第五章 二次函数（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材北师大版九年级上册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第五章二次函数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 D B ⊙ D ⊙ C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.3≤y<21 12.-3 13.y=x(84-4x) 14.1<x<3 16.（-5,7)或1，-2)或(-1，-3) 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17. 【详解】(1)解：二次函数经过点44,0)，B(-2,0） 设二次函数解析式为"=a(x-4x+2) 又：二次函数的图象经过C(2,4 将点C24代入=ax-4x+2)中. 得4=a(2-4(2+2,解得a=-} 2 y=-40c+2到=号x+4.2分 1/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：由(1)知，y= 方+4-3 9 二次函数的顶点为 .4分 1 (3)解：：二次函数的二次项系数为2<0， 二次函数开口向下， 由(2)知，二次函数的对称轴为x=1,且x=1在0≤x≤5内， 9 ∴二次函数在顶点处取得最大值，最大值为2， ,二次函数开口向下 ∴二次函数上的点离对称轴越近函数值越大， .1-0<5-1, ∴二次函数在x=5处取得最小值， 将5代xy=x-+号中新行=- 9 六0sx≤5时，子ys号 7 2.6分 18. 【详解】(1)解：BL,0), .0B=1, .0C=20B=2, C(-2,0). 在Rt△ABC中，tanZABC=2, AC :BC AC=2 =2,即3 .AC=6, .A(-2,6). 2/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -4-2b+c=6 把A(-2,6B1,0)代入y=-x2+bx+c得：-1+b+c=0, b=-3 解得： c=4, y=-x2-3x+4 ∴.抛物线的解析式为： ;3分 (2)解：如图， A D B列末 设AB的解析式为：y=ac+b A(-2,6B1,0) 「k+b=0 所以-2k+b=6, [k=-2 解得b=2, 所以AB的解析式为：y=-2x+2, 设P6--3+0.,-2+2) ,则 PE 1 :DE2, -2-31+4-(21+2）=（-2+2). 解得：t=1(舍)或t=-1, P(-16 .6分 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19, 【详解】(I)解：，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上， .∠A=∠B=∠HEF=90°，EH=FE. .∠AEH+∠AHE=90°，∠AEH+∠BEF=90°， .∠AHE=∠BEF, 在△AEH和△BFE中， ∠EAH=∠FBE ∠EHA=∠FEB EH=FE 、△AEH≌△BFE(AAS) .'.BF=AE=x,BE=2-x. 在Rt△BFE中， EF2=BF2+BE2=x2+(2-x)2 y=BF2=+2-=+-4+4=2-4红+40<x<2):…3分 (2)解：y=2-4+4=2(x-1}+2 .a=2>0」 ∴抛物线有最小值，且当x=1时，取得最小值，最小值为2. 故AE=1时，正方形EFGH的面积最小，最小为2.此时E为AB中点；6分 20 【详解】(1)解：4M=0.5m.AB=6m4 的最低点C接触地面时距离x轴为 .25m 40,02,最低点即顶点的坐标为6-125) 设抛物线的函数表达式为y=a(x-3-1.25 4/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0.25=a(0-3)2-1.25 将点A代入得： 1 解得：a= 6 y=(x-3}_5 1 6 43分 (2)如图所示： 设，上 EFy轴， GHy轴，且EF=G=1.5m LE G 0 B元 F H ∴.点F和点H的纵坐标为0.75， 当y=-075时名x-球-子-075。 解得：=3+3.与=3-V5 :-为=25 ,每两人之间的空隙也至少为0.5m, .23÷0.5=4V3 .36<48<49. :6<43<7 .6+1=7, ∴在此条件下最多能同时容纳7名同学进入绳内跳跃.6分 21 【详解】(1)解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x, 根据题意得： 10(1+x)=12.1 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得=0.1=10%名=-2.1 (不符合题意，舍去)· 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为10%；…2分 (2解：①设每件应降价y元，则每件的销告利润为35-y-15)元，日销告量为80+10叭件， (35-y-15)(80+10y)=1800 根据题意得： y2-12y+20=0 整理得： 解得： y=2,2=10 又要尽快减少库存， .y=10 答：每件应降价10元.5分 ②设线上和线下的日利润总和为p元，售价为a元/件 则w=100(a-15-3)+(a-15[80+10(35-a] =-10a2+680a-8250 =-10(a-34)2+3310 .当a=34时，有最大值，最大值为3310， ∴.当售价为34元/件，即降价35-34=1元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310 元.8分 22. 【详解】(1)解： 把(24到，(5.)代入y=-++C得 -4+2b+c=4 [b=6 -25+5b+c=1解得c=-4 ∴.y=-x2+6x-4 6/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “y=-x2+6x-4=-(x-3)}2+5 顶点坐标： (6,5)3分 (2)解：作4y 销交B于4，作8》轴交于么 “抛物线的项点坐标为民5) .抛物线关于x=3对称，令x=3交AB于D, A'D=3 以 A B'BI A 又：C为AB中点 ∴.xc=A'C=CB'=2n A'A=B'B=n 由题意得 AC=CD=n 由抛物线的对称性得 ..xc=3-n .3-n=2n 解得：n=1 1 小=2，=2=1， 代入少=-x2+6r-4 .C(2,4) 7/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 把1 代入y=-r+6x-4得4=1 ,得 .m=ye-y4=4-1=3 8分 23. 【详解】(1)解：由题意可知， 顶点坐标为1,2). 六设抛物线的函数表达式为y=a(x-+2, 将点40)代入，得0-+2=号. 2 A0, 4 解得：a= 3 抛物线%的画数表达式为为=号（Cx-+2:…2分 ②解，%2+管+号22号2x 214 的顶点坐标为39小 设直线l的表达式为y=kc+b, ,y这些抛物线的顶点在同一条直线上，且，的顶点坐标分头，1,2 4 k= k+b=2 3 14,解得： b= 2 9 3 :1的表达式为音+号：一一5分 6)解◆%号.则2+骨+号-， 2 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 解得：x=0(舍)，为=3， ). 2 令.=3，则r+x+ 2_2 33 解得：丐=0（舍），名= y=r2++ar++名ax++名 27 3 a3(2a34a, （b2b2 :抛物线yn顶点坐标为2a’34a 42 由(2)可知，顶点所在的直线的表达式为y=3+3, 3b2-8b=0, 解得：6=0政0-。 0,2 ~当b=0时，抛物线开口向下，顶点在”3)，不符合题意， :6=8 3 引 EF=84|84 a35a+3 9/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·BFs 8+号 [2≤8+4 十 33a3 8,42 3+3 解得4≤a≤-3， 即当喷泉的黄效果辰佳时。秘物线中。的队植范田为45a≤一号。…8分 24. 【详解】(1)解：当=2，c=1 y=-x2+2x+1 时，抛物线的解析式为 y=-(x-1)2+2 配方得 因此抛物线L的顶点坐标为，2)4分 (2)①因为点 M(m,2m2）N(n,2n2） 都在抛物线L上 所以可得2m2=-m2+bm+c,2n2=-n2+bn+c 两式作差得2m2-2n2=-m2+n2+bm-bn 整理得3(m-n）-b(m-m)=0 因式分解得(m-n儿3(m+n）-b]=0 .:m+n=p,m<n .m-n≠0,3p-b=0 b=3p . 8分 10/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 物线L恒过定点，定点坐标为4 证明：，∠MON=90°， .由勾股定理得OM2+OW2=MW2, M(m,2m）.(z2r) 0M2=m2+(2m2)2=m2+4m40N2=n2+(2n2)2=n2+4n MN2=(m-n)2+(2m2-2n2)2=(m-n)2+4m2-n2)2 =m2-2mn+n2+4m-8m2n2+4n 将上述式子代入0M2+0N2=MN2得：m2+4m+n2+4n=m2-2mm+n2+4m-8m2n+4n 整理得8m2n2+2mn=0. mn(4mn+1)=0 提取公因式得 :m≠0，且m<n, .mn≠0， ·4mn+1=0,即mn=- =3(m+川），将6=3(m+川代入3m-m-c=0得：c=3m-3(m+川m=-3m, 由①得 等之二一4代入厚 一抛物线L的解析式为y=-2+x+3 4 3 当x=0时，y=4,结果与6的取值无关， 。3 六抛物线L恒过定点，定点坐标为04 12分 11/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25. 【详解】(1)解：“抛物线y=3 +i+c与x轴交于A”C2,0两点，与y轴交于点B0,6 [2 ×22+2b+c=0 3 c=-6 5 b= 3 解得： C=-6, 能物线的表芯式为少十-6，一3分 (2)解：①：B0,6),点D在线段OB上，BD=4, ∴.OB=6,OD=OB-BD=2, …C(2,0). .0C=2, .CD2=0D2+0C2=22+22=8, 正方形CDMN的面积为CD=8;6分 ②如图，过点M作MF⊥x轴于F,MHLy轴于H, M D 图2 .·∠OFM=∠FOH=∠MHO=90°. .四边形FMHO是矩形， 12/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..OH=FM,MH=OF, .在CD的左上方以CD为边作正方形CDMN, .CD=MD,∠CDM=90°， :∠MDH+∠ODC=90°，∠ODC+∠OCD=90°， .∠MDH=∠OCD ∠MHD=∠DOC ∠MDH=∠OCD 在 和 中， △DH AOCD MD=CD △MDH≌△DCO(AAS) .DH=OC=2,MH=OD. 2 5 2 &Mm3r+m-Om<0,则=0H三m+3m-6三2m25 -m+6 3 3 3 3 .OD=OH+DH, -m=-2m2-5m m+6+2, 33 解得：%4%，=3 （舍去)， 号r+m-6(4+(62, 3 点M的坐标（-4，-2).9分 (3)解：如图，过点A作AG∥y轴，使AG=ED,连接DG, E A G B ,点D、E的速度相同， :BD=13 是定值， 13/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·AG∥DE, AG=ED=13 四边形AGDE是平行四边形， .AE=DG ∴.AE+CD=DG+CD. .当点G、D、C三点在同一条直线上时，AE+CD取最小值，最小值为CG的长， y6, .当y=0时，3 x+x-6=0, 3 9 解得：X=一2,3=2， 4号0,01=3.4c-0c+0A=2+}-号 22 :G=G+4c-V得+-135 135 ,即AE+CD的最小值为4， :430,4G=D-号 4 设直线CG的解析式为y=c+n, 2k+n=0 9， 21 4 1 k=于 2 解得： n=-1, 六直线CG的解析式为y=2x-1。 当x=0时，y=-l, 14/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .D0,-I), DE=13 ,E0,p),点E在点D上方， p=-1+l39 T44.12分 15/15………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 有理数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列表达式中，为自变量，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．已知点在二次函数的图象上，若，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 4．已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．关于抛物线，下列说法错误的是（     ） A．该抛物线一定经过点 B．该抛物线顶点纵坐标的最小值为1 C．若点、在该抛物线上，则m的值为3 D．当时，该抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4 6．已知点，，都在抛物线上．若，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 8．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A．B．C．D． 9．如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 10．如图，在中，，，分别是边，上的动点，且，是的中点，连接，，，设，的面积为，图是关于的函数图象，则下列说法不正确的是（     ） A．是等腰直角三角形 B． C．的周长可以等于 D．四边形的面积为 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知关于的二次函数，当时，函数的取值范围为______． 12．若二次函数与的图象关于坐标原点中心对称，则的值为________． 13．建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 14．已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为______． 15．如图，抛物线与轴相交于，两点，当抛物线与轴围成的区域（阴影部分）面积最小时，a的值为___________． 16．抛物线与x轴的负半轴交于点，与轴交于点，连接，点D，E分别是直线与拋物线上的点，若点围成的四边形是平行四边形，则点的坐标为_____________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 18．如图，在平面直角坐标系中，，，，点B的坐标为．抛物线经过A、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使．求点P的坐标． 19．如图，正方形的顶点在边长为2的正方形的边上，若设，正方形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)正方形有没有最小面积？若有，试确定E点的位置；若没有，试说明理由． 20．交互绳是花样跳绳中非常具有观赏性的项目．如图1是同学们练习交互绳示意图，两位摇绳同学左右手交互摇两根绳，其他同学依次钻进绳子跳跃．左边摇绳同学的双手分别记为A，，右边摇绳同学的双手分别记为B，，且保持点A、点B的高度相同，点、点的高度相同，以与的中点连线所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立如图2所示平面直角坐标系，甩绳位于竖直平面内的形状可以近似看成关于x轴对称的两条抛物线，．经测量，，，的最低点C接触地面时距离x轴为．（绳子粗细忽略不计） (1)求抛物线的函数表达式． (2)同学们依次钻进绳子跳跃，为防止同学们进入后头脚挂绳，两绳间的竖直距离应至少为，为了安全，每两人之间的空隙也至少为，请问在此条件下最多能同时容纳多少名同学进入绳内跳跃？ 21．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 22．已知抛物线的图象经过点，． (1)求该抛物线的表达式和顶点坐标． (2)点，在抛物线上且轴，线段先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，点与轴上的点重合，点和抛物线上的点重合，与抛物线交于点，若点是的中点，求，的值． 23．喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线（如图2所示），水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； (3)若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 24．已知抛物线： (1)当，时，求抛物线的顶点坐标； (2)点为平面直角坐标系原点，点，在抛物线上，且，． ①若，用含的代数式表示； ②当时，求证：抛物线恒过定点，并求出定点的坐标． 25．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．动点在线段上（点与点不重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，在的左上方以为边作正方形． ①如图1，当时，求正方形的面积； ②如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标； (3)如图3，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第五章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列表达式中，为自变量，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（是常数，）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是二次函数，符合题意； B、中未知数的最高次数不是2，不是二次函数，不符合题意； C、中等式右边不是整式，不是二次函数，不符合题意； D、当时，不是二次函数，不符合题意； 故选：A． 2．已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的性质求解，无需计算的值． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，其中一个交点为， ∴另一交点的横坐标为， 即坐标为． 3．已知点在二次函数的图象上，若，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，对于开口向上的二次函数，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，先确定对称轴，再计算各点到对称轴的距离，比较大小后得出函数值的大小关系． 【详解】解：∵二次函数中， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵ ∴ 计算各点到对称轴的距离： 点的距离：， 点的距离：， 点的距离： ∵ 又∵开口向上的抛物线，点到对称轴越远，函数值越大， ∴， 故选D 4．已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次函数图象与性质，在固定范围上，根据对称轴位置分类讨论计算即可． 【详解】解：∵，二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为， 则在上，由抛物线图象与性质可知，的最大值只能出现在或处， ∵， ∴，即对称轴在， 当对称轴，即时，离对称轴更远，最大值在处取到， 当，时，得， 解得，满足，但四个选项均无该值； 当对称轴，即时，离对称轴更远，最大值在处取到， 当，时，得， 整理得，解得，满足，C选项的值符合． 5．关于抛物线，下列说法错误的是（     ） A．该抛物线一定经过点 B．该抛物线顶点纵坐标的最小值为1 C．若点、在该抛物线上，则m的值为3 D．当时，该抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4 【答案】B 【分析】把代入计算，得出，故该抛物线一定经过点；对于选项，将抛物线解析式化为顶点式，求顶点纵坐标关于的表达式的最小值；对于选项，利用抛物线对称性，由点和求出对称轴，进而求的值；先得出抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴的交点的横坐标，再列式计算，即可作答． 【详解】解：将代入抛物线解析式，得， ∴该抛物线一定经过点， 故A选项不符合题意； ∵， ∴， ∴顶点纵坐标为， ∵， ∴顶点纵坐标的最小值为，不是， 故B选项符合题意； ∵点和纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为直线， 又抛物线对称轴为， ∴， 得， 故C选项不符合题意； 当时，抛物线解析式为， 令，得， 解得，， 即两个交点之间的距离为， 故D选项不符合题意． 6．已知点，，都在抛物线上．若，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定抛物线的对称轴和开口方向，再根据二次函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，，则抛物线开口向上． ∵， ∴点A到对称轴的距离小于点C到对称轴的距离，即，两边平方，可得， 解得； ∵， ∴点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，即， 两边平方，可得， 解得． 综上所述，m的取值范围是． 7．在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为，再根据关于轴对称的特点可得新抛物线的顶点坐标为，然后利用新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12,列绝对值方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线， ∴新抛物线的顶点坐标为， ∵新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12， ∴，解得：或，即选项D符合题意． 8．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 9．如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 【答案】B 【详解】解：由函数图象知抛物线与轴交点在原点下方，则，故选项A不符合题意； 当时，，即，故选项B符合题意； 由图象知抛物线与轴有两个不同的交点，则，故选项C不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D不符合题意． 10．如图，在中，，，分别是边，上的动点，且，是的中点，连接，，，设，的面积为，图是关于的函数图象，则下列说法不正确的是（     ） A．是等腰直角三角形 B． C．的周长可以等于 D．四边形的面积为 【答案】C 【分析】根据二次函数图象得到对称轴，求出直角边的长度，再利用证明，进而逐一判断各选项结论是否成立． 【详解】解：在中，，， 为等腰直角三角形，， 设， ， ，即， ， ∵， ∴ 该二次函数的对称轴为， 由图可知，函数图象对称轴为， ， 解得， 即． 连接， 是等腰斜边的中点， ，，， ， 在和中， ， ，， ， ， 即， ， 是等腰直角三角形，故选项正确； 是面积的最大值， 当（对称轴处）时，，， ，即，故选项正确； 是等腰直角三角形， ， 为定点，在上运动， 当时，最小，此时为中位线， 则， 当与（或）重合时，最大， 由勾股定理：， ，即最大值为， 周长最大值为， 的周长不可能等于，故选项错误； 由，得， ， 是中点， ， 又， ， 即四边形的面积为，故选项正确． 综上所述，说法不正确的是C选项． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知关于的二次函数，当时，函数的取值范围为______． 【答案】 【分析】先判断二次函数的开口方向和对称轴，根据开口向上时，越靠近对称轴函数值越小，离对称轴越远函数值越大，结合的取值范围，即可求解． 【详解】解：二次函数， ，抛物线开口向上，对称轴为， 在范围内， 计算各端点到对称轴的距离：，，， 可得， 当时，取得最小值， 代入得， 不能取，且时， ， 当时，的取值范围为． 12．若二次函数与的图象关于坐标原点中心对称，则的值为________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质，关于原点中心对称的两个点，横纵坐标都互为相反数，先求出原二次函数的顶点坐标，得到对称后二次函数的顶点坐标，结合的顶点式即可求出的值，进而计算． 【详解】解：先对配方得， 因此的顶点坐标为. 因为两个函数图象关于原点中心对称， 所以的顶点坐标为， 又因为的顶点坐标为， 因此可得，， 所以． 13．建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 14．已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．观察图象确定二次函数的图象位于一次函数的图象下方时的取值范围即可． 【详解】解：观察图象可知，当时，二次函数的图象位于一次函数的图象下方， 不等式的解集为． 故答案为：． 15．如图，抛物线与轴相交于，两点，当抛物线与轴围成的区域（阴影部分）面积最小时，a的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 根据题意分析出顶点纵坐标越大时，阴影部分面积越小，表示出顶点的纵坐标，然后利用二次函数的图象和性质继续分析即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴取任何数时，抛物线与轴都有两个交点， 根据抛物线的性质的，此时抛物线开口大小固定，抛物线顶点纵坐标为负值， 当抛物线的顶点纵坐标越大时，阴影部分面积越小， ∴顶点纵坐标为， ∴顶点纵坐标可看作关于的二次函数，开口向下，顶点纵坐标为最大值， ∴此二次函数的顶点横坐标为， 故答案为：． 16．抛物线与x轴的负半轴交于点，与轴交于点，连接，点D，E分别是直线与拋物线上的点，若点围成的四边形是平行四边形，则点的坐标为_____________． 【答案】或或 【分析】本题是二次函数的综合题，主要考查了特殊点的坐标的确定，平行四边形的性质，解本题的关键是数形结合和分类讨论．根据二次函数与x轴的负半轴交于点，与轴交于点.先求出，的坐标，再根据平行四边形的性质和平移分情况求出点E的坐标. 【详解】解：当时，解得， ∴抛物线与x轴的负半轴交于点， 当时，， ∴抛物线与轴交于点， 由题意知当为平行四边形的边时，，且， ∴线段可由线段平移得到. ∵点在直线上， ①当点的对应点为时，如图，需先将向左平移2个单位长度， 此时点的对应点的横坐标为，将代入， 得， ∴.； ②当点的对应点为时，同理，先将向右平移1个单位长度，可得点的对应点的横坐标为1， 将代入得， ∴； ③当为平行四边形的对角线时，可知的中点坐标为， ∵在直线上， ∴根据对称性可知的横坐标为，将代入 得， ∴ 综上所述，点的坐标为或或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入到解析式中求解即可； （2）将二次函数一般式转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （3）根据二次函数的增减性求得在内函数的最大值与最小值，得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴设二次函数解析式为， 又∵二次函数的图象经过， 将点代入中， 得，解得， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴二次函数的顶点为． （3）解：∵二次函数的二次项系数为， ∴二次函数开口向下， 由（2）知，二次函数的对称轴为，且在内， ∴二次函数在顶点处取得最大值，最大值为， ∵二次函数开口向下 ∴二次函数上的点离对称轴越近函数值越大， ∵， ∴二次函数在处取得最小值， 将代入中，解得， ∴时，． 18．如图，在平面直角坐标系中，，，，点B的坐标为．抛物线经过A、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使．求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求出，，根据待定系数法求解即可； （2）先求出的解析式，然后表示出，，根据即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴，即 ∴， ∴， 把代入得： ， 解得：  ， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图， 设的解析式为：， ∵,， 所以， 解得， 所以的解析式为：， 设， 则， ∵， ∴ ， 解得：（舍） 或， ∴. 19．如图，正方形的顶点在边长为2的正方形的边上，若设，正方形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)正方形有没有最小面积？若有，试确定E点的位置；若没有，试说明理由． 【答案】(1) (2)有最小面积，E点为的中点 【分析】（1）先证明．得到，根据勾股定理得到，结合正方形的面积展开求解即可； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的顶点在边长为2的正方形的边上， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴， 在中， ∴（）； （2）解：， ∵， ∴抛物线有最小值，且当时，取得最小值，最小值为2． 故时，正方形的面积最小，最小为2．此时E为 中点； 20．交互绳是花样跳绳中非常具有观赏性的项目．如图1是同学们练习交互绳示意图，两位摇绳同学左右手交互摇两根绳，其他同学依次钻进绳子跳跃．左边摇绳同学的双手分别记为A，，右边摇绳同学的双手分别记为B，，且保持点A、点B的高度相同，点、点的高度相同，以与的中点连线所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立如图2所示平面直角坐标系，甩绳位于竖直平面内的形状可以近似看成关于x轴对称的两条抛物线，．经测量，，，的最低点C接触地面时距离x轴为．（绳子粗细忽略不计） (1)求抛物线的函数表达式． (2)同学们依次钻进绳子跳跃，为防止同学们进入后头脚挂绳，两绳间的竖直距离应至少为，为了安全，每两人之间的空隙也至少为，请问在此条件下最多能同时容纳多少名同学进入绳内跳跃？ 【答案】(1) (2)在此条件下最多能同时容纳7名同学进入绳内跳跃 【分析】（1）根据题意得出，最低点即顶点的坐标为，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得出点F的纵坐标为，得出，确定，然后利用无理数估算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，的最低点C接触地面时距离x轴为． ∴，最低点即顶点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点A代入得：， 解得：， ∴ （2）如图所示： 设上有轴，轴，且， ∴点F和点的纵坐标为， 当时，， 解得：，， ∴， ∵每两人之间的空隙也至少为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在此条件下最多能同时容纳7名同学进入绳内跳跃． 21．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 【答案】(1)； (2)①每件应降价10元；②当降价1元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 【分析】（1）设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，根据每件利润乘以日销售量等于日总利润建立方程求解； ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件，列出关于的二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为； （2）解：①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 根据题意得：， 整理得： 解得：， 又∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件应降价10元． ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件 则 ， ， ∴当时，w有最大值，最大值为3310， ∴当售价为34元/件，即降价元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 22．已知抛物线的图象经过点，． (1)求该抛物线的表达式和顶点坐标． (2)点，在抛物线上且轴，线段先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，点与轴上的点重合，点和抛物线上的点重合，与抛物线交于点，若点是的中点，求，的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的表达式，再化为顶点式即可解答； （2）作轴交于，作轴交于，由抛物线的对称性得，则，结合（1）得抛物线关于对称，则，求得，即，根据求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得 解得 ∴顶点坐标： （2）解：作轴交于，作轴交于， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线关于对称，令交于D， ∴， 又为中点 ， 由题意得， 由抛物线的对称性得， ， ∴ 解得： ∴，， 代入 把代入，得 ． 23．喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线（如图2所示），水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； (3)若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由题意可知，，顶点坐标为，再利用待定系数法求解； （2）利用配方法求出的顶点坐标，再设直线的表达式，利用待定系数法求解； （3）先求出点、的坐标，再将抛物线顶点坐标代入直线，得出，则，再列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：, 的顶点坐标为， 设直线的表达式为， ，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，且，的顶点坐标分别为，， ，解得：， 的表达式为； （3）解：令，则， 解得：（舍），， ， 令，则， 解得：（舍），， ， ， 抛物线顶点坐标为 由（2）可知，顶点所在的直线的表达式为， ， ， 解得：或， 当时，抛物线开口向下，顶点在，不符合题意， ， ， ， ， 解得：， 即当喷泉的观赏效果最佳时，抛物线中的取值范围为． 24．已知抛物线： (1)当，时，求抛物线的顶点坐标； (2)点为平面直角坐标系原点，点，在抛物线上，且，． ①若，用含的代数式表示； ②当时，求证：抛物线恒过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1) (2)①； ②抛物线恒过定点，定点坐标为； 证明：∵， ∴由勾股定理得， ∵，， ∴，， ， ， 将上述式子代入得： 整理得， 提取公因式得， ∵，且， ∴， ∴，即， 由①得，将代入得：， 将代入得， ∴抛物线的解析式为， 当时，，结果与的取值无关， ∴抛物线恒过定点，定点坐标为． 【分析】（1）将给定的代入抛物线解析式，用配方法即可求出顶点坐标； （2）①将，两点坐标代入抛物线解析式，两式作差后因式分解，结合和即可推导出关于的表达式； ②利用勾股定理结合求出的值，再推导得到为定值，即可证明抛物线恒过定点并求出定点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当，时，抛物线的解析式为 配方得 因此抛物线的顶点坐标为 （2）①因为点，都在抛物线上 所以可得 两式作差得 整理得 因式分解得 ∵， ∴， ∴ ②略 25．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．动点在线段上（点与点不重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，在的左上方以为边作正方形． ①如图1，当时，求正方形的面积； ②如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标； (3)如图3，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)的最小值为，此时 【分析】（1）把、代入，解方程组求出，即可得出答案； （2）①根据、得出，根据点，利用勾股定理求出，即可求出正方形的面积； ②过点作轴于，轴于，得出四边形是矩形，得出，，根据正方形的性质及角的和差关系得出，，可证明，得出，，设，则，，根据得出，解方程求出的值，即可得出答案； （3）过点作轴，使，连接，得出四边形是平行四边形，可得，得出当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长，根据抛物线解析式求出，利用勾股定理求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，根据，即可求出． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①∵，点在线段上，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为； ②如图，过点作轴于，轴于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵在的左上方以为边作正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴点的坐标． （3）解：如图，过点作轴，使，连接， ∵点、的速度相同， ∴是定值， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长， ∵， ∴当时，， 解得：，， ∴，，， ∴，即的最小值为， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∵，，点在点上方， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第五章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列表达式中，为自变量，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．已知点在二次函数的图象上，若，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 4．已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．关于抛物线，下列说法错误的是（     ） A．该抛物线一定经过点 B．该抛物线顶点纵坐标的最小值为1 C．若点、在该抛物线上，则m的值为3 D．当时，该抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4 6．已知点，，都在抛物线上．若，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 8．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A．B．C．D． 9．如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 10．如图，在中，，，分别是边，上的动点，且，是的中点，连接，，，设，的面积为，图是关于的函数图象，则下列说法不正确的是（     ） A．是等腰直角三角形 B． C．的周长可以等于 D．四边形的面积为 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知关于的二次函数，当时，函数的取值范围为______． 12．若二次函数与的图象关于坐标原点中心对称，则的值为________． 13．建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 14．已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为______． 15．如图，抛物线与轴相交于，两点，当抛物线与轴围成的区域（阴影部分）面积最小时，a的值为___________． 16．抛物线与x轴的负半轴交于点，与轴交于点，连接，点D，E分别是直线与拋物线上的点，若点围成的四边形是平行四边形，则点的坐标为_____________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 18．如图，在平面直角坐标系中，，，，点B的坐标为．抛物线经过A、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使．求点P的坐标． 19．如图，正方形的顶点在边长为2的正方形的边上，若设，正方形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)正方形有没有最小面积？若有，试确定E点的位置；若没有，试说明理由． 20．交互绳是花样跳绳中非常具有观赏性的项目．如图1是同学们练习交互绳示意图，两位摇绳同学左右手交互摇两根绳，其他同学依次钻进绳子跳跃．左边摇绳同学的双手分别记为A，，右边摇绳同学的双手分别记为B，，且保持点A、点B的高度相同，点、点的高度相同，以与的中点连线所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立如图2所示平面直角坐标系，甩绳位于竖直平面内的形状可以近似看成关于x轴对称的两条抛物线，．经测量，，，的最低点C接触地面时距离x轴为．（绳子粗细忽略不计） (1)求抛物线的函数表达式． (2)同学们依次钻进绳子跳跃，为防止同学们进入后头脚挂绳，两绳间的竖直距离应至少为，为了安全，每两人之间的空隙也至少为，请问在此条件下最多能同时容纳多少名同学进入绳内跳跃？ 21．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 22．已知抛物线的图象经过点，． (1)求该抛物线的表达式和顶点坐标． (2)点，在抛物线上且轴，线段先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，点与轴上的点重合，点和抛物线上的点重合，与抛物线交于点，若点是的中点，求，的值． 23．喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线（如图2所示），水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； (3)若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 24．已知抛物线： (1)当，时，求抛物线的顶点坐标； (2)点为平面直角坐标系原点，点，在抛物线上，且，． ①若，用含的代数式表示； ②当时，求证：抛物线恒过定点，并求出定点的坐标． 25．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．动点在线段上（点与点不重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，在的左上方以为边作正方形． ①如图1，当时，求正方形的面积； ②如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标； (3)如图3，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $