江苏南京市中华中学2026-2027学年第一学期调研试卷（一）高二数学试题

南京市中华中学2026—2027学年第一学期调研试卷（一） 高二数学 考试时间：120分钟　满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数z满足，则（ ） A． B． C．4 D．8 2．直线的倾斜角是（ ） A． B． C． D． 3．若，则（ ） A． B． C． D． 4．掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数不超过3”，事件“出现的点数是3或6”．则事件与的关系为（ ） A．事件与互斥 B．事件与对立 C．事件与独立 D．事件包含于 5．在平行四边形中，为线段的中点，，，．则（ ） A．9 B．11 C．13 D．15 6．集合，集合，从，中各任意取一个数相加，和为，则直线与直线平行的概率为（ ） A． B． C． D． 7．已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．在锐角中，，，的对边分别为，，，，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9．对于直线，．以下说法正确的有（ ） A．的充要条件是 B．当时， C．直线一定经过点 D．点到的距离的最大值为5 10．已知曲线，，不同时为零，则（ ） A．上的点到点的距离的最大值为 B．上的点的横坐标的取值范围是 C．围成的图形的面积为 D．若上有四个点到直线的距离等于，则 11．如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，，分别为上、下底面的直径，，为圆台的母线，为弧的中点，则（ ） A．圆台的体积为 B．直线与下底面所成的角的大小为 C．异面直线和所成的角的大小为 D．圆台外接球的表面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是________． 13．已知直线与圆交于、两点，且，其中为原点，则实数的值为________． 14．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，为球的直径，且，则三棱锥体积的最大值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题13分）在中，角，，所对的边分别是，，，且． （1）求角； （2）若为的中点，，的面积为，求． 16．（本题15分）某研究机构为了了解各年龄层对某民生方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一~六组区间分别为，，，，）． （1）求选取的市民年龄在内的人数及的值； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第三、四组用分层抽样的方法选取5名市民，再从中选取2人作为主席团代表，求主席团代表中至少有一人的年龄在内的概率． 17．（本题15分）如图，在正三棱柱中，点是的中点，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线到平面的距离． 18．（本题17分）已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （3）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线l的方程． 19．（本题17分）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为． （1）过点的直线被曲线所截得的线段长为，求直线的方程； （2）过作直线与曲线交于，两点，中点为，求的最值； （3）已知点为圆上任意一点，过点向曲线作切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $