精品解析：河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）2026-2027学年高三上学期9月阶段检测（二）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2026-2027学年高三上期09月测试（二） 数学试题 命题人：付其才 审题人：张钰若 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是函数的导函数，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导再赋值可得，进而可得函数值. 【详解】由，得， ∴，得， ∴，则. 2. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A，令，，则，函数为偶函数，故错误； C，令，，函数为奇函数，但在定义域上不单调，故错误； 方法一： B，令，，则，函数为奇函数， ，函数单调递减，故错误； D，令，由，解得， ，则，函数为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： B，令，，则，函数为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，令，由，解得， ，，函数为奇函数， ∵和均是增函数，则为增函数， ∴函数在定义域内单调递增，故正确. 3. 若直线与曲线相切，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，结合题意求出切点坐标，进而求解值. 【详解】对，求导得. 由题意知，解得，即切点的横坐标为，故切点坐标为. 代入曲线方程得，所以. 4. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，利用恒正的性质，将区间上单调递减转化为二次因式恒小于等于0，结合二次函数解集与给定区间的包含关系求解参数范围. 【详解】 ， 因为，因此在上单调递减等价于对任意，恒成立， 二次函数图像开口向上， 零点为，，，所以不等式的解集是, 则 ，需满足 ， 解得，即. 5. 若定义在上的函数存在极值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求导确定函数的唯一极值点，问题转化为区间必须包含，同时区间需在定义域内，由此解出的范围． 【详解】函数的定义域为， 求导得：， 当时，，，，故的符号由决定， 即时，；时，． 因此在上单调递减，在上单调递增，故 是的唯一极值点（极小值点）， 函数在区间上存在极值点，等价于该区间包含， 即，解得， 又因为函数定义域为 ，区间必须在定义域内， 故， 综上，的取值范围为，即实数的取值范围是． 6. 已知是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据构造新函数，从而得到新函数的单调性，然后再对要求的不等式变形，变成“”的形式，然后根据函数单调性去掉对应关系“”，从而解得答案. 【详解】因为定义在上，所以中的式子要有意义， 需满足，解得. 因为，所以，即， 设函数，则在定义域上单调递减. 要求，则 当，即时，，即， 所以，解得或，所以； 当，即时，，即， 所以，解得； 在中，令得， 而在中，当时，有，显然成立； 综上，的解集为. 故选：D. 7. 若方程在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将方程整理成，利用同构思想，设，求导判断其单调性，推得，设，判断其单调性确定其最小值，即得参数的范围. 【详解】由得，即， 即. 设，则， 因为，所以在上单调递增，所以，即， 设，则， 当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增， 所以，所以. 故选：C. 8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数确定单调性比较；构造函数，利用导数确定单调性比较即可. 【详解】令，求导得，函数在上递增， 则，即，因此，即； 令，求导得， 函数在上递增，，即，因此，即， 所以，，的大小关系为. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用复合函数的导数公式判断A，应用对数求导公式判断B，应用除法及乘法的对数运算律计算判断C，D. 【详解】对于A，由复合函数的导数公式得 ，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知，则实数a，b的下列关系可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据指数函数的值域，以及函数和的单调性，结合不等式，即可求解. 【详解】由指数函数的值域为，可得， 当异号时，可得，不等式显然成立，所以A正确； 设，可得，所以在上为增函数， 当，则不等式，可得，即， 即，所以，所以D正确； 设，可得， 当时，可得，单调递减； 当时，可得，单调递增， 当，则不等式，可得，即， 即，所以或，所以C正确，B错误. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. 函数有三个零点 B. 当时， C. ，，都有 D. 若方程有三个解，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，由时求出函数的零点，再根据奇函数的性质可得另外两个零点；B选项，根据奇函数的定义即可求对称区间的函数表达式；C选项，利用导数分析函数在时的单调区间和极值，从而可得函数任意两点差的最大值范围；D选项，方程的解转化为函数图象的交点情况，结合函数的大致图象即可得范围. 【详解】对于A：当时，令，得， 又因为函数是定义在上的奇函数，所以，， 所以有三个零点，故A正确； 对于B： 当时，，则， 因为是定义在上的奇函数，所以，故B错误； 对于C：当时，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在取到极大值，极大值为， 且当时，；，， 所以根据是奇函数，可作出的大致图象如下： 由图可知，，，都有， 所以，故C正确； 对于D：若方程有三个解，则与有三个公共点， 所以，即，故D错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知满足（为自然对数的底数），则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知得、，构造并应用导函数研究其单调性，进而得，结合得，即可得. 【详解】由，可得，即， 由，可得，即， 令，则，故在上单调递增， 所以，则，即， 而，故，可得， 所以. 故答案为：. 13. 设点P在曲线上，点Q在直线上，则PQ的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】在曲线上求一点，使得过这点的切线与直线平行，再用两条平行线间的距离公式，可求得的最小值. 【详解】令，即，解得或. 由已知，，所以，代入曲线方程求得，故切点为， 斜率为的直线方程为， 将两条平行直线的方程化为一般式得， 故两平行直线的距离为，所以的最小值为. 14. 已知函数在区间上存在单调增区间，则m的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由于在区间上存在单调递增区间，所以存在，使得，求出的导数利用分离参数法可得, 存在，使得，再令，利用导数在函数最值中的应用求出的最大值，由此即可求出结果. 【详解】因为，所以， 因为在区间上存在单调递增区间， 所以存在，使得，即存在，使得， 令，，则恒成立， 所以在上单调递增，所以， 所以，故实数的取值范围为． 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间． 【答案】（1） （2）单调递增区间为和，单调递减区间为 【解析】 【小问1详解】 ∵ ，函数定义域为， ∴ ，即切点坐标为. ， ∴ 切线斜率. 由点斜式得切线方程为，整理得或. 【小问2详解】 由(1)得， ∵ 对任意，恒成立， ∴ 的符号由二次函数的符号决定. 令，即，解得，. ∵ 二次函数开口向上， ∴ 当或时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减. 故的单调递增区间为和，单调递减区间为. 16. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）若，函数在上的最小值为2，求实数的值． 【答案】（1）极大值为，极小值为 （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，，． 令， 同理：或 所以：在单调递增，在单调递减，在单调递增． 当时，取得极大值； 当时，取得极小值． 【小问2详解】 由题：，． 当时，， 故此时，在单调递增，． 17. 已知函数 （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数有三个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）分、与进行讨论，结合函数单调性与零点存在性定理计算即可得. 【小问1详解】 当时，，则， 则，又， 则曲线在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 若，则，， 则在上单调递增，不符合题意； 若，， 当时，若时，， 当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 由时，，时，， 又函数有三个零点，则，解得； 当时，若时，， 当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 由时，，时，， 又函数有三个零点，则， 解得； 综上可得：. 18. 已知函数 （1）当时，求的极值； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围； （3）证明：当，时，. 【答案】（1）极小值，无极大值； （2）； （3）证明：由（2），取，则时； 令，得， 化简得：. 累加可得，得证. 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数的极值情况； （2）参变分离，构造函数，二次求导，结合特殊点函数值得到函数单调性和最值，得到答案； （3）在（2）基础上，取，，可得，累加法可得结论 【小问1详解】 ， 当时，单调递减；时，单调递增. 故极小值为，无极大值； 【小问2详解】 ， 令，，； 令在上恒成立， 所以在上单调递减，故； 所以在上单调递减，，故. 【小问3详解】 略 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数m的最大值． 【答案】（1） （2）当时，，单调递减；当时，，单调递增． （3）2． 【解析】 【分析】（1）当时，求出，求出切线的斜率，然后求解切线方程； （2）求出函数的导数，通过的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数的单调性； （3）由（2）知时不符合题意，当时，存在，使，满足令，则，令，利用导数研究该函数的最值即可求解． 【小问1详解】 当时，，则， 则，所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 ， 令，则， 若，则，所以在上单调递增，所以， 若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，故， 因此当时，，单调递减；当时，，单调递增． 【小问3详解】 由（2）知时不符合题意； 当时，易知在上单调递减，在上单调递增，，且，，当时，，故存在，使，又，故， 则当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，故，为的两个极小值点，且满足则令，得 则， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减，，，， 故在内存在唯一零点，即，且当时，，，则单调递减；当时，，，则单调递增， 故， 由，得， 故整数的最大值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2026-2027学年高三上期09月测试（二） 数学试题 命题人：付其才 审题人：张钰若 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是函数的导函数，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与曲线相切，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若定义在上的函数存在极值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 若方程在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则实数a，b的下列关系可能正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. 函数有三个零点 B. 当时， C. ，，都有 D. 若方程有三个解，则实数的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知满足（为自然对数的底数），则_____． 13. 设点P在曲线上，点Q在直线上，则PQ的最小值为________. 14. 已知函数在区间上存在单调增区间，则m的取值范围为_____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间． 16. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）若，函数在上的最小值为2，求实数的值． 17. 已知函数 （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数有三个零点，求实数的取值范围. 18. 已知函数 （1）当时，求的极值； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围； （3）证明：当，时，. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数m的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $