B. 两个全等三角形一定相似； C. 有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似； D. 有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似． 4. 已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（ ） A. 6 B. 8 C. 4 D. 12 5. 如果D，E分别在 的两边 ， 上，由下列哪一组条件可以推出 （ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，在 中，点、分别在边 、 上， 平分，，与一定相似的三角形为（ ） A. B. C. D. 二、填空题： 7. 已知 ，则 _______． 8. 如果4是a与8的比例中项，那么a的值为_____． 9. 已知点P在线段AB上，且AP：BP=2：3，那么AB：PB=_____． 10. 如果两个相似三角形的周长的比等于1：3，那么它们对应高的比为__________． 11. 点P是线段 的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 12. 已知△ABC的三边之比为2∶3∶4，若△DEF与△ABC相似，且△DEF的最大边长为20，则△DEF的周长为__________． 13. 如图，平行四边形中，E在边 上，与 交于点F，若，则______． 14. 如图，在 中，D为边 上一点，，，，那么_______． 15. 如图，在 中， 是边上的中线，G是重心，，交于点E，则_____． 16. 如图，在4×3的正方形网格中，△ABC与△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则∠BAC+∠CDE＝___度． 17. 如图，在 ABC中，点D是边BC的中点，直线DF交边AC于点F，交AB的延长线于点E，如果CF∶CA=a∶b，那么BE∶AE的值为______．（用含a、b的式子表示） 18. 如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形中，， ．点E、F分别是边 、的中点，如果是凸四边形的相似对角线，那么 _______． 三、解答题： 19. 已知a、b、c满足 ．求的值． 20. 如图， 中，点D在边上， ，．求证：． 21. 如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8． （1）求的值； （2）当AD=5，CF=19时，求BE的长． 22. 如图：在平行四边形中，E是边 上一点，与 相交于点O，与 的延长线相交于点G，已知，．求的长． 23. 如图，在 中，点D在边 上，点F、E在边 上，且 ，． （1）求证： ； （2）如果， ，求的值． 24. 如图，已知 和，点在边上，，边 与 相交于点 ． （1）求证：； （2）如果，求证：． 25. 如图，在矩形中，，，点在边 上（点与端点、不重合），连接 ，过点作，交的延长线于点 ，连接，与对角线 、边 分别交于点 、 ．设，． （1）求证： ； （2）求 关于的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）连接，当与 相似时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $