第五章二次函数单元基础卷 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为北师大版九年级数学第五章二次函数基础卷，覆盖定义、图像性质、最值及实际应用，基础巩固与能力提升结合，适配单元复习，培养数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、图像开口/顶点/对称轴|基础概念辨析，如第3题考查抛物线性质| |填空题|5/15|最值、图像与x轴交点、实际情境计算|如第14题结合窑洞轮廓求横梁长，体现几何直观| |解答题|8/75|解析式转化、实际问题建模（花卉销售/射门抛物线）、综合应用|如22题射门抛物线问题，融合运动轨迹与最值，培养模型意识与推理能力|

九年级数学新教材第一学期第五章二次函数 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大版 第五章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 参考答案与评分标准 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D A C B C B D A 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11． 6 12 . 13． 14． 15．x＝6　 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分 解：（1） ；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）由（1）得， 则顶点坐标是， 令时，则， 令时，则， 令时，则， 令时，则， 故在平面直角坐标系中把分别描出来，依次连接，如图所示： ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （3）观察图象，函数的开口向上，且当时， 则当时，的取值范围是或；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （4）结合函数图象，当时，直接写出的取值范围为．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 17.本小题分) 解：（1）把和代入二次函数解析式得， 解得， 二次函数的表达式为；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）解：设此二次函数的表达式为， 代入得， 解得， 抛物线的函数表达式为．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 18.本小题8分 解：（1）抛物线（，为常数）的顶点坐标为， ，， 解得，．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线； 将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线． 由，得． 抛物线与的交点坐标为， ，解得． 把代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 19.本小题8分解：（1）根据题意得， 将的坐标代入， 得，解得 抛物线的表达式为，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 拱顶D到地面的距离为；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3分 （2）令，则， 解得，则， 所以两排灯的水平距离最小是； （3）由题意得货车最外侧与地面的交点为或， 当或时，， 所以这辆货车能安全通过．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3分 20本小题10分 解：（1）设批发价是x元， ， 解得， 经检验，是原方程解， 答：花卉每盆批发价30元．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3分 解：（2）设涨价m元，利润W元， 对称轴是，且开口向下， ∴当时，W有最大值，是330元．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3分 （3）解：设涨价元，售价为，即， 每盆利润为， 销售数量为， 利润， ∵ ，开口向下， 对称轴， ∵ 当时，W随m增大而减小， ∴ 对称轴， 解得， ∴ 快递成本最多是8元．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 ． 21.本小题10分）解：（1）设销量与价格的函数关系为， ∵当时，，当时， ∴ 解得： ∴┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3分 （2）依题意， ∵为整数 ∴当或时，每天获得的利润w最大 当时： 当时： 答：当销售价格为或元/千克时，每天获得的利润w最大，最大利润为元┉┉┉┉┉┉┉┉3分 （3）依题意， 整理得 即： 解得：或 又∵物价局规定商品的利润率不能高于100%， 即 ∴ ∴┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 22.本小题12分解：（1）由题意得：抛物线的顶点坐标是，， 设抛物线的解析式是， 将代入，得， 解得，         抛物线解析式为：；     ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）当时，， 不考虑其他因素，足球能射进球门；    ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （3）当时，， 守门员不能阻止球员的此次射门，     当时，， 解得，（舍去）， ． 答：他至少后退，才能阻止球员的射门． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 23本小题12分 解：（1）依题意，把，代入中， 得， ， 二次函数解析式为； ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）∵， ， ， ， 即 ， ， 当时， 解得：， 即； 当时， 解得或， 即或； 综上所述，点的坐标为或或． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （3）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点M的坐标为， ∵，， ∴， ， ， 当时，， 即， 解得：， 此时点M坐标为：； 当时，， 即， 解得：， 此时点M坐标为：或； 当时，， 即， 解得：， 此时点M坐标为：或； 综上分析可知：点M的坐标为或或或或． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $※※请※※※不※※※要※※※在※※※装※※※订※※※线※※※内※※※答※※※题※※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 保密★启用前 九年级数学新教材第一学期第五章二次函数 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大版 第五章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1.下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．用配方法将二次函数化为的形式为（    ） A． B． C． D． 3.关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．时，y随x增大而减小 4若过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．已知点和点都在二次函数的图象上，且．若点，，也都在这个函数的图象上，则下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 6.已知二次函数，且，则该函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 7.次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（　　） A． B． C． D． 第7题图 第8题图 8.图1是形状为抛物线的某拱形门建筑．如图2，若取拱形门地面上两点A，B的连线为x轴，可以近似地用函数表示（单位：m）．则拱形门底部的宽度大约是（   ） A．95m B．190m C．235m D．285m 9．从地面竖直向上抛出的小球离地面的高度h（单位；）与小球的运动时间t（单位：）之间满足．则下列选项中正确的是（   ） A．和时，小球离地面的高度相同 B．时，小球到达最高点 C．时，小球回到地面 D．时，小球处于下降阶段 10．点，，是抛物线（是常数，且）上的两个点．下列结论：①抛物线与轴的交点是；②抛物线的对称轴是直线；③当时，；④当时，；⑤当时，有最大值是1．其中正确结论的个数是（    ） A．①③⑤ B．①③ C．①②⑤ D．③⑤ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．已知二次函数，当时，的值为 ． 12已知二次函数的图象，当时，有最小值为 ． 13．若二次函数的图像与x轴有两个交点，则m的取值范围是 14如图为某景区土窑洞窑面及其部分示意图，其轮廓由矩形和部分抛物线构成，横梁，且点，在抛物线上．已知米，米，洞口的最高点到的距离为2.81米，点到的距离为2.17米，则横梁的长为 米． 15．图，嘉嘉用计算机编程模拟抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离，当弹跳球以某种特定的角度从点P（0，1）处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L，其最高点的坐标为（4，5）．弹跳球落到斜面上的点A处反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L′，且开口大小和方向均与L相同，但最大高度只是抛物线L最大高度的．若点A与点P的高度相同，且点A在抛物线L′的对称轴的右侧，则抛物线L′的对称轴为直线 　 ． 第14题图 第15题图 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分已知二次函数． (1)将函数解析式化为的形式； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________； (4)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围为_________． 17.本小题分根据题目中的条件，求二次函数的表达式． (1)已知二次函数的图像经过点和，求二次函数表达式． (2)已知抛物线的顶点坐标是，且经过点，求抛物线的函数表达式． 、 18.本小题8分 已知抛物线（，为常数）． (1)如图，若抛物线的顶点坐标为，求，的值． (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线．若抛物线与的交点坐标为，求抛物线的函数表达式． 19.本小题8分综合与实践 问题情境： 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长，宽．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的C点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为．为了安全起见，隧道正中间有宽为的隔离带． 问题解决： (1)求b、c的值，并计算出拱顶D到地面的距离； (2)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ (3)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 20本小题10分随着人们生活水平提升，我市市民对花卉需求量也在增加．新春佳节临近，购买自己喜爱的鲜花装饰家庭成为青岛市民必备的时尚年货．市民走进花卉市场，寻找春景春色，赏花买花，体验浓浓年味．春节前夕，某花卉市场店铺老板用5400元按批发价购买了一批花卉．若将批发价降低10%，则可以多购买该花卉20盆．据市场调查反映，该花卉每盆售价42元时，每天可卖出20盆；若调整价格，每盆花卉每涨价2元，每天要少卖出1盆． (1)该花卉每盆批发价是多少元？ (2)店铺老板决定在每盆售价42元的基础上，每盆花卉涨价不超过10元，问该花卉一天最大的销售利润是多少元？ (3)该店铺开展快递托运送货到家活动，但每盆花卉店铺还需增加元的快递成本，若每盆花卉售价不低于60元时，每天的利润将随着售价的增长不断降低，则快递成本最多是_____元． 21.本小题10分综合与实践 某镇黄金梨种植基地迎来丰收季，黄澄澄的梨果挂满枝头，果农们忙碌采摘，洋溢着喜悦．该镇以“兴产业、促就业、带民富”为思路，立足资源禀赋，优化农业结构，发展特色林果经济，创新“合作社+基地+种植户”模式，带动农户抱团发展．某合作社以12元/千克的价格购进一批黄金梨，如果以20元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克；如果以25元/千克的价格销售，那么每天可售出200千克．根据销售经验可以知道，每天的销售量（单位：千克）与销售价格（，且为整数，单位：元/千克）存在一次函数关系． (1)与之间的函数表达式为_____（不用写出自变量的取值范围） (2)设该合作社销售黄金梨每天获得的利润为w，则当销售价格为多少元/千克时，每天获得的利润w最大?最大利润是多少? (3)若物价局规定商品的利润率不能高于100%，而该合作社每天销售黄金梨的利润为2520元，请直接写出的值． 22本小题12分“苏超”火热开展过程中，某球员在距球门底部中心点的正前方处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线．当足球飞离地面高度为时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为，已知球门的横梁高为． (1)建立如图所示直角坐标系，求该抛物线解析式； (2)不考虑其他影响因素，该球员此次射门，能否射进球门？ (3)守门员站在距球门底部中心点的正前方处，他跳起时手的最大摸高为，他能阻止该球员的此次射门吗?如果不能，需要至少向球门方向移动多远? 23本小题12分）如图，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的解析式； (2)若点在二次函数图象上，且，求点的坐标； (3)若M是抛物线对称轴上一点，ACM是等腰三角形，直接写出点M的坐标． —　2　— —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 九年级数学新教材第一学期第五章二次函数 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大版 第五章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1.下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．用配方法将二次函数化为的形式为（    ） A． B． C． D． 3.关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．时，y随x增大而减小 4若过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．已知点和点都在二次函数的图象上，且．若点，，也都在这个函数的图象上，则下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 6.已知二次函数，且，则该函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 7.次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（　　） A． B． C． D． 第7题图 第8题图 8.图1是形状为抛物线的某拱形门建筑．如图2，若取拱形门地面上两点A，B的连线为x轴，可以近似地用函数表示（单位：m）．则拱形门底部的宽度大约是（   ） A．95m B．190m C．235m D．285m 9．从地面竖直向上抛出的小球离地面的高度h（单位；）与小球的运动时间t（单位：）之间满足．则下列选项中正确的是（   ） A．和时，小球离地面的高度相同 B．时，小球到达最高点 C．时，小球回到地面 D．时，小球处于下降阶段 10．点，，是抛物线（是常数，且）上的两个点．下列结论：①抛物线与轴的交点是；②抛物线的对称轴是直线；③当时，；④当时，；⑤当时，有最大值是1．其中正确结论的个数是（    ） A．①③⑤ B．①③ C．①②⑤ D．③⑤ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．已知二次函数，当时，的值为 ． 12已知二次函数的图象，当时，有最小值为 ． 13．若二次函数的图像与x轴有两个交点，则m的取值范围是 14如图为某景区土窑洞窑面及其部分示意图，其轮廓由矩形和部分抛物线构成，横梁，且点，在抛物线上．已知米，米，洞口的最高点到的距离为2.81米，点到的距离为2.17米，则横梁的长为 米． 15．图，嘉嘉用计算机编程模拟抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离，当弹跳球以某种特定的角度从点P（0，1）处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L，其最高点的坐标为（4，5）．弹跳球落到斜面上的点A处反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L′，且开口大小和方向均与L相同，但最大高度只是抛物线L最大高度的．若点A与点P的高度相同，且点A在抛物线L′的对称轴的右侧，则抛物线L′的对称轴为直线 　 ． 第14题图 第15题图 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分已知二次函数． (1)将函数解析式化为的形式； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________； (4)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围为_________． 17.本小题分根据题目中的条件，求二次函数的表达式． (1)已知二次函数的图像经过点和，求二次函数表达式． (2)已知抛物线的顶点坐标是，且经过点，求抛物线的函数表达式． 、 18.本小题8分 已知抛物线（，为常数）． (1)如图，若抛物线的顶点坐标为，求，的值． (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线．若抛物线与的交点坐标为，求抛物线的函数表达式． 19.本小题8分综合与实践 问题情境： 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长，宽．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的C点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为．为了安全起见，隧道正中间有宽为的隔离带． 问题解决： (1)求b、c的值，并计算出拱顶D到地面的距离； (2)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ (3)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 20本小题10分随着人们生活水平提升，我市市民对花卉需求量也在增加．新春佳节临近，购买自己喜爱的鲜花装饰家庭成为青岛市民必备的时尚年货．市民走进花卉市场，寻找春景春色，赏花买花，体验浓浓年味．春节前夕，某花卉市场店铺老板用5400元按批发价购买了一批花卉．若将批发价降低10%，则可以多购买该花卉20盆．据市场调查反映，该花卉每盆售价42元时，每天可卖出20盆；若调整价格，每盆花卉每涨价2元，每天要少卖出1盆． (1)该花卉每盆批发价是多少元？ (2)店铺老板决定在每盆售价42元的基础上，每盆花卉涨价不超过10元，问该花卉一天最大的销售利润是多少元？ (3)该店铺开展快递托运送货到家活动，但每盆花卉店铺还需增加元的快递成本，若每盆花卉售价不低于60元时，每天的利润将随着售价的增长不断降低，则快递成本最多是_____元． 21.本小题10分综合与实践 某镇黄金梨种植基地迎来丰收季，黄澄澄的梨果挂满枝头，果农们忙碌采摘，洋溢着喜悦．该镇以“兴产业、促就业、带民富”为思路，立足资源禀赋，优化农业结构，发展特色林果经济，创新“合作社+基地+种植户”模式，带动农户抱团发展．某合作社以12元/千克的价格购进一批黄金梨，如果以20元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克；如果以25元/千克的价格销售，那么每天可售出200千克．根据销售经验可以知道，每天的销售量（单位：千克）与销售价格（，且为整数，单位：元/千克）存在一次函数关系． (1)与之间的函数表达式为_____（不用写出自变量的取值范围） (2)设该合作社销售黄金梨每天获得的利润为w，则当销售价格为多少元/千克时，每天获得的利润w最大?最大利润是多少? (3)若物价局规定商品的利润率不能高于100%，而该合作社每天销售黄金梨的利润为2520元，请直接写出的值． 22本小题12分“苏超”火热开展过程中，某球员在距球门底部中心点的正前方处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线．当足球飞离地面高度为时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为，已知球门的横梁高为． (1)建立如图所示直角坐标系，求该抛物线解析式； (2)不考虑其他影响因素，该球员此次射门，能否射进球门？ (3)守门员站在距球门底部中心点的正前方处，他跳起时手的最大摸高为，他能阻止该球员的此次射门吗?如果不能，需要至少向球门方向移动多远? 23本小题12分）如图，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的解析式； (2)若点在二次函数图象上，且，求点的坐标； (3)若M是抛物线对称轴上一点，ACM是等腰三角形，直接写出点M的坐标． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 九年级数学新教材第一学期第五章二次函数 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大版 第五章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 解：二次函数需满足最高次项为且系数不为零， 选项，，含项，其中 ，符合题意，选项正确； 选项，为分式函数，不是二次函数，不符合题意，选项错误； 选项，为一次函数，无 项，不符合题意，选项错误； 选项，，未明确 ，不一定是二次函数，不符合题意，选项错误． 故选：． 2．用配方法将二次函数化为的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 解： ． 故选：A． 3.关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．时，y随x增大而减小 【答案】D 解：∵ 二次函数 中，， ∴ 抛物线开口向下，选项A错误． 对称轴， ∴ 对称轴是直线 ，选项C错误． 顶点横坐标为，代入得纵坐标， ∴ 顶点坐标为，选项B错误． ∵ 开口向下，对称轴， ∴ 当 时，随x增大而减小． ∵ 时，满足， ∴ 选项D正确． 故选：D． 4若过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 解：已知抛物线过点，将点坐标代入方程： 当时，，代入得： 整理得： ∴ 故选：A． 5．已知点和点都在二次函数的图象上，且．若点，，也都在这个函数的图象上，则下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 解：把点和点代入二次函数中， 则，， ∵， ∴，即， ∴，解得，这与矛盾，故不成立； 或，解得， 又， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6.已知二次函数，且，则该函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 解：A、图象过，而，所以顶点为，不符合题意； B、，所以同号，当开口向上时即此时，则顶点为，符合题意； C、图象过，而，所以顶点为，不符合题意； D、，所以同号，当开口向下时即此时，则顶点为，不符合题意； 故选：B ． 7.次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵二次函数为， ∴对称轴为， 设方程的两根为（）， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， 由局部图知， ∴， 即， 故选：C． 8.图1是形状为抛物线的某拱形门建筑．如图2，若取拱形门地面上两点A，B的连线为x轴，可以近似地用函数表示（单位：m）．则拱形门底部的宽度大约是（   ） A．95m B．190m C．235m D．285m 【答案】B 解：令，则， 解得：， ∴， ∴， 故选：B． 9．从地面竖直向上抛出的小球离地面的高度h（单位；）与小球的运动时间t（单位：）之间满足．则下列选项中正确的是（   ） A．和时，小球离地面的高度相同 B．时，小球到达最高点 C．时，小球回到地面 D．时，小球处于下降阶段 【答案】D 解：由题意得，当时，， ∴， ∴或（舍去）； ∴， 当时， 当时，， ∴和时，小球离地面的高度不相同，故A说法错误； ∵， ∴当时，有最大值， ∴时，小球到达最高点，故B说法错误； 当时，， ∴时，小球没有回到地面，故C说法错误； ∵，， ∴当时，h随t的增大而减小， ∴当时，小球处于下降阶段，故D说法正确； 故选：D． 10．点，，是抛物线（是常数，且）上的两个点．下列结论：①抛物线与轴的交点是；②抛物线的对称轴是直线；③当时，；④当时，；⑤当时，有最大值是1．其中正确结论的个数是（    ） A．①③⑤ B．①③ C．①②⑤ D．③⑤ 【答案】A 解：抛物线是常数，且， 当时，， 抛物线与轴的交点是， 故结论①正确，此结论符合题意； 抛物线的对称轴为， 故结论②错误，此结论不符合题意； ，是抛物线上的两个点，， 、两点关于对称轴对称， ， ， 而抛物线与轴的交点是，即当时的一个根为，则另一个根为， ， 故结论③正确，此结论符合题意； 抛物线是常数，且， 抛物线的开口向上， 在对称轴的右侧的函数图像，随的增大而增大， ， ，两点位于对称轴的右侧， ， 故结论④错误，此结论不符合题意； 当时，随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为1， 故结论⑤正确，此结论符合题意； 综上所述，正确的结论为①③⑤， 故选：A． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．已知二次函数，当时，的值为 ． 【答案】6 解：由二次函数，根据平方差公式，得， 当时，， 故答案为：6． 12已知二次函数的图象，当时，有最小值为 ． 【答案】 解：该二次函数为正数，开口向上，由二次函数顶点公式，得顶点横坐标 ， 在取值范围内，故当时，函数取最小值．所以代入函数得 ． 故答案为 ． 13．若二次函数的图像与x轴有两个交点，则m的取值范围是 【答案】 解：依题意，当时，方程有个不等实数根， ∴，解得：． 故答案为：． 14如图为某景区土窑洞窑面及其部分示意图，其轮廓由矩形和部分抛物线构成，横梁，且点，在抛物线上．已知米，米，洞口的最高点到的距离为2.81米，点到的距离为2.17米，则横梁的长为 米． 【答案】 解：以直线为轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图， 由题意得，，，， 抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵点到的距离为米， ∴点，的纵坐标为， ∴当时，， 解得， ∴点，， ∴，即横梁的长为米； 故答案为：． 15．图，嘉嘉用计算机编程模拟抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离，当弹跳球以某种特定的角度从点P（0，1）处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L，其最高点的坐标为（4，5）．弹跳球落到斜面上的点A处反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L′，且开口大小和方向均与L相同，但最大高度只是抛物线L最大高度的．若点A与点P的高度相同，且点A在抛物线L′的对称轴的右侧，则抛物线L′的对称轴为直线 　 ． 【答案】x＝6． 解：根据已知得抛物线L的顶点是（4，5）， 设抛物线L为y＝a（x﹣4）2+5， 把P（0，1）代入解析式得：1＝a（0﹣4）2+5， 解得：a， ∴抛物线L的解析式为y（x﹣4）2+5， ∵点A在抛物线L上， ∴当y＝1时，（x﹣4）2+5＝1， 解得x1＝0，x2＝8， ∴A（8，1）， ∵开口方向及大小不变，反弹后高度变为第一次高度的， ∴抛物线L′顶点纵坐标为2， ∴设抛物线L′解析式为y（x﹣m）2+2， 把A（8，1）代入y（x﹣m）2+2得，（8﹣m）2+2＝1， 解得m＝6或m＝10（舍去）， ∴抛物线L'的对称轴为直线x＝6． 故答案为：x＝6． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分已知二次函数． (1)将函数解析式化为的形式； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________； (4)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围为_________． 解：（1） ； （2）由（1）得， 则顶点坐标是， 令时，则， 令时，则， 令时，则， 令时，则， 故在平面直角坐标系中把分别描出来，依次连接，如图所示： （3）观察图象，函数的开口向上，且当时， 则当时，的取值范围是或； （4）结合函数图象，当时，直接写出的取值范围为． 17.本小题分根据题目中的条件，求二次函数的表达式． (1)已知二次函数的图像经过点和，求二次函数表达式． (2)已知抛物线的顶点坐标是，且经过点，求抛物线的函数表达式． 解：（1）把和代入二次函数解析式得， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：设此二次函数的表达式为， 代入得， 解得， 抛物线的函数表达式为． 18.本小题8分 已知抛物线（，为常数）． (1)如图，若抛物线的顶点坐标为，求，的值． (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线．若抛物线与的交点坐标为，求抛物线的函数表达式． 解：（1）抛物线（，为常数）的顶点坐标为， ，， 解得，． （2）将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线； 将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线． 由，得． 抛物线与的交点坐标为， ，解得． 把代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为． 19.本小题8分综合与实践 问题情境： 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长，宽．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的C点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为．为了安全起见，隧道正中间有宽为的隔离带． 问题解决： (1)求b、c的值，并计算出拱顶D到地面的距离； (2)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ (3)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 解：（1）根据题意得， 将的坐标代入， 得，解得 抛物线的表达式为， 拱顶D到地面的距离为； （2）令，则， 解得，则， 所以两排灯的水平距离最小是； （3）由题意得货车最外侧与地面的交点为或， 当或时，， 所以这辆货车能安全通过． 20本小题10分随着人们生活水平提升，我市市民对花卉需求量也在增加．新春佳节临近，购买自己喜爱的鲜花装饰家庭成为青岛市民必备的时尚年货．市民走进花卉市场，寻找春景春色，赏花买花，体验浓浓年味．春节前夕，某花卉市场店铺老板用5400元按批发价购买了一批花卉．若将批发价降低10%，则可以多购买该花卉20盆．据市场调查反映，该花卉每盆售价42元时，每天可卖出20盆；若调整价格，每盆花卉每涨价2元，每天要少卖出1盆． (1)该花卉每盆批发价是多少元？ (2)店铺老板决定在每盆售价42元的基础上，每盆花卉涨价不超过10元，问该花卉一天最大的销售利润是多少元？ (3)该店铺开展快递托运送货到家活动，但每盆花卉店铺还需增加元的快递成本，若每盆花卉售价不低于60元时，每天的利润将随着售价的增长不断降低，则快递成本最多是_____元． 解：（1）设批发价是x元， ， 解得， 经检验，是原方程解， 答：花卉每盆批发价30元． 解：（2）设涨价m元，利润W元， 对称轴是，且开口向下， ∴当时，W有最大值，是330元． （3）解：设涨价元，售价为，即， 每盆利润为， 销售数量为， 利润， ∵ ，开口向下， 对称轴， ∵ 当时，W随m增大而减小， ∴ 对称轴， 解得， ∴ 快递成本最多是8元． ． 21.本小题10分综合与实践 某镇黄金梨种植基地迎来丰收季，黄澄澄的梨果挂满枝头，果农们忙碌采摘，洋溢着喜悦．该镇以“兴产业、促就业、带民富”为思路，立足资源禀赋，优化农业结构，发展特色林果经济，创新“合作社+基地+种植户”模式，带动农户抱团发展．某合作社以12元/千克的价格购进一批黄金梨，如果以20元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克；如果以25元/千克的价格销售，那么每天可售出200千克．根据销售经验可以知道，每天的销售量（单位：千克）与销售价格（，且为整数，单位：元/千克）存在一次函数关系． (1)与之间的函数表达式为_____（不用写出自变量的取值范围） (2)设该合作社销售黄金梨每天获得的利润为w，则当销售价格为多少元/千克时，每天获得的利润w最大?最大利润是多少? (3)若物价局规定商品的利润率不能高于100%，而该合作社每天销售黄金梨的利润为2520元，请直接写出的值． 解：（1）设销量与价格的函数关系为， ∵当时，，当时， ∴ 解得： ∴ （2）依题意， ∵为整数 ∴当或时，每天获得的利润w最大 当时： 当时： 答：当销售价格为或元/千克时，每天获得的利润w最大，最大利润为元 （3）依题意， 整理得 即： 解得：或 又∵物价局规定商品的利润率不能高于100%， 即 ∴ ∴ 22本小题12分“苏超”火热开展过程中，某球员在距球门底部中心点的正前方处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线．当足球飞离地面高度为时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为，已知球门的横梁高为． (1)建立如图所示直角坐标系，求该抛物线解析式； (2)不考虑其他影响因素，该球员此次射门，能否射进球门？ (3)守门员站在距球门底部中心点的正前方处，他跳起时手的最大摸高为，他能阻止该球员的此次射门吗?如果不能，需要至少向球门方向移动多远? 解：（1）由题意得：抛物线的顶点坐标是，， 设抛物线的解析式是， 将代入，得， 解得，         抛物线解析式为：；     （2）当时，， 不考虑其他因素，足球能射进球门；    （3）当时，， 守门员不能阻止球员的此次射门，     当时，， 解得，（舍去）， ． 答：他至少后退，才能阻止球员的射门． 23本小题12分）如图，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的解析式； (2)若点在二次函数图象上，且，求点的坐标； (3)若M是抛物线对称轴上一点，ACM是等腰三角形，直接写出点M的坐标． 解：（1）依题意，把，代入中， 得， ， 二次函数解析式为； （2）∵， ， ， ， 即 ， ， 当时， 解得：， 即； 当时， 解得或， 即或； 综上所述，点的坐标为或或． （3）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点M的坐标为， ∵，， ∴， ， ， 当时，， 即， 解得：， 此时点M坐标为：； 当时，， 即， 解得：， 此时点M坐标为：或； 当时，， 即， 解得：， 此时点M坐标为：或； 综上分析可知：点M的坐标为或或或或． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $